北京市门头沟区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷（含答案）

北京市门头沟区2024-2025学年八年级上学期期末考试
数 学
2025.1
考 生 须 知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分。考试时间120分钟。 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名、班级和考场。 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4．答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
第1- 8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．下列是2024年巴黎奥运会运动项目的图标，其中是轴对称图形的是
A B C D
2．某公司运用5G技术，下载一个2.4M的文件大约需要0.000 048秒，将数字0.000 048用
科学记数法表示为
A． B． C． D．
3．如图，AC，BD交于点O，且AO=CO，添加下列条件不能判定△ABO ≌△CDO的是
A．AB=CD B．BO=DO C．∠A=∠C D．∠B=∠D
4．下列计算正确的是
A． B． C． D．
5．如果等腰三角形的三边长分别是x，2，6，那么x的值是
A．2 B．6 C．2或6 D．4或8
6．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线．
如果点D到AB的距离为1，那么AC的长为
A．2 B．2.5 C．3 D．4
7．下列各式从左到右变形正确的是
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，延长AC到点E，
使CE=CD，连接BE交AD的延长线于点F．给出下面四个结论：
①AD=BE； ②BE=2BF；
③AB=AC+CD； ④△ABD的面积是△ACD的面积的2倍；
上述结论中，所有正确结论的序号是
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．如果分式有意义，那么x的取值范围是______．
10．分解因式：______．
11．如果一个多边形的内角和等于外角和，那么该多边形的边数是______．
12．当时，代数式的值为______．
13．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，垂足为D，交BC于点E，连接AE．如果AE=AC，∠B=25°，那么∠C的度数是______．
14．如图，在等边△ABC中，AD是BC边上的高线，且AD=6，E是AB的中点，如果点P在AD上运动，那么BP+EP的最小值是______．
15．如图，点B，E，C在同一条直线上，正方形ABCD与正方形GECF的边长分别为a，b，且，那么阴影部分的面积为_________．
第13题图 第14题图 第15题图
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，0)，B(0，3)，
如果点C在第一象限内，且△ABC为等腰直角三角形，那么
点C的坐标是_______．
三、解答题（本题共68分，第17～22题每小题5分，第23～26题每小题6分，第27～28题每小题7分）
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算：．
18．计算：．
19．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AE=DF，AC=DB，BE=CF．
求证：∠E=∠F．
20．解分式方程：．
21．老师设计了一个数学“接力游戏”，由学生合作完成分式的计算．如图，老师把题目交给甲同学，他完成一步计算后，再将结果传递给乙同学，依次进行，最后完成计算．规则是每位同学只能看到前一位同学传过来的式子．
老师 甲 乙 丙
根据上面同学的接力过程，回答以下问题：（1）在“接力游戏”中，从____同学开始出现计算错误，错误的原因是_______________；
（2）请写出正确解答过程．
22．下面是小明设计的尺规作图过程：
已知：如图，△ABC．
求作：∠CDA，使点D在BC上，且∠CDA=2∠ABC．
作法：①分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；
②作直线MN，交BC于点D；
③连接AD．
所以∠CDA为所求.
根据小明设计的尺规作图过程，回答以下问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：连接AM，BM，AN，BN．
∵AM=BM，AN=BN，
∴点M，N均在线段AB的垂直平分线上．
即：直线MN是线段AB的垂直平分线．
∵点D在直线MN上，
∴AD=_____（_______________________________________）（填推理的依据)．
∴∠DAB=∠ABC （__________________________________）（填推理的依据)．
∵∠CDA=∠DAB +∠ABC，
∴∠CDA=2∠ABC．
23．先化简，再求值：，其中．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点坐标分别是A（，3），B（，），C（1，1）．直线l过点C且平行于y轴．
（1）在图中画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1，（其中点A，B，C的对称点分别是点A1，B1，C1）；
（2）点A1的坐标是__________，点B1的坐标是__________；
（3）如果M（a，b）为平面直角坐标系xOy中任意一点，那么点M关于直线l的对称点M1的坐标是（_______，_______）（结果用含a，b的式子表示）．
25．列方程解应用题：
《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，是中国十大传世名画之一．如图是小李所画的一幅长方形的局部临摹作品，装裱前作品长为3.6m，宽为2.4m，将其四周装裱上边衬后，整幅作品长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等，求边衬的宽度．
26．阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以把多项式（）变形为的形式，进而解决多项式的最大值或最小值问题．
例如：①,
∵, ∴.
∴当时，多项式的最小值为；
②,
∵, ∴.
∴当时，多项式的最大值为．
根据上述材料解决下列问题：
（1）求多项式的最小值，并求出相应的x的值；
（2）如果多项式的最小值是，那么p的值为________；
（3）如图，某学校打算用20米长的篱笆围成一个长方形的花坛，
如果设花坛的一边AB = x米，那么当x =________时，该花
坛的面积最大，最大面积是________平方米．
27．如图，△ABC为等边三角形，点D在AC上，且∠ABD=α（），作点C关于直线BD的对称点E，射线EA交直线BD于点F，连接BE．
（1）依题意补全图形；
（2）求∠EFB的大小；
（3）用等式表示线段AF，BF，EF之间的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系xOy中，点A与点B关于x轴对称.对于点A和点B，如果存在点P，使PB⊥AB且PB=AB，那么称点P为点A关于点B的“x轴垂半点”.
（1）如图1，点A（1，1），在P1（0，），P2（2，1），P3（，1），P4（2，）中，点A关于点B的“x轴垂半点”是________；
（2）如果点Q（，3）是点E关于点F的“x轴垂半点”，那么点E的坐标是________；
（3）已知点M（2，1），N（0，4），点A是线段MN上任意一点，如果点G是点A关于点B的“x轴垂半点”，那么点G的横坐标t的取值范围是________.
图1 备用图
参考答案
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C A D B C A B
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
题号 9 10 11 12 13 14 15 16
答案 4 1 6 5
三、解答题（本题共68分，第17～22题每小题5分，第23～26题每小题6分，第27～28题每小题7分）
17．（本小题满分5分）
解：原式 …………………………………………………………………………………………4分
． ………………………………………………………………………………………………5分
18．（本小题满分5分）
解：原式． ………………………………………………………………………………………5分
19．（本小题满分5分）
证明：∵AC=DB ，
∴AC－BC=DB－BC，
即：AB=DC． …………………………………………………………………………………………1分
在△ABE和△DCF中
∴△ABE≌△DCF．…………………………………………………………………………………4分
∴∠E=∠F．……………………………………………………………………………………………5分
20．（本小题满分5分）
解：
……………………………………………………………………1分
………………………………………………………………………2分
……………………………………………………………………………………3分
．…………………………………………………………………………4分
检验：当时，，
∴是原方程的解．
∴原方程的解是． ………………………………………………………………………………5分
21．（本小题满分5分）
解：（1）甲，略； ………………………………………………………………………………………………2分
（2）
………………………………………………………………………3分
…………………………………………………………………………………………4分
．………………………………………………………………………………………………5分
22．（本小题满分5分）
解：（1）略；………………………………………………………………………………………………2分
（2）略．………………………………………………………………………………………………5分
23．（本小题满分6分）
解：
………………………………………………………………………………1分
………………………………………………………………………………………2分
…………………………………………………………………………………………3分
． ……………………………………………………………………………………………4分
当时，
原式． ………………………………………………………………………………6分
24．（本小题满分6分）
解：（1）略；……………………………………………………………………………………………………2分
（2）（，3），（5，）； ………………………………………………………………………………4分
（3），b． ……………………………………………………………………………………………6分
25．（本小题满分6分）
解：设边衬的宽度为x m． ……………………………………………………………………………………1分
依题意，得．……………………………………………………………………………… 3分
解得： ．……………………………………………………………………………………4分
经检验，是原方程的解，且符合题意. ………………………………………………… 5分
答：边衬的宽度为0.6m．…………………………………………………………………………………6分
26．（本小题满分6分）
解：（1），
∵，
∴.
∴当时，代数式的最小值为；……………………………………………………2分
（2）； …………………………………………………………………………………………………4分
（3）5，25． ………………………………………………………………………………………………6分
27．（本小题满分7分）
解：（1）补全图形；……………………………………………………………………………………………1分
（2）∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC=AC，
∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°．……………………………2分
∵∠ABD=α，
∴∠CBD=60°－α．
∵点C关于直线BD的对称点为点E，
∴∠EBD=∠CBD=60°－α，BE=BC．……………………………………………………………3分
∴∠EBA=60°－α－α=60°－2α，BE =BA．
∵BE=BA，
∴∠BAE=∠BEA==60° +α．
∵∠BAE=∠EFB+∠ABD，
∴∠EFB=∠BAE－∠ABD=60°+α－α=60°．……………………………………………………4分
（3）线段AF，BF，EF之间的数量关系是BF= AF+ EF．
证明：如图，延长FE到M，使EM = AF，连接BM．
∵BE=BA，
∴∠BEA=∠BAE．
∵∠BEA+∠BEM =180°，∠BAE+∠BAF =180°，
∴∠BEM =∠BAF．
在△BEM和△BAF中，
∵BE=BA，∠BEM =∠BAF，EM =AF，
∴△BEM ≌△BAF．………………………………………………………………………5分
∴BM= BF．
∵∠EFB=60°，
∴△BMF为等边三角形． …………………………………………………………………6分
∴BM =BF = MF．
∵MF = EF+EM，
∴BF= EF+AF．…………………………………………………………………………7分
28．（本小题满分7分）
解：（1），；……………………………………………………………………………………………2分
（2）（2，），（，）；……………………………………………………………………………4分
（3），．……………………………………………………………………………7分
说明：
若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。
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