北京市北师大附中2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷（含答案）

北京师大附中2024-2025学年高一上学期期末考试
数 学
班级：___________ 姓名：___________ 学号：___________
考 生 须 知 1．本试卷有三道大题，共6页。考试时长120分钟，满分150分。 2．考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效。 3．考试结束后，考生应将答题纸交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
（1）已知集合，，则
（A） （B） （C） （D）
（2）某市准备建一个体育文化公园，针对公园中的体育设施，某社区采用分层随机抽样的方法对成年居民进行了调查．已知该社区青年居民有840人，中年居民有700人，老年居民有560人．若从中年居民中随机抽取了100人，则这次抽样调查抽取的总人数是
（A）200 （B）250 （C）280 （D）300
（3）已知，，，则，，的大小关系为
（A） （B） （C） （D）
（4）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是
（A） （B） （C） （D）
（5）如下图所示，四点在正方形网格的格点处.若，则实数
（A） （B） （C） （D）
（6）设为非零向量，则“”是“”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（7）已知，从四个不等式 ①，②，③，④中任选2个，事件“所选2个不等式都不成立”的概率是
（A） （B） （C） （D）
（8）2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为“高性能服务器芯片鲲鹏920”、清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”、特斯拉“全自动驾驶芯片”、“思元270”、赛灵思“Versal自适应计算加速平台”．现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有1名学生选择的成果属于芯片领域的概率为
（A） （B） （C） （D）
（9）已知函数若直线与函数的图象有且只有一个公共点，则实数的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
（10）在一定通风条件下，某会议室内的二氧化碳浓度c随时间t（单位：min）的变化规律可以用函数模型近似表达．在该通风条件下测得当时会议室内的二氧化碳浓度，如下表所示，用该模型推算当时c的值约为
t 0 5 10
c 0.15% 0.09% 0.07%
（A）0.07% （B）0.06% （C）0.05% （D）0.04%
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）函数的定义域是_____________．
（12）计算：_____________．
（13）已知向量和不共线，四个不同的点A，B，C，D，满足，
，．若点A，C，D共线，请写出一组满足条件的实数对：_____________．
（14）某校团委为弘扬民族精神，深化爱国主义教育，激发青年一代的历史使命感和时代责任感，在高一年级举办“一二·九”合唱比赛．甲、乙两位评委分别给参赛的13个团支部的最终评分（百分制）如下茎叶图所示，则关于这组数据的下列说法中，正确的是_____________．
① 甲的极差比乙的极差大； ② 甲的众数比乙的众数大；
③ 甲的80％分位数比乙的80％分位数相等； ④ 甲的方差比乙的方差小．
（15）对于函数﹐若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”．已知函数
（Ⅰ）若，则函数是“_______阶准偶函数”；
（Ⅱ）若函数是“阶准偶函数”，则的取值范围是_____________．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
（16）（本小题13分）
已知向量，，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若向量，试用表示；
（Ⅲ）若，求实数的值．
（17）（本小题13分）
设函数．
（Ⅰ）直接写出函数的奇偶性；
（Ⅱ）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明；
（Ⅲ）求函数在上的值域．
（18）（本小题14分）
一高校承办了某届世乒赛志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）（ⅰ）直接写出这100名候选者面试成绩的中位数所在的分组区间；
（ⅱ）估计这100名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅲ）在第四、第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率．
（19）（本小题15分）
设函数，关于x的不等式的解集为．
（Ⅰ）当时，求解集S；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
（Ⅲ）求函数的零点．
（20）（本小题15分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的最小值；
（Ⅱ）若对于，恒成立，求的取值范围；
（Ⅲ）若关于的方程有两个不同的实数解，直接写出实数的取值范围．
（21）（本小题15分）
对任意正整数n，记集合均为非负整数，且，集合均为非负整数，且．设，，若对任意都有，则记．
（Ⅰ）写出集合和；
（Ⅱ）证明：对任意，存在，使得；
（Ⅲ）设集合，求证：中的元素个数是完全平方数．
参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．
（1）D （2）D （3）A （4）A （5） C
（6）C （7）B （8）D （9）B （10）B
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
（11） （12）
（13）（满足，且即可） （14）② ④
（15）2；
三、解答题共6小题，共85分．
（16）（本小题13分）
解：（Ⅰ）因为，，
所以，
所以．
（Ⅱ）由题可知与不共线，故设()，
即，
所以，解得，．
因此．
（Ⅲ）由题意得．
因为，
所以，
解得．
（17）（本小题13分）
解：（Ⅰ）是奇函数．
（Ⅱ）在上单调递减，证明如下：
由题意得．
任取，且，
则．
因为，所以，，，
所以，即．
因此在上单调递减．
（Ⅲ）由题可知的定义域为．
因为是奇函数，且在上单调递减，
所以在上单调递减．
因为，
所以，即．
所以在上的值域为．
（18）（本小题14分）
解：（Ⅰ）因为第三、四、五组的频率之和为，
所以，解得，
所以前两组的频率之和为，即，
所以．
（Ⅱ）（ⅰ）；
（ⅱ）平均数为．
（Ⅲ）第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，
故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为a，b，c，d，第五组志愿者人数为1，设为e．
考虑从这5人中选出2人的试验，其样本空间可记为，共包含10个样本点．
记事件为“选出的两人来自不同组”，则，共包含4个样本点，
所以．
（19）（本小题15分）
解：（Ⅰ）当时，函数．
解不等式，得．
所以．
（Ⅱ）假设存在实数，使得，
则且，是方程的两个根，
所以，解得．
因此存在，使得．
（Ⅲ）令，得到关于的方程．
① 当时，则，解得．
② 当时，关于的一元二次方程的判别式为．
（ⅰ）当，即时，方程无实数解；
（ⅱ）当，即时，解方程得；
（ⅲ）当，即且时，解方程得．
综上所述：当时，没有零点；
当时，的零点为；
当时，的零点为；
当且时，的零点为和．
（20）（本小题15分）
解：（Ⅰ）函数，定义域为．
令，则，函数转化为．
由于为开口向上的二次函数，且对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因此当时，，
即当时，．
（Ⅱ）由得．
令，，则．
由题意可知，对于，恒成立，即恒成立．
令，则，．
因为在上单调递减，在上单调递增，且，，
所以当时，．
因此，即．
（Ⅲ）．
（21）（本小题15分）
解：（Ⅰ），．
（Ⅱ）对任意，设，
则，， ，均为非负整数，且．
令，则，
所以，且．
（Ⅲ）对任意…，，…，，
记…，，
则，， ，均为非负整数，且，
所以，且，．
设集合中的元素个数为t，设．
设集合．
对任意，都有，， ，，
且，．
所以．
若，其中，，
设，因为，所以．
记，则．
所以，并且有，所以，所以．
所以
因为集合中的元素个数为，
所以中的元素个数为，是完全平方数．
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