高一数学人教A版必修一单元测评卷 第五章 三角函数（含解析）

高一数学人教A版必修一单元测评卷 第五章 三角函数
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知扇形的弧长为2,面积为1,则扇形的圆心角的弧度数是(　　)
A.4　　B.2　　C.　　D.
2.已知角θ的终边经过点(-1,-3),则=(　　)
A.B.-B.-　　C.-1　　D.1
3.函数f(x)=的图象大致为(　　)
　　　　
　　　　
4.已知α∈,且3cos 2α-sin α=2,则(　　)
A.cos(π-α)=　　　　B.tan(π-α)=　　
C.sin=　　　　D.cos=
5.将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,则函数y=f(x)g(x)的最大值为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
6.已知f(x)=sin ωx+cos ωx,ω>0.若存在x1,x2∈,且x1A.　　　　B.
C.　　　　D.
7.在锐角三角形ABC中,sin A=3cos Bcos C,则tan Atan Btan C的最小值是(　　)
A.　　B.3　　C.　　D.12
8.已知函数f(x)=4cos·cos-1(ω>0)在区间上单调递增,且在区间[0,π]上只取得一次最大值,则ω的取值范围是(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知α∈R,sin α+cos α=,那么tan α的值为(　　)
A.2+　　B.-2+　　C.2-　　D.-2-
10.设函数f(x)=Acos,则下列结论正确的是(　　)
A. f(x)的一个周期为-π
B. f(x)在区间上单调递减
C. f的一个零点为-
D. f(x)的图象关于直线x=对称
11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则(　　)
A.ω=2
B.直线x=是f(x)图象的一条对称轴
C.[f(x)]2-(a+1)f(x)+a=0在x∈上有两个不相等的解,则a∈
D.已知函数g(x)=f(x)+sin2x,当g(x)取最大值时,sin 2x=
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.若函数f(x)=tan(ω≠0)的最小正周期是,则ω=　　　　.
13.方程lg(sin x)=lg(cos x)的解构成的集合为　　　　　　　.
14.若关于x的方程sin x+2cos x+2-m=0在x∈上有且只有一个实数解,则实数m的取值范围为　　　　　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知函数f(x)=.
(1)化简f(x)的解析式;
(2)若<β<π<α<,且f(α+β)=-, f=,求α-β.
16.(15分)已知函数f(x)=sin+cos-2sin xcos x.
(1)求函数f(x)的最小正周期及图象的对称轴方程;
(2)将函数y=f(x)的图象先向左平移个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,求y=g(x)在[0,2π]上的单调递减区间.
17.(15分)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)直接写出f(x)在区间[0,π]上的单调区间;
(3)已知 x∈R, f(a-x)=f(a+x)都成立,直接写出一个满足题意的a的值.
18.(17分)如图所示,在等腰直角△OAB中,∠AOB=,OA=,M为线段AB的中点,点P,Q分别在线段AM,BM上运动,且∠POQ=,设∠AOP=θ.
(1)设PM=f(θ),求θ的取值范围及f(θ);
(2)求△OPQ面积的最小值.
19.(17分)已知定义在R上的函数f(x)=是奇函数.
(1)求实数a,b的值;
(2)判断函数f(x)的单调性并证明;
(3)若对任意的θ∈,不等式f(k)+f(cos2θ-2sin θ)≤0恒成立,求实数k的取值范围.
答案全解全析
1.B　设扇形的圆心角为α rad,则半径为,所以扇形的面积为×2×=1,可得α=2.故选B.
2.C　因为角θ的终边经过点(-1,-3),所以tan θ=3,
所以====-1.
故选C.
3.A　易知函数f(x)的定义域为R, f(-x)===f(x),所以函数f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故排除C,D;
当x∈(0,π)时,sin x>0,2|x|-1>0,则f(x)>0,故排除B.故选A.
4.B　因为3cos 2α-sin α=2,所以3(1-2sin2α)-sin α=2,即6sin2α+sin α-1=0,解得sin α=-或sin α=,又α∈,所以sin α=,所以cos α=-=-,tan α==-.
则cos(π-α)=-cos α=,tan(π-α)=-tan α=,sin=cos α=-,cos=sin α=,故选B.
5.C　易得g(x)=sin=sin,
则y=f(x)g(x)=sin 2x·sin=sin 2x·sin 2xcos-cos 2x·sin=sin 2x·sin 2x-cos 2x=sin22x-sin 2xcos 2x=×-×sin 4x=-=-sin,
所以当sin=-1时,y=f(x)g(x)取得最大值,为-×(-1)=.故选C.
6.B　f(x)=sin ωx+cos ωx=sin,∴f(x)max=, f(x)min=-,∴若存在x1,x2∈,且x1当00时,<ωx+<+,
∴+>,解得ω>.故选B.
7.A　∵sin A=sin(B+C)=3cos Bcos C,∴sin Bcos C+cos Bsin C=3cos B·cos C,∴tan B+tan C=3,∴tan Btan C≤=,当且仅当tan B=tan C,即B=C时,等号成立.
易知tan Atan Btan C=-tan(B+C)tan Btan C=·tan Btan C==3+,
∵tan Btan C≤,∴tan Atan Btan C≥.故选A.
8.C　f(x)=4cos·cos-1=4sincos+sin-1=2sincos+2sin2-1=sin ωx-cos ωx=2sin.
由x∈,ω>0,得ωx-∈.
因为f(x)在区间上单调递增,
所以-ω-≥-且ω-≤,所以0<ω≤.
当x∈[0,π],ω>0时,ωx-∈.
要使函数f(x)在[0,π]上只取得一次最大值,
则≤ωπ-<,解得≤ω<.
综上,ω的取值范围为.故选C.
9.BD　由得或
所以tan α=-2+或tan α=-2-.故选BD.
10.ACD　函数f(x)的最小正周期为=π,所以-π也为函数f(x)的周期,故A正确;
当x∈时,2x+∈,又y=cos t在上单调递增,在上单调递减,所以函数f(x)在区间上不单调,故B错误;
f=Acos=Acos=Acos,
因为f=Acos=0,所以f的一个零点为-,故C正确;
由于f=Acos=Acos 4π=A,所以f(x)的图象关于直线x=对称,故D正确.
故选ACD.
11.ABD　对于A,由题图知,函数f(x)的最小正周期T=2×=π,又ω>0,所以ω=2,故A正确;
对于B,由“五点作图法”得2×+φ=π,解得φ=,所以f(x)=sin,令2x+=+kπ(k∈Z),得x=kπ+(k∈Z),所以直线x=是f(x)图象的一条对称轴,故B正确;
对于C,因为[f(x)]2-(a+1)f(x)+a=0,所以f(x)=1或f(x)=a,
令t=2x+,因为x∈,所以t∈,所以sin t=1或sin t=a共有两个不相等的解,
结合y=sin t的图象(图略),可知直线y=1与函数y=sin t的图象有一个交点,当a∈时,直线y=a与函数y=sin t的图象有一个交点,共两个交点,故C错误;
对于D,g(x)=sin+sin2x=sin 2x+cos 2x+=sin 2x+cos 2x+=sin 2x+cos 2x+,
令cos θ=,sin θ=,所以g(x)=sin(2x+θ)+,所以当2x+θ=2kπ+(k∈Z)时,g(x)取到最大值,此时sin 2x=sin=cos θ=,故D正确.故选ABD.
12.答案　2或-2
解析　由题知,T==,即|ω|=2,解得ω=±2.
13.答案　
解析　由lg(sin x)=lg(cos x),得sin x=cos x,即tan x=,
所以x=kπ+,k∈Z.①
易知sin x>0,cos x>0,所以2kπ由①②得x=2kπ+,k∈Z,故方程的解构成的集合为.
14.答案　[3,4)∪{2+}
解析　方程sin x+2cos x+2-m=0在x∈上有且只有一个实数解,即方程sin x+2cos x+2=m在x∈上有且只有一个实数解,即函数y=sin x+2cos x+2的图象和直线y=m在x∈上有且只有一个交点.
令f(x)=sin x+2cos x+2=sin(x+θ)+2,其中tan θ=2,
不妨设θ为锐角,由x∈,可得x+θ∈,
所以当x+θ=,即x=-θ时, f(x)max=+2.
当x=0时, f(0)=0+2+2=4;当x=时, f=1+0+2=3.
函数y=f(x)的图象如图所示,
由图可知,3≤m<4或m=2+,即实数m的取值范围为[3,4)∪{2+}.
15.解析　(1)f(x)======cos x.(5分)
(2)由题意得cos(α+β)=-,cos=sin 2β=.(7分)
由于<β<π,所以<2β<2π,又sin 2β=>0,所以<2β<π,所以<β<,又π<α<,所以<α-β<,<α+β<2π.
又cos(α+β)=-,所以<α+β<.(9分)
由上述解题思路得cos 2β=-,sin(α+β)=-,(10分)
所以sin(α-β)=sin[(α+β)-2β]=sin(α+β)cos 2β-cos(α+β)sin 2β
=-×-×=,所以α-β=.(13分)
16.解析　(1)f(x)=sin 2x+cos 2x+cos 2x-sin 2x-sin 2x
=cos 2x-sin 2x=2=2cos,(3分)
所以函数f(x)的最小正周期为π.(5分)
令2x+=kπ,k∈Z,得x=-+,k∈Z,故函数f(x)图象的对称轴方程为x=-+,k∈Z.(7分)
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数解析式为y=2cos=2cos,(9分)
所以g(x)=2cos=2cos.(11分)
令2kπ≤x+≤π+2kπ,k∈Z,得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,(13分)
所以y=g(x)在[0,2π]上的单调递减区间为,.(15分)
17.解析　(1)由题图可知,=-=,所以T=π,所以ω=2.(3分)
因为f(x)的图象过点,所以2sin=2,
即sin=1,
所以-+φ=2kπ+,k∈Z,解得φ=2kπ+,k∈Z.(5分)
又因为0<φ<π,所以φ=.
所以f(x)=2sin.(7分)
(2)在区间[0,π]上,函数f(x)的单调递增区间为,(9分)
单调递减区间为,.(11分)
(3)因为 x∈R, f(a-x)=f(a+x)都成立,
所以函数f(x)的图象关于直线x=a对称,(14分)
由题图可知,a=符合题意(答案不唯一).(15分)
18.解析　(1)因为△OAB为等腰直角三角形,OA=,M为线段AB的中点,所以OM=1,∠AOM=,OM⊥AB.(3分)
因为点P在线段AM上运动,所以θ∈.(4分)
因为∠AOP=θ,所以∠POM=-θ,(5分)
所以PM=OM·tan∠POM=tan,即f(θ)=tan,θ∈.(8分)
(2)因为∠POQ=,所以∠QOM=θ,所以QM=OM·tan∠QOM=tan θ,(10分)
所以PQ=PM+QM=tan+tan θ,(12分)
所以S△OPQ=PQ·OM==
=≥(2-2)=-1,
当且仅当tan θ=-1时,等号成立,(15分)
所以△OPQ面积的最小值为-1.(17分)
19.解析　(1)因为定义在R上的函数f(x)=是奇函数,
所以f(0)==0,所以b=1,所以f(x)=.(2分)
又f(-1)=-f(1),所以=-,解得a=2,所以f(x)=.(4分)
经检验,a=2,b=1符合题意.(5分)
(2)f(x)在R上单调递减.证明如下:
由(1)知f(x)====-+.(6分)
任取x1,x2∈R,且x1则f(x1)-f(x2)=-=.
因为函数y=2x在R上单调递增,x1,
又+1>0,+1>0,
所以f(x1)-f(x2)=>0,即f(x1)>f(x2),(9分)
所以f(x)在R上单调递减.(10分)
(3)因为函数f(x)在R上单调递减,且f(x)为奇函数,
所以不等式f(k)+f(cos2θ-2sin θ)≤0,
即f(k)≤-f(cos2θ-2sin θ)=f(-cos2θ+2sin θ),
即k≥-cos2θ+2sin θ=sin2θ+2sin θ-1=(sin θ+1)2-2.(12分)
因为对任意的θ∈,不等式f(k)+f(cos2θ-2sin θ)≤0恒成立,
所以对任意的θ∈,k≥(sin θ+1)2-2恒成立.
因为θ∈,所以sin θ∈(-1,1),所以(sin θ+1)2-2∈(-2,2),(15分)
所以k≥2,即实数k的取值范围是[2,+∞).(17分)