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【北师大版八年级数学（下）单元测试卷】
第三章：图形的平移与旋转
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．下列是有关北京2022年冬奥会的图片，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C． D．
2．下列符号或图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图,等边三角形ABC的边长为4,点O是△ABC的中心,∠FOG=120°,绕点O旋转∠FOG,分别交线段AB,BC于D,E两点,连接DE,给出下列三个结论①OD=OE; ②S△ODE=S△BDE;③四边形ODBE的面积始终等于.上述结论中正确的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，连接CC′，若CC′∥AB，则∠BAC的大小是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
6．如图，在正方形ABCD中，△ADE绕点A顺时针旋转90°后与△ABF重合，CF＝6，CE＝4，则AC的长度为（ ）
A．4 B． C．5 D．
7．如图，将绕点A逆时针旋转后得到，点B的对应点是点，点的对应点是点，连接，若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
8．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，，，将绕点顺时针旋转并且按一定规律放大，每次变化后得到的图形仍是顶角为的等腰三角形．第一次变化后得到等腰三角形，点的对应点为；第二次变化后得到等腰三角形，点的对应点为；第三次变化后得到等腰三角形，点的对应点为……依此规律，则第2023年等腰三角形中，点的坐标是（ ）
A．B． C． D．
10．如图，矩形的顶点分别在x轴 y轴上，，将矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2020次旋转结束时，点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（每小题3分共15分）
11．点关于原点对称的点的坐标是 ．
12．如图，点D是等边△ABC的边BC上一点，△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，则∠DAE= .
13．如图，在等腰中，已知，，且边在直线上．将绕点顺时针旋转到位置①可得到点，此时；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时；···，按此规律继续旋转，直至得到点为止，则 ．
14.关于中心对称的两个图形的关系是 ．
15．如图，在△ABC中，，，P为△ABC内一点，且，，，则△ABC的面积为 ．
三、解答题：（共55分）
16．（6分）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点E恰好落在上．
(1)若，，求线段的长．
(2)连接，若，，求的度数．
17．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在格点上，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到 ，图中标出了点B的对应点．利用网格点和三角板画图或计算：
(1)在给定方格纸中画出平移后的；
(2)连接线段，则线段与的关系是 ．
(3)求出的面积
(4)在已知格点中找一点P(不与B重合)，使得，符合条件的点P有 ．
18．（8分）如图．△ABC的顶点坐标分别为．
(1)请画出△ABC以点A为旋转中心，逆时针旋转后得到的．
(2)直接写出的面积
19．（8分）在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是，现将三角形平移，使点A平移到点，点，分别是B，C的对应点．
(1)请画出平移后的三角形，并直接写出点，的坐标；
(2)若三角形内部一点P的坐标为，写出点P的对应点的坐标；
(3)求三角形的面积．
20．（8分）某宾馆装修，需在台阶上铺上地毯．已知台阶宽，其剖面图如图，需要购买多少平方米的地毯才能铺满所有台阶？
21．（9分）如图，在四边形ABCD中，，，．连接对角线BD，F是对角线BD上一点，连接FA和FC，，探究线段FA，FB和FC之间的数量关系，并证明．
22．（9分）如图，在和中，，绕点旋转．
（1）如图1，若连接、，求证：；
（2）如图2，若连接、，取中点，连接，试探究与的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，当旋转到如图3的位置时，点落在延长线上，若，请直接写出线段的长．
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【北师大版八年级数学（下）单元测试卷】
第三章：图形的平移与旋转
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．下列是有关北京2022年冬奥会的图片，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C． D．
解：A、不是中心对称图形，则此项不符题意；
B、不是中心对称图形，则此项不符题意；
C、是中心对称图形，则此项符合题意；
D、不是中心对称图形，则此项不符题意；
故选：C．
2．下列符号或图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、不是中心对称图形，不符合题意；B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；D、是中心对称图形，符合题意；
故选D．
3．如图,等边三角形ABC的边长为4,点O是△ABC的中心,∠FOG=120°,绕点O旋转∠FOG,分别交线段AB,BC于D,E两点,连接DE,给出下列三个结论①OD=OE; ②S△ODE=S△BDE;③四边形ODBE的面积始终等于.上述结论中正确的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
解：连接OA,OB,OC,
因为点O是△ABC的中心,
所以∠AOB=∠BOC=120°,OA=OB=OC
所以∠BOC=∠FOG=120°,∠ABO=∠BCO=30°,
所以∠BOD=∠COE,
所以△BOD≌△COE,
所以OD=OE,结论①正确;
如当E为BC的中点时,S△ODE故选B
4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
5．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，连接CC′，若CC′∥AB，则∠BAC的大小是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
解∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，
∴AC=AC′，∠CAC′=40°，
∴∠AC′C=∠ACC′=70°，
∵CC′∥AB，
∴∠BAC=∠ACC′=70°，
故选：D.
6．如图，在正方形ABCD中，△ADE绕点A顺时针旋转90°后与△ABF重合，CF＝6，CE＝4，则AC的长度为（ ）
A．4 B． C．5 D．
解：绕点A顺时针旋转90°后与重合，
，
，
，且，
,
．
故选：D．
7．如图，将绕点A逆时针旋转后得到，点B的对应点是点，点的对应点是点，连接，若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
解：∵绕点A逆时针旋转后得到，点B的对应点是点，点C的对应点是点，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
8．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C． D．
解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
9．如图，在平面直角坐标系中，，，将绕点顺时针旋转并且按一定规律放大，每次变化后得到的图形仍是顶角为的等腰三角形．第一次变化后得到等腰三角形，点的对应点为；第二次变化后得到等腰三角形，点的对应点为；第三次变化后得到等腰三角形，点的对应点为……依此规律，则第2023年等腰三角形中，点的坐标是（ ）
A．B． C． D．
解：在平面直角坐标系中，，，绕点顺时针旋转并且按一定规律放大，每次变化后得到的图形仍是顶角为的等腰三角形．
第一次变化后得到等腰三角形，点的对应点为，
∴；
第二次变化后得列等腰三角形，点的对应点为，；
∴；
第三次变化后得到等腰三角形，点的对应点为；
∴；
……
由图可知：
绕点每次顺时针旋转，并且腰长增加1，
∴旋转三次完成一周，故点，，，……在第三象限，
，，，……
，，
∴，
∴点到轴距离为，到轴距离为
，，
故选：D．
10．如图，矩形的顶点分别在x轴 y轴上，，将矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2020次旋转结束时，点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
解：如图，过点C作轴于点E，连接OC，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，
则第1次旋转结束时，点C的坐标为；
则第2次旋转结束时，点C的坐标为；
则第3次旋转结束时，点C的坐标为；
则第4次旋转结束时，点C的坐标为；
…
发现规律：旋转4次一个循环，
，
则第2020次旋转结束时，点C的坐标为．
故选：D．
二、填空题：（每小题3分共15分）
11．点关于原点对称的点的坐标是 ．
解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
12．如图，点D是等边△ABC的边BC上一点，△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，则∠DAE= .
解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACE，AB落在AC的位置，DA落在EA的位置，
∴∠BAC，∠DAE等于旋转角，
∴∠DAE＝60°．
故答案为60°．
13．如图，在等腰中，已知，，且边在直线上．将绕点顺时针旋转到位置①可得到点，此时；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时；···，按此规律继续旋转，直至得到点为止，则 ．
解：观察图形的变化可知：
AP1＝；
AP2＝1+；
AP3＝2+；
AP4＝2+2；
AP5＝3+2；
AP6＝4+2＝2（2+）；
…．
发现规律：
AP3n＝n（2+）；
AP3n+1＝n（2+）+；
AP3n+2＝n（2+）++1．
∴AP2022＝AP674×3＝674（2+）＝1348+674．
故答案为：1348+674．
14．关于中心对称的两个图形的关系是 全等 ．
解：关于中心对称的两个图形是全等图形.
故答案：全等.
15．如图，在△ABC中，，，P为△ABC内一点，且，，，则△ABC的面积为 ．
解：如图，
把绕点逆时针旋转90°得到，
根据旋转的性质可得是等腰直角三角形，
，，
，
，
在直角三角形中
故答案为：．
三、解答题：（共55分）
16．（6分）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点E恰好落在上．
(1)若，，求线段的长．
(2)连接，若，，求的度数．
（1）解：将△ABC绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点E落在上，
，，
；
（2）解：如图，连接，
，，
，
，
，
＝
．
17．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在格点上，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到 ，图中标出了点B的对应点．利用网格点和三角板画图或计算：
(1)在给定方格纸中画出平移后的；
(2)连接线段，则线段与的关系是 ．
(3)求出的面积
(4)在已知格点中找一点P(不与B重合)，使得，符合条件的点P有 ．
解（1）如图所示，即为所求；
（2）由平移的性质可得，且；
（3）；
（4）如图，共有7个格点．
故答案为：7．
18．（8分）如图．△ABC的顶点坐标分别为．
(1)请画出△ABC以点A为旋转中心，逆时针旋转后得到的．
(2)直接写出的面积
（1）解：如图，即为所求；
（2）的面积为.
19．（8分）在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是，现将三角形平移，使点A平移到点，点，分别是B，C的对应点．
(1)请画出平移后的三角形，并直接写出点，的坐标；
(2)若三角形内部一点P的坐标为，写出点P的对应点的坐标；
(3)求三角形的面积．
解（1）如图，三角形即为所求，
如图所示，为所求三角形， ，；
（2），，
A到是向左移5个单位，向下移2个单位，
∵点P的坐标为，
∴点P的对应点的坐标，
故答案为：．
（3）
20．（8分）某宾馆装修，需在台阶上铺上地毯．已知台阶宽，其剖面图如图，需要购买多少平方米的地毯才能铺满所有台阶？
解：如图，由题意可得，，
利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，得到一个长方形，地毯的长为，
∴地毯面积为，
答：需要购买平方米的地毯才能铺满所有台阶．
21．（9分）如图，在四边形ABCD中，，，．连接对角线BD，F是对角线BD上一点，连接FA和FC，，探究线段FA，FB和FC之间的数量关系，并证明．
解1
如图2，将绕点B顺时针旋转，使BA落在BC上，从而得到．连接．
由旋转的性质可知，
∴，，且，，
∴是等边三角形，
∴，且．
∵，
，
∴，
∴，
在中，有，
∴．
点拨
类似妙解1．
妙解2
如图3，连接AC，
∵，且，
∴△ABC是等边三角形，
∴，且．
将绕点A逆时针旋转，使BA落在AC上，从而得到，连接，
由旋转的性质可知，
∴，，且，
∴是等边三角形，
∴，且．
∵，，
∴．
在中，有，
∴．
妙解3
如图4，连接AC，
∵，且，
∴△ABC是等边三角形，
∴，且．
将绕点C顺时针旋转，使BC落在AC上，从而得到，连接，
由旋转的性质可知，
∴，，且，
∴是等边三角形，
∴，且
∵，，
∴，
在中，有，
∴．
点拨
类似妙解3.
妙解4
如图5，将绕点C逆时针旋转，使BC落在BA上，从而得到，连接，
可由旋转的性质可知：，
∴，，且，，
∴是等边三角形，
∴，且．
∵，，
∴，
∴．
在中，有，
∴．
点拨
发现题中具备相等线段AB和CB，且它们有公共端点，因此可通过旋转，构造出等边三角形的同时，巧妙地将所求的三条分散的线段集中在一个三角形中，构造出以AF，BF，CF为边的直角三角形，从而使问题得以解决．
妙解5
如图6，连接AC，
∵，且，
∴△ABC是等边三角形，
∴，且．
将绕点A顺时针旋转，使AC落在AB上，从而得到，连接，
由旋转的性质可知，
∴，且，，
∴是等边三角形，
∴，且．
∴，，
∴．
在中，有，
∴．
点拨
似妙解5.
妙解6
图7，连接AC，
∵，且，∴是等边三角形，
∴，且．
将绕点C逆时针旋转，使CA落在CB上，从而得到．接，
由旋转的性质可知，
∴，且，，
∴是等边三角形，
∴，且．
∵，，∴．
在中，有，∴．
22．（9分）如图，在和中，，绕点旋转．
（1）如图1，若连接、，求证：；
（2）如图2，若连接、，取中点，连接，试探究与的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，当旋转到如图3的位置时，点落在延长线上，若，请直接写出线段的长．
解：（1）证明：如图1，设与交于点，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，∴；
（2），
理由如下：如图2，延长至，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如图3，过点作于，
由（2）可知：，
∵，
∴，
∴，
∴．
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