广东省茂名市2023-2024学年高一上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

广东省茂名市 2023-2024 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 780°的值为( )
√ 3 √ 3 1 1
A. B. C. D.
2 2 2 2
2.设集合 = { | 3 < < 2}， = { | ( ) = lg( + 1) + lg(1 )}，则 ∪ =( )
A. { | < 2} B. { | 3 < < 2} C. { | 2 < < 2} D. { | > 3}
3. 2 4 < 0是一元二次不等式 2 + + > 0的解集是 的( )
A. 充分条件，但不是必要条件 B. 必要条件，但不是充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.方程 4 = 的解所在的区间为( )
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
2
5.已知幂函数 ( ) = ( 1) 1，则 ( 1) =( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
6.已知 = 6.8， = 0.8 ， = 1 ，则( )
2
A. < < B. < < C. < < D. < <
7.已知函数 ( )是 上的减函数， ( 1,1)， (3, 1)是其图象上的两点，那么| ( 1)| > 1的解集是( )
A. ( ∞, 0) ∪ (4, +∞) B. ( ∞, 0) ∪ (2, +∞)
C. (0,4) D. ( ∞, 0)
8.中国高铁技术世界领先，高速列车运行时不仅速度比普通列车快且噪声更小．用声强 (单位： / 2)表
示声音在传播途径中每1平方米面积上声能流密度，声强级 (单位： )与声强 的函数关系式为 =

10 ( 2).若普通列车的声强级是95 ，高速列车的声强级是45 ，则普通列车的声强是高速列车声强的10
( )
A. 6倍 B. 106倍 C. 5倍 D. 105倍
二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2 + 1, ≤ 0,
9.已知函数 ( ) = { ( ) = 2，则 =( )
2 , > 0,
A. 0 B. 2 C. 4 D. 6
10.角 为第二象限角的充要条件是( )
sin > 0 sin > 0 cos < 0 cos < 0
A. { B. { C. { D. {
cos < 0 tan < 0 tan < 0 sin < 0
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11.已知 为第二象限角，那么 是( )
3
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
( ) ( ) 1
12.定义在(0, +∞)上的函数满足 2 1 1 2 < 0，且 ( ) = 3， (3) = 9，则下列结论中正确的是( )
1 2 2
A. 不等式 ( ) > 3 的解集为(3, +∞) B. 不等式 ( ) > 3 的解集为(0,3)
1 1
C. 不等式 ( ) < 6 的解集为( , +∞) D. 不等式 ( ) < 6 的解集为(0, )
2 2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.函数 ( ) = log ( 2) + 2( > 0，且 ≠ 1)的图象恒过定点______．
14.函数 ( ) = ( > 0且 ≠ 1)的图象经过点(1,10)，则函数 ( )的反函数 ( ) = ______．
15.函数 ( ) = ln( + 1)的图象经过一、三、四象限，则 的取值范围是______．
16.如图，边长为1的正六边形木块自图中实线标记位置起在水平桌面上从左向右做无滑动翻滚，点 为正六
边形的一个顶点，当点 第一次落在桌面上时，点 走过的路程为 ．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算：
27 2 2 16
(1)( ) 3 + 0 +
8 2

3 4
；
9
(2)10 270° + 4 0° + 9 60° + 15 ( 360°)．
18.(本小题12分)
2√ 2
已知 = 且 为第二象限角．
3
(1)求 和 的值；

+3 ( + )
(2)若 = √ 2，求 2 的值．
cos( + )cos( ) 3 sin sin
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19.(本小题12分)
1
(1)已知函数 ( ) = 2 ， ∈ [ , 2]，求函数 ( )的值域；
2
(2)解关于 的不等式：log ( + 1) < log (3
2)( > 0且 ≠ 1)．
20.(本小题12分)
已知二次函数 ( )满足 (0) = 1，且 ( + 1) ( ) = 2 1， ( )为偶函数，且当 ≥ 0时， ( ) = ( )．
(1)求 ( )的解析式；
(2)在给定的坐标系内画出 ( )的图象；
(3)讨论函数 ( ) = ( ) ( ∈ )的零点个数．
21.(本小题12分)
3 3
已知函数 ( ) =
3 +3
．
(1)判断函数 ( )的奇偶性，并说明理由；
(2)判断函数 ( )在 上的单调性，并用单调性定义证明．
22.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2 ．
(1)当 ∈ [0,8]时，不等式 ( + 1) ≥ [( + )2]总成立，求 的取值范围；
(2)试求函数 ( ) = ( + 1) + (2 )( ∈ )在 ∈ ( ∞, 0]的最大值 ( )．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】(3,2)
14.【答案】
15.【答案】(0,1)
√ 3
16.【答案】(1 + )
3
27 2 2 16
17.【答案】解：(1)( ) 3 + 0 +
8 2 3 4 9
3 )
= ( )3×(
2
+ 1 + log22 log23 (log416 log2 3 49)
3 2 4
= ( ) 2 + 1 + 1 log23 (2 2 2 23) = ． 9
(2)10 270° + 4 0° + 9 60° + 15 ( 360°)
= 10 × 0 + 4 × 0 + 9√ 3 + 15 × 1
= 15 + 9√ 3．
2√ 2
18.【答案】解：(1)由题意得 = ， < 0， < 0，
3
1
所以 = √ 1 sin2 = ， = = 2√ 2．
3 cos
(2)由(1)知， = 2√ 2，又 = √ 2，
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+3 ( + )
所以 2
+3
=
cos( + )cos( ) 3 sin cos cos 3 sin
+3 2√ 2+3√ 2 √ 2
= = = ．
1 3 tan 1 3×( 2√ 2)×√ 2 11
1 1
19.【答案】解：(1)当 ≤ ≤ 2时，22 ≤ 2 ≤ 22，
2
即 ( )的值域为[√ 2, 4]；
(2)当 > 1时，由原不等式可得，0 < + 1 < 3 2，
解得， 1 < < 1；
当0 < < 1时，由原不等式可得， + 1 > 3 2 > 0，
解得，1 < < √ 3，
综上，当 > 1时，解集为{ | 1 < < 1}；
当0 < < 1时，解集为{ |1 < < √ 3}.
20.【答案】解：(1)由已知设 ( ) = 2 + + 1，
由 ( + 1) ( ) = 2 1得 ( + 1)2 + ( + 1) 2 = 2 1，
2 = 2
即2 + + = 2 1恒成立，所以{ ，解得 = 1， = 2，
+ = 1
所以 ( ) = 2 2 + 1；
(2)根据 ( ) = ( )( ≥ 0)，且 ( )为偶函数，作出 ( )的图象：
(3)令 ( ) = ( ) = 0得 ( ) = ，所以原函数的零点即为 = ( )与 = 的交点的个数，
则当 < 0时， = 与 = ( )没有交点，故 ( )没有零点；
当 = 0或 > 1时， = 与 = ( )有2个交点，原方程有2个根；
当 = 1时， = 与 = ( )有3个交点，原方程有3个根；
当0 < < 1时， = 与 = ( )有4个交点，原方程有4个根．
21.【答案】解：(1) ( )为奇函数，理由如下：
3 3
( ) = 的定义域为 ．
3 +3
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3 3
因为 ( ) = = ( )，
3 +3
所以 ( )为奇函数．
(2) ( )在 上单调递增，证明如下：
3 3 32 1 9 1
因为 ( ) =
3 +3
= 2 = ． 3 +1 9
+1
任取 < 11 2，则0 < 9 < 9
2，
所以9 1 9 2 < 0，1 + 9 1 > 0，1 + 9 2 > 0，
9 1 1 9 2 1 (9 1 1)(9 2+1) (9 1+1)(9 2 1) 2(9 1 9 2)
则 ( 1) ( 2) = =9 1+1 9 2+1 (9 1+1)(9
= < 0， 2+1) (9 1+1)(9 2+1)
所以 ( 1) < ( 2)，
所以 ( )在 上单调递增．
22.【答案】解：(1)函数 ( ) = 2 在定义域 上单调递增，
若 ∈ [0,8]时，不等式 ( + 1) ≥ [( + )2]总成立，
则 ∈ [0,8]时， + 1 ≥ ( + )2恒成立，
整理得， ∈ [0,8]时， 2 + (2 1) + 2 1 ≤ 0恒成立，
令 ( ) = 2 + (2 1) + 2 1， ∈ [0,8]，
(0) = 2 1 ≤ 0
则{ 2 ， 无解，即 的取值集合为 ； (8) = 16 + 55 ≤ 0
(2)由题意得，函数 ( ) = 2 +1 + 22 ， ∈ ( ∞, 0]，
令 = 2 ∈ (0,1]， ( ) = 2 + 2 ， ∈ (0,1]，
当 = 0时，函数 ( )在(0,1]上单调递增， ( ) = (1) = 2；
1 1
当 ≠ 0时]， ( ) = 2 + 2 = ( + )2 ， ∈ (0,1]，

1
当 < 0，即 > 0时，函数 ( )在(0,1]上单调递增，所以 ( ) = (1) = + 2；
1 1 1
当0 < < 1，即 < 1时， ( ) = ( ) = ；

1
当 ≥ 1即 1 ≤ < 0时， ( ) = (1) = 2 + ．
1
, < 1
所以 ( ) = { ．
+ 2, ≥ 1
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