云南省中央民族大学附中红河实验学校2024-2025学年高一上学期期末数学模拟试卷（二）（PDF版，含答案）

云南省中央民族大学附中红河实验学校 2024-2025 学年高一上学期期
末数学模拟试卷（二）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
1.设集合 = { | ≤ 0}, = { |3 2 7 ≤ 10}，则 ∩ =( )

10
A. ( 1,1) B. (0, ) C. [0,1] D. (0,1]
3
2.“ 是钝角”是“ 是第二象限角”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.小胡同学用二分法求函数 = ( )在 ∈ (1,2)内近似解的过程中，由计算可得 (1) < 0， (2) > 0，
(1.5) < 0，则小胡同学在下次应计算的函数值为( )
A. (0.5) B. (1.125) C. (1.25) D. (1.75)
4.已知 ( )是定义在 上的奇函数， ≥ 0时 ( ) = 2 1，则 ( 13) =( )
2
2 2
A. 2 B. C. D. 2
3 3
5.已知函数 ( )是 上的奇函数，对任意 ∈ ，都有 (2 ) = ( ) + (2)成立，则 (1) + (2) + (3) +
+ (2024) =( )
A. 4 B. 2 C. 2 D. 0
1 4
6.已知 > 0， > 0， 4 + 2 = 8，则 + 的最小值是( )
2 +1
9 46
A. 3 B. C. D. 9
4 15
7.已知2 = 5，log 3 = ，则4 3 8 =( )
25 5
A. 25 B. 5 C. D.
9 3
3 +1
8.函数 ( ) = 的部分图象大致是( )

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A. B.
C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 命题：“ ∈ ， 2 + 1 ≤ 0”的否定是“ ∈ ， 2 + 1 > 0”
B. “ = 0”是“ = 0”的一个必要不充分条件
C. 已知函数 = ( )的定义域为[1,3]，则函数 = (2 1)的定义域为[1,2]
1 2 1
D. 函数 ( ) = ( ) +2 +2的值域为[ , +∞)
2 2
10.下列说法正确的是( )
1
A. 函数 ( ) = √ 2 + 2 + 的最小值为2
√ 2+2
B. 已知正实数 ， 满足 + = 1，则√ + √ 的最大值为√ 2
1 1
C. 已知正实数 ， 满足 + = 1，则2 + 2 的最小值为8
D. 已知实数 > 1， > 1，且满足 + = 4，则log2 log2 的最大值为1

11.对于函数 ( ) = 2 和 ( ) = sin(2 )，下列正确的有( )
4
A. ( )与 ( )有相同零点 B. ( )与 ( )有相同最大值
C. ( )与 ( )有相同的最小正周期 D. ( )与 ( )的图像有相同的对称轴
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知扇形的周长为10，面积为6，则这个扇形的圆心角(正角)的弧度数为______．
13.已知 为第一象限角， 为第三象限角， + = 4， = √ 2 + 1，则sin( + ) = ______．
1 3
14.已知函数 = 3 2( > 0且 ≠ 1)的图像过定点( , )，正实数 ， 满足 = 1，则 + 的最

小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题12分)
+1
(1)已知角 的终边经过点 (4, 3)，求 值.
cos +sin
sin( ) cos( + )
(2)已知 = 3，计算sin2(2 + ) + 2 ( )的值．
sin cos
16.(本小题12分)
已知函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < )的部分图象如图所示．
(1)求函数 ( )的解析式；
5
(2)将函数 ( )的图象向右平移 个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，
24
得到函数 ( )的图象，求函数 ( )在区间(0, )内的值域．
17.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2 + 5，对于任意 ∈ ，有 (2 ) = (2 + )， ( 2) = 7．
(1)求 ( )的解析式；
(2)若函数 ( )在区间[ , + 3]上的最小值为 8，求 的值．
18.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2(4 + 1) + 为偶函数．
(1)求实数 的值；
(2)解关于 的不等式 (2 + 1) > ( 1)；
(3)设 ( ) = ( 2 2 + )( ≠ 0)，若函数 ( )与 ( )图象有2个公共点，求实数 的取值范围．
19.(本小题12分)
已知函数 ( )的定义域为 ，对任意的 ， ∈ 都有 ( ) = ( ) ( )，且 < 0时， ( ) < 0， > 1时，
( ) > 1．
(1)求 (1)的值并判断函数 ( )的奇偶性；
(2)讨论 ( )的单调性并证明；
(3)若 (4) = 16， ( ) ( + 1) 4 ( + 6) ≥ 0对任意的 ∈ [0,1]成立，求实数 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
4
12.【答案】3或
3
2√ 2
13.【答案】
3
14.【答案】12
15.【答案】解：(1)由题意，角 的终边经过点 (4, 3)，
3 4
所以 = ， = ，
5 5
3
+1 +1
故 = 54 3 = 2． cos +sin
5 5
sin( ) cos( + )
(2)根据题意， = 3，
sin cos
+
得 = 3，化简得4 = 2 ，所以 = = 2，
sin cos cos
故sin2(2 + ) + 2 ( )
sin2 2
= sin2 2 =
sin2 +cos2
tan2 2 22 2×2
= = = 0．
tan2 +1 22+1
2
16.【答案】解：(1)由图可知， = 2， = = ，

所以 = 2，此时 ( ) = 2 (2 + )，
3 3 3
将( , 2)代入，可得 ( ) = 2 (2 × + ) = 2，
8 8 8
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3 3 3
所以由五点法作图可得2 × + = ，解得 = ，
8 2 4
3
所以 ( ) = 2 (2 + )；
4
5
(2)将函数 ( )的图象向右平移 个单位长度，横坐标变为原来的2倍，得 ( ) = 2 ( + )，
24 3

令 + ∈ [2 , 2 + ]， ∈ ，
3 2 2
5
则 ∈ [2 , 2 + ]， ∈ ，
6 6
3
令 + ∈ [2 + , 2 + ]， ∈ ，
3 2 2
7
则 ∈ [2 + , 2 + ]， ∈ ，
6 6

当 = 0时，函数 ( )在区间(0, ]内单调递增，在区间[ , )内单调递减，
6 6

又 ( ) = 2， (0) = √ 3， ( ) = 2 = √ 3，
6 3
所以函数 ( )在区间(0, )内的值域为( √ 3, 2]．

17.【答案】解：(1)由函数 ( )满足 (2 ) = (2 + )，得 ( )的对称轴是 = 2，即 = 2①，
2
= 1
由 ( 2) = 7，得4 2 5 = 7②，联立①②解得{ ，
= 4
所以 ( ) = 2 4 5；
(2)当 + 3 ≤ 2，即 ≤ 1时，函数 = ( )在区间[ , + 3]上单调递减，
所以 ( ) = ( + 3) =
2 + 2 8 = 8，解得 = 2或 = 0(舍去)，
当 ≥ 2时，函数 = ( )在区间[ , + 3]上单调递增，
∴ ( ) = ( ) =
2 4 5 = 8，解得 = 3或 = 1(舍去)，
当 < 2 < + 3，即 1 < < 2时， ( ) = (2) = 9不符合题意，
综上所述， = 2或 = 3．
18.【答案】解：(1)函数的定义域为 ，
因为函数 ( ) = 2(4 + 1) + 为偶函数．
所以 ( ) = ( )，即 (4 2 + 1) = (4

2 + 1) + ，
4 +1

所以2 = 2(4 + 1)

2(4 + 1) =
4 = 4 2 2 = 2 ， 4 +1
所以 = 1；
4 +1 1
(2)因为 ( ) = 2(4
+ 1) = 2(

2
) = 2(2 + )， 2
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1
当 ≥ 0时，2 ≥ 1， = 2 + 单调递增， 2
所以 ( )在[0,+∞)上单调递增，又函数 ( )为偶函数，
所以函数 ( )在[0,+∞)上单调递增，在( ∞, 0]上单调递减；
因为 (2 + 1) > ( 1)，所以|2 + 1| > | 1|，解得 < 2或 > 0，
所以所求不等式的解集为( ∞, 2) ∪ (0,+∞)；
(3)因为函数 ( )与 ( )图象有2个公共点，
4 +1
所以 ( ) = 2( 2
+ ) = ( ) = 2(4 + 1) = 2( 2
)，

即 2
4 +1 1
+ = = 2 + ， 2 + > 0， 2 2
1
设 = 2 > 0，则 + = + ，即( 1) 2 + 1 = 0，

又 = 2 在 上单调递增，
所以方程( 1) 2 + 1 = 0有两个不等的正根；
1 ≠ 0
2
= 4( 1) × ( 1) > 0
所以 > 0 ，解得2√ 2 2 < < 1，
1
1
{ > 0 1
所以 的取值范围为(2√ 2 2,1)．
19.【答案】解：(1)当 > 1时，令 = 1，则 ( ) = ( ) (1)，
因为 ( ) > 1，所以 (1) = 1；
令 = = 1，则 (1) = ( 1) ( 1)，即 2( 1) = 1，
因为 ( 1) < 0，所以 ( 1) = 1，
令 = 1，则 ( ) = ( 1) ( ) = ( )，故 = ( )是奇函数．
(2) ( ) 在 上是增函数，证明过程如下：
1 1
当0 < < 1时， > 1，所以 ( ) > 1，

1 1
因为 (1) = ( ) = ( ) ( ) = 1，所以当0 < < 1时，0 < ( ) < 1，

又 (1) = 1 > 0，且当 > 1时， ( ) > 1，
所以当 > 0 时， ( ) > 0，
因为 ( )是定义在 上的奇函数，所以 (0) = 0，

任取 1 > 2 > 0，则
1 > 1，所以 ( 1) > 1，
2 2
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所以 ( 1) (
1 1 1
2) = ( 2 ) ( 2
) = ( 2) ( ) ( ) = ( )( ( ) 1) > 0，即 ( ) > ( )，
2
2 2 1 2
2 2
所以 ( )在(0,+∞)上单调递增，
又因为 ( )是 上的奇函数，所以 ( )在( ∞, 0)上单调递增，且 (0) = 0，
综上所述， ( )在 上是增函数．
(3)在 ( ) = ( ) ( )中，令 = = 2，则 (4) = 2(2) = 16，
因为 (2) > 0，所以 (2) = 4，
由 ( ) ( + 1) 4 ( + 6) ≥ 0，得 ( ) ( + 1) ≥ (2) ( + 6)，
即 ( 2 + ) ≥ (2 + 12)
因为 ( )在 上是增函数，所以 2 + ≥ 2 + 12对任意的 ∈ [0,1]恒成立，即 2 + 2 + 12 ≥ 0，
设 ( ) = 2 + 2 + 12，
(0) = 2 + 12 ≥ 0
则{ 2 ，解得 ≥ 4或 ≤ 4， (1) = 12 ≥ 0
所以实数 的取值范围为( ∞, 4] ∪ [4,+∞)．
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