宣城中学2023-2024学年度高一上学期期末数学测试
考试时间：120分钟 满分：150分
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，，则
3.函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
4.设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.设，则的值为( )
A. B. C. D.
7.若函数有两个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.函数，，若对任意，存在，使得成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是( )
A. 设全集为，若，则
B. 命题“，有”的否定是“，”
C. 已知，，则
D. 若，则函数的最大值是
10.函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确有( )
A. 是的一条对称轴
B. 在上单调递增
C. 的一个对称中心为
D. 是偶函数
11.已知偶函数的定义域为，对任意两个不相等的正数，，都有，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，若，则______________．
13.一物流公司要租地建造仓库储存货物，经市场调研发现：每月土地租用费用万元与仓库到车站的距离成反比每月库存货物费用万元与成正比且时，和分别为万元和万元那么这家公司把仓库建在距离车站_________千米处，费用之和最小．
14.已知，则不等式的解集为______________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在“，，”这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，求解下列问题．
已知集合，集合．
若，求；
若_____________，求的取值范围．
16.本小题分
如图，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，点在上，米，米．
Ⅰ要使扩建成的花坛面积大于米，则的长度应在什么范围内？
Ⅱ当的长度是多少米时，扩建成的花坛面积最小？并求出最小面积．
17.本小题分
已知函数．
若，求的零点；
若函数在区间上恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数，的最小正期为．
求的值域；
方程在上有且只有一个解，求实数的取值范围；
是否存在实数满足对任意，都存在，使成立．若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．
19.本小题分
已知幂函数满足．
求函数的解析式
若函数，，且的最小值为，求实数的值．
若函数，是否存在实数，，使函数在上的值域为若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由．宣城中学2023-2024学年度高一上学期期末数学测试
考试时间：120分钟 满分：150分
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：集合，，，
，选项A错误；
，，选项B错误；
，选项C正确；
，选项D错误．
故选：．
根据集合的运算逐一检验选项即可．
本题考查集合的运算，属于基础题．
2.下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，，则
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查不等式的性质，考查推理能力和计算能力，属于基础题．
利用不等式的性质和特殊值法即可求解．
【解答】
解：对于选项，若，则命题错误故A选项错误：
对于选项，取，则满足，但 ，故B选项错误：
对于选项，取，，，则满足，但，故C选项错误；
对于选项，由不等式的性质可知正确，
故选D．
3.函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据题意得解得且，所以函数的定义域为故选D．
4.设，，，则，，的大小关系为 ．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查利用指数函数与对数函数的性质比较大小，属于中档题目．
利用指数函数与对数函数的性质与，进行比较得出即可．
【解答】
因为函数单调递减，所以
因为函数．单调递减，所以．．
因为函数单调递增， ， 所以．
所以则
故答案为
5.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：根据题意，函数在上单调递增，
则有，解得，即的取值范围为．
故选：．
根据题意，由函数单调性的定义可得，解可得答案．
本题考查分段函数的单调性，注意函数的解析式，属于基础题．
6.设，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查三角函数的诱导公式，同角三角函数间的基本关系．
利用三角函数的诱导公式化简，再利用弦化切，代入即可求解．
【解答】
解：，
，
原式，
故选A．
7.若函数有两个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：函数有两个零点，即与的图象有两个交点，
令，作出与的大致图象如图所示，
由图可知，则，
故实数的取值范围是．
故选：．
将题目转化为与的图象有两个交点，再作出函数图象即可得到范围．
本题主要考查了由函数零点求解参数范围，体现了数形结合思想的应用，属于中档题．
8.函数，，若对任意，存在，使得成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查三角函数值域，将问题转化为求三角函数的值域并利用集合关系是解决问题的关键，属拔高题．
分别求函数，在的值域，由集合的包含关系解不等式组可得．
【解答】
解：，
当时，，
，
，
，
对于，
当时，，，
，
对任意，存在，使得成立，
，即，
解得实数的取值范围是
故选D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是( )
A. 设全集为，若，则
B. 命题“，有”的否定是“，”
C. 已知，，则
D. 若，则函数的最大值是
【答案】ACD
【解析】【分析】
本题主要考查集合运算，全称量词命题的否定，不等式的基本性质，基本不等式，属于中档题．
利用韦恩图法可判断选项利用全称量词命题的否定可判断选项利用不等式的基本性质可判断选项
利用基本不等式可判断选项．
【解答】
解：对于选项，如下图所示：
设全集为，若，则，故A对
对于选项，命题“，有”的否定是“，”，故B错
对于选项，已知，，则，，
由不等式的基本性质可得，故C对
对于选项，若，则，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故当时，函数的最大值是，故D对．
故选ACD．
10.函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确有( )
A. 是的一条对称轴
B. 在上单调递增
C. 的一个对称中心为
D. 是偶函数
【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查了函数的图象与性质，属于中档题．
先由图象得出 ，再由三角函数性质逐一判定即可得出结论．
【解答】
解：由图知，则，
，所以，则，
即
因为，所以，，即，
因为，得，所以
所以
当时，，故A对
在上单调递增，在上单调递减，故B错
，故C错
，
是偶函数，故D对，
故选AD．
11.已知偶函数的定义域为，对任意两个不相等的正数，，都有，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查函数的单调性和奇偶性，同时考查了学生的数学抽象素养，属于较难题．
依题意分析出函数在上单调递减， 且函数为偶函数，逐个选项分析即可．
【解答】
解：对任意两个不相等的正数，， 都有，
设，，则，
当时，，即，
函数在上单调递减， 且函数为偶函数，
对于，，故正确；
对于，，故错误；
对于，，故正确；
对于，，故正确．
故选ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，若，则___________．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查了分段函数的计算，涉及指数对数运算，指数对数函数的性质和复合函数，属基础题．
先研究分段函数各段上的值域，在中，令，，然后可求得中的的值，进而求得中的的值．
【解答】
解：因为函数，
所以可得当时，，
当时，，
所以当时，令，，
所以可解得，
所以，即，可解得，
故答案是．
13.一物流公司要租地建造仓库储存货物，经市场调研发现：每月土地租用费用万元与仓库到车站的距离成反比每月库存货物费用万元与成正比且时，和分别为万元和万元那么这家公司把仓库建在距离车站 千米处，费用之和最小．
【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了利用基本不等式求函数的最值，是中档题．
先利用待定系数法求出和关于的函数解析式，再利用基本不等式即可求解．
【解答】
解：依题意，设，，其中，都大于零，
在距离车站处建仓库，则和分别为万元和万元，
，，
，，
，，其中，
费用之和，
当且仅当，即时，等号成立，
故这家公司应该把仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小．
故答案为．
14.已知，则不等式的解集为___________．
【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查二次函数，对数函数及复合函数、指数函数的单调性以及奇偶性．
判断出在上单调递增，并容易说明为偶函数，从而便可由得到，从而得到，这样解该不等式便可得出的取值范围．
【解答】
解：因为，
所以，
即，所以为偶函数，
所以当时，，
因为在时单调递增，且函数值域为，
在时单调递增，
所以在时单调递增的函数，
因为是单调递增的，
所以在上单调递增，
由得，，
因为在上单调递增，
所以，即，解得，
所以的取值范围为．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在“，，”这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，求解下列问题．
已知集合，集合．
若，求；
若______，求的取值范围．
【答案】解：若，，，
则．
若选，则，
由，，
所以，解得；
的取值范围为，
若选，，
，
则或，
解得：或；
的取值范围为，
若选，
由，，
则或，
解得：或．
的取值范围为．
【解析】本题主要考查了集合的交集，并集，子集，属于基础题．
当时，求出集合，，进而得出交集．
若选择，，则，即可求解，
若选择，，求出，则写出关于的不等式组，即可求解，
若选择，，根据，的范围即可求解．
16.本小题分
如图，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，点在上，米，米．
Ⅰ要使扩建成的花坛面积大于米，则的长度应在什么范围内？
Ⅱ当的长度是多少米时，扩建成的花坛面积最小？并求出最小面积．
【答案】解：Ⅰ设米，则．
∽，，
则，．
花坛的面积．
由，得，即，解得或，
故A的长度范围是或米．
Ⅱ由
，
当且仅当，即米时，等号成立．
当的长度是米时，扩建成的花坛的面积最小，最小值为平方米．
【解析】本题考查了相似三角形的性质、一元二次不等式、高次不等式的解法、基本不等式的应用等基础知识与基本技能方法，属于中档题．
Ⅰ设米，则利用∽，可得，得到于是花坛的面积由，解得即可．
Ⅱ分离常数，利用基本不等式即可得出．
17.本小题分
已知函数．
若，求的零点；
若函数在区间上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】解：因为时，
所以
故
即
解得或舍
所以，
所以的零点是
函数在区间 上恒成立，
即，在区间 上恒成立，
即，在区间 上恒成立，
可得，
即，
令，
即，恒成立，
因为在单调递增，故时，
故，
所以，
故实数的取值范围．
【解析】本题考查函数的零点，指数函数的性质、对数方程得求解以及不等式恒成立，属于中档题．
由题意得，解方程得，进而求，得零点；
由题意得，即，换元求在的最小值，即，解得即可．
18.本小题分
已知函数，的最小正期为．
求的值域；
方程在上有且只有一个解，求实数的取值范围；
是否存在实数满足对任意，都存在，使成立．若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】解：函数，
的最小正周期为，，
，．
那么的解析式，
则当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值．
所以函数的值域为．
方程在上有且有一个解，转化为函数的图象与函数的图象在上只有一个交点．
，，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，且，，，
或，
所以或．
由可知，．
实数满足对任意，都存在，使得成立．
即成立，
令，
设，则，
，，
可得在上恒成立．
令，其对称轴，，
当，即时，在上单调递增，，解得；
当，即时，，解得；
当，即时，，解得 ；
综上可得，存在，可知的取值范围是
【解析】本题考查三角函数的性质考查函数与方程的综合应用，考查不等式的恒成立问题，属于较难题．
根据三角函数的恒等变换，得到，进而可得结果；
问题等价于函数的图象与函数的图象在上只有一个交点．求出在上单调性，进而得解．
问题等价于对任意，成立．设，则有在上恒成立．借助二次函数的性质，即可求得的取值范围．
19.本小题分
已知幂函数满足．
求函数的解析式
若函数，，且的最小值为，求实数的值．
若函数，是否存在实数，，使函数在上的值域为若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由．
【答案】解：是幂函数，
得，解得：或
当时，，不满足．
当时，，满足．
故得，函数的解析式为；
由函数，即，
令，
，
，
记，
其对称轴在，
当，即时，
则，
解得：；
当时，即，
则，
解得：，不满足，舍去；
当时，即时，
则，
解得：，不满足，舍去；
综上所述，存在使得的最小值为；
由函数在定义域内为单调递减函数，
若存在实数，，使函数在上的值域为，
则
可得：
．
，
将代入得，，
令，
，，
即，
，
，即，
，
得：．
故得实数的取值范围．
【解析】本题主要考查幂函数解析式，函数最值的求解，方程与不等式的性质，分类讨论思想以及一元二次函数的性质是解决本题的关键，属于较难题．
根据函数是幂函数，可得，结合求解，可得解析式；
由函数，，利用换元法转化为二次函数问题求解最小值，可得的值；
由函数，求解的解析式，判断其单调性，根据在上的值域为，化简为一元二次函数求解的取值范围．宣城中学2023-2024学年度高一上学期期末测试
数学 答题卡
姓名：______________班级：______________
准考证号
一、选择题（请用2B铅笔填涂）
1 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
二、填空题（请在横线上作答）
12 13 14
三、解答题（请在指定区域内作答）
15.本小题分
16本小题分
17.本小题分
18.本小题分
19.本小题7分
1
