上海市复旦中学2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

上海市复旦中学 2024-2025 学年高二上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
2 2
1.已知曲线 + = 1(4 < < 8)，则此曲线的焦点坐标为( )
8 4
A. (±2,0) B. (±2√ 3, 0) C. (0,±2) D. (±√ 12 2 , 0)
2.过点 ( √ 3, 1)的直线 与圆 2 + 2 = 1有公共点，则直线 倾斜角的取值范围是( )

A. (0, ] B. [0, ] C. [0, ] D. (0, ]
6 3 6 3
2 2
3.过椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左焦点 ( , 0)( > 0)的直线与 的一个交点为 ，与圆 ：
2 + 2 =

1
2相切于点 ，若 = ，则 的离心率为( )
4
1 √ 3 √ 3
A. B. √ 3 1 C. D. 1
2 2 2
4.已知圆 1：( 2)
2 + ( 3)2 = 1，圆 2：( 3)
2 + ( 4)2 = 9， ， 分别是圆 1， 2上的动点， 为
轴上的动点，则| | + | |的最小值为( )
A. √ 17 1 B. 5√ 2 4 C. 6 2√ 2 D. √ 17
二、填空题：本题共 12 小题，共 54 分。
5.双曲线3 2 2 = 8的两条渐近线为______．
1
6.抛物线的准线方程是 = ，则其标准方程是______．
2
2 2
7.椭圆 + = 1的长轴长为______．
4 3
2
8.双曲线 2 = 1的左焦点到其渐近线的距离为______．
3
2 2 √ 6
9.已知双曲线 + = 1的离心率 = ，则 = ______．
2 2
√ 2
10.在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心为原点，焦点 1， 2在 轴上，离心率为 .过 1的直线 交椭圆 2
于 ， 两点，且△ 2的周长为16，那么椭圆 的方程为______．
11.圆 2 + 2 2 6 + 9 = 0关于直线 1 = 0对称的圆的一般方程是______．
2 √ 3
12.已知 1， 2是椭圆 +
2 = 1的两个焦点， 是椭圆上在第一象限内的点，当△ 的面积为 ，则
4 1 2 2 1
2 = ______．
13.著名的天文学家、数学家开普勒发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所
有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳中心处在椭圆的一个焦点上.记地球绕太阳运动的轨道为椭圆 ，
在地球绕太阳运动的过程中，若地球轨道与太阳中心的最远距离与最近距离之比为2，则 的离心率为 ．
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14.与圆 1：( + 3)
2 + 2 = 1外切，且与圆 2：( 3)
2 + 2 = 81内切的动圆圆心 的轨迹方程为______．
2
15.已知 1( 1, 1)， 2( 2 , 2)两点均在双曲线 ：
2
2 = 1( > 0)的右支上，若 1 2 > 1 2恒成立，则实
数 的取值范围为______．
16.已知 ( 0 , 0)为圆 ：( )
2 + ( )2 = 2( > 0)上的任意一点，当 ≠ 时，| 0 0 + | + | 0
0 + |的值与 0， 0无关，下列结论正确的是______．
(1)当| | = 2√ 2 时，点( , )的轨迹是一条直线；
(2)当| | = 2√ 2时，有 的最大值为1；
(3)当 = √ 2， = 2时， 的取值范围 ≥ 6．
三、解答题：本题共 5 小题，共 78 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
2
已知椭圆 + 2 = 1的左焦点为 1，直线 ： = 1与椭圆 交于 、 两点． 2
(1)求线段 的长；
(2)求△ 1的面积．
18.(本小题14分)
√ 5
已知双曲线 的中心在原点，焦点 ( , 0)，双曲线过点(1, √ 3)，且直线 ： = + 1与双曲线 交于 、 两
2
点．
(1)求双曲线的方程；
(2) 为何值时 ⊥ ．
19.(本小题14分)
已知抛物线 ： 2 = 4 的焦点为 ．
(1)求抛物线 的焦点坐标和准线方程；
(2)过焦点 的直线 与抛物线交于 、 两点，若| | = 3，求线段 的长．
20.(本小题18分)
2
已知双曲线 ： 2 = 1，点 1、 2分别为双曲线的左、右焦点， ( 3 1
, 1)、 ( 2, 2)为双曲线上的点．
(1)求右焦点 2到双曲线的渐近线的距离；
(2)若 2 = 3 2 ，求直线 的方程；
(3)若 1// 2，其中 、 两点均在 轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形 1 2 的面积的
取值范围．
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21.(本小题18分)
“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富
的数学知识，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸(如图)：
步骤1：设圆心是 ，在圆内异于圆心处取一定点，记为 ；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点 (即折叠后图中的点 与点 重合)；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与 的交点为 ；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．
现对这些折痕所围成的图形进行建模研究.若取半径为6的圆形纸片，如图，设定点 到圆心 的距离为4，按
上述方法折纸.以点 ， 所在的直线为 轴，线段 中点为原点建立平面直角坐标系．
(1)若已研究出折痕所围成的图形即是折痕与线段 交点的轨迹，求折痕围成的轨迹的标准方程．
1
(2)直线 = 1与 在第一象限内交于点 ，直线 ： = + 与 交于 、 两点(均异于点 )，则直线 、
2
的斜率之和是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
(3)记(1)问所得图形为曲线 ，若过点 (1,0)且不与 轴垂直的直线 与曲线 交于 、 两点，在 轴的正半
轴上是否存在定点 ( , 0)，使得直线 ， 斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请
说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】 = ±√ 3
6.【答案】 2 = 2
7.【答案】4
8.【答案】√ 3
9.【答案】1
2 2
10.【答案】 + = 1
16 8
11.【答案】( 4)2 + 2 = 1
1
12.【答案】
4
1
13.【答案】
3
2 2
14.【答案】 + = 1
25 16
15.【答案】[1,+∞)
16.【答案】①②
2 2 3
17.【答案】解：(1)联立直线与椭圆方程得{ + = 12 2 2 = 0，
2
= 1
4
解得 1 = 0, 2 = ， 3
4 1
所以 (0, 1), ( , )，
3 3
所以| | = √ ( )2 2
4√ 2
1 2 + ( 1 2) = ； 3
(2)由题可知，左焦点 1( 1,0)，
| 2|
所以点 1到直线 ： 1 = 0的距离为 = = √ 2， √ 2
1 1 4√ 2 4
故 △ = | | = × × √ 2 = ． 1 2 2 3 3
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2 2
18.【答案】解：(1)设双曲线方程为 = 1，
2 2
√ 5 1 3
由题可得 = ， 2 2 = 1，
2 = 2 + 2，
2
1
解得： 2 = ， 2 = 1，
4
所以双曲线的方程为：4 2 2 = 1；
(2)由题，设 ( 1 , 1)， ( 2, 2)，
= + 1
联立方程组{ 2 2 ，化简得(4
2) 2 2 2 = 0，
4 = 1
则 = ( 2 )2 + 4 × 2(4 2)> 0，解得： 2√ 2 < < 2√ 2，且 ≠ ±2，
2 2
所以 1 + 2 = 2， 1 2 = 2，
4 4
又 = ( , )， 1 1 = ( , )， ⊥ 2 2 ，
所以 1 2 + 1 2 = 0，
即(1 + 2) 1 2 + ( 1 + 2)+ 1 = 0，
2 2
即(1 + 2)× ( 2 )+ × 2 +1 = 0，
4 4
解得： = ±√ 2，
即当 = ±√ 2时， ⊥ ．
19.【答案】解：(1)因为2 = 4，
解得 = 2，
则抛物线 的焦点坐标 (1,0)，准线方程为 = 1；
(2)不妨设 ( 1 , 1)， ( 2, 2)，
因为| | = 1 + 1 = 3，
所以 1 = 2，
当 = 2时，
解得 = ±2√ 2，
不妨令 (2,2√ 2)，
此时直线 的方程为 = 2√ 2( 1)，
2 = 4
联立{ ，消去 并整理得2 2 5 +2 = 0，
= 2√ 2( 1)
5
由韦达定理得 1 + 2 = ， 2
9
则| | = | | + | | = | 1|+ | 1| = 1 +1 + 2 + 1 = ． 2
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20.【答案】解：(1)由题，右焦点 2 (2,0)，
渐近线方程为√ 3 ± = 0，
2√ 3
因此焦点 2到渐近线的距离为 = = √ 3； 2
(2)显然，直线 不与 轴重合，设直线 方程为 = + 2，
由 2 = 3 2 ，得 1 = 3 2，
= +2
联立方程{ 2 2 2
2
，得(3 1) + 12 + 9 = 0，
= 1
3
12 9
其中， = 36 2 +36 > 0恒成立， 1 + 2 = 3 2
， 1 1 2
= ，
3 2 1
6 3
代入 1 = 3 2，消元得 2 = 2 ，
2
3 1 2
= ，
3 2 1
3 6 √ 15
即 2 = ( )
2
2 ，解得 = ± ， 3 1 3 1 15
√ 15
所以，直线 的方程为 = ± + 2；
15
(3)延长 1交双曲线于点 ，延长 2交双曲线于点 .则由对称性得，四边形 为平行四边形，且面积为
四边形 1 2 面积的2倍，
由题，设 ( 3, 3)，直线 程为 = 2，直线 方程 = +2，
√ 36 2+36 6( 2+1)
由第(2)问，易得| | = √ 1 + 2| 2 3| = √ 1 + 2 |3 2
= 2 ， 1| |3 1|
1 6( 2+1)
因为 2 3 < 0，得3
2 1 < 0，即0 ≤ 2 < ，因而| | = ，
3 1 3 2
4
平行线 与 之间的距离为 = ，
√ 1+ 2
1 1 12√ 1+ 2
因此， 1 2 = = | | = ， 2 2 1 3 2
4
令√ 1 + 2 = ，则1 ≤ 1 + 2 < ，
3
2
故 ∈ [1, √ 3),
3
12 12 2
得 = 2 = 4 在 ∈ [1, √ 3)上是严格增函数， 1 2 4 3 3 3

故 1 2 ≥ 12(等号当且仅当 = 1时成立)
所以，四边形 1 2 面积的取值范围为[12,+∞)．
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21.【答案】解：(1)如图，以点 ， 所在的直线为 轴，线段 中点为原点建立平面直角坐标系，
设交点 ( , )，由题意知| | + | | = | | + | | = 6 > | | = 4，
所以点 的轨迹是以 ， 为焦点，长轴长为6的椭圆，
则2 = 6，2 = 4，所以 = 3， = 2，所以 2 = 2 2 = 5，
2 2
所以点 的轨迹方程为 + = 1．
9 5
(2)不为定值，理由如下：
直线 = 1与椭圆在第一象限内的交点 2√ 10 (1, )，
3
1
= +
2
设 ( 1 , 1)， ( 2, 2)， 1 ≠ 2 ≠ 1，联立{ 2 2 ，
+ = 1
9 5
消去 得29 2 + 36 + 36 2 180 = 0， = (36 )2 4× 29(36 2 180) > 0，
解得 √ 29 √ 29 < < ，
2 2
2
由韦达定理得 36 36 180 1 + 2 = , 29 1
2 = ， 29
2√ 10 2√ 10
1 2
+ = 3 + 3 1 1 2 1
1 2√ 10 1 2√ 10
( 1+ )( 2 1)+( 2+ )( 1)
= 2 3 2 3
1
( 1 1)( 2 1)
2√ 10 1 4√ 10
1 2+( )( 1+ 2) 2 +
= 3 2 3 不为定值．
1 2 ( 1+ 2)+1
2 2
(3) + = 1设直线 的方程为 = + 1，联立{ 9 5 ，消去 得(5 2 + 9) 2 +10 40 = 0，
= + 1
其中 = 100 2 + 160(5 2 +9) = 20(45 2 + 72) > 0，
10 40
设 ( 3 , 3)， ( 4 , 4)，则 3 + 4 = 2 ， 3 4 =5 +9 5 2 ， +9
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3
4
所以 = 3 4

= 3 4
( 3+1 )( 4+1 )

= 3 4
2
2
3 4+ (1 )( 3+ 4)+(1 )
40
= 5
2+9
40 2 10 2(1 ) 2
2 + 2 +(1 )5 +9 5 +9
40
=
5( 2
2，
9) 2+9(1 )
要使 为定值，则
2 9 = 0，∵ > 0，∴ = 3，
10
此时 = ． 9
所以存在点 (3,0)
10
使得直线 ， 斜率之积为定值，定值为 ．
9
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