人教版A版 必修 第一册5.4.2正弦函数、余弦函数的性质 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
类比以往对函数性质的研究，你认为应该研究正弦函数、余弦函数 的那些性质？
根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最大(小）值等。
【问题导入】
另外，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周又回到原来的位置，即三角函数具有周而复始的变化规律。这就是三角函数最重要的规律：周期性。
周期性
请阅读教科书5.4.2节“1.周期性”中的内容，回答下列问题：
什么是周期函数？什么叫做周期？
一般的，设函数f (x)的定义域为D,
如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且
那么函数f (x)就叫做周期函数，
非零常数T叫做这个函数的周期.
存在一个非零常数T
每一个x∈D
【探究1】
问题1：观察单位圆上点的纵坐标这种周而复始的变化规律， 猜想正弦函数是否为周期函数？正弦函数的周期是多少？用代数方法如何解释你的猜想？
正弦函数为周期函数.
我们得到：
1.正弦函数是周期函数；
2. 都是它的周期。
y=sinx
周期T
追问：
对周期函数与周期定义中的“当 取定义域内的每一个值时”，要特别注意其中“每一个”的要求.如果只是对某些 有 ，那么T就不是函数 的周期.
如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 的最小正周期。
y=sinx
正弦函数是周期函数， 都是它的周期，最小正周期是 。
追问：余弦函数是否为周期函数？周期是多少？
1、余弦函数是周期函数；
2、 都是它的周期，且最小正周期为
y=cosx
【探究1】
例1 求下列函数的周期
【典例精析】
定义判断
整体换元
代数运算
思考：
1、回顾例题，你能发现形如
函数的周期性与解析式中哪些量有关？
思考：
2、对形如 的函数，你能得到周期公式吗？
【学以致用】
求下列函数的周期。
问题2：知道了一个函数的周期，对研究它的图象与性质有什么帮助？
根据周期性，只要把握了函数在一个周期上的规律，就把握了整个函数的规律。
数学思想方法：特殊到一般
【探究1】
y=sinx
问题1：观察正弦函数的图象，你发现它有什么对称性？
奇函数
【探究2】
对称轴：
对称中心：
偶函数
追问：余弦函数有怎样的对称性？
对称轴：
对称中心：
y=cosx
【探究2】
y=sinx
增区间为 [ ， ]
x
sinx
… 0 … … …
-1
0
1
0
-1
减区间为 [ ， ]
问题1：观察正弦函数的图象，y=sinx 在 有怎样的单调性？
【探究3】
由周期性可得：正弦函数y=sinx
增区间为
减区间为
y=cosx
x
cosx
- … … 0 … …
-1
0
1
0
-1
追问：观察余弦函数的图象，y=cosx在 有怎样的单调性 ？
【探究3】
增区间为 [- ，0 ]
减区间为
[ 0， ]
由周期性可得：余弦函数y=cosx
增区间为
[ - +2k , 2k ], k Z
减区间为
[ 2k , +2k ], k Z
当且仅当x= （k∈Z）时，(sinx)max=1
当且仅当x = （k∈Z）时，(sinx)min=-1
问题1：观察正弦函数图象，你发现它的最值何时取到？
【探究4】
y=sinx
当且仅当x=2kπ(k∈Z)时，(cosx)max=1
当且仅当x= π+2kπ(k∈Z)时，(cosx)min=-1
追问：观察余弦弦函数图象，你发现它的最值何时取到？
y=cosx
【探究4】
请阅读教科书5.4.2节“2.奇偶性”“3.单调性”“4.最大值与最小值”的内容，完善以下表格：
y=sinx y=cosx
定义域
值域
图象
周期
奇偶性
对称轴
对称中心
单调递增区间
单调递减区间
最大值点
最小值点
单调递增区间：
单调递减区间：
单调递增区间：
单调递减区间：
当且仅当x= (k∈Z)时，(sinx)max=1
当且仅当x = (k∈Z) 时(sinx)min=1
当且仅当x= (k∈Z)时，(cosx)max=1
当且仅当x= (k∈Z)时，(cosx)min=1
y=sinx y=cosx
图像
定义域 R R
值域 [-1,1] [-1,1]
周期
奇偶性 奇函数 偶函数
对称轴
对称中心
单调区间
最值点
【当堂达标】
【总结提升】
这节课我们探究了什么问题？有那些发现？
正弦函数、余弦函数的图象
正弦函数、余弦函数的性质
周期性
对称性
单调性
最大（小）值
对称中心
对称轴
奇偶性
思想方法：数形结合、特殊与一般
我们使用了哪些数学思想方法？
必做：教科书习题5.4 213页第2，3，6题；214页第15题。
选做：教科书习题5.4 214页18题。
【课后作业】
谢谢，再见！
数无形时少直觉，
形少数时难入微，
数与形，
本是相倚依，
焉能分作两边飞。
——华罗庚