2024-2025北师大版八（下）数学第二章一元一次不等式和一元一次不等式组（解析版 +原题版）

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【北师大版八年级数学（下）单元测试卷】
第二章：一元一次不等式和一元一次不等式组
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．若a和b满足aA．2a<2b B．a+12-b
2．不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组可能是（ ）
A． B． C． D．
3．无论m为何值，点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．某中学为落实市教育局提出的“全员育人，创办特色学校”的会议精神，决心打造“书香校园”，计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．符合题意的组建方案有（　　）种．
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
6．已知关于x的不等式的解集如图所示，则a的值是　　
A． B． C． D．0
7．如图所示，A，B，C，D四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为（ ）
A． B． C． D．
8．某商店分别购进单价为每斤元的甲种糖果30斤，单价为每斤元的乙种糖果20斤，商店以每斤元的价格全部卖完后，结果发现没有赚钱，其原因是（ ）
A． B． C． D．
9．若不等式组无解，则k的取值范围是( )
A． B． C． D．
10．一次函数与的图象如图所示，下列说法：①对于函数来说，y随x的增大而增大．②函数不经过第二象限．③不等式的解集是． ④，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
二、填空题：（每小题3分共15分）
11．请写出不等式﹣x+2≥0的一个正整数解 （写出一个即可）．
12．下面是小明同学解不等式的步骤，其中第 步是错误的．
解不等式：．
第一步：去分母得，
第二步：移项得，
第三步：系数化为1得．
13．若代数式的值比代数式的值大，那么x的取值范围是 ．
14．定义运算表示求不超过的最大整数．如，，，．若，则的取值范围是 ．
15．对于一个各位数字都不为零的四位正整数N，若千位数字比十位数字大3，百位数字是个位数字的3倍，那么称这个数N为“三生有幸数”，例如：是个“三生有幸数”；又如不是一个“三生有幸数”．则最小的“三生有幸数”是 ．若将N的千位数字与个位数字互换，百位数字与十位数字互换，得到一个新的四位数，那么称这个新的数为数N的“反序数”，记作，例如：，其“反序数” ．若一个“三生有幸数”N的十位数字为x，个位数字为y，设，若除以6余数是1，则所有满足题意的四位正整数N的最大值与最小值的差是 ．
三、解答题：（共55分）
16．（6分）解下列不等式并把解集用数轴表示出来．
(1)；
(2)．
17．（7分）（1）已知关于的不等式组，则这个不等式的解集为 ．
（2）有一种电脑程序，每按一次按键，屏幕区就会自动加上，同时区就会自动减去，且均会显示化简后的结果已知，两区初始显示分别是和，如图所示．
如：第一次按键后，A，两区分别显示
小红从初始状态按次后，求A，两区代数式的和并化简，请判断这个和能为负数吗？说明理由．
18．（8分）在初中阶段的函数学习中，我们知道由含有未知数和的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数；同时知道任何一个以为未知数的一元一次不等式都可以变形为或的形式，因此我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解或不等式的解集．
（1）在给出的平面直角坐标系中，直接画出函数的图象；
（2）如图，直线与相交于点，根据图象直接写出关于的方程的解；
（3）根据图象直接写出不等式的解集．
19．（8分）为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量及年消耗费如下表：
A型 B型
价 格（万元／台） 12 10
处理污水量（吨／月） 240 200
年消耗费（万元／台） 1 1
经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元．
(1)求购买设备的资金y万元与购买A型x台的函数关系，并设计该企业有几种购买方案；
(2)若企业每月产生的污水量为2040吨，利用函数的知识说明，应选择哪种购买方案；
(3)在第（2）问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水费为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元？（注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）．
20．（8分）淄博烧烤因其味美价廉和特殊的炙烤方式，给人们带来了独特的烧烤体验，为了更好的服务远道而来的客人，为游客保驾护航，助力城市旅游服务的完善，淄博市政府准务购进一批新能源汽车，开设烧烤专线，方便游客的出行．据了解在某汽车公司2辆A型汽车、3辆B型汽车的共计售价80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的共计售价95万元．
(1)问A、B两种型号的汽车每辆售价分别为多少万元？
(2)市政府计划正好用200万元从该汽车公司购买以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），并且购买B型汽车的费用高于购买A型汽车的费用，已知销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，市政府应该如何购买？汽车公司的利润是多少元？
21．（9分）设一次函数，（m，n是常数，且m≠0，m≠n，n>0）
（1）当m=3，n=2时，
①求函数y1，y2图象的交点坐标．
②若y1>y2，求自变量x的取值范围．
（2）在0y2，求证:m+n<0．
22．（9分）已知一次函数．
(1)若该函数是一次函数，则m应满足什么条件；
(2)在（1）的前提下，若其图像不经过第四象限，求m的取值范围；
(3)在（1）的前提下，若点，在其图像上，求证：．
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【北师大版八年级数学（下）单元测试卷】
第二章：一元一次不等式和一元一次不等式组
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．若a和b满足aA．2a<2b B．a+12-b
解：A、在不等式的两边同时乘以2，不等式仍成立，即2a＜2b，故本选项不符合题意．
B、在不等式的两边同时加上1，不等式仍成立，即a+1＜b+1，故本选项不符合题意．
C、a＜b，当a＜0时，则a2＞ab，故本选项符合题意．
D、在不等式的两边同时乘以-1，不等号方向改变，即-a＞-b，再两边同时加上2，不等式仍成立，即2-a＞2-b，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组可能是（ ）
A． B． C． D．
解：由已知可知：-1故选B．
3．无论m为何值，点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：当时，
因为m＞3，m＜，
所以不等式组无解．
其它根据不同情况都有解．
所以可能在第二，第三，第四象限．
故选A．
4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解：，
由①得：，
由②得：，
∴在数轴上表示解集如下：

∴不等式组的解集为：；
故选A
5．某中学为落实市教育局提出的“全员育人，创办特色学校”的会议精神，决心打造“书香校园”，计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．符合题意的组建方案有（　　）种．
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
解：设组建中型图书角x个，则组建小型图书角为（30-x）个．
由题意，得
化简得，
解这个不等式组，得18≤x≤20．
∵由于x只能取整数，
∴x的取值是18，19，20．
当x=18时，30-x=12；当x=19时，30-x=11；当x=20时，30-x=10．
故有三种组建方案：
方案一，中型图书角18个，小型图书角12个；
方案二，中型图书角19个，小型图书角11个；
方案三，中型图书角20个，小型图书角10个．
故选C．
6．已知关于x的不等式的解集如图所示，则a的值是　　
A． B． C． D．0
解：解不等式得：
，
根据数轴可知：，
解得：，
故选A．
7．如图所示，A，B，C，D四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为（ ）
A． B． C． D．
解：由题意得：
①，
②，
③，
由③得：
④，
把④代入②得：
，
，
，
，
由③得：
，
，
，
，
，
即，
故选：C．
8．某商店分别购进单价为每斤元的甲种糖果30斤，单价为每斤元的乙种糖果20斤，商店以每斤元的价格全部卖完后，结果发现没有赚钱，其原因是（ ）
A． B． C． D．
解：根据题意得，商店购进每斤平均价是，以每斤元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，则：
解之得，
所以赔钱的原因是.
故选：B．
9．若不等式组无解，则k的取值范围是( )
A． B． C． D．
解：由题意可知不等式组无解所以k≥2故选C.
10．一次函数与的图象如图所示，下列说法：①对于函数来说，y随x的增大而增大．②函数不经过第二象限．③不等式的解集是． ④，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
解：由图象可得：对于函数来说，从左到右，图象上升，y随x的增大而增大，故①正确；
由图象可知，a＞0，d＞0，所以函数的图象经过第一，二，三象限，即不经过第四象限，故②错误，
由图象可得当时，一次函数图象在的图象上方，
不等式的解集是，
移项可得，，解集是，故③正确；
∵一次函数与的图象的交点的横坐标为4，
∴
∴，
∴，故④正确，
故选：B．
二、填空题：（每小题3分共15分）
11．请写出不等式﹣x+2≥0的一个正整数解 （写出一个即可）．
解﹣x+2≥0，
移项、合并得，﹣x≥﹣2，
化系数为1得，x≤4．
故不等式﹣x+2≥0的正整数解可以是2，答案不唯一．
故答案为2（答案不唯一）．
12．下面是小明同学解不等式的步骤，其中第 步是错误的．
解不等式：．
第一步：去分母得，
第二步：移项得，
第三步：系数化为1得．
解：解不等式：．
第一步：去分母得，
第二步：移项得，
第三步：系数化为1得．
小明同学的步骤中第三步是错误的，
故答案为：三
13．若代数式的值比代数式的值大，那么x的取值范围是 ．
解：∵代数式的值比代数式的值大，
∴，
解得：，
故答案为：．
14．定义运算表示求不超过的最大整数．如，，，．若，则的取值范围是 ．
解：根据题意得：
∴，
∴，
∴则，
解得：，
故答案为：．
15．对于一个各位数字都不为零的四位正整数N，若千位数字比十位数字大3，百位数字是个位数字的3倍，那么称这个数N为“三生有幸数”，例如：是个“三生有幸数”；又如不是一个“三生有幸数”．则最小的“三生有幸数”是 ．若将N的千位数字与个位数字互换，百位数字与十位数字互换，得到一个新的四位数，那么称这个新的数为数N的“反序数”，记作，例如：，其“反序数” ．若一个“三生有幸数”N的十位数字为x，个位数字为y，设，若除以6余数是1，则所有满足题意的四位正整数N的最大值与最小值的差是 ．
解：由题意，首先“三生有幸数”是一个各位数字都不为零的四位正整数，千位数字比十位数字大3，百位数字是个位数字的3倍，要想它最小，每位数字都取到最小，则十位数字应该取1，则千位数字应该取4，，个位数字也取1，百位数字取3，
∴最小的“三生有幸数”是，
由题意，“三生有幸数”N的十位数字为x，则个位数字为y，则
，
则，
∴，
∵除以6余数是1，n为正整数，
∴，
则，
∴是6的倍数，且x、y为正整数，
又，
∴，
∴或，
当时，N的最大值为，
当时，N的最小值为，
∴N的最大值与最小值的差是，
故答案为：；．
三、解答题：（共55分）
16．（6分）解下列不等式并把解集用数轴表示出来．
(1)；
(2)．
（1）解：，
去括号得，，
移项得，，
合并，得，，
系数化为1，得，，
将不等式解集在数轴上表示为：
（2）解：，
去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并，得，，系数化为1，得，，
将不等式解集在数轴上表示为：
17．（7分）（1）已知关于的不等式组，则这个不等式的解集为 ．
（2）有一种电脑程序，每按一次按键，屏幕区就会自动加上，同时区就会自动减去，且均会显示化简后的结果已知，两区初始显示分别是和，如图所示．
如：第一次按键后，A，两区分别显示
小红从初始状态按次后，求A，两区代数式的和并化简，请判断这个和能为负数吗？说明理由．
解：（1）∵，
∴这个不等式的解集为，
故答案为：．
小红从初始状态按次后，A，两区代数式分别为：，，
两区代数式之和为：，
∵，
这个和不可能为负数．
18．（8分）在初中阶段的函数学习中，我们知道由含有未知数和的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数；同时知道任何一个以为未知数的一元一次不等式都可以变形为或的形式，因此我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解或不等式的解集．
（1）在给出的平面直角坐标系中，直接画出函数的图象；
（2）如图，直线与相交于点，根据图象直接写出关于的方程的解；
（3）根据图象直接写出不等式的解集．
解（1）∵，∴ (0，2)和(2，0)两点在上；
∴如图所示（图中下降趋势直线为画图答案）
（2）∵与相交于(-1，m)，
∴ 的解为：；
（3）观察图象，当的图象在的下方时，
∴，
即：．
19．（8分）为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量及年消耗费如下表：
A型 B型
价 格（万元／台） 12 10
处理污水量（吨／月） 240 200
年消耗费（万元／台） 1 1
经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元．
(1)求购买设备的资金y万元与购买A型x台的函数关系，并设计该企业有几种购买方案；
(2)若企业每月产生的污水量为2040吨，利用函数的知识说明，应选择哪种购买方案；
(3)在第（2）问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水费为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元？（注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）．
（1）解：设购买污水处理设备A型x台，则B型（10﹣x）台，
由题意可得，
，
，
∵x取非负整数，
∴x可取0，1，2．
有三种购买方案：
方案一：购A型0台、B型10台；
方案二：购A型1台，B型9台；
方案三：购A型2台，B型8台．
（2）解：设购买污水处理设备A型x台，则B型（10﹣x）台．
240x+200（10﹣x）≥2040，
解得x≥1，
∴x为1或2．
由可知，，
即y随x的增大而增大，
∴为了节约资金，应选购A型1台，B型9台．
（3）10年企业自己处理污水的总资金为：
12×1+10×9+1×10+9×10＝202（万元），
若将污水排到污水厂处理：
2040×12×10×10＝2448000（元）＝244.8（万元）．
10年节约资金：244.8﹣202＝42.8（万元）．
20．（8分）淄博烧烤因其味美价廉和特殊的炙烤方式，给人们带来了独特的烧烤体验，为了更好的服务远道而来的客人，为游客保驾护航，助力城市旅游服务的完善，淄博市政府准务购进一批新能源汽车，开设烧烤专线，方便游客的出行．据了解在某汽车公司2辆A型汽车、3辆B型汽车的共计售价80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的共计售价95万元．
(1)问A、B两种型号的汽车每辆售价分别为多少万元？
(2)市政府计划正好用200万元从该汽车公司购买以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），并且购买B型汽车的费用高于购买A型汽车的费用，已知销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，市政府应该如何购买？汽车公司的利润是多少元？
（1）解：设种型号的汽车每辆售价为万元，种型号的汽车每辆售价为万元，
由题意得：，解得：，
答：种型号的汽车每辆售价为25万元，种型号的汽车每辆售价为10万元；
（2）解：设购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆，
由题意得：，整理得：，则，
、均为正整数，
，
市政府共有二种购买方案：购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆；
当，时，汽车公司获得的利润为：（元），
汽车公司利润是91000元．
21．（9分）设一次函数，（m，n是常数，且m≠0，m≠n，n>0）
（1）当m=3，n=2时，
①求函数y1，y2图象的交点坐标．
②若y1>y2，求自变量x的取值范围．
（2）在0y2，求证:m+n<0．
解：（1）当m=3，n=2时，，
①联立，解得
∴交点坐标为（5，12）；
②y1>y2则解得x>5；
（2）∵与y轴交点为（0，），过定点（1，0），
与y轴交点为（0，），同时过定点（-1，0），
∵在0y2
∴根据图像得到>即m+n<0．
22．（9分）已知一次函数．
(1)若该函数是一次函数，则m应满足什么条件；
(2)在（1）的前提下，若其图像不经过第四象限，求m的取值范围；
(3)在（1）的前提下，若点，在其图像上，求证：．
（1）解：由题意得：，
∴．
（2）∵图像不经过第四象限，
∴，
解得：．
（3）把点，代入一次函数解析式可得：
，
∴
．
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