2023-2024学年上海市闵行区七宝中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年上海市闵行区七宝中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设直线与圆相交于、两点，则的值可能是( )
A. B. C. D.
2.在平面内，是两个定点，是动点．若，则点的轨迹为( )
A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 直线
3.设、分别是事件、的对立事件，，，则下列结论不正确的是( )
A.
B. 若、是互斥事件，则
C.
D. 若、是独立事件，则
4.设是等差数列的前项和，若对任意，恒成立，则这样的等差数列有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.抛物线的准线方程是______．
6.直线：与直线：的夹角的大小为______．
7.若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的倍，则该椭圆的离心率为______．
8.若双曲线：的焦距长为，则该双曲线的渐近线方程为______．
9.四面体中，在各棱中点的连线中任取条，则该条直线与平面相交的概率是______．
10.某大学共有教师人，其中教授、副教授、讲师、助教的人数比为：：：，现用分层抽样的方法从全校所有教师中抽取一个容量为的样本，讲师应抽取的人数为______．
11.在数列中，，，若，则正整数 ______．
12.已知空间向量，，的模长分别为，，，且两两夹角均为，点为的重心，则 ______．
13.已知数列是首项为，公差为的等差数列，其前项和为，若直线与圆的两个交点关于直线对称，则数列的前项和为______．
14.费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质例如，点为双曲线为焦点上一点，点处的切线平分已知双曲线：，为坐标原点，是点
处的切线，过左焦点作的垂线，垂足为，则 ．
15.在平面直角坐标系中，定义为，两点之间的“折线距离”已知点，若动点满足，则点的轨迹所围成图形的面积为______．
16.如图，棱长为的正方体中，点在线段上运动，以下四个命题：
三棱锥的体积为定值；
；
若平面，则三棱锥的外接球半径为；
的最小值为．
其中真命题有______写出所有真命题的序号
三、解答题：本题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知定点，圆：．
求圆心到点的距离；
若以为圆心，为半径的圆与圆有两个不同公共点，求的取值范围．
18.本小题分
果切是一种新型水果售卖方式，商家通过对整果进行清洗、去皮、去核、冷藏等操作后，包装组合销售，在“健康消费”与“瘦身热潮”的驱动下，果切更能满足消费者的即食需求．
统计得到名中国果切消费者每周购买果切的次数依次为：，，，，，，，，，，求这个数据的平均数与方差；
统计名中国果切消费者的年龄，他们的年龄均在岁到岁之间，按照，，，，分组，得到如下频率分布直方图．
(ⅰ)估计这名中国果切消费者中年龄不小于岁的人数；
(ⅱ)估计这名中国果切消费者年龄的中位数结果保留整数．
19.本小题分
已知双曲线：与直线：相交于、两点，为线段的中点．
当时，求双曲线的左焦点到直线的距离；
若与双曲线的两条渐近线分别相交于、两点，问：是否存在实数，使得、是线段的两个三等分点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
20.本小题分
如果无穷数列满足“对任意正整数、，都存在正整数，使得”，则称数列具有“性质”．
若等比数列的前项和为，且，，求证：数列具有“性质”；
在的条件下，若对任意正整数恒成立，求实数的取值范围；
如果各项均为正整数的无穷等比数列具有性质“”，且、、、四个数中恰有两个出现在中，试求出这两个数的所有可能情况，并求出相应数列首项的最小值，说明理由．
21.本小题分
已知椭圆：的离心率为，左、右顶点分别为、，过点的直线与椭圆相交于不同的两点、异于、，且．
求椭圆的方程；
若直线、的斜率分别为、，且，求的值；
设和的面积分别为、，求的最大值．
参考答案
1.
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15.
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17.解：因为圆：，
所以圆心，
又定点，
所以；
以为圆心，为半径的圆的方程为：，
因为与圆有两个不同公共点，
所以，
即，
即，
因为，所以，恒成立，
所以，
即，
所以的取值范围是．
18.解：，
．
名中国果切消费者中年龄不小于岁的人数为：
．
(ⅱ)由，，可得，
所以，解得，
所以这名中国果切消费者年龄的中位数为．
19.解：时，直线的方程为：，
由双曲线：可得，，所以，
所以左焦点，
所以到直线的距离；
设，，，
联立，整理可得：，
，可得，
可得，，可得，
所以，
双曲线的渐近线方程为，即渐近线的方程为，
设，，
联立直线与双曲线的渐近线方程，，可得，
同理可得，
可得，
所以的中点横坐标为，
所以线段的中点也是的中点，
所以，为线段的两个三等分点，即，
所以，
解得，符合，
所以存在，使得、是线段的两个三等分点．
20.解：可求出是首项为，公比为的等比数列，通项公式为．
因为中存在，即，所以存在，所以具有性质，
因为对任意正整数成立，所以，
令，易求，所以；
从、、、这四个数中任选两个，共有以下种情况：
，；，；，；，；，；，．
对于， 因为为正整数，可以认为是等比数列中的项，，首项的最小值为．
下面说明此数列具有性质：
，，任取，，，则，
为正整数，因此此数列具有性质；
对于，因为为正整数，认为是等比数列中的项，，
首项的最小值为，下面说明此数列不具有性质：
，，若不为等比数列中的项，因此此数列不具有性质，
同理可得，；，；，；，每组所在等比数列不具有“性质．
21.解：因为，，所以，
由可得，解得，
因为离心率为，则，又，则，
所以椭圆的方程为：；
由题可知：点在椭圆内，直线与椭圆必相交，
且直线的斜率可以不存在，但不为，
设直线的方程为，设点，，
联立方程，消去可得，
则，
由根与系数的关系可得：，则，
所以
，
即，所以；
由可知：，
所以
，
因为，则，
因为函数在上单调递增，
故，
所以，当且仅当时，等号成立，
因此，的最大值为．
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