广东省深圳中学2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（A卷）（PDF版，含答案）

广东省深圳中学 2024-2025 学年高一上学期期中数学试卷（A 卷）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { 2,1}， = { | 1 ≤ ≤ 2}，则 ∩ =( )
A. { | 1 ≤ ≤ 1} B. {1} C. { 1,1} D. { 2,1}
2.已知命题 ： ∈ ，| + 1| > 1，命题 ： > 0， 3 = ，则( )
A. 是真命题， 是假命题 B. 是假命题， 是真命题
C. 和 都是真命题 D. 和 都是假命题
3.函数 ( ) = 5 + 3 的零点所在的区间为( )
A. (1,2) B. (2,3) C. (3,4) D. (4,5)
√ 2
4.函数 ( ) = 的定义域为( )
5
A. ( ∞, 2] B. ( ∞, 5) ∪ (5, +∞)
C. [2, +∞) D. [2,5) ∪ (5, +∞)
5.若不等式 2 2
1
+ + 1 > 0的解集{ | < < }，则 ， 值是( )
2
A. 1，1 B. 1， 1 C. 1，1 D. 1， 1
1 1
6.已知 > 0， > 0，4 + = 3，则 + 的最小值为( )

A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
7.已知 ( )是定义在 上的奇函数，且 ( )在[0,+∞)上单调递减，设 = 0.32， = log20.3， = 2
0.3，则( )
A. ( ) < ( ) < ( ) B. ( ) < ( ) < ( )
C. ( ) < ( ) < ( ) D. ( ) < ( ) < ( )
8.已知函数 ( ) = 2 2 2(4 ) + 1， ( ) = ，若对于任一实数 ， ( )与 ( )至少有一个为正数，
则实数 的取值范围是( )
A. (0,2) B. (0,8) C. (2,8) D. ( ∞, 0)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面命题正确的是( )
1
A. “ > 1”是“ < 1”的充分不必要条件

3
B. 函数 ( ) = + 在(0, +∞)上的最小值是3

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4
C. 幂函数 ( ) = 3在(0,+∞)上单调递增
D. 若 > 0 > ，则 < 2
10.已知函数 ( )是定义在 上的奇函数，且满足下列条件：
①对任意的实数 > 0， > 0，都有 ( + ) = ( ) + ( )；
②对任意的实数 > 0，都有 ( ) > 0；
③ (1) = 1．
则下列说法正确的有( )
A. (0) = 0 B. (2) = 2
C. (| |) + | ( )|是奇函数 D. 函数 ( )在(0, +∞)上单调递增
2 3, ≤
11.已知 > 1，函数 ( ) = { ，下列结论正确的是( )
, >
A. ∈ ( , +∞)， ( ) < 1
B. 当 = 2时，函数 = ( ) 有2个零点
C. 若 ( )在(0, +∞)上单调递增，则 的取值范围是(1,2]
D. 若 ( )的图象上不存在关于原点对称的点，则 的取值范围是[√ 2, √ 3)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2
12.计算： 2 + 0.1253 + 39 = ______． √
1 2
13.函数 = ( ) 2 +1的单调递增区间是______．
3
14.已知 ， ∈ 且2 2 + 2 2 = 1 + ，则 2 + 2的最大值为______，最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合 = { | 2 3 4 < 0}， = { |2 ≤ ≤ 3 6}．
(1)若 = 4，求( ) ∩ ；
(2)若 ∩ = ，求实数 的取值范围．
16.(本小题15分)
已知 ( ) = log + log (4 )( > 0且 ≠ 1)，且 (2) = 2．
(1)求 的值及 ( )的定义域；
7
(2)求 ( )在[1, ]上的值域．
2
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17.(本小题15分)
已知函数 ( ) = | + 3| | 1|．
(1)用分段函数的形式表示该函数；
(2)在平面直角坐标系中直接画出函数 = ( )的图象；
(3)若函数 = ( )在区间[ 1, 2]( ∈ )上单调递增，求 的取值范围．
18.(本小题17分)
已知 ， ， 都是实数， ( ) = 2 + + 是定义在 上的函数．
(1)若 = = 1且 < 2，记 ( )在区间[1,2]上的最小值为 ( )，求 ( )的解析式；
(2)若 = 1， = 4，函数 = ( )在区间(1, +∞)上恰有两个零点，求 的取值范围；
(3)证明：当 > 0时，对任意 ， ， 的取值，{ ∈ | ( ( )) = ( )}不可能恰有一个元素．
19.(本小题17分)
函数 = ( )的定义域为 ，若存在正实数 ，对任意的 ∈ ，总有| ( ) ( )| ≤ ，则称函数 ( )具
有性质 ( )．
(1)分别判断函数 ( ) = 2024与 ( ) = 是否具有性质 (1)，并说明理由；
(2)已知 = ( )为二次函数，且具有性质 (2).求证： = ( )是偶函数；
(3)已知 > 1， 为给定的正实数，若函数 ( ) = log (4 2 + ) 具有性质 ( )，求 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
19
12.【答案】
4
13.【答案】( 1, +∞)
2 2
14.【答案】
3 5
15.【答案】解：(1)由 = { | 1 < < 4}，得 = { | ≤ 1或 ≥ 4}，
由 = 4，得 = { | 2 ≤ ≤ 6}，
所以( ) ∩ = { | 2 ≤ ≤ 1或4 ≤ ≤ 6}；
(2)由 ∩ = ，得 ，
①当2 > 3 6，即 < 2时， = ，满足 ，符合题意，
2 > 1
②当2 ≤ 3 6，即 ≥ 2时，若满足 ，则有{ ，
3 6 < 4
解得2 ≤ < 3，
综上所述，实数 的取值范围为{ | < 3}．
16.【答案】解：(1)由题意得0 < < 4，
故函数的定义为(0,4)，
因为 (2) = log 2 + log 2 = 2，
所以 = 2；
(2) ( ) = log2 (4 )，
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7
令 = (4 )，当1 ≤ ≤ 时，
2
7 7
根据二次函数的性质可知， = 2时，函数 取得最大值4，当 = 时， 取得最小值 ，
2 4
7 7
故 ( )在[1, ]上的值域为[log
2 2
, 2]．
4
4, ≥ 1
17.【答案】解：(1) ( ) = | + 3| | 1| = {2 + 2, 3 < < 1；
4, ≤ 3
(2)由(1)可得， ( )的图象如图所示：
(3)要使函数 = ( )在区间[ 1, 2]( ∈ )上单调递增，
3 ≤ 1
由(2)可得满足：{ 1 < 2 ，解得 2 ≤ ≤ 1．
2 ≤ 1
即 的范围为[ 2,1]．

18.【答案】解：(1) ( )对称轴为直线 = > 1，
2

当 < 2，也即 4 < < 2时， ( )在区间[1, ]上单调递减，在[ , 2]上单调递增，
2 2 2
1
因此 ( )在 = 处取得最小值，故 ( ) = ( ) = 1 2；
2 2 4

当 ≥ 2，也即 ≤ 4时， ( )在区间[1,2]上单调递减，因此 ( )在 = 2处取得最小值，
2
故 ( ) = (2) = 2 + 5．
1
1 2 , 4 ≤ < 2
综上， ( ) = { 4 ．
5 + 2 , < 4
= 2 16 > 0

(2)由题意得{ > 1 ，解得 5 < < 4．
2
(1) = + 5 > 0
(3)证明：为求 ( ( )) = ( )的解，先解 ( ) = ，再解 = ( )即可．
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2
4
( )的值域为[ , +∞)．
4
2
4
当 = 时， ( ) = 恰有一解；
4
2
4
当 > 时， ( ) = 恰有两个解．
4
为保证{ ∈ | ( ( )) = ( )}恰有一个元素， ( ) = 必须有解，
其判别式 = ( 1)2 4 ≥ 0．
2
4
①若 > 0，则 = ( ) ≥ ， = 1，2，不妨 4 2
> 1，那么 ( ) = 2恰有两解．
2
4
当 1 = 时， ( ) = 1恰有一解，又因为 ( ) = 2恰有两解， 4
所以{ ∈ | ( ( )) = ( )}恰有三个元素；
2
4
当 1 > 时， ( ) = 1恰有两解，又因为 ( ) = 2恰有两解， 4
{ ∈ | ( ( )) = ( )}恰有四个元素．
2
1 4
②若 = 0，即( 1)2 = 4 ，则唯一实根 = = ( ) ≥ ，
2 4
2
1 4
为保证 ( ( ) = ( )恰有一解，需要 = ，此即4 = ( 1)2 + 1，矛盾．
2 4
综上，{ ∈ | ( ( )) = ( )}不可能恰有一个元素．
19.【答案】解：(1)对任意 ∈ ，得| ( ) ( )| = |2024 2024| = 0 < 1，
所以 ( )具有性质 (1)；
对任意 ∈ ，得| ( ) ( )| = ( )| = |2 |，
易得只需取 = 1，则| (1) ( 1)| = 2 > 1，所以 ( )不具有性质 (1)；
(2)证明：设二次函数 ( ) = 2 + + ( ≠ 0)满足性质 (2)，
则对任意 ∈ ，满足 ( ) ( )| = | 2 + + ( 2 + )| = |2 | ≤ 2，
2
若 ≠ 0，取 0 = > 0, | ( | | 0
) ( 0)| = |2 0| = 4 > 2，矛盾，
所以 = 0，此时 ( ) = 2 + ( ≠ 0)，即 = ( )为偶函数；
(3)由于 > 1，函数 ( ) = (4 2 + ) 的定义域为 ，
易得 ( ) = 2(4
+ ) = 2(2
+ 2 )，
若函数 ( )具有性质 ( )，则对于任意实数 ，有| ( ) ( )| = | 2(2
+ 2 ) (2 2 + 2
)|
2 + 2
= |log2 | ≤ ， 2 + 2
2 + 2 4 +
所以 ≤ 2 ≤ ，即 ≤ 2 + 2 2 ≤ ， 1+ 4
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4 +
由于函数 = log2 在(0, +∞)上严格增，得2
≤ ≤ 2 ， 1+ 4
1
1

即2 ≤ + ≤ 2 ，
1+ 4
1 1
当 > 1时，易得 > 0，由1 + 4 > 1，得0 < < 1，
1+ 4
1 1
1 1 1
得0 < < ，得 < +
< ，
1+ 4 1+ 4
1

由题意得2
1
≤ + ≤ 2 对任意实数 恒成立，
1+ 43
1
{ ≥ 2
,
所以 ，即1 < ≤ 2 ，
≤ 2 .
故 的取值范围为(1, 2 ].
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