北京市平谷区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷（含答案）

北京市平谷区2024-2025学年八年级上学期期末考试
数 学
2025.1
学校 班级 姓名 考号
考 生 须 知 1．本试卷共6页，共三道大题，28道小题． 2．在试卷和答题卡上认真填写学校、班级、姓名、考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1．下列是几种著名的数学曲线
蝴蝶曲线 费马螺线 笛卡尔心形线 科赫曲线
其中是轴对称图形的有（ ）个
A. 1 B.2 C.3 D.4
2. 如果分式 的值为0，那么x的值是（ ）
A. x= -2 B. C. D. x≠-2
3.下列各根式中，与不是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
4.不透明的袋子中装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个球，则摸出红球的可能性大小为（ ）
A. B. C. D.
5．若， 则x的取值范围是（ ）
A．x≤1 B．x＜1 C．x≥1 D．x＞1
6. 如图，若数轴上的点A，B，C，D表示数，1，2，3，则表示数的点应在（　　）
A. A，O之间 B. B，C之间 C. C，D之间 D. O，B之间
7．如图，在四边形中，，，，．则的度数为（ ）
A．125° B．130° C．135° D．145°
8．如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F.
①;
②点D到三边的距离相等；
③当∠BAC=60°时，∠BDC=2∠BAC;
④若，点D到AC的距离为n,则；
上述结论正确的有（ ）个.
1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．若代数式有意义，则实数x的取值范围是__________________.
10.计算：=___________;=__________.
11. “，则”这一事件是_________________（选填以下内容：不可能事件、必然事件、随机事件）．
12. 分式和的最简公分母是_________________________.
13．已知a，b均为实数，a的平方根分别是与，b是27的立方根，
则的算术平方根为_____________．
14． 如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠DAE＝25°．通过观察尺规作图的痕迹，可以求得∠C＝　 　度．
15. 如图，在等边△ABC中，，点D在AB上，点F在BC上，且BD＝3，，，则CE的长为____________

15题 16题
16．如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A对应的数是-3，AC=BC=BD=1，若以点A为圆心，AD长为半径画弧，与数轴交于点E，则点E表示的数为_____________________.
三、解答题（共68分，第17-23题，每题5分，第24-25题，每题6分，第26-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17.计算：
18.计算：
19.计算:
20.解方程：
21.已知：如图，是线段上的两点，，，．求证：．
22. 已知，求代数式的值．
23. 如图，△ABC.
求作：AC边上的高BD.
作法如下：
（1）延长CA；
（2）以点B为圆心，AB的长为半径作弧，交CA的延长线于点E，连接BE;
（3）以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，BE于点M，N；
（4）分别以M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F;
（5）连接BF,交CA的延长线于点D.
所以线段BD是△ABC的边 AC上的高.
根据尺规作图过程，解答下列问题.
(1)使用直尺和圆规，补全图形.（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明.
证明：∵，
∴BF⊥AE（_________________________________）(填推理的依据)
∴线段BD是△ABC的边 AC上的高.
24. 如图，点C在BE上， AB⊥BE, DE⊥BE,给出以下四个等量关系：①AC⊥DC，②，③，④请你以其中两个为条件，另一个为结论，组成一个真命题，并证明．
(1)条件：______，结论：______；（填序号）
(2)写出你的证明过程．
25.2024年，平谷区教委稳步推进阳光乐跑行动，帮助学生在体育锻炼中增强体质、享受乐趣、健全人格、锤炼意志，厚植爱国主义情怀，培养全面发展的新时代好少年，形成平谷区中小学生乐跑新风尚.某校八年级学生小明通过一个学期的乐跑活动，跑步速度每分钟提升了60米，乐跑活动后跑2000米所用时间与乐跑活动前跑1600米所用时间相同.请你用学过的知识计算一下小明同学乐跑活动后的跑步速度.
26. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， AD平分∠BAC，若CD＝3，BD＝5，求AB的长．
27．【问题探究】
小冬在学习三角形相关知识时遇到了一个问题：
如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°，D为AB的中点,点E在BC边上(点E不与点B,C重合),连接DE,过点D作DF⊥DE交AC于点F,连接EF.求证:.
图1 图2 图3
小冬的做法如图2：延长ED到点M，使DM=DE,连接AM，FM,证明△ADM△BDE，经过推理使问题得到解决
（1）小冬在证明△ADM△BDE 时，使用的判定依据是：_____________.
（2）如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°，D为AB的中点,点E在BC的延长线上,连接DE,过点D作DF⊥DE交射线CA于点F,连接EF.
①补全图形；
②试判断AF,BE,EF三条线段之间的数量关系，并证明.
28. 定义：点P是△ABC内部的一点，若经过点P和△ABC中的一个顶点的直线把△ABC平分成两个面积相等的图形，则称点P是△ABC关于这个顶点的均分点．例如图中，点P是△ABC关于顶点A的均分点．
下列图形中，点D一定是△ABC关于顶点B的均分点的是________；（填序号）
① AE=CE ② ∠ABE = ∠CBE
（2）在△ABC中，且，点P是△ABC关于顶点A的均分点，且，直接写出的度数；
（3）如图，在△ABC中，，点P是关于顶点A的均分点，直线与交于点D，当时，，
补全图形；求的长；
参考答案
一、选择题（本题共16分，每小题2分）24
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B C D A D C D
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．； 10．(1) 2 ;(2)； 11．必然事件； 12. ； 13. ; 14. 50；
15. 5 ；16. ；
三、解答题（共68分，第17-23题，每题5分，第24-25题，每题6分，第26-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17.
=1++2 ………4分
=3
18.
=5-+1（3）
=5-+13+
=5-
19.
=-
=-
-
=
20.
解：
. ......................2分
.......................3分
检验：当时，，所以原方程中的分式无意义.........................4分
所以此原方程无解. ...............................5分
21. 证明：∵，
∠B=∠C
∵在△ABF和△DCE中
∴△ABF≌△DCE.......... ........................4分
∴AF=DE......... ........................5分
22.
解：（）
=
=
=
∵
∴
∴原式=5
23. （1）利用直尺和圆规依作法补全图形(保留作图痕迹)
略................................2分
证明：∵，..............................4分
∴BF⊥AE（__等腰三角形三线合一______）(填推理的依据) ..............................5分
∴线段BD是△ABC的边 AC上的高.
24． 解：(1)条件：___②_③__，结论：__①____；（填序号）(答案不唯一)
(2)写出你的证明过程．
证明：∵AB⊥BE, DE⊥BE
∠B=∠E
∵在△ABC和△CDE中
∴△ABC≌△CDE......... ........................4分
∴∠A=∠DCE......... ........................5分
∵∠B
∴∠A+∠
∴∠DCE+∠
∴∠ACD
∴AC⊥DC......... ........................6分
25．解：设小明乐跑活动后每分钟跑米，则小明乐跑活动前每分钟跑（-60）米，
根据题意，得：=，........ ........................3分
解得：， ........ ........................5分
经检验，是原方程的解，且符合实际问题的意义. .......................6分
答：小明乐跑活动后每分钟跑300米．
26. 解：过点D作DE⊥AB于点E
∵∠C＝90°， AD平分∠BAC，
∴
在Rt△ACD和Rt△AED中，
∴Rt△ACD≌Rt△AED
∴
在Rt△BED中
∵DE＝3，BD＝5
∴BE＝4
设
则
在Rt△ABC中, ∠C＝90°
∴
∴
∴
∴AB=10
27. (1)SAS ........................1分
(2) 补全图形 ........................2分
........................3分
延长ED到点M，使DM=DE
∵DF⊥DE
∴FE=FM .......................4分
∵D为AB中点
∴AD=BD
在△ADM和△BDE中
∴△ADM≌△BDE .......................5分
∴AM=BE, ∠AME=∠MEB
∴AM//BE
∴∠FAM=∠ACB=90°.......................6分
在Rt△AFM中
∴
∴ .......................7分
28.（1） ........................1分
（2）∠ PC=90°........................3分
（3）补全图形 ........................4分
证明：过点C作CE⊥AD交AD延长线于点E
∴∠CED=90°
∵点P是△ABC关于顶点A的均分点，BC=10
∴BD=CD=5
∵BP⊥AD
∴∠ PD=90°
∴∠CED=∠ PD
在Rt△BPD中，BP=4,BD=5
∴
∴PD=3 ..................................5分
在△BPD和△CED中
∴△BPD≌△CED
∴DP=DE,BP=CE ..................................6分
在Rt△CEP中，PE=6,CE=4
∴
∴ ..................................7分
2