江苏省南京外国语学校2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷（PDF版，含答案）

江苏省南京外国语学校 2024-2025 学年高二上学期 12 月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.记等差数列{ }的前 项和为 ，已知 3 + 6 = 8，则 8 =( )
A. 28 B. 30 C. 32 D. 36
2.已知等差数列{ }的首项为1，若 1， 2， 3 + 1成等比数列，则 4 =( )
A. 2 B. 4 C. 8 D. 2或4

3.在等比数列{ }中， < ( ∈ )，其前 项和为 ，且6 是 和 的等差中项，则 4 +1 6 7 8 =( ) 2
A. 10 B. 15 C. 18 D. 20
4.若数列{ }为等比数列，则“ 3 ≥ 1”是“ 1 + 5 ≥ 2”的( )
A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件
C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件
2 2 2 2
5.已知 > > 0，设椭圆 1： 2 + 2 = 1与双曲线 2： 2 2 = 1的离心率分别为 1， 2.若 2 = 3 1，则双
曲线 2的渐近线方程为( )
2√ 5 4 √ 5 √ 5
A. = ± B. = ± C. = ± D. = ±
5 5 2 5
6.设数列{ }是以2为首项，1为公差的等差数列，{ }是以1为首项，2为公比的等比数列，则 + + +1 2
=( ) 10
A. 1033 B. 1034 C. 2057 D. 2058
7.已知数列{ }满足 1 = 1，前 项和为 ，

+1 = 2 ( ∈ )，则 2024等于( )
A. 22024 1 B. 3 × 21012 1 C. 3 × 21012 2 D. 3 × 21012 3
8.在学习完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对于“等差×等比数列”此类数列求和，也可以使用
“裂项相消法”求解.例如 = ( + 1) 2
= ( + 1) 2 ( ) 2 +1，故数列{ }的前 项和 = 1 +
2 + 3 + + = 0 × 2
1 ( 1) × 22 + ( 1) × 22 ( 2) × 2
3 + + ( + 1) 2 ( ) 2 +1 =
2
2 +1

，记数列{ }的前 项和为 ，利用上述方法求 40 6 =( ) 2
883 883 883 883
A.
240
B. 40 C. 39 D. 2 2 239
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列{ }的前 项和为 ，下列说法正确的是( )
A. 若点( , )在函数 = + ( , 为常数)的图象上，则{ }为等差数列
B. 若{ }、{ }为等比数列，则{ + }为等比数列
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C. 若{ }为等差数列， 1 > 0， 11 > 0， 12 < 0，则当 = 6时， 最大
1 1
D. 若{ }为等比数列且
1
= 3 ，则 = 6 6
2 2
10.已知双曲线 ： = 1的左右焦点分别为 ，
4 12 1 2
，点 是 上一点，经过点 (1,√ 2)作斜率为 的直线
与 交于 ， 两点，则下列结论正确的有( )
A. 若| 1| = 5，则| 2| = 1或9
B. 左焦点 1到渐近线距离为2√ 3
C. 若 ， 两点分别位于 的两支，则 ∈ ( √ 3,√ 3)
D. 点 不可能是线段 的中点
11.唐代诗人罗隐有咏“蜂”诗云：“不论平地与山尖，无限风光尽被占.采
得百花成蜜后，为谁辛苦为谁甜？”蜜蜂是最令人敬佩的建筑专家，蜂巢
的结构十分的精密，其中的蜂房均为正六棱柱状.如图是蜂房的一部分，若
一只蜜蜂从蜂房 出发，想爬到第1，2，3，…， ( ∈ )号蜂房，只允许自左向右(不允许往回走)，记该蜜
蜂爬到第 号蜂房的路线数为数列{ }，则( )
A. 10 = 89 B. 2 2023 = 2024 + 2022
C. ∑2024 = ∑1012 =1 =1 2 +1 D. ∑ =1 = +2 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若{ }是等比数列，且 > 0， 4 5 = 9，则log3 1 + log3 2 + log3 3 + + log3 8 = ______．
2 2 √ 2
13.已知椭圆 2 + 2 = 1( > > 0)的左焦点为 ，过原点且斜率为 的直线与椭圆交于 ， 两点，若 2

2
= ，则椭圆的离心率为______．
2

14.已知数列{ }满足 = 1， = 2 + 1( ∈ )，记数列{
+1
1 +1 }的前 项和为 .若对于任意( +2)( +1+2)
∈ ，不等式 > 恒成立，则实数 的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设等差数列{ }的前 项和为 ，且 6 = 4 3， 5 = 9．
(1)求数列{ }的通项公式；

(2)设数列{ }满足
1 + 22 + +
1
1 +

= ，求数列{ }的前 项和 ． 2 2 2 2
16.(本小题15分)
根据下列条件，分别求满足条件的直线或圆的方程：
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(1)已知以点 ( 1,2)为圆心的圆与直线 1： + 2 + 7 = 0相切，过点 ( 2,0)的动直线 与圆 相交于 ， ，
当| | = 2√ 19时，求直线 的方程．
(2)以 (4, 3)为圆心的圆与圆 2 + 2 = 4相切，求圆 的方程．
17.(本小题15分)
设数列{ }满足 1 = 1， 2 = 2， +2 = 4 +1 3 + 6 3．
(1)证明：数列{ +1 + 3 }为等比数列；
(2)求数列{ }的通项公式．
18.(本小题17分)
1 1
在平面直角坐标系 中， 轴右侧动点 到 轴的距离比点 到点 ( , 0)的距离小 ，动点 的轨迹为 ．
4 4
(1)求 的方程；
(2)过曲线 上一点 (1, 0)作两条互相垂直的直线分别交曲线 于 ， 两点，过点 作 ⊥ ，交 于点
，若点 的坐标为(0, 1)，求 长度的最小值．
19.(本小题17分)

设{ }的前 项和为 = (1 + )，且 2 + 3 = 5． 2
(1)求{ }的通项公式；
, 为奇数
(2)数列{ }的通项公式为 = { ，求其前 项和 ；
2

, 为偶数
1 3
(3)记 = ，{ 2
}的前 项和为 ，求证： < ．
4
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】8
√ 2
13.【答案】
2
1
14.【答案】[ , +∞)
3
6×5 3×2
= 6 + = 4 × (3 + )
15.【答案】解：(1)设等差数列{ }的首项为
6 1 1
1，公差为 ，所以{ 2 2 ，解
5 = 1 + 4 = 9

得{ 1
= 1
，
= 2
故 = 1 + 2( 1) = 2 1．
(2)由(1)得： 2 = ，

由于 1 + 2

2 +. . . +

= 2，①， 2 2 2

所以 1

+ 2

2 +. . . +
1 2
1 = ( 1) ，②， 2 2 2

① ②得： = 2 1，故 = (2 1) 2
，
2
所以： 1 2 = 1 × 2 + 3 × 2 +. . . +(2 1) 2
，③，
故2 = 1 × 2
2 + 3 × 23+. . . +(2 1) 2 +1，④，
③ ④得： = (2 3) 2
+1 + 6．
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| 1×1+2×2+7|
16.【答案】(1)易知 ( 1,2)到直线 + 2 + 7 = 0的距离为圆 半径 ，所以 = = 2√ 5，则圆
√ 12+22
方程为( + 1)2 + ( 2)2 = 20，
过 做 ⊥ ，由垂径定理可知∠ = 90°，且| | = √ 19，
在 △ 中由勾股定理易知| | = √ | |2 | |2 = 1，
①当动直线 斜率不存在时，设直线 的方程为 = 2，
经检验圆心到直线 的距离为1，且根据勾股定理可知| | = 2√ 19，显然 = 2合题意，
②当动直线 斜率存在时， 过点 ( 2,0)，设 方程为： = ( + 2)，
| +2 2| 3
由 ( 1,2)到 距离为1知 = 1，解得 = ，代入得到直线的方程为3 4 + 6 = 0，
2 4√ 1+
所以3 4 + 6 = 0或 = 2即为所求．
(2)两圆的圆之心之间的距离为√ 42 + ( 3)2 = 5．
①当两圆外切时，圆 的半径为5 2 = 3；
②当两圆内切时，圆 的半径为5 + 2 = 7．
∴圆 的方程为( 4)2 + ( + 3)2 = 49或( 4)2 + ( + 3)2 = 9．
故答案为：( 4)2 + ( + 3)2 = 49或( 4)2 + ( + 3)2 = 9．
17.【答案】(1)证明：已知数列{ }满足 1 = 1， 2 = 2， +2 = 4 +1 3 + 6 3，
则 +2 +1 + 3( + 1) = 3( +1 + 3 )，
又 2 1 + 3 = 4，
则数列{ +1 + 3 }是以4为首项，3为公比的等比数列；
(2)解：由(1)可得 +1 + 3 = 4 × 3
1，
则当 ≥ 2时， = ( 2 3 1) + ( 1 2)+. . . +( 2 1) + 1 = 4 × (3 + 3 +. . . +3
0) 3[(
4(1 3 1) 3(1+ 1)( 1)
1) + ( 2)+. . . +1] + 1 = + 1 = 2 3 1
3 ( 1)
1，
1 3 2 2
又当 = 1时， 1 = 1满足上式，
3 ( 1)
即 = 2 3
1 1．
2
1 1
18.【答案】解：(1)设 ( , )， > 0，由动点 到 轴的距离比点 到点 ( , 0)的距离小 ，
4 4
1 1 1
可得| | + = √ ( )2 + 2，两边平方可得 2 = ( + | |)，
4 4 2
由 > 0， 2 = ，
则 的方程为 2 = ( > 0)；
(2)可设 (1,1)，
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设 ( 2, )， ( 21 1 2 , 2)，
1 1 1 1
=
1
2 = ， =
2 = ，
1 1+1
21 2 1 2+1
由 ⊥ ，可得 = 1，即 1 2 + ( 1 + 2) + 2 = 0，
设直线 的方程为 = + ，代入 2 = ，可得 2 = 0， = 2 + 4 > 0，
即有 1 + 2 = ， 1 2 = ，则 + + 2 = 0，
则直线 的方程为 = + + 2 = ( + 1) + 2，可得直线 恒过定点 (2, 1)，
3 √ 5
又 ⊥ ，交 于点 ，可得 在以 为直径的圆上，且圆心为( , 0)，半径为 ，
2 2
3 √ 5 √ 13 √ 5
则 长度的最小值为√ ( 0)2 + (0 + 1)2 = ．
2 2 2

19.【答案】解：(1){ }的前 项和为 = (1 + )，且 2 + 2 3 = 5，
1
可得 1 = 1 = (1 + 1)，解得 1 = 1， 2
3 3
当 = 3时， 1 + 2 + 3 = (1 + 3)，即1 + 5 = (1 + 3)，解得 3 = 3， 2 = 2， 2 2
1
当 ≥ 2时，由 = (1 + )，可得 1 = (1 + 2 2 1)，
1
相减可得 = 1 = (1 + ) (1 + 2 2 1)，
化为( 2) ( 1) 1 = 1，

当 ≥ 3时，
1 1 1 1 = = ，
1 2 ( 1)( 2) 1 2
可得 = 2 + (
3 ) + ( 4 3)+. . . +( 1)
1 2 2 3 2 1 2
1 1 1 1 1 1
= 2 + 1 + +. . . + = 1 + = ，
2 3 2 1 2 1 1
可得 = ，对 = 1， = 2也成立，
所以 = ， ∈ ；
, 为奇数 , 为奇数
(2)数列{ }的通项公式为 = { = { ，
2 , 为偶数 2 , 为偶数
当 为偶数时，可得其前 项和 = (1 + 3 + 5+. . . + 1) + (4 + 16+. . . +2
)

1 1 4(1 42) 1 1
= + = 2 + (2 +2 4)；
2 2 1 4 4 3
1 1 1 1
当 为奇数时， =
2 +1 2 +1
1 + = ( 1) + (2 4) + = ( + 1) + (2 4)， 4 3 4 3
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1
( + 1)2
1
+ (2 +1 4), 为奇数
即有 = {4 3 ； 1 1
2 + (2 +2 4), 为偶数
4 3
1 1
(3)证明： = = ， 2 2
1 1
(1 )
1 1 1 1 1 5 1 1 1 5 16 2
{ 2 }的前 项和为 = + + + +. . . + < + + +. . . + = + 2 8 24 56 2 8 16 32 2 +1 8 11
2
5 1 1 3 1 3
= + (1 2) = +1 < ． 8 8 2 4 2 4
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