2023-2024学年江苏省徐州市多校联考高一（下）期中数学试卷（含答案）

2023-2024学年江苏省徐州市多校联考高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知，若，则向量与向量的夹角为( )
A. B. C. D.
3.在中，三个内角，，所对的边分别为，，，设向量，若，则角的大小为( )
A. B. C. D.
4.如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则( )
A. B. C. D.
5.函数在区间内的零点个数为( )
A. B. C. D.
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.在中，若，则的形状为( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
8.如图，已知正方形的边长为，若动点在以为直径的半圆上正方形内部，含边界，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于平面向量的说法中正确的是( )
A. 已知为点，，所在直线外一点，且，则．
B. 已知非零向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
C. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为
D. 若点为中线的交点，则
10.已知，则( )
A. ，使得
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，，则的最大值为
11.中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是( )
A.
B. 若，则只有一解
C. 若为锐角三角形，则取值范围是
D. 若为边上的中点，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ______．
13.圣索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美为了估算圣索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点三点共线处测得建筑物顶、教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣索菲亚教堂的高度约为______．
14.中，角，，对边分别为，，，点是所在平面内的动点，满足射线与边交于点若，，则角的值为______，面积的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图所示，在平行四边形中，已知，，求的模；
若，，求的值．
16.本小题分
已知向量，，且函数．
若，且，求的值；
若将函数的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得图像向左平移个单位，得到的图像，求函数单调增区间．
17.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
求的最大值．
18.本小题分
在直角梯形中，已知，，，，，动点，分别在线段和上，线段和相交于点，且，，．
当时，求的值；
当时，求的值；
求的取值范围．
19.本小题分
定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点．
若向量的“伴随函数”为，求在的值域；
若函数的“源向量”为，且以为圆心、为半径的圆内切于正顶点恰好在轴的正半轴上，求证：为定值；
在中，角、、的对边分别为、、，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围．
参考答案
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14.
15.解：根据题意可得
，
的模为；
，，
．
16.解：因为，，且函数，
所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以；
函数的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，得，
再将所得图像向左平移个单位，得；
令，，解得，
所以函数的单调增区间为，．
17.解：由及正弦定理得，，
因为，
所以，
即，
因为，所以，
所以，
又，所以．
由正弦定理知，，
所以
，其中，
所以当时，的最大值为．
18.解：在直角梯形中，易得，
，，
为等腰直角三角形，，
故；
，
当 时，，
设，则，
，
不共线，，
即；
，
，
，
由题意知，，
当时，取到最小值，
当时，取到最大值，
的取值范围是．
19.解：由题意可知，函数的“源向量”为，
伴随函数，
，，
则当时，，当时，，
函数的值域为；
证明：
的源向量为，
圆内切于正，，
又，
；
解：函数的“源向量”为，，
则，
则，
又，即，
，
，即，当且仅当时取等号，
又当顶点无限接近顶点时，边无限接近，即无限接近，
，令，则，
从而，其中，
即的取值范围．
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