2023-2024学年辽宁省高二（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年辽宁省高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知，为实数，则“”成立的充分不必要条件是( )
A. B.
C. D.
3.已知函数，则的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
4.定义行列式，若行列式，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
5.已知，则，，的大小关系( )
A. B. C. D.
6.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.若对任意的，，且，都有，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.已知等差数列的公差为，且集合中有且只有个元素，则中的所有元素
之积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
B. 函数的值域为
C. 若，则
D. 若幂函数，且在上是增函数，则实数
10.已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则下列选项正确的是( )
A. 的图象关于点对称 B. 的最小正周期为
C. 为偶函数 D.
11.已知实数，满足，，且，则下列结论正确的是( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是定义在上的奇函数，且，则 ______．
13.已知数列的首项为，是边所在直线上一点，且，则数列的前项和为______．
14.若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
判断函数的单调性并证明；
若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围．
16.本小题分
在生活中，喷漆房和烤漆房是重要的工业设备，它们在我们的生活中起着至关重要的作用喷漆房的过滤系统主要作用是净化空气能把喷漆过程中的有害物质过滤掉，过滤过程中有害物质含量单位：与时间单位：间的关系为，其中，为正常数，已知过滤消除了的有害物质．
过滤后还剩百分之几的有害物质？
要使有害物质减少，大约需要过滤多少时间精确到？参考数据：
17.本小题分
已知数列满足，．
证明是等比数列，并求的通项公式；
证明：．
18.本小题分
已知函数．
求证：当时，有两个零点；
若在上恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
柯西不等式是数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，其形式为：，等号成立条件为或，，，，，，至少有一方全为柯西不等式用处很广，高中阶段常用来计算或证明表达式的最值问题已知数列满足．
证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
证明：．
参考答案
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14.
15.解：单调递减，证明如下：
易知定义域为，
由，
得到，
因为，
所以，又，
故在区间上恒成立，
所以函数在区间上单调递减；
由，得到，，
又是增函数，得到在区间上有解，
即在区间上有解，
令，，
则在区间恒成立，
即在区间上单调递减，
所以，
故实数的取值范围．
16.解：当时，，
所以是初始有害物质的含量，
由题意可知，，得，
后有害物质含量，
所以过滤小时后还剩的有害物质；
设过滤小时后，有害物质减少，即还剩，
则，
则，
则，
则，
所以要使有害物质减少，大约需要过滤小时．
17.证明：因为，所以，且，则，
即，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，则；
由可知，，
，即，只有当时，等号成立，
所以，只有当时，等号成立，
当时，，成立，
当时，，
综上可知，．
18.解：证明：当时，，，所以，
所以无零点，
当时，由，得，
令，则，
所以在上递增，即在上递增，
因为，
所以存在唯一，使得，
所以当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
因为，在上递增，所以，
因为，
所以存在唯一，使得，
所以有两个零点和；
若在上恒成立，则恒成立，
设，即证在上恒成立，
，令，
则，令，
则，
因为，，所以，所以在上递增，
即在上递增，所以，
所以在上递增，即在上递增，
当时，，则，
所以在上递增，
因为，所以在上恒成立，所以，
当时，，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以，所以，
因为，
所以，
所以存在，使得，
所以在上递减，
因为，所以时，不合题意，
综上，实数的取值范围为．
19.证明：因为，
所以为常数，
又，得到，
所以数列为首项为，公差为的等差数列，
由，得到．
证明：要证，
即证，
即证，
由柯西不等式知，
当且仅当时取等号，
即，
所以只需证明，
由知，
所以只需证明，
即证明，
下面用数学归纳法证明，
当时，不等式左边，不等式右边，所以时，不等式成立，
假设时，不等式成立，即成立，
则时，，
令，则在区间上恒成立，
即在区间上单调递增，所以，
得到，取，得到，
整理得到，即，
所以，
即，不等式仍成立，
由知，对一切，，
所以．
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