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2025年上海市中考数学模拟考试试题（一）（原卷板）
满分150分 考试用时100分钟
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（每小题4分，共6小题，共24分.每个小题四个选项中只有一项是正确的）
1．（本题4分）已知，那么下列各式中，不一定成立的是( )
A． B． C． D．
2．（本题4分）在函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题4分）一元二次方程的两个根为m、n，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．5
4．（本题4分）在奥运会备战训练中，中国四位射击运动员10次练均成绩均为9.2环，他们这10次练习成绩的方差如表所示，则这四位选手中，成绩最稳定的是（ ）
甲 乙 丙 丁
0.26 0.35 0.48 0.39
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（本题4分）如图，在矩形中，对角线，相交于点，，且，则为（ ）
A． B． C． D．
6．（本题4分）在中，，，，以点，点，点为圆心的的半径分别为5、10、8，那么下列结论错误的是（ ）
A．点在上 B．与内切
C．与有两个公共点 D．直线与相切
二、填空题（每小题4分，共12小题，共48分，.只写出最后结果）
7．（本题4分）计算： ．
8．（本题4分）若，，则 ．
9．（本题4分）若实数m满足，则m的取值范围是 ．
10．（本题4分）国家统计局月日发布数据显示，年全国粮食总产量亿斤，比上年增加亿斤，连续年稳定在万亿斤以上，再创历史新高．数据“亿”用科学记数法表示为 ．
11．（本题4分）如果正比例函数的图象经过点，那么随的增大而 ．
12．（本题4分）已知 ABCD的两条对角线相交于O，若∠ABC=120°，AB=BC=4，则OD= ．
13．（本题4分）某电器进价为250元/台，售价为400元/台，若售出x台，售出x台的总利润为y元，则y与x之间的关系式为 ．
14．（本题4分）小明和小华所在的班级需要到校大礼堂统一听讲座，该校大礼堂共有4个入口，每个学生可以选择其中任意一个入口进入大礼堂．则小明和小华从不同入口进入校大礼堂的概率是 ．
15．（本题4分）如图，在△中，点是边的中点，设，用的线性组合表示是 ．
16．（本题4分）为了解某校七年级700名学生上学期参加社会实践活动的时间，随机对该年级部分学生进行调查，根据收集的数据绘制了频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值），由图可知，七年级学生参加社会实践活动的时间不少于12h的占比为 ．
17．（本题4分）在△ABC中，，，，则的值是 ．
18．（本题4分）若点在抛物线上，则线段的长为 ．
三、解答题（共7小题，共78分.需要写出必要的证明、演算、推理过程）
19．（本题10分）计算：
（本题10分）解方程组：．
21．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数交于点和点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式．
(2)点C是y轴上的一个动点，当点C运动到何处时，△ABC的面积为6？
22．（本题10分）如图，四边形是平行四边形，E是边上一点，连接，只用一把无刻度的直尺在边上作点F，使得．
(1)作出满足题意的点F，简要说明你的作图过程；
(2)依据你的作图，证明：．
23．（本题12分）如图， 四边形中， 平分，，，为的中点．
(1)求证：；
(2)若，，求的值．
24．（本题12分）已知抛物线经过点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)平移抛物线得到新抛物线．新抛物线与x轴、y轴都只有一个交点，分别为点．
①求两点坐标．
②在抛物线上有一动点R，使得平行于△ABC的一边，求出点R的坐标．
25．（本题14分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝4，BC＝9，AD＝6，点E，F分别在边AD，BC上，且BF＝2DE，联结FE，FE的延长线于CD的延长线相交于点P，设DE＝x，．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（2）当以ED为半径的⊙E与以FB为半径的⊙F外切时，求x的值；
（3）当△AEF与△PED相似时，求x的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页中小学教育资源及组卷应用平台
2025年上海市中考数学模拟考试试题（一）（解析版）
满分150分 考试用时100分钟
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（本题4分）已知，那么下列各式中，不一定成立的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式性质2，可判断A，根据不等式性质3与不相似性质1可判断B，根据不等式性质1可判断C，根据m的符号分类讨论可判断D．
【详解】解：A. ∵，∴，故该选项正确，不符合题意；
B. ∵，∴，∴，故该选项正确，不符合题意；
C. ∵，∴，故该选项正确，不符合题意；
D. 当，∴，
当，，∴，
当，，∴，
故选项D不一定成立，
故选：D．
2．（本题4分）在函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件．根据分式有意义的条件是分母不为零，分析原式，即可得出答案．
【详解】解：函数有意义，
，
，
故选：A．
3．（本题4分）一元二次方程的两个根为m、n，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．5
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，由m、n是一元二次方程的两个实数根，可得，即可解题．
【详解】解：∵一元二次方程的两个根为m、n，
∴，
故选：C．
4．（本题4分）在奥运会备战训练中，中国四位射击运动员10次练均成绩均为9.2环，他们这10次练习成绩的方差如表所示，则这四位选手中，成绩最稳定的是（ ）
甲 乙 丙 丁
0.26 0.35 0.48 0.39
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【分析】本题考查利用方差判断稳定性，根据方差越小，成绩越稳定，进行判断即可．
【详解】解：由表格可知，甲选手成绩的方差最小，
∴成绩最稳定的是甲；
故选A．
5．（本题4分）如图，在矩形中，对角线，相交于点，，且，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查矩形，等边三角形的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，则，，根据，求出，根据题意，则，求出，得到是等边三角形，即可求出．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
6．（本题4分）在中，，，，以点，点，点为圆心的的半径分别为5、10、8，那么下列结论错误的是（ ）
A．点在上 B．与内切
C．与有两个公共点 D．直线与相切
【答案】D
【分析】首先利用勾股定理解得，然后根据点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，逐项分析判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，的半径为5，
∴点在上，选项A正确，不符合题意；
∵的半径分别为5、10，且，
∴与内切，选项B正确，不符合题意；
∵，
∴与相交，有两个公共点，选项C正确，不符合题意；
如下图，过点作于点，
∵，
∴，解得，
∵，
∴直线与相交，选项D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
二、填空题
7．（本题4分）计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握积的乘方运算法则．根据积的乘方运算法则进行计算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
8．（本题4分）若，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了平方差公式，利用平方差公式是解题关键．根据平方差公式，可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：3．
9．（本题4分）若实数m满足，则m的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质即可求出m的取值范围．理解是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可知：，
解得：，
故答案为：．
10．（本题4分）国家统计局月日发布数据显示，年全国粮食总产量亿斤，比上年增加亿斤，连续年稳定在万亿斤以上，再创历史新高．数据“亿”用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
【详解】解：亿，
故答案为：．
11．（本题4分）如果正比例函数的图象经过点，那么随的增大而 ．
【答案】减小
【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．将点代入函数求出的值，再根据函数的性质求解即可．
【详解】解：函数的图象经过点，
，
解得：，
随着的增大而减小，
故答案为：减小．
12．（本题4分）已知 ABCD的两条对角线相交于O，若∠ABC=120°，AB=BC=4，则OD= ．
【答案】2
【分析】根据菱形的判定可得 ABCD是菱形，再根据性质求得∠BCO的度数，可求OB，进一步求得OD的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC=4，
∴ ABCD是菱形，
∵∠ABC=120°，
∴∠BCO=30°，∠BOC=90°，
∴OB==2，
∴OD=2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的性质、30度角所对的直角边等于斜边的一半，解决问题的关键是掌握：菱形的对角线平分每一组对角．
13．（本题4分）某电器进价为250元/台，售价为400元/台，若售出x台，售出x台的总利润为y元，则y与x之间的关系式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数在销售问题中的应用，等量关系式：利润销售每台电器的利润销售量，此次即可求解；找出等量关系式是解题的关键．
【详解】解：由题意得
；
故答案：．
14．（本题4分）小明和小华所在的班级需要到校大礼堂统一听讲座，该校大礼堂共有4个入口，每个学生可以选择其中任意一个入口进入大礼堂．则小明和小华从不同入口进入校大礼堂的概率是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握列表法或树状图法求概率的方法是解题的关键．
设该校大礼堂个入口分别为，，，，根据题意画出树状图，由树状图可以得出小明和小华进入校大礼堂的情况总数及小明和小华从不同入口进入校大礼堂的情况数，然后代入概率公式求概率即可．
【详解】解：设该校大礼堂个入口分别为，，，，
根据题意，画树状图如下：
由树状图可以看出，小明和小华进入校大礼堂的情况共有种，其中小明和小华从不同入口进入校大礼堂的情况共有种，
小明和小华从不同入口进入校大礼堂的概率是，
故答案为：．
15．（本题4分）如图，在△中，点是边的中点，设，用的线性组合表示是 ．
【答案】
【分析】本题考查了向量的运算，掌握向量的运算法则是解题关键．
先根据向量运算求出，再根据线段中点的定义可得，然后根据向量运算即可得．
【详解】解：，，
，
点D是边的中点，
，
，
故答案为：．
16．（本题4分）为了解某校七年级700名学生上学期参加社会实践活动的时间，随机对该年级部分学生进行调查，根据收集的数据绘制了频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值），由图可知，七年级学生参加社会实践活动的时间不少于12h的占比为 ．
【答案】
【分析】本题考查直方图，利用频数除以总数求出占比即可．
【详解】解：由图可知，不少于12h的占比为：；
故答案为：．
17．（本题4分）在中，，，，则的值是 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了解三角形，勾股定理等知识点，如图，过点作，交延长线于点，则，求出，进而得到，再利用勾股定理求出，利用正弦的定义，即即可得解，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键．
【详解】解：如图，过点作，交延长线于点D，
，
，
在中，，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
18．（本题4分）若点在抛物线上，则线段的长为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出，即可得解，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解此题的关键．
【详解】解：∵点在抛物线上，
∴，，
∴，
∴轴，
∴．
故答案为：6．
三、解答题
19．（本题10分）计算：
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的运算，根据，再计算可得答案．
【详解】解：原式
．
20．（本题10分）解方程组：．
【答案】，或者，．
【分析】本题考查了二元二次方程，求解一元二次方程，解题的关键是利用代入法进行求解．
【详解】解：，
由得：代入中得：
，
，
，
，
解得：或，
当时，，
当时，，
∴方程组的解为或者．
21．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数交于点和点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式．
(2)点C是y轴上的一个动点，当点C运动到何处时，的面积为6？
【答案】(1)一次函数的解析式是，反比例函数的解析式是
(2)当点C运动到或时，的面积为6
【分析】（1）把点代入函数中，即可求得a的值，从而得到反比例函数解析式为．把点代入反比例函数中，求得点A的坐标．采用待定系数法把点A，B的坐标代入函数中，求解即可得到一次函数解析式；
（2）设直线与y轴的交点为D，则，设点C的坐标为，则，过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，则，，根据即可得到关于n的方程，求解即可解答．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点，
∴，解得，
∴反比例函数的解析式是．
∵点在反比例函数的图象上，
∴，解得
∴．
∵一次函数的图象经过，两点，
∴，解得．
∴一次函数的解析式是．
（2）解： 设直线与y轴的交点为D，
则在中，令，则，
∴，
设点C的坐标为，则
过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
解得：或，
点C的坐标为或．
∴当点C运动到或时，的面积为6．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点问题，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
22．（本题10分）如图，四边形是平行四边形，E是边上一点，连接，只用一把无刻度的直尺在边上作点F，使得．
(1)作出满足题意的点F，简要说明你的作图过程；
(2)依据你的作图，证明：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定：
（1）如图所示，连接交于O，连接并延长交于F，连接，点F即为所求；
（2）易证明得到，进而可证明四边形是平行四边形，则．
【详解】（1）解：如图所示，连接交于O，连接并延长交于F，连接，点F即为所求；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
23．（本题12分）如图， 四边形中， 平分，，，为的中点．
(1)求证：；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行求解；
（）根据，，即可得出，进而得到，即可判定，即可得出，进而得到的值；
本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关定理是解答本题的关键．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
又∵为的中点，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
24．（本题12分）已知抛物线经过点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)平移抛物线得到新抛物线．新抛物线与x轴、y轴都只有一个交点，分别为点．
①求两点坐标．
②在抛物线上有一动点R，使得平行于的一边，求出点R的坐标．
【答案】(1)
(2)①两点坐标分别为，；②或．
【分析】此题考查了二次函数综合题，二次函数的平移、待定系数法求函数解析式，分类讨论是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求出答案；
（2）①求出，当时，，有两个相等的实数根，点P为抛物线的顶点，得到，，则，解得（不合题意，舍去）或，求出，即可得到答案；
②由①可知，，分，，共三种情况进行求解即可．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
∵经过点，与y轴交于点．，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）①由题意可知，平移后的抛物线为，
当时，，
∴，
∵新抛物线与x轴、y轴都只有一个交点，分别为点．
∴当时，，有两个相等的实数根，点P为抛物线的顶点，
∴，，
∴，，
∴
解得，（不合题意，舍去）或，
∴，
∵，
∴，
∴两点坐标分别为，．
②由①可知，，
当，
则直线为，
则，解得（不合题意，舍去），，
∴，
∴此时点R的坐标为．
当时，
设直线解析式为，
，
解得，
∴直线解析式为，
∴直线的解析式为，
联立得到，
解得（不合题意，舍去）或，
即此时点R的坐标为，
当时，
设直线解析式为，
，
解得，
∴直线解析式为，
∴直线的解析式为，
联立得到，
解得（不合题意，舍去），
综上可知，点R的坐标为或．
25．（本题14分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝4，BC＝9，AD＝6，点E，F分别在边AD，BC上，且BF＝2DE，联结FE，FE的延长线于CD的延长线相交于点P，设DE＝x，．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（2）当以ED为半径的⊙E与以FB为半径的⊙F外切时，求x的值；
（3）当△AEF与△PED相似时，求x的值．
【答案】（1）；（2）；（3）或．
【分析】（1）由已知可得BF、CF与x的关系，根据AD∥BC可得△PDE∽△PCF，再根据相似三角形的性质即可得出结论；
（2）根据相切两圆的性质可得EF=3x，过E作EG⊥BC于G，如图1，在直角△EFG中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可得到结论；
（3）①当∠EAF＝∠EDP时，有，进一步即可求出结果；②当∠EFA＝∠EDP时，过E作EG∥PC交BC于G，如图2，可证△EFA∽△FGE，再根据相似三角形的性质得出关于x的方程，解方程即可求出结果．
【详解】解：（1）∵BF＝2DE，DE＝x，∴BF＝2x，
∵BC＝9，∴CF＝9﹣2x，
∵AD∥BC，∴△PDE∽△PCF，∴，
∵，∴，
∴；
（2）∵⊙E的半径＝x，⊙F的半径＝2x，且以ED为半径的⊙E与以FB为半径的⊙F外切，
∴x+2x＝EF=3x，
过E作EG⊥BC于G，如图1，∴EG＝AB＝4，FG＝6﹣3x，
∴，
∴，解得；
（3）①当∠EAF＝∠EDP时，有△AEF∽△DEP，于是，
即，解得：；
②当∠EFA＝∠EDP时，△AEF∽△PED，过E作EG∥PC交BC于G，如图2，
则CG＝ED＝x，FG＝9﹣3x，
∵∠AEF=∠EFG，∠EFA=∠EDP=∠C=∠EGF，
∴△EFA∽△FGE，∴，
∴EF2＝FG EA，即42+（6﹣3x）2＝（9﹣3x）（6﹣x），
解得：（负值已舍去）．
综上，或.
【点睛】本题以梯形为载体，重点考查了相似三角形的判定和性质、两圆外切的性质、勾股定理和一元二次方程的解法等知识，正确的作出辅助线、熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
