6.2 .3平面向量的运算——数乘运算 课件（共21张PPT）

(共21张PPT)
第六章
平面向量及其应用
6.2.3 平面向量的运算
——数乘运算
学习目标
1、了解向量数乘的概念；
2、理解并掌握向量数乘的运算律；
3、会运用向量数乘的运算律进行向量的表示与运算；
4、理解并掌握向量共线定理及其推论.
温故知新
1、向量的减法：向量加上的相反向量，叫做的差，
即：
2、向量减法的几何意义：可以表示为从向量的终点的向量，这就是向量减法的几何意义.
B
O
A
新知探究
已知非零向量，作出和.它们的长度和方向分别是怎么样的？
探究
如图，.类比数的乘法，我们把记作，即.
显然的方向与的方向相同，的长度是的长度的3倍，即.
O
A
B
C
新知探究
已知非零向量，作出和.它们的长度和方向分别是怎么样的？
探究
类似的，由图可知，.我们把记作，即.
显然的方向与的方向相反，的长度是的长度的3倍，即.
N
M
Q
P
一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，
他们的长度与方向规定如下：
（1）；
（2）当时，的方向与的方向相同；
当时，的方向与的方向相反.
新知探究
向量的数乘
由（1）可知，
当时，；
由（1）（2）可知，.
新知探究
如果把非零向量的长度伸长到原来的倍，方向不变，得到向量，向量该如何表示？向量，之间的关系怎样？
思考
由向量数乘运算的定义得：
向量的长度是向量长度的倍，向量的方向与向量的方向相同.
新知探究
问题：根据实数与向量积的定义，类比实数的运算律，向量的数乘是否也有类似的运算律？大胆猜想一下.
设，为实数，那么：
（1）；
（2）；
（3）.
特别的，我们有
，
.
新知探究
运算律的证明
（1）
当或或时，显然成立.
当或或时，由向量数乘运算的定义，得：
所以.
当同号时，上式两边向量的方向都与的方向相同；当异号时，上式两边向量的方向都与的方向相反.
因此，向量与有相等的长度和相同的方向，所以上式成立.
新知探究
运算律的证明
（2）
当或或时，显然成立.
当或或时，可分如下两种情况：
当，同号时，的方向与的方向相同，所以，
即有.
新知探究
运算律的证明
（2）
由同号，知上式两边向量的方向都与的方向相同，或都与的方向相反，即上式两边向量的方向相同.
因此，向量与有相等的长度和相同的方向，所以上式成立.
如果异号，当时，上式两边向量的方向都与的方向相同；当时，上式两边向量的方向都与的方向相同.
因此，向量与有相等的长度和相同的方向，所以上式成立.
新知探究
运算律的证明
（3）
当，共线，或，时，显然成立.
当，不共线，且，时，可分如下两种情况：
当且时，如图，在平面内任取一点O，作，，
，，则，.
由作法知，有，
，，
O
A
B
新知探究
运算律的证明
（3）
所以，
因此，所以，
因此O，B，在同一条直线上，，
与的方向也相同，所以，
所以.
当时，由图可类似证明.所以上式成立.
O
A
B
新知探究
线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.
向量线性运算的结果仍是向量.
对于任意向量，，以及任意实数，，，恒有
典型例题
例1：计算：
（1）；
（2）；
（3）
（1）原式=；
（2）原式=；
（3）原式=.
新知探究
引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？
探究
可以发现，实数与向量的积与原向量共线.
事实上，对于向量，，如果有一个实数，使，那么由向量数乘的定义可知共线.
反过来，已知向量共线，且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当同方向时，有；当同方向时，有.
新知探究
向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.
向量共线定理
根据这一定理，设非零向量位于直线上，那么对于直线上的任意一个向量，都存在唯一的一个实数，使.也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示.
典型例题
例2：已知是两个不共线的向量，向量，共线，求实数的值.
【解】由不共线，易知向量为非零向量.由向量共线，可知存在实数，使得
即，由不共线，必有，
解得：，
因此，当向量共线时，
随堂练习
1、化简
（1）；
（2）；
（3）.
随堂练习
2、已知，是两个不共线的向量，，.
若是共线向量，求实数的值.
本节课到此结束！
谢谢大家！