重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高二下学期5月月考数学试卷
1．（2024高二下·重庆市月考）设，为两个不同的平面，，为两条相交的直线，已知，，则“，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024高二下·重庆市月考）复数的虚部是（ ）
A．1012 B．1011 C． D．
3．（2024高二下·重庆市月考）函数在处有极小值，则的值等于（ ）
A．0 B． C． D．6
4．（2024高二下·重庆市月考）样本数据2，1，4，5，6，6，15，8的中位数和众数分别是（ ）
A．5，6 B．5.5，6 C．6，6 D．5.5，5
5．（2024高二下·重庆市月考）向量，满足，，且，不等式恒成立．函数的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
6．（2024高二下·重庆市月考）已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为（ ）
A． B． C．2 D．1
7．（2024高二下·重庆市月考）已知二次函数与轴交于，两点，点，圆过，，三点，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则该定值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·重庆市月考）设，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过且斜率为的直线与右支交于点，与左支交于点，点满足，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·重庆市月考）已知一组数据，，，是公差不为0的等差数列，若去掉数据，则（ ）
A．中位数不变 B．平均数不变 C．方差变大 D．方差变小
10．（2024高二下·重庆市月考）在棱长为 1 的正方体中，已知分别为线段的中点，点满足，则（ ）
A．当时，三棱锥的体积为定值
B．当，四棱锥的外接球的表面积是
C．周长的最小值为
D．若，则点的轨迹长为
11．（2024高二下·重庆市月考）下列等式中， 正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2024高二下·重庆市月考）函数的最大值为 ．
13．（2024高二下·重庆市月考）设钝角△ABC三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则 .
14．（2024高二下·重庆市月考）祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个求体积的著名命题：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处截面积相等，则体积相等.由曲线围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V，则V= .
15．（2024高二下·重庆市月考）在中，已知，，分别为角，，的对边．若向量，向量，且．
（1）求的值；
（2）若，，成等比数列，求的值．
16．（2024高二下·重庆市月考）在中，内角的对边分别是，且.
（1）求的大小；
（2）若是边的中点，且，求面积的最大值.
17．（2024高二下·重庆市月考）设函数，．
（1）当时，在上恒成立，求实数的取值范围；
（2）若在上存在零点，求实数的取值范围．
18．（2024高二下·重庆市月考）为应对新一代小型无人机武器，某研发部门开发了甲、乙两种不同的防御武器，现对两种武器的防御效果进行测试.每次测试都是由一种武器向目标无人机发动三次攻击，每次攻击击中目标与否相互独立，每次测试都会使用性能一样的全新无人机.对于甲种武器，每次攻击击中目标无人机的概率均为，且击中一次目标无人机坠毁的概率为，击中两次目标无人机必坠毁；对于乙种武器，每次攻击击中目标无人机的概率均为，且击中一次目标无人机坠毁的概率为，击中两次目标无人机坠毁的概率为，击中三次目标无人机必坠毁.
（1）若，分别使用甲、乙两种武器进行一次测试.
①求甲种武器使目标无人机坠毁的概率；
②记甲、乙两种武器使目标无人机坠毁的数量为，求的分布列与数学期望.
（2）若，且，试判断在一次测试中选用甲种武器还是乙种武器使得目标无人机坠毁的概率更大？并说明理由.
19．（2024高二下·重庆市月考）如图，在多面体中，平面与平面均为矩形且相互平行，，设.
（1）求证：平面平面；
（2）若多面体的体积为：
（i）求；
（ii）求平面与平面夹角的余弦值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：设两条相交的直线，确定一个平面，
因为，，直线，相交，，，
所以根据面面平行的判定定理可得：，
又因为，，直线，相交，，，
所以根据面面平行的判定定理可得： ，
所以，充分性成立；
由，，可的：，或，，必要性不成立，
所以“，”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】本题考查平面与平面平行的判定定理，充分条件和必要条件的定义.先设两条相交的直线，确定一个平面，根据已知条件，利用平面与平面平行的判定定理： 一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，可推出和，再根据：平行于同一个平面的两个平面互相平行，可推出，据此可推出充分性成立；利用平面与平面平行的性质可推出：，或，，据此可得必要性不成立，据此可选出答案.
2．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：因为，
，
所以，①
因为，所以，，
所以化简①可得，
所以虚部为，
故答案为：D.
【分析】式子两边同时乘以i，利用错位相减法和等比数列的前n项和公式进行化简可求出复数，再根据复数的周期性求出，，据此可找出复数的虚部.
3．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由题意得，因为在处有极小值，
所以，解得，
所以，
令，解得或，
故函数在和上为增函数，
令，解得，
故函数在上为减函数，
所以在处有极小值，符合题意，
所以，
故答案为：A.
【分析】本题考查利用导函数研究函数的极值.先求出导函数，再根据以及可列出方程组，解方程组可求出，据此可写出的解析式，令和可求出函数的单调区间，进而检验是否符合题意，据此可求出答案．
4．【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：由小到大排列：1，2，4，5，6，6，8，15，
所以中位数为，众数为，
故答案为：B
【分析】先将数据小到大进行排列，再根据众数、中位数的概念可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题；余弦定理的应用
6．【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，
两边同时除以得，
所以，
因为，均为锐角，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以取得最大值时，.
故答案为：A.
【分析】利用基本不等式求出最值.利用两角和的余弦公式进行展开，利用同角三角函数的基本关系两边同时除以可得，再将用表示可得：，再利用基本不等式进行求解可出的最大值及此时的值，再根据两角和的正切公式进行计算可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设圆的方程为，因为圆过，两点，
且，两点的横坐标满足方程，
所以，，
所以圆的方程为，
又在圆上，所以，解得，
所以圆的方程为，
即，
令，解得或，
即圆恒过点和，又，所以该定值为．
故答案为：B．
【分析】设圆的方程为，依题意可得，，再由点在圆上，据此可求出，从而得到圆为，进而可列出方程组，解方程组可求出圆过定点坐标，利用两点间的距离公式可求出定弦长.
8．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：已知如图所示：
由，得为的中点；又，所以，所以；
设，由双曲线的定义，得，，
所以，从而，所以；
由直线的斜率为，得.
在中，，即；
在中，由余弦定理，得，
即，整理得，
解得，所以.
故答案为：B.
【分析】设，利用双曲线定义分别表示出，据此可求出，，，利用直线的斜率公式可求出利用同角三角函数的基本关系可求出，在中，利用正弦的定义可求出，在中利用余弦定理可列出方程，解方程可求出与的关系，利用双曲线的离心率公式进行计算可求出离心率.
9．【答案】A,B,C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：A，原数据的中位数为，去掉后的中位数为，即中位数没变，A正确；
B，原数据的平均数为，
去掉后的平均数为，即平均数不变，B正确；
C和D，则原数据的方差为，
去掉后的方差为，故，即方差变大，C正确，D错误．
故答案为：ABC．
【分析】利用中位数的概念可得：去掉后的中位数为，再利用等差数列的性质可判断A选项；利用等差数列的前n项和公式进行计算可得：原数据的平均数为，同理可求出去掉后的平均数为，据此可判断B选项；结合平均数的值，利用方差计算公式进行计算推出，即方差变大，据此可判断C选项和D选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：A，当时，，
故，即，
故点在线段上，
连接，与相交于点，则为的中点，连接，
因为为的中点，所以，故三棱锥的体积为定值，A正确；
B，当时，由A选项可知，，点为线段的中点，
连接相交于点，则⊥平面，
设正四棱锥的外接球的球心为，则三点共线，
其中，设，则，
由勾股定理得，即，
解得，
则表面积是，B正确；
C，点在矩形及其内部，取线段的中点，
由对称性知，，
，此时三点共线，
又，
，C错误；
D，因为 ，又点在矩形及其内部，
点的轨迹为点为球心，半径长为的球面被平面截且在矩形及其内部的图形，
又⊥平面，且，
故 ，
所以点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆的一部分，
如图，其中，，
故，
则，
则，
则轨迹长为，D正确.
故答案为：ABD
【分析】A选项，利用平面向量基本定理可推出，据此推出点在线段上，利用三角形的中位线定理可证明，所以三棱锥为定值，据此可判断A选项；点为线段的中点，连接相交于点，利用正方体的结构特征可证明⊥平面，设，利用勾股定理可求出设，据此可求出外接球的表面积，判断B选项；取线段的中点，利用对称性可推出，利用三点共线可求出，据此可求出周长的最小值，判断C选项；由可推出点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆的一部分，利用勾股定理可求出，利用弧长公式可求出轨迹长度.
11．【答案】A,B,D
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：A：，A正确；
B：
，B正确；
C：由
，
则
，C错误；
D：对有，则，
则展开式中的系数为；
又，其中项的系数为，
故，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用组合数的计算公式进行计算可判断A选项和C选项；.利用排列数的计算公式进行计算可判断B选项；构造出二项式，可得，再利用二项式定理展开式的通项求出中项的系数，可判断D选项.
12．【答案】
【知识点】平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：表示点，分别到，的距离差，
即在函数的图象上求点，使得取得最大值，如图所示：
易知，当且仅当点位于的延长线与的交点，
所以.
故函数的最大值为.
故答案为：.
【分析】通过配方可得：的几何意义可知表示点，分别到，的距离差，利用三点共线可得推出，利用两点间的距离公式可求出最大值.
13．【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：由余弦定理得，，
而由，得，
因为是钝角三角形，且，故A为锐角，所以，
所以，解得或，
当时，即，，由大边对大角得：最大角为C，，故C为锐角，不符合题意；
当时，即，，由大边对大角得：最大角为B，，故B是钝角，符合题意，
故答案为：
【分析】先利用余弦定理表示出，根据题意可得：，再利用同角三角函数的平方关系可求出，据此可列出方程，解方程可求出的值，根据三角形的边角关系可推出最大角为C，利用余弦定理可判断角C是否为钝角，据此可求出的值.
14．【答案】32
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：如图：
直线y=m与y轴交于P，由得出
因此直线与直线交于B，C，且，
由得出，因此直线y=m与双曲线交于A，D，
且，因为线段AB与线段CD绕y轴旋转一周，
得到一个圆环，且圆环的面积为
所以，由祖暅原理得到曲线围成的图形
绕y轴旋转一周所得旋转体的体积与底面半径为2，高为8的圆柱的体积相等，
而底面半径为2，高为8的圆柱的体积为，所以.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合祖暅原理和旋转构图的方法，再结合圆柱的体积公式得出结果.
15．【答案】（1）解： 因为，，且，
所以，
由正弦定理，可得，
所以，即，
又为三角形内角，，
所以
（2）解： 因为，，成等比数列，
所以，由正弦定理，可得，
又，为三角形内角，所以，
所以
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）先利用平面向量数量积的坐标运算公式可推出，再利用正弦定理进行边化角，利用两角和的正弦公式进行化简可求出；
（2）利用等比数列中项的定义可推出，再利用正弦定理进行边化角可得：，根据的值利用同角三角函数的基本关系可求出的值，再将 利用同角三角函数基本关系式，两角和的正弦公式进行化简可求出式子的值．
16．【答案】（1）解： ，，，
由正弦定理可得，
，
，
，，
，即，即
（2）解： 依题意，，
，，，
即，
即，当且仅当时，等号成立，
即，面积的最大值为
【知识点】基本不等式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）先利用三角函数的诱导公式，正弦定理进行边化角可得：，再根据二倍角的正弦公式可得：，再进行化简可求出，据此可求出角的大小；
（2）利用三角形的中线向量公式和平面向量的数量积公式进行化简可得：，利用基本不等式可求出的最大值，据此可求出面积的最大值.
17．【答案】（1）解：当时，转化为，在上单调递增．
令，．
若，则在上恒成立，在上单调递增，故，符合题意；
若，令函数，则在上恒成立，
在上单调递增，，且当时，．
，，故当时，，单调递减，
当时，，单调递增，则，不符合题意．
综上所述，实数的取值范围为；
（2）解：，，令，即，．
令，，则．
令，得．
当时，，单调递减；
当时，单调递增．
当时，取得极小值，即当时，取得极小值．
又，，．
．
当取得极大值，即当时，取得极大值．
又，，．
，当，．
．
，时，在上存在零点，实数的取值范围为．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据函数恒成立问题，设函数，通过导数判断函数单调性，进而求解实数的取值范围；
（2）分离参数，令，，利用导数求函数的最值，即得解.
18．【答案】（1）解： 因为每次测试都是由一种武器向目标无人机发动三次攻击，每次攻击击中目标无人机与否相互独立，
在一次测试中，用、分别表示甲、乙两种武器命中目标无人机的次数，则，，
记事件为“在一次测试中，使用甲种武器使目标无人机坠毁”，
，
所有可能的取值为，
记事件为“在一次测试中，使用乙种武器使目标无人机坠毁”，
，
，
，
，
所以的分布列如下：
故
（2）解： 记事件为“使用甲种武器使得目标无人机坠毁”，
事件为“使用乙种武器使得目标无人机坠毁”，
则
，
，
因为，所以，
则
，
令，则，
令，即，则，得，
又，所以恒成立，
所以在上单调递增，
又，则，
故，即
所以使用乙种武器使得目标无人机坠毁的概率更大
【知识点】利用导数研究函数的单调性；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）根据题意确定，，①再根据题意和甲种武器击中目标的次数可得：，利用二项分布的概率计算公式进行计算可求出 甲种武器使目标无人机坠毁的概率 ；
②先找出变量的取值，再求出乙两种武器使目标无人机坠毁的概率，利用相互独立事件的概率计算公式可求出对应变量的概率，据此可列出分布列，利用数学期望计算公式可求出期望；
（2）记事件为“使用甲种武器使得目标无人机坠毁”，事件为“使用乙种武器使得目标无人机坠毁”，分别用概率表示甲和乙使无人机坠毁的概率，两个概率相减再进行化简可得：概率差
，令，求出导函数，令和，可求出的单调区间，进而求出最值，利用最值可证明，据此可作出判断.
19．【答案】（1）证明：已知如图所示：
因为四边形是矩形，所以，
又因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）解： 因为，所以四边形是等腰梯形，
过点作，垂足为，过点作，垂足为，如图所示：
则，
同理，作，则，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，平面，记，
连接，作，则，
由对称性可知，所以，
，
，
所以，所以，
在中，，所以；
（ii）以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，则，
设平面的法向量，则，即，得，所以，
设平面的法向量，则，即，得，所以，
，
设平面与平面夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】本（1）利用矩形的性质可证明，再结合已知条件利用直线与平面垂直的判定定理可证明平面，利用平面与平面垂直的判定定理可证明结论；
（2）（i）记，连接，作，将多面体的体积分成三部分，包括一个三棱柱和两个完全一样的五面体，再将五面体分成一个三棱柱和一个四棱锥，最终表示出多面体的体积，利用三棱柱的体积计算公式和四棱锥的体积计算公式可列出方程，解方程可求出记，利用等腰三角形的性质可求出；
（ii）以为原点建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出对应向量，求出平面与平面的法向量，利用空间向量的夹角计算公式可求出平面与平面夹角的余弦值.
1 / 1重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高二下学期5月月考数学试卷
1．（2024高二下·重庆市月考）设，为两个不同的平面，，为两条相交的直线，已知，，则“，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：设两条相交的直线，确定一个平面，
因为，，直线，相交，，，
所以根据面面平行的判定定理可得：，
又因为，，直线，相交，，，
所以根据面面平行的判定定理可得： ，
所以，充分性成立；
由，，可的：，或，，必要性不成立，
所以“，”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】本题考查平面与平面平行的判定定理，充分条件和必要条件的定义.先设两条相交的直线，确定一个平面，根据已知条件，利用平面与平面平行的判定定理： 一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，可推出和，再根据：平行于同一个平面的两个平面互相平行，可推出，据此可推出充分性成立；利用平面与平面平行的性质可推出：，或，，据此可得必要性不成立，据此可选出答案.
2．（2024高二下·重庆市月考）复数的虚部是（ ）
A．1012 B．1011 C． D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：因为，
，
所以，①
因为，所以，，
所以化简①可得，
所以虚部为，
故答案为：D.
【分析】式子两边同时乘以i，利用错位相减法和等比数列的前n项和公式进行化简可求出复数，再根据复数的周期性求出，，据此可找出复数的虚部.
3．（2024高二下·重庆市月考）函数在处有极小值，则的值等于（ ）
A．0 B． C． D．6
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由题意得，因为在处有极小值，
所以，解得，
所以，
令，解得或，
故函数在和上为增函数，
令，解得，
故函数在上为减函数，
所以在处有极小值，符合题意，
所以，
故答案为：A.
【分析】本题考查利用导函数研究函数的极值.先求出导函数，再根据以及可列出方程组，解方程组可求出，据此可写出的解析式，令和可求出函数的单调区间，进而检验是否符合题意，据此可求出答案．
4．（2024高二下·重庆市月考）样本数据2，1，4，5，6，6，15，8的中位数和众数分别是（ ）
A．5，6 B．5.5，6 C．6，6 D．5.5，5
【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：由小到大排列：1，2，4，5，6，6，8，15，
所以中位数为，众数为，
故答案为：B
【分析】先将数据小到大进行排列，再根据众数、中位数的概念可求出答案.
5．（2024高二下·重庆市月考）向量，满足，，且，不等式恒成立．函数的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题；余弦定理的应用
6．（2024高二下·重庆市月考）已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，
两边同时除以得，
所以，
因为，均为锐角，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以取得最大值时，.
故答案为：A.
【分析】利用基本不等式求出最值.利用两角和的余弦公式进行展开，利用同角三角函数的基本关系两边同时除以可得，再将用表示可得：，再利用基本不等式进行求解可出的最大值及此时的值，再根据两角和的正切公式进行计算可求出答案.
7．（2024高二下·重庆市月考）已知二次函数与轴交于，两点，点，圆过，，三点，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则该定值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设圆的方程为，因为圆过，两点，
且，两点的横坐标满足方程，
所以，，
所以圆的方程为，
又在圆上，所以，解得，
所以圆的方程为，
即，
令，解得或，
即圆恒过点和，又，所以该定值为．
故答案为：B．
【分析】设圆的方程为，依题意可得，，再由点在圆上，据此可求出，从而得到圆为，进而可列出方程组，解方程组可求出圆过定点坐标，利用两点间的距离公式可求出定弦长.
8．（2024高二下·重庆市月考）设，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过且斜率为的直线与右支交于点，与左支交于点，点满足，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：已知如图所示：
由，得为的中点；又，所以，所以；
设，由双曲线的定义，得，，
所以，从而，所以；
由直线的斜率为，得.
在中，，即；
在中，由余弦定理，得，
即，整理得，
解得，所以.
故答案为：B.
【分析】设，利用双曲线定义分别表示出，据此可求出，，，利用直线的斜率公式可求出利用同角三角函数的基本关系可求出，在中，利用正弦的定义可求出，在中利用余弦定理可列出方程，解方程可求出与的关系，利用双曲线的离心率公式进行计算可求出离心率.
9．（2024高二下·重庆市月考）已知一组数据，，，是公差不为0的等差数列，若去掉数据，则（ ）
A．中位数不变 B．平均数不变 C．方差变大 D．方差变小
【答案】A,B,C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：A，原数据的中位数为，去掉后的中位数为，即中位数没变，A正确；
B，原数据的平均数为，
去掉后的平均数为，即平均数不变，B正确；
C和D，则原数据的方差为，
去掉后的方差为，故，即方差变大，C正确，D错误．
故答案为：ABC．
【分析】利用中位数的概念可得：去掉后的中位数为，再利用等差数列的性质可判断A选项；利用等差数列的前n项和公式进行计算可得：原数据的平均数为，同理可求出去掉后的平均数为，据此可判断B选项；结合平均数的值，利用方差计算公式进行计算推出，即方差变大，据此可判断C选项和D选项.
10．（2024高二下·重庆市月考）在棱长为 1 的正方体中，已知分别为线段的中点，点满足，则（ ）
A．当时，三棱锥的体积为定值
B．当，四棱锥的外接球的表面积是
C．周长的最小值为
D．若，则点的轨迹长为
【答案】A,B,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：A，当时，，
故，即，
故点在线段上，
连接，与相交于点，则为的中点，连接，
因为为的中点，所以，故三棱锥的体积为定值，A正确；
B，当时，由A选项可知，，点为线段的中点，
连接相交于点，则⊥平面，
设正四棱锥的外接球的球心为，则三点共线，
其中，设，则，
由勾股定理得，即，
解得，
则表面积是，B正确；
C，点在矩形及其内部，取线段的中点，
由对称性知，，
，此时三点共线，
又，
，C错误；
D，因为 ，又点在矩形及其内部，
点的轨迹为点为球心，半径长为的球面被平面截且在矩形及其内部的图形，
又⊥平面，且，
故 ，
所以点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆的一部分，
如图，其中，，
故，
则，
则，
则轨迹长为，D正确.
故答案为：ABD
【分析】A选项，利用平面向量基本定理可推出，据此推出点在线段上，利用三角形的中位线定理可证明，所以三棱锥为定值，据此可判断A选项；点为线段的中点，连接相交于点，利用正方体的结构特征可证明⊥平面，设，利用勾股定理可求出设，据此可求出外接球的表面积，判断B选项；取线段的中点，利用对称性可推出，利用三点共线可求出，据此可求出周长的最小值，判断C选项；由可推出点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆的一部分，利用勾股定理可求出，利用弧长公式可求出轨迹长度.
11．（2024高二下·重庆市月考）下列等式中， 正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A,B,D
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：A：，A正确；
B：
，B正确；
C：由
，
则
，C错误；
D：对有，则，
则展开式中的系数为；
又，其中项的系数为，
故，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用组合数的计算公式进行计算可判断A选项和C选项；.利用排列数的计算公式进行计算可判断B选项；构造出二项式，可得，再利用二项式定理展开式的通项求出中项的系数，可判断D选项.
12．（2024高二下·重庆市月考）函数的最大值为 ．
【答案】
【知识点】平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：表示点，分别到，的距离差，
即在函数的图象上求点，使得取得最大值，如图所示：
易知，当且仅当点位于的延长线与的交点，
所以.
故函数的最大值为.
故答案为：.
【分析】通过配方可得：的几何意义可知表示点，分别到，的距离差，利用三点共线可得推出，利用两点间的距离公式可求出最大值.
13．（2024高二下·重庆市月考）设钝角△ABC三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则 .
【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：由余弦定理得，，
而由，得，
因为是钝角三角形，且，故A为锐角，所以，
所以，解得或，
当时，即，，由大边对大角得：最大角为C，，故C为锐角，不符合题意；
当时，即，，由大边对大角得：最大角为B，，故B是钝角，符合题意，
故答案为：
【分析】先利用余弦定理表示出，根据题意可得：，再利用同角三角函数的平方关系可求出，据此可列出方程，解方程可求出的值，根据三角形的边角关系可推出最大角为C，利用余弦定理可判断角C是否为钝角，据此可求出的值.
14．（2024高二下·重庆市月考）祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个求体积的著名命题：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处截面积相等，则体积相等.由曲线围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V，则V= .
【答案】32
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：如图：
直线y=m与y轴交于P，由得出
因此直线与直线交于B，C，且，
由得出，因此直线y=m与双曲线交于A，D，
且，因为线段AB与线段CD绕y轴旋转一周，
得到一个圆环，且圆环的面积为
所以，由祖暅原理得到曲线围成的图形
绕y轴旋转一周所得旋转体的体积与底面半径为2，高为8的圆柱的体积相等，
而底面半径为2，高为8的圆柱的体积为，所以.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合祖暅原理和旋转构图的方法，再结合圆柱的体积公式得出结果.
15．（2024高二下·重庆市月考）在中，已知，，分别为角，，的对边．若向量，向量，且．
（1）求的值；
（2）若，，成等比数列，求的值．
【答案】（1）解： 因为，，且，
所以，
由正弦定理，可得，
所以，即，
又为三角形内角，，
所以
（2）解： 因为，，成等比数列，
所以，由正弦定理，可得，
又，为三角形内角，所以，
所以
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）先利用平面向量数量积的坐标运算公式可推出，再利用正弦定理进行边化角，利用两角和的正弦公式进行化简可求出；
（2）利用等比数列中项的定义可推出，再利用正弦定理进行边化角可得：，根据的值利用同角三角函数的基本关系可求出的值，再将 利用同角三角函数基本关系式，两角和的正弦公式进行化简可求出式子的值．
16．（2024高二下·重庆市月考）在中，内角的对边分别是，且.
（1）求的大小；
（2）若是边的中点，且，求面积的最大值.
【答案】（1）解： ，，，
由正弦定理可得，
，
，
，，
，即，即
（2）解： 依题意，，
，，，
即，
即，当且仅当时，等号成立，
即，面积的最大值为
【知识点】基本不等式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）先利用三角函数的诱导公式，正弦定理进行边化角可得：，再根据二倍角的正弦公式可得：，再进行化简可求出，据此可求出角的大小；
（2）利用三角形的中线向量公式和平面向量的数量积公式进行化简可得：，利用基本不等式可求出的最大值，据此可求出面积的最大值.
17．（2024高二下·重庆市月考）设函数，．
（1）当时，在上恒成立，求实数的取值范围；
（2）若在上存在零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：当时，转化为，在上单调递增．
令，．
若，则在上恒成立，在上单调递增，故，符合题意；
若，令函数，则在上恒成立，
在上单调递增，，且当时，．
，，故当时，，单调递减，
当时，，单调递增，则，不符合题意．
综上所述，实数的取值范围为；
（2）解：，，令，即，．
令，，则．
令，得．
当时，，单调递减；
当时，单调递增．
当时，取得极小值，即当时，取得极小值．
又，，．
．
当取得极大值，即当时，取得极大值．
又，，．
，当，．
．
，时，在上存在零点，实数的取值范围为．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据函数恒成立问题，设函数，通过导数判断函数单调性，进而求解实数的取值范围；
（2）分离参数，令，，利用导数求函数的最值，即得解.
18．（2024高二下·重庆市月考）为应对新一代小型无人机武器，某研发部门开发了甲、乙两种不同的防御武器，现对两种武器的防御效果进行测试.每次测试都是由一种武器向目标无人机发动三次攻击，每次攻击击中目标与否相互独立，每次测试都会使用性能一样的全新无人机.对于甲种武器，每次攻击击中目标无人机的概率均为，且击中一次目标无人机坠毁的概率为，击中两次目标无人机必坠毁；对于乙种武器，每次攻击击中目标无人机的概率均为，且击中一次目标无人机坠毁的概率为，击中两次目标无人机坠毁的概率为，击中三次目标无人机必坠毁.
（1）若，分别使用甲、乙两种武器进行一次测试.
①求甲种武器使目标无人机坠毁的概率；
②记甲、乙两种武器使目标无人机坠毁的数量为，求的分布列与数学期望.
（2）若，且，试判断在一次测试中选用甲种武器还是乙种武器使得目标无人机坠毁的概率更大？并说明理由.
【答案】（1）解： 因为每次测试都是由一种武器向目标无人机发动三次攻击，每次攻击击中目标无人机与否相互独立，
在一次测试中，用、分别表示甲、乙两种武器命中目标无人机的次数，则，，
记事件为“在一次测试中，使用甲种武器使目标无人机坠毁”，
，
所有可能的取值为，
记事件为“在一次测试中，使用乙种武器使目标无人机坠毁”，
，
，
，
，
所以的分布列如下：
故
（2）解： 记事件为“使用甲种武器使得目标无人机坠毁”，
事件为“使用乙种武器使得目标无人机坠毁”，
则
，
，
因为，所以，
则
，
令，则，
令，即，则，得，
又，所以恒成立，
所以在上单调递增，
又，则，
故，即
所以使用乙种武器使得目标无人机坠毁的概率更大
【知识点】利用导数研究函数的单调性；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）根据题意确定，，①再根据题意和甲种武器击中目标的次数可得：，利用二项分布的概率计算公式进行计算可求出 甲种武器使目标无人机坠毁的概率 ；
②先找出变量的取值，再求出乙两种武器使目标无人机坠毁的概率，利用相互独立事件的概率计算公式可求出对应变量的概率，据此可列出分布列，利用数学期望计算公式可求出期望；
（2）记事件为“使用甲种武器使得目标无人机坠毁”，事件为“使用乙种武器使得目标无人机坠毁”，分别用概率表示甲和乙使无人机坠毁的概率，两个概率相减再进行化简可得：概率差
，令，求出导函数，令和，可求出的单调区间，进而求出最值，利用最值可证明，据此可作出判断.
19．（2024高二下·重庆市月考）如图，在多面体中，平面与平面均为矩形且相互平行，，设.
（1）求证：平面平面；
（2）若多面体的体积为：
（i）求；
（ii）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：已知如图所示：
因为四边形是矩形，所以，
又因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）解： 因为，所以四边形是等腰梯形，
过点作，垂足为，过点作，垂足为，如图所示：
则，
同理，作，则，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，平面，记，
连接，作，则，
由对称性可知，所以，
，
，
所以，所以，
在中，，所以；
（ii）以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，则，
设平面的法向量，则，即，得，所以，
设平面的法向量，则，即，得，所以，
，
设平面与平面夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】本（1）利用矩形的性质可证明，再结合已知条件利用直线与平面垂直的判定定理可证明平面，利用平面与平面垂直的判定定理可证明结论；
（2）（i）记，连接，作，将多面体的体积分成三部分，包括一个三棱柱和两个完全一样的五面体，再将五面体分成一个三棱柱和一个四棱锥，最终表示出多面体的体积，利用三棱柱的体积计算公式和四棱锥的体积计算公式可列出方程，解方程可求出记，利用等腰三角形的性质可求出；
（ii）以为原点建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出对应向量，求出平面与平面的法向量，利用空间向量的夹角计算公式可求出平面与平面夹角的余弦值.
1 / 1
