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人教A版高中数学必修第一册第五章
5.2 三角函数的概念
活动一：春秋昼夜“函”新数（目标1）
想一想：能否用学过的数学模型来刻画地球围绕太阳做圆周运动时的位置变化情况？
一元发于春,
万物收以秋
公转播物钧,
元气在笔头
轨道
太阳
地球
位置
圆
圆心
动点
坐标
活动一：春秋昼夜“函”新数（目标1）
想一想：能否用学过的数学模型来刻画地球围绕太阳做圆周运动时的位置变化情况？
追问：地球公转轨道半径约为1.5亿公里.这个数字导致运动过程中地球坐标数值太大，不利于计算，怎么办呢？
一元发于春,
万物收以秋
公转播物钧,
元气在笔头
模型——单位圆
活动一：春秋昼夜“函”新数（目标1）
追问：根据已有的研究函数的经验，你认为可以按怎样的路径研究上述问题
明确研究对象—对应关系分析—生成函数定义—归纳性质应用.
学习评价：
评价等级：
达成水平三： ，
达成水平二： ，
达成水平一： .
活动一：春秋昼夜“函”新数（目标1）
评价 维度 评价活动 评价内容 评价任务 评价 形式 评价呈现 评价标准 水平一 水平二 水平三
情境与问题 春秋昼夜函新数 按图索骥探新谜 目标1 操作性任务 预习成果汇报 生生互评 了解课时研究背景，学会将现实情境抽象为数学问题. 理解建立单位圆模型的必要性，为后续研究做好铺垫. 能够回顾已知的函数研究经验，明确本节课的研究路径和基本方法.
活动二：按图索骥探新谜（目标2）
问题2: 观察Geogebra软件的动态演示,以单位圆的圆心O为原点,以射线OA为x轴的非负半轴,建立直角坐标系,点A的坐标为(1,0),点P的坐标为(x,y).射线OA从x轴的非负半轴开始,绕点O按逆时针方向旋转角α,终止位置为OP.
视频见附件
探谜环节一 抽象建模明问题（目标2）
问题2: 以单位圆的圆心O为原点,以射线OA为x轴的非负半轴,建立直角坐标系,点A的坐标为(1,0),点P的坐标为(x,y).射线OA从x轴的非负半轴开始,绕点O按逆时针方向旋转角α,终止位置为OP你能求出旋转下列角度时P点坐标吗
追问: 求点P的坐标的步骤是什么？点P的坐标唯一确定吗
画终边—找交点—算数值
终边与圆成交点，纵横坐标正余弦；比值作商成正切，直角三角总相伴
显然，当x≠0时，也唯一确定
问题3: 点P的坐标被唯一确定，能刻画点P在运动过程中位置变化的量有哪些？
探谜环节二 变量分析寻函数（目标2）
P点的横坐标x
P点的纵坐标y
转过的角度α
追问: 变量x,y与α之间存在2个对应关系，是否是函数关系？
探谜环节二 变量分析寻函数（目标2）
特殊
一般
形成对应关系：
f:实数α（弧度）对应点P的纵坐标y
分析函数关系：三要素
g:实数α（弧度）对应点P的横坐标x
f:R [-1,1]和g:R [-1,1]都是从集合R到集合[-1,1]的函数.
追问: 请大家观看《史说三角》,你能根据视频梳理三角学的相关发展史,提炼出三角函数的定义吗
探谜环节三 归纳总结得定义（目标2）
视频见附件
追问: 观看《史说三角》,根据三角学的相关发展史，你能类比得到其他三角函数的定义吗？
探谜环节三 归纳总结得定义（目标2）
注意：正切函数的定义域
希帕恰斯
古希腊天文学家
三角学之父
,
追问:我们习惯用x,y分别表示自变量和因变量，你能把三角函数表示成习惯的形式吗
探谜环节三 归纳总结得定义（目标2）
形成对应关系
得到函数概念
圆函数
三角函数
活动二：按图索骥探新谜（目标2）
学习评价：
评价等级：
达成水平三： ,
达成水平二： ,
达成水平一： .
评价 维度 评价活动 评价内容 评价任务 评价 形式 评价呈现 评价标准 水平一 水平二 水平三
知识与技能 抽象建模明问题 归纳总结得定义 目标2 识记表达 任务 课堂 提问 自评互评 发现点的坐标与旋转角之间的对应关系. 结合三角学的发展史明确三角函数的名称与表示. 能够理解三角函数的抽象结构，巩固三角函数的概念.
活动三：似曾相识弦归来（目标3）
追问1：对于余弦、正切也有相同的结论吗
联系：在锐角范围内，两者求解的函数值相等
追问2：你能说说锐角三角函数和任意角三角函数有怎样的区别吗？
活动三：似曾相识弦归来（目标3）
问题6：设任意角α的终边上任意一点P(x,y)，P不与原点O重合，点P与原点O的距离为r，求证：
思考1：你能根据三角函数的定义作图表示 sinα,cosα,tanα 吗
思考2：在你所作图形中，,各表示什么，你能找到它们与任意角α的三角函数的关系吗
活动四：函数拓展见本质（目标3）
问题6：设任意角α的终边上任意一点P(x,y)，P不与原点O重合，点P与原点O的距离为r，求证：
活动四：函数拓展见本质（目标3）
结论：只要知道角的终边上任意一点的坐标，就可以求解该角的各个三角函数值
坐标比定义
活动四：函数拓展见本质（目标3）
评价 维度 评价活动 评价内容 评价任务 评价 形式 评价呈现 评价标准 水平一 水平二 水平三
思维与表达 似曾相识弦归来 函数拓展见本质 目标3 表达性任务 课堂提问与 练习 师生讲评 了解锐角三角函数与任意角三角函数的联系与区别. 理解三角函数的坐标比定义，学会将单位圆模型推广至一般圆模型. 掌握三角函数的本质特征，理解三角函数概念与结构的一般性.
学习评价：
评价等级：
达成水平三： ,
达成水平二： ,
达成水平一： .
问题7：求 的正弦、余弦和正切值.
追问：你是否可以自创变式，解决问题？
变式：
活动五：三角函数蕴玄机（目标4）
问题8：如图所示，t=0时地球位于A点，以太阳的球心为原点O，以OA为x轴正半轴，建立直角坐标系，将地球围绕太阳的运动看作匀速圆周运动，已知地球到太阳球心的距离为1.5亿公里，运动周期约为365天，求73天后地球的位置坐标.（可以借助计算工具）
活动五：三角函数蕴玄机（目标4）
活动六：总结反思构体系（目标4）
问题9：本节课我们研究了什么问题？
追问1：我们怎么研究这个问题的？
追问2：研究的过程中我们用到了什么数学思想方法？
追问3：我们的研究成果有什么应用价值？
建议：可以尝试画出思维导图或者利用其他方法对本节课的学习进行总结梳理总结.
活动六：总结反思构体系（目标4）
活动六：总结反思构体系（目标4）
评价 维度 评价活动 评价内容 评价任务 评价 形式 评价呈现 评价标准 水平一 水平二 水平三
情境与问题 春秋昼夜函新数 按图索骥探新谜 目标1 操作性任务 课堂 提问 生生互评 了解课时研究背景，学会将现实情境抽象为数学问题. 理解建立单位圆模型的必要性，为后续研究做好铺垫. 能够回顾已知的函数研究经验，明确本节课的研究路径和基本方法.
知识与技能 抽象建模明问题 归纳总结得定义 目标2 识记表达 任务 课堂练习与小组汇报 自评互评 发现点的坐标与旋转角之间的对应关系. 结合三角学的发展史明确三角函数的名称与表示. 能够理解三角函数的抽象结构，巩固三角函数的概念.
思维与表达 似曾相识弦归来 函数拓展见本质 目标3 表达性任务 课堂提问与 练习 教师讲评 了解锐角三角函数与任意角三角函数的联系与区别. 理解三角函数的坐标比定义，学会将单位圆模型推广至一般圆模型. 掌握三角函数的本质特征，理解三角函数概念与结构的一般性.
交流与反思 三角函数蕴玄机 总结反思构体系 目标4 综合任务 课后 总结 成果汇报 自评 能够自创变式解决三角函数求值问题. 能够用三角函数表达具体情境，数学建模解决实际问题. 领悟本节课的蕴含数学思想方法，体会三角函数的应用价值.
活动六：学习效果评价
评价作业
智育作业
完成学习评价量表.
学以致用，举一反三.
德育作业
通过查阅资料，了解三角函数跨学科中的应用（物理、化学、生物等），总结其用到的数学知识、思想和方法.
