天津市双菱中学2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

天津市双菱中学 2024-2025 学年高二上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 9 小题，每小题 3 分，共 27 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在平面直角坐标系 中，直线 + √ 3 1 = 0的倾斜角等于( )
2 5
A. B. C. D.
6 3 3 6
2 2
2.若方程 = 1表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围为( )
2
A. 0 < < 2 B. 0 < < 2且 ≠ 1
C. 0 < < 1 D. 1 < < 2
3.设 ， ∈ ，向量 = ( , 1,1)， = (1, , 1)， = (2, 4,2)，且 ⊥ ， // ，则| + | = ( )．
A. 2√ 2 B. √ 10 C. 3 D. 4
4.如图，在四面体 中，点 在棱 上，且满足 = 2 ，点 ， 分别是线段 ，
的中点，则用向量 ， ， 表示向量 应为( )
A.
1 1 1
= + +
3 4 4
B.
1
=
1

1
+
3 4 4
1 1 1C. =
3 4 4
D.
1
=
1 1
+
3 4 4
5.已知直线 1：3 4 + 7 = 0与直线 2：6 ( + 1) + 1 = 0平行，则 1与 2之间的距离为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2 2
6.双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的一条渐近线与直线 + 2 + 1 = 0垂直，则双曲线 的离心率为( )
√ 5
A. √ 3 B. C. √ 5 D. √ 2
2
7.一条光线从点( 2,3)射出，经 轴反射后与圆( 3)2 + ( 2)2 = 1相切，则反射光线所在直线的斜率为
( )
6 5 5 4 3 2 4 3
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
5 6 4 5 2 3 3 4
8.直线 = + 与曲线 = √ 1 2有且仅有一个公共点，则 的取值范围是( )
A. | | = √ 2 B. 1 < ≤ 1或 = √ 2
C. 1 ≤ ≤ √ 2 D. 0 < ≤ 1或 = √ 2
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2 2
9.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 1， ， 是双曲线 右支上一点，若 2 2 =
2 2 ， 1 2 = 0，且| 2 | = ，则双曲线 的离心率为( )
√ 7 2√ 3 √ 5+1 3√ 2
A. B. C. D.
2 3 2 2
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。
10.已知向量 = (2, 1,1)， = (1, , 1)， = (1, 2, 1)，当 ⊥ 时，向量 在向量 上的投影向量为______. (
用坐标表示)
11.已知圆 ： 2 + 2 2 + 2 4 = 0与圆 ： 2 + 2 4 + 3 = 0有4条公切线，则 的取值范围为
______．
12.若空间中有三点 (1,1, 1)， (0,1,1)， (1,2,0)，则 到直线 的距离为______；点 (1,2,3)到平面
的距离为______．
13.如图所示，在棱长均为2的平行六面体 ′ ′ ′ ′中，∠ ′ =
∠ ′ = ∠ = 60°，点 为 ′与 ′ 的交点，则 的长为______．
14.已知圆 ： 2 + 2

4 1 = 0， ( , )是圆 上的动点，则 = 的最大值为______； 2 + 2的最
+3
小值为______．
2 2
15.已知双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的离心率为2， 1， 2分别是双曲线的左、右焦点，点 ( , 0)， (0, )，
点 为线段 上的动点，当

1 2取得最大值和最小值时，△
1
1 2的面积分别为 1， 2，则 = ______． 2
三、解答题：本题共 5 小题，共 49 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题9分)
根据下列条件，分别写出直线的方程：
(1)斜率为 2，在 轴上的截距为 2．
(2)已知平面内两点 (6, 6)， (2,2)，求过 (2, 3)且与直线 平行的直线 的方程．
(3)求经过点 ( 5,2)，且在 轴上的截距等于在 轴上截距的2倍的直线方程．
17.(本小题9分)
已知⊙ 的圆心在 轴上，经过点(1, √ 3)和(2,2)．
(1)求⊙ 的方程；
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(2)过点 (3,1)的直线 与⊙ 交于 、 两点．
(ⅰ)若| | = 2√ 3，求直线 的方程；
(ⅱ)求弦 最短时直线 的方程．
18.(本小题9分)
2
已知双曲线 ： 22 = 1( > 0)的焦距为2√ 5且左右顶点分别为 1， 2，过点 (4,0)的直线 与双曲线 的
右支交于 ， 两点．
(1)求双曲线的方程；
√ 3
(2)若直线 的斜率为 ，求弦长| |．
2
19.(本小题11分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中， ⊥ ，点 ， ， 分别为 1 1， 1， 的中点， = = 1 = 2．
(1)求证： //平面 ；
(2)求直线 与平面 1 所成角的正弦值；
(3)求平面 1 与平面 1 夹角的余弦值．
20.(本小题11分)
2 2
已知椭圆 ：2 + 2 = 1( > > 0)的右焦点 在直线 + 2 1 = 0上， ， 分别为 的左、右顶点，且| | =
3| |．
(1)求 的标准方程；
(2)是否存在过点 ( 1,0)的直线 交 于 ， 两点，使得直线 ， 的斜率之和等于 1？若存在，求出 的
方程；若不存在，请说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】( 1,2,1)
11.【答案】( ∞, √ 5) ∪ (√ 5, +∞)
√ 6
12.【答案】√ 2
2
13.【答案】√ 11
1
14.【答案】 9 4√ 5
2
15.【答案】4
16.【答案】解：(1)因为直线的斜率为 2，在 轴上的截距为 2，
所以直线的斜截式方程为 = 2 2，
化简可得2 + + 2 = 0；
(2)因为 (6, 6)， (2,2)，
6 2
所以 = = 2，
6 2
由题意直线 斜率也为 2，
又因为直线 过 (2, 3)，
所以直线 的方程为： + 3 = 2( 2)，
即2 + 1 = 0；

(3)当直线不过原点时，设所求直线方程为 + = 1，即 + 2 = 2 ，
2
1
将 ( 5,2)代入，可得 5 + 2 × 2 = 2 ，解得 = ，
2
1
所以 + 2 = 2 × ( ) = 1，
2
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所以直线方程为 + 2 + 1 = 0；
当直线过原点时，设直线方程为 = ，
2
将 ( 5,2)代入，可得 5 = 2，解得 = ，
5
2
所以直线方程为 = ，即2 + 5 = 0，
5
综上可得，所求直线方程为 + 2 + 1 = 0或2 + 5 = 0．
17.【答案】解：(1) ⊙ 的圆心在 轴上，经过点(1, √ 3)和(2,2)．
设圆心为 ( , 0)，由题意可得√ ( 1)2 + 3 = √ ( 2)2 + 4，解得 = 2，
可得圆的半径为 = √ (2 1)2 + 3 = 2，因此，圆 的标准方程为( 2)2 + 2 = 4．
| |
(2)①当| | = 2√ 3时，圆心 到直线 的距离为 = √ 22 ( )2 = √ 4 3 = 1，
2
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 1 = ( 3)，即 + 1 3 = 0，
|2 +1 3 | |1 |
则 = = = 1，解得 = 0，此时，直线 的方程为 = 1．
√ 2 2 +1 √ +1
当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 = 3，此时，圆心 到直线 的距离为1，合题意．
综上所述，直线 的方程为 = 3或 = 1．
②当 ⊥ 时，圆心 到直线 的距离最大，此时，| |取最小值，
0 1 1
因为 = = 1，则 = = 1， 2 3
此时，直线 的方程为 1 = ( 3)，即 + 4 = 0．
18.【答案】解：(1)因为双曲线的焦距为2√ 5，
所以，2 = 2√ 5，
解得 = √ 5，
又 = 1，
所以 2 + 1 = 5，
解得 = 2，
2
则双曲线的方程为 2 = 1．
4
√ 3
(2)直线 的方程为 = ( 4)，
2
√ 3
= ( 4)
联立{ 2 2
2
，消去 并整理得 12 + 26 = 0，
2 = 1
4
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，此时 > 0恒成立，
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由韦达定理得 1 + 2 = 12， 1 2 = 26，
所以| | = √
√ 3 2 2 √ 7 1 + ( ) ．√ ( 1 + 2) 4 1 2 = × √ 12
2 4 × 26 = √ 70．
2 2
19.【答案】解：(1)证明：设 1 ∩ 1 = ，连接 ， ，则 为 1， 1 的中点，
因为 ， 分别为 1 ， 的中点，则 // 1 ，
且 1 // ，则 // ，
由 平面 ， 平面 ，可得 //平面 ，
又因为 ， 分别为 1， 1的中点，则 // ，
由 平面 ， 平面 ，可得 //平面 ，
且 ∩ = ， ， 平面 ，可得平面 //平面 ，
由 平面 可得 //平面 ．
(2)由题意可得： 1 = 1, 1 = √ 5，
作 1 ⊥ 1 ，垂足为 ，
因为 1 ⊥平面 1 1 1， 1 平面 1 1 1，可得 1 ⊥ 1 ，
且 1 ∩ 1 = 1， 1 ， 1 平面 1 ，可得 1 ⊥平面 1 ，
1×2 2√ 5
由等面积可得 = 1 1 11 = = ， 1 √ 5 5
可知点 1到平面 1 的距离为
2√ 5
1 = ， 5
且点 为 1 1的中点，则点 1到平面 1 的距离
2√ 5
= 1 = ， 5
取 1的中点 ， 1的中点 ，连接 1， ，
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则 1 // ， 1 = ，则 1 为平行四边形，可得 1 // ，
又因为 ， 分别为 ， 的中点，则 // ，且 1 √ 51 1 1 1 = 1 = ， 2 2
可得 // ，
可知直线 与平面 1 所成角即为直线 与平面 1 所成角，
因为 1 // 1， 1 平面 1 ， 1 平面 1 ，
所以 1 //平面 1 ，所以 到平面 1 的距离等于点 1到平面 1 的距离，
2√ 5
4
设直线 与平面 1 所成角为 ，则 = =
5 = ，
√ 5 5
2
4
所以直线 与平面 1 所成角的正弦值为 ． 5
(3)由(2)可知： 2√ 5 1 √ 5 = √ 2 2 2 2 ， 1 1 = √ 1 ( ) = √ =5 5 5
作 ⊥ ，垂足为 ，
因为 1 ⊥平面 1 ， 平面 1 ，可得 1 ⊥ ，
且 ∩ 1 = ， ， 1 平面 1 ，可得 ⊥平面 1 ，
由 1 平面 1 ，可得 ⊥ 1 ，
可知平面 1 与平面 1 夹角为∠ 1 ，
由 1 ⊥平面 1 1 1， 1 平面 1 1 1，可得 1 ⊥ 1 ，
2
在 △ 1 中，则 1 = 2, 1 = √ 5, = 3，可得sin∠ =
1 = ，
3
在 △ 中，则 2√ 5 = sin∠ = ，
15
在 △ 1 中，则
2√ 5 2√ 5 4 4 40 8 2√ 2
1 = √ 2 + 2 = √ ( )21 + ( )2 = √ + = √ = √ = ， 5 15 5 45 45 9 3
2√ 5
15 √ 10可得cos∠ 1 = = = ， 1 2√ 2 10
3
所以平面 √ 101 与平面 1 夹角的余弦值为 ． 10
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20.【答案】解：(1)设椭圆 的右焦点 ( , 0)，
因为椭圆 的右焦点 在直线 + 2 1 = 0上，且| | = 3| |，
= 1
所以{ + = 3( )，
2 = 2 + 2
解得 = 2， = √ 3，
2 2
则椭圆 的方程为 + = 1；
4 3
(2)当直线 的斜率为0时，
此时不满足 + = 1；
当直线 的倾斜角不为0时，
设直线 的方程为 = 1， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= 1
联立{ 2 2 ，消去 并整理得(3
2 + 4) 2 6 9 = 0，
3 + 4 = 12
此时 = 36 2 4 × (3 2 + 4) × ( 9) = 144 2 + 144 > 0，
6 9
由韦达定理得 1 + 2 = 2 ， 1 2 = 2 ， 3 +4 3 +4
2 3( + )
则 1 2 1 2 + = + = + =
1 2 1 2
2 1 2 2 2 1 3 2 3 1 2 3 ( 1+ 2)+9
9 6
2 × 2 3×
= 3 +4 3
2+4
2 9 6
= ，
×
3 2
3 × +9
+4 3 2+4
因为 + = 1，
解得 = 1．
故存在满足条件的直线，直线 的方程为 + 1 = 0．
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