2023-2024学年上海交大附中高一（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年上海交大附中高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.函数的零点所在区间为( )
A. B. C. D.
3.在中，角，，所对边的边长分别为，，，且关于的二次方程有两个相等的实根，则的形状是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
4.已知，，对于实数、，给出以下命题：
命题：若，则；
命题：若，则．
则以下判断正确的是( )
A. 为真命题；为真命题 B. 为真命题；为假命题
C. 为假命题；为真命题 D. 为假命题；为假命题
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.设全集，，则 ______．
6.不等式的解集是______．
7.折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图其平面图如图的扇形，其中，，则扇面曲边四边形的面积是 ．
8.要使关于的方程有实数解，则实数的取值范围是______．
9.已知，，则角的终边在第______象限．
10.已知，则 ______．
11.已知，，则的值为______．
12.已知，，则 ．
13.已知函数的定义域为，则实数的取值范围是______．
14.已知且，若在上是严格增函数，则实数的取值范围是______．
15.已知，有下列命题：
函数在区间上是严格增函数；
函数的图像关于直线成轴对称；
函数的图像与轴有且仅有两个公共点；
若，但，则．
其中真命题的序号是______．
16.设、、均为正数且，则使得不等式总成立的的取值范围为______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知．
求；
若角为第二象限角，且，求的值．
18.本小题分
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度单位：千米时是车流密度单位：辆千米时的函数，当桥上的车流密度达到辆千米时，造成堵塞，此时车流速度为；当车流密度不超过辆千米时，车流速度为千米时，研究表明，当时，车流速度是车流密度的一次函数．
Ⅰ当时，求车流速度关于车流密度的函数的表达式；
Ⅱ当车流密度为多大时，车流量单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆时可以达到最大？最大值是多少精确到辆时？
19.本小题分
在中，角，，所对边的边长分别为，，，且．
求；
若，的周长为，求的面积．
20.本小题分
已知，函数在区间上有最大值和最小值．
求、的值；
若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．
21.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，当时，，其中，为实数，且当时，求实数；
若对任意，恒成立，求实数的取值范围；
试求满足的所有的实数的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.或
7.
8.
9.三
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：，
所以；
若角为第二象限角，且，
则，
所以．
18.解 由题意，得
当时，；
当时，设，由已知，得，
解得，
故函数的表达式为，
依题意，并由得，
当时，为增函数，故当时，函数值不超过；
当时，，
它的最大值为．
所以，当时，在区间上取得最大值，
综上，当时，在区间上取得最大值．
19.解：因为，
所以，
所以，
所以，解得；
因为，的周长为，
所以，
由余弦定理有：，
即，所以，
因为，所以，
所以．
20.解：函数，
因为，对称轴为，所以在区间上是增函数，
所以，即，解得．
故，．
由得，
则不等式为在上恒成立，
即在上恒成立，
又时，，则
所以，则．
故实数的取值范围．
方程，代入，
得，
化简整理得，
令，则，
因为方程有两个不相等的实数根，
所以关于的一元二次方程有两个大于且不相等的实数根，
所以，即，
解得或．
所以的取值范围是．
21.解：时，，
因为是定义在上的奇函数，所以，
即，解得，
，由题意得，解得，
当时，，
画出上的函数的图象，
令，得；令，得，
结合图象，要想恒成立，
只需，解得，
又，故，
所以的取值范围为
当时，，，满足要求，
令，解得，令，解得，
若，，无解，
若，，解得，
若，分别位于，两区间时，
，解得，
此时两区间为，
而，分别在上面两个区间内，满足要求，
若，分别位于，两区间时，
，解得，此时两区间为，
而，均不在上面的两个区间内，不合要求，舍去；
若，分别位于，两区间时，
，解得，此时两区间为，
，均不在上面两区间内，不合要求，舍去；
故的解为或，
所以的取值范围为或
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