湖南省长沙市双城第二中学2024-2025学年高一上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

湖南省长沙市双城第二中学 2024-2025 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 + | | , ≤ 1
1.已知函数 ( ) = { ，方程 ( ) 1 = 0有两解，则 的取值范围是( )
( + 1)2 +2 , > 1
1 1
A. ( , 1) B. (0, ) C. (0,1) D. (1,+∞)
2 2
2.已知函数 ( ) = 2 3，则不等式 (3 2) > (2 5)的解集为( )
A. ( 4,2) B. ( ∞,2)
C. ( ∞, 2) ∪ (2,+∞) D. ( ∞, 4) ∪ (2,+∞)
3.已知函数 ( ) = + ，其中 ∈ ， ∈ ，如果对任意 ∈ ，都有 ( ) ≠ 2，那么在下列不等
式中一定成立的是( )
A. 4 < + < 4 B. 4 < < 4 C. 2 + 2 < 2 D. 2 + 2 < 4
4.已知角 的顶点在坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ( , √ )( > 0)，则( )
A. 2 > 0 B. 2 < 0 C. 2 > 0 D. 2 < 0
5.下列函数是奇函数且在区间(0,1)上是增函数的是( )
1
A. = B. = 3 C. = 2 D. =

6.已知集合 = { 1,1,2,3,4,5}， = { ∈ |( 1)( 5) < 0}，则 =( )
A. {3} B. {2,3} C. {2,3,5} D. { 1,1,5}
1
7.已知锐角 满足√ 3sin cos = 1.若要得到函数 ( ) = 2( + )的图象，则可以将函数 =
2
1
sin2 的图象( )．
2
7
A. 向左平移 个单位长度 B. 向左平移 个单位长度
12 12
7
C. 向右平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度
12 12
8.“ < 1”是“ 2 4 + 3 > 0”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
二、多选题：本题共 4 小题，共 24 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
1
9.已知 ( )是定义在 上不恒为0的函数， ( 1)的图象关于直线 = 1对称，且函数 = 的图象的对称
2
中心也是 ( )图象的一个对称中心，则( )
第 1 页，共 9 页
A. 点( 2,0)是 ( )的图象的一个对称中心
B. ( )为周期函数，且4是 ( )的一个周期
C. (4 )为偶函数
D. (31) + (35) = 2

10.已知定义在 上的函数 ( )满足：对 ， ∈ ， ( + ) + ( ) = 2 ( ) ( )，且 (0) = 1, ( ) =
2
1，则以下结论正确的为( )

A. ( ) = 0 B. ( ) = 0 C. ( ) = ( ) D. ( + ) = ( )
4

11.已知函数 ( ) = √ 3cos2 sin cos ，则( )
2 2 2
A. 函数 ( )的最小正周期为4
2 √ 3
B. 点( , )是函数 ( )图象的一个对称中心
3 2
5
C. 将函数 ( )图象向左平移 个单位长度，所得到的函数图象关于 轴对称
6

D. 函数 ( )在区间( , 0)上单调递减
6
12.下列说法正确的是( )
1 1
A. “ > ”是“ < ”的充分不必要条件

B. ∩ = 是 = 的必要不充分条件
C. 若 ， ， ∈ ，则“ 2 > 2”的充要条件是“ > ”
D. 若 ， ∈ ，则“ 2 + 2 ≠ 0”是“| | + | | ≠ 0”的充要条件
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
13.已知 √ 2 = √ 3，则 =______．
3
14.角 的终边经过点 (4, )，且 = ，则 =______．
5
15.已知 ( )是定义在 ，且满足 ( + 2) = ( 2)，当 ∈ [0,4)时， ( ) = | 2 4 + 3|，若函数 =
( ) 在区间[ 4,6]上有10个不同零点，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 6 小题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2

5( + 2 + 1)的定义域为 ， ( ) = ．
2+1
4
第 2 页，共 9 页
3
(1)若 = ，求函数 ( )的值域；
4
(2)若 = ( , )，且[ ( ) ( )]2 ≤ 10，求实数 的取值范围．
17.(本小题12分)
5
∫如图为函数 ( ) = 2 ( + )( > 0, | | < )的部分图象，且| | = ， ( , 2)．
2 4 12
(1)求 ， 的值；
3
(2)将 ( )的图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变)，再向右平移 个单位长度，得到函数
4

( )的图象，讨论函数 = ( ) 在区间[ , ]的零点个数．
2
18.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2 (√ 3 ) + 1， ∈ ．
(1)求曲线 ： = ( )的对称中心；

(2)在锐角三角形 中， ， ， 分别是内角 、 、 的对边，且 ( ) = 2.若 + ≤ 恒成立，求实数 的
2
最小值．
19.(本小题12分)
请解答以下问题，要求解决两个问题的方法不同．
(1)如图1，要在一个半径为1米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形 ，如何截取？并求出这个最
大矩形的面积．
(2)如图2，要在一个长半轴为2米，短半轴为1米的半个椭圆形铁板中截取一块面积最大的矩形 ，如何
第 3 页，共 9 页
截取？并求出这个最大矩形的面积．
20.(本小题12分)
某地自2014年至2019年每年年初统计所得的人口数量如表所示：
年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019
人数/千人 2082 2135 2203 2276 2339 2385
(1)根据表中的数据计算2014年至2018年每年该地人口的增长数量，并描述该地人口数量的变化趋势；
450
(2)研究人员用函数 ( ) = 2000+ 0.6554 拟合该地的人口数量，其中 的单位是年，2014年初对应4.4878 +1
时刻 = 0， ( ) )的单位是干人，设 ( )的反函数为 ( )，求 (2400)的值(精确到0.1)，并解释其实际意
义．
21.(本小题12分)
在△ 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 ， ， 成等差数列．
3
(1)若 = ， = √ 3，求 + 的值；
2
(2)求2 的取值范围．
第 4 页，共 9 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
√ 2
13.【答案】
2
3
14.【答案】
4
15.【答案】(0,1)
3 3
16.【答案】解：(1)当 = 时， ( ) = 5( 2 + +1)，
4 2
4
3 1 1
由 2 + + 1 = ( + 2)( + ) > 0，解得 < < 2，
2 2 2
1
即函数 ( )的定义域为( , 2)，
2
3 25
令 = 2 + + 1，则 ∈ (0, ],
2 16
从而 ( )的值域为( ∞,2]．
(2)由于 = ( , )，且 = 4 2 + 4 > 0，
所以方程 2 + 2 + 1 = 0的两根分别为 ， ，且 + = 2 ， = 1，

又[ ( ) ( )]2 ≤ 10，即( 2
2
+1 2
) ≤ 10，
+1
将 + = 2 ， = 1代入整理得：
1 1 2
3
2 +
3 2 + 3 + 2 1 ( ) 1( ) = × [ ] = × [ ]2 = ( )2 ≤ 10，
4 2+1 2+1 4 ( 2+1)( 2+1) 4 2( ) 4
从而( + )2 4 ≤ 40，
第 5 页，共 9 页
所以 2 9 ≤ 0，解得 3 ≤ ≤ 3，
即实数 的取值范围为[ 3,3]．
2
17.【答案】解：(1)根据题意得， = ，故 = ， = = 2，故 ( ) = 2 (2 + )．
4 4
5 5
将 ( , 2)代入，得2 × ( ) + = + 2 ( ∈ )，解得 = +2 ( ∈ )
12 12 6
，

又| | < ，故 = 2 6．
(2) 2 3 2 2 依题意， ( ) = 2 [ ( ) ] = 2 ( )．
3 4 6 3 3

函数 = ( ) 在区间[ , ]的零点个数即为函数 ( )的图象与直线 = 在[ , ]2 2 上的交点个数．
2 2 4
当 ∈ [ , ]2 时， ∈ [ , ]，结合余弦函数图象可知， 3 3 3 3

当 ∈ [ , ]时， ( )单调递减，当 ∈ ( , ]时， ( )2 2 2 单调递增，

且 ( ) = 1， ( ) = 1， ( ) = 22 2 ，

作出函数 ( )在[ , ]2 上的大致图象如图所示．
观察可知，当 = 2或 1 < ≤ 1时， = ( ) 有1个零点；
当 2 < ≤ 1时， = ( ) 有2个零点；
当 < 2或 > 1时， = ( ) 有0个零点．

18.【答案】解：(1)由题意，得 ( ) = 2√ 3 2 2 + 1 = √ 3 2 + 2 = 2 (2 + )．
6

令2 + = ， ∈ ，得 = + ， ∈ ，
6 12 2

∴曲线 = ( )的对称中心为( + , 0)， ∈ ．
12 2

(2) ( ) = 2 ( + ) = 2，即sin( + ) = 1．
2 6 6
∵ 是锐角三角形 的内角，

∴ + = ，
6 2
第 6 页，共 9 页

∴ = ．
3
+ + 2√ 3 2√ 3 2√ 3 3 √ 3
由正弦定理得 = = ( + ) = [sin( + )+ ] = × ( + ) =
3 3 3 2 2

2 ( + )．
6

0 < <
在锐角三角形 中，{ 22 ，
0 < <
3 2

解得 ∈ ( , )，
6 2
2
∴ + ∈ ( , )，
6 3 3
√ 3
∴ sin( + ) ∈ ( , 1]．
6 2
+
即√ 3 < ≤ 2，

∴ ≥ 2，即实数 的最小值为2．

19.【答案】解：(1)设∠ = ，(0 < < )；
2
∴ = ， = ；
∵ = 2 ，
∴ ═2 = 2 ；
√ 2
∴当 = 时，即 = 时，矩形面积最大为1；
4 2
2
(2)依题意可得：椭圆方程为： + 2 = 1, ( ≥ 0)；
4
设：点 坐标为( , )即： = ， = ；
∴ = 2 = 2 ；
∵点 为椭圆上的点；
2
∴ + 2 = 1；
4
2 2
∵ + 2 ≥ 2√

2 = ；
4 4
1
∴ ≤ 1，当且仅当 = = 时取等号；
2 2
∴ ≤ 2；
即矩形面积最大为2；当 = √ 2时取等号；
第 7 页，共 9 页
20.【答案】解：(1)2014年至2019年每年该地人口的增长数量为2385 2082 = 303千人，
3135 2082 = 53，2203 2135 = 68，2276 2203= 73，2339 2276 = 63，2385 2339 = 46，
由上述数据可得从2014年到2019年每年人口增长数量呈先增加后减少的变化趋势，每一年人口总数呈逐渐
递增的变化趋势，
450
(2)由 ( ) = 2000+
4.4878 0.6554
，
+1
∵ ( )的反函数为 ( )，
450
∴ 2400 = 2000+
4.4878 0.6654
，
+1
∴ 4.4878 0.6554
450
+1 = ，
400
∴ 4.4878 0.6554
1
= ，
8
两边取对数可得 4.4878 0.6554 = 8，
4.4878+ 8 35.9024
∴ = = ≈ 5.5，
0.6554 0.6554
∴ (2400) = 5.5．
其实际意义为：可根据数学模型预测人口数量增长规律，及提供有效数据，即经过半年时间，该地人口数
量人数即增长到2400千人．
21.【答案】解：(1) ∵ , , 成等差数列，

∴ = ，
3
∵
３
· = ，
２
3
∴ ( ) = ，
2
1 3 1
∴ = , ，即 = 3．
2 2 2
∵ = √ 3, 2 = 2 + 2 2 ，
∴ 2 + 2 = 3，即( + )2 3 = 3，
∴ ( + )2 = 12，所以 + = 2√ 3;
2 √ 3 1
(2)2 = 2 ( ) = 2( + ) = √ 3 ，
3 2 2
2
∵ 0 < < ，
3
第 8 页，共 9 页
√ 3
∴ √ 3 ∈ ( ,√ 3)，
2
√ 3
∴ 2 的取值范围是( , √ 3)．
2
第 9 页，共 9 页