河北省金太阳2023-2024学年高二下学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

河北省金太阳 2023-2024 学年高二下学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合 = { | 2 < < 2}， = { 1,0,1,2}，则 ∩ =( )
A. B. {0,1} C. { 1,0} D. { 1,0,1}
2.已知命题 ： ∈ [0, +∞)， 2 4 + 4 > 0，命题 ： ∈ ， = 10 ，则( )
A. 和 都是真命题 B. ￢ 和 都是真命题
C. 和￢ 都是真命题 D. ￢ 和￢ 都是真命题
3.已知函数 ( )的导函数为 ′( )，且 ( ) = 2 ′(2) ，则 ′(2) =( )
A. 2 B. 2 C. 1 D. 1
4.已知函数 ( ) = lg(6 2)在( , + 1)上单调递增，则 的取值范围是( )
A. [0,2] B. (0,2] C. [3,5] D. [3,5)
1
5.已知 = 72, = 293, = ，则下列判断正确的是( ) 3
A. < < B. < < C. < < D. < <
1 1
6.已知 ， 为正实数，则“ + ≥ 2”是“ + ≤ 2”的( )

A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
7.苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化大数之间的计算而发明了对数，利用对数运算可
以求出大数的位数.已知 5 = 0.699，则89是( )
A. 11位数 B. 10位数 C. 9位数 D. 8位数
8.若直线 是曲线 = 1与 = ln( 1)的公切线，则直线 的方程为( )
A. = 2 B. = C. = + 1 D. =
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图所示，连接棱长为2的正方体各面的中心得到一个多面体容器，从顶点 处向该容器
内注水，直至注满水为止.图中水面的高度为 ，水面对应四边形的面积为 ，容器内水的体
积为 ，则下列说法正确的是( )
A. 是 的函数 B. 是 的函数 C. 是 的函数 D. 是 的函数
10.定义在 上的函数 ( )满足 ( ) = ( ) + ( )，则( )
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A. (0) = 0 B. ( 1) = 0
C. ( )为偶函数 D. ( )可能在(1, +∞)上单调递增
|2 1|, ≤ 2
11.已知函数 ( ) = { ， < < < ，且 ( ) = ( ) = ( ) < ( )，则下列说法正确的是
5 , > 2
( )
A. ≥ 1 B. + < 0
C. 2 < 5 D. 2 + 2 + 2 的取值范围为(18,34)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 是函数 ( ) = 3 + 6的极大值点，则 = ______．
1
13.已知函数 ( ) = ln(| | + 1) 2 ，则不等式 ( ) < (1 )的解集为______． +2
14.若不等式| 3 + ( + ) | ≤ 对 ∈ [1,2]恒成立，则8 + 的最大值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知 ： ∈ ， 2 + 2 + 1 = 0， ： ≤ 或 ≥ + 3．
(1)若命题￢ 是真命题，求实数 的取值范围；
(2)若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
16.(本小题15分)
已知幂函数 ( ) = ( 2 3 + 3) 为偶函数，且函数 ( )满足 ( 1) = ( )．
(1)求函数 ( )和 ( )的解析式；
(2)对任意实数 ∈ ( 1,4), ( ) + √ ( ) ≥ 0恒成立，求 的取值范围．
17.(本小题15分)
2
已知函数 ( ) = + ． +1
(1)若 ′( ) ≥ 0，求 的最小值；
(2)证明：曲线 = ( )是中心对称图形．
18.(本小题17分)
1
已知函数 ( ) = 2 1．
2
(1)讨论 ( )的导函数 ′( )的单调性；
(2)若对任意 > 0， ( ) > 0恒成立，求 的取值范围．
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19.(本小题17分)
已知函数 ( )， ( )，若存在实数 ， ，使得 ( ) + ( ) = 0，则称 ( )与 ( )为“互补函数”， ， 为
“互补数”．
1
(1)判断函数 ( ) = + ( < 0)与 ( ) = 是否为“互补函数”，并说明理由．
16

(2)已知函数 ( ) = 1 ( < 0), ( ) = ( + 1)
为“互补函数”，且 ， 为“互补数”．

( )是否存在 ， ，使得 + = 0？说明理由．
( )若 + ∈ [ , 0)， ∈ ( 1,0)，用 的代数式表示 的最大值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
√ 3
12.【答案】
3
1
13.【答案】( ∞, )
2
14.【答案】3
15.【答案】解：(1)因为命题￢ 是真命题，所以命题 是假命题，即关于 的方程 2 + 2 + 1 = 0无实数
根．
①当 = 0时，方程化为1 = 0，解集为空集，符合题意；
②当 ≠ 0时， = 4 2 4 < 0，解得0 < < 1．
综上所述，实数 的取值范围是[0,1)．
(2)根据(1)的结论，可知：若命题 是真命题，则 ∈ ( ∞, 0) ∪ [1，+∞)．
若 是 的必要不充分条件，
则设 = { | ≤ 或 ≥ + 3}， = ( ∞, 0) ∪ [1，+∞)， ，
< 0
即{ ，解得 2 ≤ < 0，所以实数 的取值范围是[ 2,0)．
+ 3 ≥ 1
16.【答案】解：(1)由 ( )为幂函数，得 2 3 + 3 = 1，解得 = 1或 = 2．
因为 ( )为偶函数，
所以 = 2，
则 ( ) = 2；
由 ( 1) = ( )，
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可得 ( 1) = 2，
令 1 = ，
则 ( ) = ( + 1)2 = 2 + 2 + 1，
所以 ( ) = 2 + 2 + 1；
(2)由 ( ) + √ ( ) ≥ 0，
可得 2 + ( + 1) ≥ 0， ∈ ( 1,4)，
2
故 ≥ ，
+1
令 + 1 = ， ∈ (0,5)，
2
2
( 1) 1 1
则 = = + 2 ≥ 2√ 2 = 0，
+1
当且仅当 = 1，即 = 0时，等号成立，
所以 ≤ 0，即 ≥ 0，
所以 的取值范围为[0, +∞)．
2 2
17.【答案】解：(1) ′( ) = 2 + ≥ 0，即 ≥ 2，
( +1) ( +1)
2 2 2 2 1
因为 2 = = 1 ≤ = ，
( +1) 2 +2 +1 +2+ 1 2 2+2√
1
当且仅当 = 0时，等号成立，所以 ≥ ，
2
1
故 的最小值为 ．
2
2 2 2 2 2 +2
(2)证明：由题可知 ( ) + ( ) = + + = + = = 2， +1 +1 +1 +1 +1
所以曲线 = ( )关于点(0,1)对称，即曲线 = ( )是中心对称图形．
18.【答案】解：(1)由题可知 ′( ) = 1，
设 ( ) = ′( )，则 ′( ) = ，
当 ≤ 0时， ′( ) = > 0在 上恒成立，所以 ( ) = ′( )在( ∞, +∞)上单调递增；
当 > 0时，令 ′( ) > 0，得 > ，令 ′( ) < 0，得 < ，
所以 ( ) = ′( )在( ∞, )上单调递减，在( , +∞)上单调递增．
综上所述，当 ≤ 0时， = ′( )是( ∞, +∞)上的增函数，
当 > 0时， = ′( )在( ∞, )上是减函数，在( , +∞)上是增函数．
(2)当 ≤ 0时， ′( )在(0, +∞)上单调递增， ′(0) = 0，
则 ′( ) > 0， ( )在(0, +∞)上单调递增，故 ( ) > (0) = 0成立；
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当0 < ≤ 1时， ≤ 0，所以 ′( )在(0, +∞)上单调递增， ′(0) = 0，
则 ′( ) > 0， ( )单调递增，故 ( ) > (0) = 0成立；
当 > 1时，当0 < < 时， ′( ) = < 0， ′( )在(0, )上单调递减，
又 ′(0) = 0，所以 ′( ) < 0， ( )在(0, )上单调递减，
则 ( ) < (0) = 0不成立．
综上， 的取值范围为( ∞, 1]．
1 1 1
19.【答案】解：(1)因为 ( ) = + ( < 0)，所以 ( ) ≤ 2√ = ，
16 16 2
1 1
当且仅当 = ，即 = 4时取等号，所以 ( ) ∈ ( ∞, ],
16 2
1
因为 ( ) = ，所以 ′( ) = 2 ，当 ∈ (0, )时， ′( ) > 0，当 ∈ ( , +∞)时， ′( ) < 0，
1
则 ( )在(0, )上单调递增，在( , +∞)上单调递减，所以 ( ) = ( ) = ，
1
所以 ( ) ∈ ( ∞, ]，故不存在实数 ， ，使得 ( ) + ( ) = 0，

则 ( )与 ( )不是”互补函数”．
(2)( )存在 ， ，使得 + = 0．

由 ( ) + ( ) = 0， + = 0，得 1 + ( + 1)
= 0，

1 1
则 = ， = ，故存在．
1 1
( )令 ( ) = ， ( ) = ，则 + 1 = 0， + 1 = 0，
两式相加可得 + + 1 = ( 1 )，
两式相减可得 1 = ( 1 + )，
+ +1 ( 1 ) 1 + 1 1
所以 = =
1 ( 1+ ) 1+
=
+ 1
，
+1
( + 1+1)( + +1)
故 = 1 +
+ 1
．
1
( 1+1)( +1)
令 ( ) = 1 + 1 ， ∈ ( 1,0)， 1
[ 1( +1)+( 1+1)]( 1 1) ( 1+1)( +1) 1 2 2 (2 +2) 1 1
则 ′( ) = 2 = 2 ．
( 1 1) ( 1 1)
因为 ∈ ( 1,0)，所以 2 2 < 1， (2 + 2) 1 < 0，
故当 ∈ ( 1,0)时， ′( ) < 0，即 ( )在( 1,0)上是减函数．
因为 + ∈ [ , 0)， ∈ ( 1,0)，
( 1+1)( +1)
所以 的最大值为1 + ．
1 1
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