河北省唐山市迁安市2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

河北省迁安市 2024-2025 学年高一上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {0,1,2,3,4,5}， = {1,2,5}， = {0,1,5}，则 ( ∪ ) =( )
A. {1,5} B. {0,2,3,4} C. {3,4} D. {0,1,2,5}
2.已知 ：0 < < 2， ： 1 < < 3，则 是 的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充要也不必要条件
3.已知幂函数 = ( )的图象经过点(2, √ 2)，则 (4) =( )
1 √ 2
A. 2 B. C. D. 2√ 2
2 2
4. = (2 1) + 是 上的减函数，则有( )
1 1 1 1
A. > B. > C. < D. <
2 2 2 2
1
5.已知函数 ( ) = ，则下列选项正确的是( )
1+
1 1 1 1 1 1
A. ( ) = B. ( ) = C. ( ) = ( ) D. ( ) = ( )
( ) ( )
6.已知函数 ( ) = 3，则不等式 (1 ) + (1 2) < 0的解集为( )
A. 0 < < 1 B. < 2或 > 1
C. < 1或 > 2 D. 2 < < 1
3
7.若命题：“ ∈ ，2 2 + ≥ 0”是假命题，则实数 的取值范围是( )
8
A. 3 ≤ ≤ 0 B. 3 ≤ < 0 C. 3 < < 0 D. 3 < ≤ 0
8.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10 黄金，售货员先将5 的砝码放在
天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金
放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．若顾客实际购得的黄金为 ，则( )
A. > 10 B. = 10 C. < 10 D. 以上都有可能
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，正确的有( )
A. 集合{1,2}的所有真子集为{1}，{2}
B. 若{1, } = {2, }(其中 ， ∈ )，则 + = 3
C. { | 是菱形} { | 是平行四边形}
D. { | = 3 , ∈ } { | = 6 , ∈ }
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10.下列不等式中成立的是( )
A. 若 > > 0，则 2 > 2 B. 若 > > 0，则 2 > 2
1 1
C. 若 < < 0，则 < D. 若 < < 0，则 2 > > 2

11.以下命题正确的是( )
A. = √ 2与 = 不是同一个函数
B. 命题：“ ∈ ， + 2 ≤ 0”的否定是“ ， + 2 > 0”
+ 2, ≤ 2
C. 若函数 ( ) = { 2 在 上单调递增，则正实数 的取值范围是(0,1] , > 2
( +1)( + )
D. 设函数 ( ) = 为奇函数，则 = 1

三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
4
12.函数 ( ) = √ 2 + 的定义域为______．
3
9
13.已知 < 1， + 的最大值为______．
1
, ( ≥ ) 9
14.对 ， ∈ ，记 { , } = { ，则函数 ( ) = {| + 1|, 2 2 + }的最小值为______．
, ( < ) 4
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设集合 = { |0 ≤ ≤ 2}， = { |2 < ≤ 8}．
(Ⅰ)当 = 3，时求 ( ∪ )，( ) ∩ ；
(Ⅱ)若 ，求 的取值范围．
16.(本小题15分)
已知二次函数 ( ) = 2 ．
(Ⅰ)当 = 1且 = 6时，解关于 的不等式 ( ) < 0；
(Ⅱ)若 ( ) < 0的解集是{ | 1 < < 2}，求 ， ．
17.(本小题15分)
一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小10%，而且这个比
值越大，采光效果越好．
(1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220 2，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？
(2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？
18.(本小题17分)
已知函数 ( )是定义在 上的偶函数，且当 ≤ 0时， ( ) = 2 2 ，现已画出函数 ( )在 轴左侧的图
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象，如图所示，并根据图象：
(Ⅰ)画出函数 ( )在 轴右侧的图象并写出函数 ( )( ∈ )的增区间；
(Ⅱ)写出函数 ( )( ∈ )的解析式；
(Ⅲ)若函数 ( ) = ( ) + (2 2) + 2( ∈ [1,2])，求函数 ( )的最大值．
19.(本小题17分)
我们知道，函数 = ( )的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 = ( )为奇函数，有同学
发现可以将其推广为：函数 = ( )的图象关于点 ( , )成中心对称图形的充要条件是函数 = ( + )
为奇函数.已知 ( ) = 3 3 2 + 1．
(Ⅰ)求证：函数 ( )图象的对称中心是(1, 1)；
(Ⅱ)求 ( 10) + ( 9) + + (0) + (1) + (2) + + (11) + (12)；
1 2
(Ⅲ)若 > 0、 > 0，且 (2 ) + ( + 1) = 2，则 + 的最小值．

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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】[2,3) ∪ (3, +∞)
13.【答案】 5
3
14.【答案】
2
15.【答案】解：(Ⅰ)当 = 3时，集合 = { |0 ≤ ≤ 2} = { |3 ≤ ≤ 5}，
又因为 = { |2 < ≤ 8}，
所以 ∪ = { |2 < ≤ 8}，
所以 ( ∪ ) = { | ≤ 2或 > 8}，
又因为 = { | < 3或 > 5}，
所以( ) ∩ = { |2 < < 3或5 < ≤ 8}；
(Ⅱ)集合 = { |0 ≤ ≤ 2} = { | ≤ ≤ + 2}， = { |2 < ≤ 8}，
显然 ≠ ，
> 2
若 ，则{ ，
+ 2 ≤ 8
解得2 < ≤ 6，
即 的取值范围为(2,6]．
16.【答案】解：二次函数 ( ) = 2 ．
(Ⅰ) = 1且 = 6时， ( ) < 0即 2 6 = ( 3)( + 2) < 0，可得 2 < < 3，
即不等式 ( ) < 0的解集为{ | 2 < < 3}；
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(Ⅱ) ( ) < 0的解集是{ | 1 < < 2}，
即 2 = 0的根为 1和2，
= ( 1) + 2 = 1
所以{ ，解得{ ．
= ( 1) × 2 = 2
17.【答案】解：(1)设这所公寓的客户面积为 平方米，则地板面积为(220 )平方米，
< 220 220
由题意可得：{ ≥ 10%，解得： ≤ < 110． 9
220
220
所以这所公寓的窗户面积至少为 平方米．
9
(2)设窗户面积为 平方米，地板面积为 平方米，窗户和地板同时增加 平方米，
+ ( + ) ( + ) ( )
则 = = ，
+ ( + ) ( + )
由题意可知0 < < ， > 0，
( ) +
∴ < 0，即 < ．
( + ) +
∴公寓的采光效果变坏了．
18.【答案】解：(Ⅰ)函数 ( )是定义在 上的偶函数，所以函数 ( )的图象关于 轴对称，
画出函数 ( )在 轴右侧的图象，如图所示：
由图象可知，其递增区间为( ∞, 1)，(0,1)；
(Ⅱ)令 > 0，则 < 0，
则 ( ) = 2 + 2 ，
因为函数 ( )是定义在团上的偶函数，
则 ( ) = ( ) = 2 + 2 ，
2 2 , ≤ 0
所以 ( ) = { ；
2 + 2 , > 0
(Ⅲ)函数 ( ) = ( ) + (2 2) + 2( ∈ [1,2])，
因为 ∈ [1,2]，则 ( ) = 2 + 2 ，
则 ( ) = 2 + 2 + (2 2) + 2 = 2 + 2 + 2，其对称轴为 = ，
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当 < 1时， ( )在区间[1,2]上为增函数， ( ) = (1) = 2 + 1，
当1 ≤ < 2时， ( ) 2 = ( ) = + 2，
当 ≥ 2时， ( )在区间[1,2]上为减函数， ( ) = (2) = 4 2，
2 + 1, < 1
则 ( ) = {
2 + 2,1 ≤ < 2．
4 2, ≥ 2
19.【答案】解：(Ⅰ)证明： ( ) = 3 3 2 + 1 = ( 1)3 3( 1) 1，
设 ( ) = ( + 1) + 1，
则 ( ) = 3 3 ，
易得 ( )的定义域为 ，且 ( ) = ( )，则 ( )为奇函数，
则函数 ( )图象的对称中心是(1, 1)；
(Ⅱ)根据题意，由(Ⅰ)的结论，函数 ( )图象的对称中心是(1, 1)，
则有 ( 10) + (12) = 2， ( 9) + (11) = 2，… …， (0) + (2) = 2，
又由 (1) = 1，
则 ( 10) + ( 9) + + (0) + (1) + (2) + + (11) + (12) = 23；
(Ⅲ)根据题意，若 > 0、 > 0，且 (2 ) + ( + 1) = 2，
则2 + + 1 = 2，变形可得2 + = 1，
1 2 1 2 4 4
则 + = (2 + )( + ) = 4 + + ≥ 4 + 2√ × = 8，

当且仅当 = 2 时等号成立，
1 2
故 + 的最小值为8．

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