北京市延庆区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷（含答案）

北京市延庆区2024-2025学年八年级上学期期末考试
数 学
2025.01
考生须知 1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2.在试卷和答题卡上正确填写学校名称、姓名和考号． 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答．
一、选择题（共16分，每小题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．下列四个图形是国际数学家大会的会标，其中轴对称图形是
（A） （B） （C） （D）
2．下列事件中，随机事件是
（A）在数轴上取一个点，它表示的数是实数 （B）画一个三角形，它的某边上的高线与中线重合 （C）画一个三角形，它的内角和是180° （D）把长度分别是6，8，9的线段首尾顺次相接，组成了一个直角三角形
3．分式有意义，实数a的取值范围是
（A）a≠3 （B）a≠0 （C）a＜3 （D）a≥3
4．三角形的两边长分别为3和6，这个三角形的第三边长可以是
（A）3 （B）6 （C）9 （D）12
5．下列二次根式中，最简二次根式是
（A） （B） （C） （D）
6．下列各式中，计算正确的是
（A） （B）
（C） （D）
7．如图，在△ABC中，AB边上的高线是
（A）线段AD （B）线段AF
（C）线段BG （D）线段CE
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直线BC上取一点P，使得△PAB是
等腰三角形，则符合条件的点P有
（A）1个 （B）2个
（C）3个 （D）4个
二、填空题（共16分，每小题2分）
9．16的算术平方根是________．
10．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．
11．如图，在△ABC中，∠A=80°，点D在边BC的延长线上，
∠ACD=140°，则∠B的度数为________．
12．已知，则________．
13．一个不透明的口袋中装有2个红球和1个黄球，除颜色外都相同，从口袋中随意摸出一个球，摸到红球的可能性大小是________．
14．数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面内径”的探究任务，小聪想到“利用全等三角形对应边相等，可以把不能直接测量的物体‘移’到可以直接测量的位置进行测量”．于是他设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AC，BD的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径AB的长度．此方案中，判定△AOB≌△COD的依据是________．
15．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，CD平分∠ACB，AC=4，BD=1，
则△ACD的面积是________．
16．如图，△ABC是等边三角形，AD是△ABC的中线，点D关于直线AC的对称点为E．连接BE，交AC于点F，交AD于点G，连接AE，DE．
有下面四个结论：
①点A在线段DE的垂直平分线上；
②△ADE是等边三角形；
③△ABG≌△AEF；
④点P是线段AE上的一个动点，PF＋PC的最小值等于BF．
其中所有正确结论的序号是________．
三、解答题（共68分，17-18题，每小题8分；19-26题，每小题5分；27题7分；28题5分）
17．计算：（1）； （2）．
18．解分式方程：（1）； （2）.
19．如图，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且AB=CD，AF=CE．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：AB∥CD．
20．在证明等腰三角形的性质定理1时，甲、乙、丙三位同学的方法如下图所示：
等腰三角形的性质定理1的内容：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 已知：如图，在△ABC中，AB=AC． 求证：∠B=∠C．
甲同学的方法： 证明：作∠BAC的平分线交 BC于点D． 乙同学的方法： 证明：作AE⊥BC于点E． 丙同学的方法： 证明：取BC的中点F， 连接AF．
请选择一种方法补全证明过程．
21．先化简，再求值：，其中a=+2．
22．学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：，甲、乙两位
同学的解答过程分别如下：
老师发现这两位同学的解答过程都有错误．
请你从两位同学中，选择一位同学的解答过程，分析错因，并加以改正．
（1）我选择________同学的解答过程进行分析（填“甲”或“乙”）；
（2）该同学的解答从第________步开始出现错误（填序号），产生错误的原因
可能是 ；
（3）写出正确解答过程．
23．如图，△ABC是等边三角形，D是AB上一点，过点D作BC的平行线交AC于点E．
（1）依题意补全图形；
（2）判断△ADE的形状，并证明．
24．如图，OC是∠AOB的角平分线，点D在射线OA上，点E在射线OB上，点F在射线OC上，连接DF，EF．请你添加一个条件，使△OFD≌△OFE．
小明同学写出以下条件：
①OD=OE， ②∠ODF=∠OEF， ③∠OFD=∠OFE，
④FD=FE， ⑤∠ADF=∠BEF， ⑥∠DFC=∠EFC．
他认为：“添加以上条件中的任何一个，都可以使△OFD≌△OFE．”
（1）小明的说法________（填“正确”或“错误”）；
（2）从小明写出的条件中选择一个________（填写序号），使得△OFD≌△OFE，
补全图形，并写出证明过程．
25．列方程解应用题：
远大中学组织学生到距离学校20千米的农耕园体验农耕劳动．有一部分学生骑自行车前往，另一部分学生在骑自行车的学生出发50分钟后，乘汽车沿相同路线行进，结果骑自行车的学生与乘汽车的学生同时到达农耕园．已知汽车速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度．
26．尺规作图：
已知：如图1，直线MN和直线MN外一点P．
求作：直线PQ，使直线PQ∥MN．
小智的作图思路如下： ①如何得到两条直线平行？ 小智想到，自己学习线与角的时候，有4个定理可以证明两条直线平行，其中有“内错角相等，两条直线平行”． ②如何得到两个角相等？ 小智先回顾了线与角的内容，找到了几个定理和1个概念，可以得到两个角相等．小智又回顾了三角形的知识，也发现了几个可以证明两个角相等的定理．最后，小智选择了角平分线的概念和“等边对等角”． ③画出示意图：
④根据示意图，确定作图顺序．
（1）使用直尺和圆规，按照小智的作图思路补全图形1（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：
（3）参考小智的作图思路，另外设计一种作法，利用直尺和圆规在图2中完成．
（温馨提示：保留作图痕迹，不用写作法和证明）
27．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的高，点E是AB的中点，连接CE交AD于点F，过点E作GE⊥CE于点E，交DA的延长线于点G，交BC于点H．
（1）依题意补全图形；
（2）判断∠ECH和∠EGF的数量关系，并证明；
（3）求证：EC=EG．
28．我们给出如下定义：有一条边及这条边所对的角分别相等的两个三角形称为“关联三角形”．例如，下图中的两个三角形是“关联三角形”．
已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，AB=4．
（1）下列三角形中，Rt△ABC的“关联三角形”是________（填序号）；
（2）若Rt△ABC的“关联三角形”是等腰三角形，则等腰三角形的底边长可以是 ；
（3）若△DEF是Rt△ABC的“关联三角形”，且△DEF的面积是S， 直接写出S的最大值．
参考答案
一、选择题：（共8个小题，每小题2分，共16分）
ABAB DCDB
二、填空题：（共8个小题，每小题2分，共16分）
9． 4 10． x≥9 11．60° 12．2
13． 14．边角边 15．2 16．①②④
三、解答题
17. (本小题满分8分)
（1）
．
（2）
=72+
=7．
(本小题满分8分)
（1）解：方程两边同时乘以，得，
．
．
．
．
．
检验：当时，方程左右两边相等．
所以原分式方程的解为．
（2）解：方程两边同时乘以(x+2)(x2)，得
x2+4x=2(x+2)．
x2+4x=2x+4．
3x=6．
x=2．
检验：当x=2时，最简公分母(x+2)(x2)=0，原方程中的分式无意义．
所以原方程无解．
19. (本小题满分5分)
（1）证明：∵AF=CE，
∴AE+EF＝CF+EF．
∴AE＝CF．
∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AEB =∠CFD=90°．
∴△ABE与△CDF是直角三角形．
在Rt△ABE和Rt△CDF中，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL) ．
（2）证明：∵Rt△ABE≌Rt△CDF，
∴∠A=∠C．
∴AB∥CD．
20. (本小题满分5分)
甲同学的方法：
证明：如图，作∠BAC的平分线交BC于点D．
∴∠BAD＝∠CAD．
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD(SAS)．
∴∠B＝∠C．
乙同学的方法：
证明：如图，作AE⊥BC于点E．
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
在Rt△ABE和Rt△ACE中，
∴Rt△ABE≌Rt△ACE(HL)．
∴∠B＝∠C．
丙同学的方法：
证明：如图，取BC的中点F，连接AF．
∴BF＝CF．
在△ABF和△ACF中，
∴△ABF≌△ACF(SSS)．
∴∠B＝∠C．
21. (本小题满分5分)
解：原式=
=
=
=
=．
当a=+2时，原式=．
22. (本小题满分5分)
（1）略；
（2）略；
（3）
23. (本小题满分5分)
（1）如图；
（2）△ADE是等边三角形．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A =∠B=∠C=60°．
∵DE∥BC，
∴∠ADE =∠B=60°，
∠AED =∠C=60°．
∴∠A =∠ADE =∠AED．
∴△ADE是等边三角形．
24. (本小题满分5分)
（1）错误；
（2）条件：∠ODF=∠OEF．
证明：∵OC是∠AOB的角平分线，
∴∠DOF=∠EOF．
在△OFD和△OFE中，
∴△OFD≌△OFE（AAS）．
说明：添加的条件可以是①，②，③，⑤，⑥．
25. (本小题满分5分)
解：设自行车的速度为x千米/时，则汽车的速度为3x千米/时，由题意得：
，
解得：x＝16，
经检验，x＝16是原方程的解，且符合题意．
答：自行车的速度为16千米/时．
26. (本小题满分5分)
（1）如图；
（2）①等边对等角；
②内错角相等，两条直线平行；
（3）略．
27. (本小题满分7分)
（1）如图；
（2）数量关系：∠ECH=∠EGF；
证明：∵GE⊥CE于点E，
∴∠GEF =∠CEH=90°．
∴∠ECH+∠GHD=90°．
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°．
∴∠EGF+∠GHD=90°．
∴∠ECH =∠EGF．
（3）证明：连接DE．
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B=∠ACB=45°．
∵AD是△ABC的高，
∴∠DAC=∠DAB=45°．
∴∠B =∠DAB．
∴DA =DB．
∵点E是AB的中点，
∴∠AED=90°，∠ADE=∠BDE=45°．
∴∠ADE =∠EAD．
∴EA=ED．
∵∠GEF=∠AED=90°，
∴∠AEG =∠DEC．
在△EDC与△EAG中，
∴△EDC≌△EAG(AAS)．
∴EC=EG．
28. (本小题满分5分)
（1）①③；
（2）2，4，；
（3）.
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