辽宁省沈阳市2024-2025学年高一（上）期末数学试题（PDF版，含答案）

辽宁省沈阳市 2024-2025 学年高一（上）期末数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { ∈ |0 ≤ 2 ≤ 16}， = { |0 ≤ ≤ 17}，则 ∩ =( )
A. { |0 ≤ ≤ 16} B. {1,2,3,4} C. { |0 ≤ ≤ 4} D. {0,1,2,3,4}
2.函数 ( ) = √ 4 + lg( 2)的定义域为( )
A. { | ≥ 4} B. { | < 2} C. { |2 ≤ ≤ 4} D. { |2 < ≤ 4}
3. 1 ， 2 是平面内不共线两向量，已知 = 1 2 ， = 3 1 + 4 2 ， = 4 1 + 2 ，若 ， ， 三点
共线，则 的值为( )
A. 3 B. 3 C. 2 D. 2
4.命题 : ∈ [ 1,1]， 2 < 为真命题的一个充分不必要条件是( )
A. > 1 B. < 0 C. > 2 D. < 1
5.已知幂函数 ( ) = (3 2 4 3) 2 +1是定义域上的增函数，则 =( )
2 2 2
A. 或2 B. C. 2 D.
3 3 3
6.设 = log23， = ln ， = 2
，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <

7.已知强度为 的声音对应的等级为 ( ) 时，有 ( ) = 10lg 12，喷气式飞机起飞时，声音约为140 ;1×10
一般说话时，声音约为60 .计算喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的( )倍．
A. 107 B. 108 C. 109 D. 1010
|log ( )|, < 0
8.已知函数 ( ) = { 22 ，若 ， ， ， 是方程 ( ) = 的四个互不相等的解，则 + + 4 + 2, 0 1 2 3 4 1 2
3 + 4的取值范围是( )
1 1 7 7
A. [ , 2) B. ( , 2) C. [ , 4) D. ( , 4)
4 4 4 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下命题正确的选项是( )
+
A. 若 > ， < ，则 > B. 若 > ， > 0，则 >
+
C. 若 3 > 3，则 > D. 若 > ，则| | >
10.设 ， 为两个随机事件，以下命题正确的是( )
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A. 若 与 对立，则 ( ) = 1
2 1 5
B. 若 与 互斥， ( ) = ， ( ) = ，则 ( + ) =
3 2 6
C. 数据1，1.3，2，3，3.8，4.5，6.3，7.8，8.6，10的80%分位数是7.8
2 2 1
D. 若 与 相互独立， ( ) = ， ( ) = ， ( ) =
3 3 9
11.已知函数 ( )， ( )的定义域均为 ，且 ( ) + (2 ) = 5， ( ) ( 4) = 7.若 = ( )的图象关
于直线 = 2对称， (4) = 2，下列说法正确的是( )
A. (2 + ) = (2 ) B. = ( )图像关于点(3,6)对称
C. (0) = 5 D. (1) + (2) + + (26) = 28
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.命题“ ≥ 1， 2 3 ≥ 1”的否定是 ．
13.不等式(| 2| 1)( 2 + + ) ≥ 0对 ∈ 恒成立，则 + = ．
14.已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是4，4，6，4，8，11，若这组数据的平均数与众
数的和是中位数的2倍，则丢失数据的所有可能值构成的集合为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知集合 = { | 2 < ≤ 6}， = { | 2 2 + 2 1 < 0}
(1)若 = 5，求集合 ∩ ;
(2)已知 : ∈ ， : ∈ ，是否存在实数 ，使 是 的必要不充分条件，若存在实数 ，求出 的取值范
围;若不存在，请说明理由．
16.(本小题12分)
如图所示，在△ 中， 为 边上一点，且 = 2 ，若 ， ， 三点共线，且 = ， = ( >
0, > 0)．
(1)用 ， 表示 ;
(2)求2 + 的最小值．
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17.(本小题12分)
某医疗单位为了迎接医师节，针对本单位不同年龄的员工举办了一次实践技能大比拼活动，满分100分(95分
及以上为优秀医师)，共有100人荣获“优秀医师”称号，将其按年龄分成以下五组：第一组[20,30)，第二
组[30,40)，第三组[40,50)，第四组[50,60)，第五组[60,70)，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，估计这些人的平均年龄 ;
(2)若从第三组，第四组，第五组三组中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人年龄在不同
组的概率;
(3)若第四组的年龄的平均数与方差分别为54和1，第五组的年龄的平均数与方差分别为66和4，据此计算这
100人中第四组与第五组所有人的年龄的方差．
1
附： 2 = { [ 21 + (
2
1 ) ] + [
2
2 + (
2
+ 2
) ]}
18.(本小题12分)
已知函数 ( ) = ln(1 + ) + ln(1 )为奇函数．
(1)求实数 的值;
(2)设函数 ( ) = (1 + ) (1 )，判断函数 ( )在区间( 1,1)上的单调性，并给出证明;
(3)设函数 ( ) = ( ) + ，求证：函数 ( )在区间( 1,1)上有且只有一个零点．
19.(本小题12分)
定义一种新的运算 ”: ， ∈ ，都有 = ln( + ).
(1)对于任意实数 ， ， ，试判断( ) 与( ) ( )的大小关系;
(2)若关于 的不等式( 1)2 > [( 2 2) ( 2 2)] ln2的解集中的整数恰有2个，求实数 的取值范围;
(3)已知函数 ( ) = ln( + 4 √ 2 + 3)， ( ) = (1 ) ( )，若对任意的 1 ∈ ，总存在 2 ∈
3
[ , +∞)，使得 ( 1) = ln|3 2| + ( 2 2)，求实数 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 ≥ 1， 2 3 < 1
13.【答案】 1
14.【答案】{ 9,5,19}
15.【答案】解：(1)由 = 5及 2 2 + 2 1 < 0，得 2 10 + 24 < 0，解得4 < < 6，
所以 = { |4 < < 6}，
又 = { | 2 < ≤ 6}，
所以 ∩ = { |4 < < 6}；
(2)由 2 2 + 2 1 < 0，得[ ( 1)][ ( + 1)] < 0，
所以 1 < < + 1，所以 = { | 1 < < + 1}．
由 是 的必要不充分条件，得集合 是集合 的真子集，
1 ≥ 2
所所以{ ，得 1 ≤ ≤ 5，
+ 1 ≤ 6
所以 的取值范围为[ 1,5]
16.【答案】解：(1)在△ 中，由 = + ，又 = 2 ，所以
2
= ，
3
所以
2 2 2 2 1 2
= + = + = + ( ) = + = + ，
3 3 3 3 3 3
故
1
=
2
+ ；
3 3
(2)因为
1
=
2
+ ，
3 3
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又因为 = ， = ( > 0, > 0)，
所以
1
= ，
1
=
1 2
，所以 = + ，
3 3
1 2 1 2
又 ， ， 三点共线，所以有 + = 1，即 + = 3，
3 3
1 1 2 1 4 1 4 8 4
所以2 + = (2 + ) ( + ) = ( + + 4) ≥ (2√ · + 4) = (当且仅当 = ，即2 = 时取等
3 3 3 3
号)，
8
故2 + 的最小值为 ．
3
17.【答案】解：(1)这些人的平均年龄估计为 = 25 × 0.05 + 35 × 0.35 + 45 × 0.3 + 55 × 0.2 + 65 × 0.1 =
44.5(岁)．
(2)第三组，第四组，第五组的频率分别为0.3，0.2，0.1，
若从这三组中分层抽取6人，则从第三组抽取3人，记为 1， 2， 3;第四组抽取2人，记为 1， 2;第五组抽
取1人，记为 ;
对应的样本空间 = {( 1, 2)，( 1, 3)，( 1, 1)，( 1, 2)，( 1, )，( 2, 3)，( 2, 1)，( 2, 2)，( 2, )，( 3, 1)，
( 3, 2)，( 3, )，( 1, 2)，( 1, )，( 2, )}，
所以 ( ) = 15
设事件 为“从6人中随机抽取两人，所抽取的2人年龄在不同组”，
则 = {( 1, 1)，( 1, 2)，( 1, )，( 2, 1)，( 2, 2)，( 2, )，( 3, 1)，( 3, 2)，( 3, )，( 1, )，( 2, )}，
所以 ( ) = 11，
( ) 11
所以 ( ) = = ．
( ) 15
(3)设第四组、第五组的年龄的平均数分别为 1， 2，方差分别为
2
1，
2
2，
则 2 21 = 54， 2 = 66， 1 = 1， 2 = 4，
由第四组有20人，第五组有10人，
设第四组和第五组所有人的年龄平均数为 ，方差为 2，
20 1+10 2 20×54+10×66则 = = = 58，
30 30
1
2 = {20 × [ 21 + ( 1 )
2] + 10 × [ 2 + ( 2
30 2 2
) ]}
1
= {20 × [1 + (54 58)2] + 10 × [4 + (66 58)2]} = 34，
30
所以这100人中第四组与第五组所有人的年龄的方差为34．
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18.【答案】解：(1)因为 ( ) + ( ) = 0，所以 ln(1 + ) + ln(1 ) + ln(1 ) + ln(1 + ) = 0，
故 ln(1 2) + ln(1 2) = 0，即( + 1)ln(1 2) = 0，所以 = 1；
1 2
(2)当 = 1时， ( ) = = 1 + ，所以 ( )在( 1,1)上单调递减．
1+ 1+
证明如下：任取 1， 2 ∈ ( 1,1)，且 1 < 2，
2 2 2( )
( 1) ( 2) = ( 1 + ) ( 1 + ) =
2 1 > 0，
1+ 1 1+ 2 (1+ 1)(1+ 2)
所以 ( 1) > ( 2)，所以 ( )在区间( 1,1)上的单调递减．
(3)由(1)，(2)问可知， = 1时，函数 ( )是奇函数，且在( 1,1)上单调递减故 ( )在( 1,1)上单调递减，
1
又 (0) = 1 < 0， ( ) = ln3 1 > 0，所以存在唯一 0 ∈ ( 1,1)，使 ( 0) = 0， 2
所以 ( )在区间( 1,1)上有且只有一个零点．
19.【答案】解：(1) ∵ , ∈ ， = ln ( + )，
∴ ( ) = ln ( + ) ，
( ) ( ) = ln ( + ) = ln [ ( + )]
= ln ( + ) ，
∴ ( ) = ( ) ( )；
(2) ∵ ( 2 2 2 2
2 2 2 2 ) ( ) = ln ( + )
2 2
= ln (2 × ) = 2 2 + ln 2，
∴原不等式可化为：( 1)2 > 2 2，即(1 2) 2 2 + 1 > 0，
不等式( 1)2 > [( 2 2) ( 2 2)] ln2的解集中的整数恰有2个，
为满足题意，必有1 2 < 0，即 < 1或 > 1①；
1
令 ( ) = (1 2) 2 2 + 1，则对称轴为 = < 0，
1 2
由于 (0) = 1 > 0， (1) = 2，结合①可得 (1) < 0，
∴ ( )的一个零点在区间(0,1)，则另一个零点在区间[ 2, 1),
( 2) ≤ 0 (1 2) × ( 2)2 2 × ( 2) + 1 ≤ 0
从而{ ，即{ ②,
( 1) > 0 (1 2) × ( 1)2 2 × ( 1) + 1 > 0
3 3
由①②可得： 2 < ≤ 或 ≤ < 2，
2 2
3 3
综上可得实数 的取值范围为( 2, ] ∪ [ , 2)．
2 2
(3)因为 ( ) = ln( + 4 √ 2 + 3)，

( ) = (1 ) ( ) = ln( + ) ( ) = ln [ ln ( + ) + ] = ln( + + )，
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3
设 = + 4 √ 2 + 3， ∈ [ ,+∞),
2
1
令√ 2 + 3 = ， ∈ [0,+∞)，则 = ( 2 3)，
2
1
∴ = ( 2 3) + 4
2
1
= ( 1)2 + 2 2，
2
∴ ( ) ln 2，
所以 = ln|3 2| + ( )的值域为 = [ln|3 2| + ln2,+∞)，∵ + + ≥ 2√ + = + 2，
当且仅当 = 0时取等号，∴ ( ) ≥ ln( + 2)，
所以 ( )的值域为 = [ln( + 2),+∞)，
根据题意可知： ，ln|3 2| + ln2 ≤ ln( + 2)，
+2
即0 < |3 2| ≤ ，
2
1 2
解得 + ≤ ≤ + 1且 ≠ ，
6 3 6 3
1 2 2
所以实数 的取值范围[ + , ) ∪ ( , + 1]
6 3 3 3 6
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