重庆市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题
一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高二下·重庆市期末）已知是函数的导函数，则满足的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A、，，故A错误；
B、，，故B正确；
C、，，故C错误；
D、，，故D错误.
故答案为：.
【分析】根据导数的运算法则逐项求导判断即可.
2．（2024高二下·重庆市期末）如图是学校高二1 2班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的中期考试数学成绩统计，那么（ ）
A．两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等
B．1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班
C．2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的
D．“两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确
【答案】A
【知识点】收集数据的方法
【解析】【解答】解：原图是学校高二1 2班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，
从两个班随机抽取的6名学生的期中考试数学成绩优秀率无法确定哪个班的比较高，2班6名学生数学成绩不优秀的和优秀的人数也不能确定，故A正确，BC错误；
两个班期中考试数学成绩的优秀率均在0.5左右，并不能直接确定“两班学生的数学成绩优秀率存在差异”，故D错误.
故答案为：A.
【分析】根据等高堆积条形图分析判断即可.
3．（2024高二下·重庆市期末）对于函数，若系数可以发生改变，则改变后对函数的单调性没有影响的是（ ）
A． B． C． D．b，c
【答案】C
【知识点】导数的四则运算；函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】解：函数，求导可得，与的对的正负性有影响，不影响的正负性，则对的单调性没有影响.
故答案为：C.
【分析】先求导，分析的正负性即可判断.
4．（2024高二下·重庆市期末）某地根据以往数据，得到当地16岁男性的身高与其父亲身高的经验回归方程为，当地人小王16岁时身高，他父亲身高，则小王身高的残差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由题意，当时，，则，
故小王身高的残差为.
故答案为：B.
【分析】根据回归方程求小王身高的预测值，再计算残差即可.
5．（2024高二下·重庆市期末）若函数，在时有极大值，则的极小值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
由题意，，则，解得，
当时，，令，解得或，
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
则函数的极小值为.
故答案为：D.
【分析】先求函数的导函数，由题意可得，，求得，再利用导数判断函数的单调性，求解函数的极小值即可.
6．（2024高二下·重庆市期末）甲 乙 丙 丁 戊五个人站成一排照相，若甲不站最中间的位置，则不同的排列方式有（ ）
A．48种 B．96种 C．108种 D．120种
【答案】B
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：甲不站最中间的位置，则从乙 丙 丁 戊四个人中选一个人站中间，有种不同的站法；剩余的四个人进行全排列，有种不同的排法，
则不同的排列方式有种.
故答案为：B.
【分析】先从乙 丙 丁 戊四个人中选一个人站中间，其余的四个人进行全排列求解即可.
7．（2024高二下·重庆市期末）若王阿姨手工制作的工艺品每一件售出后可以获得纯利润4元，她每天能够售出的工艺品（单位：件）均值为50，方差为1.44，则王阿姨每天能够获得纯利润的标准差为（ ）
A．1.2 B．2.4 C．2.88 D．4.8
【答案】D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：设每天能够售出的工艺品为，由题意，可得均值，方差，
每天能够获得纯利润为，则，则王阿姨每天能够获得纯利润的标准差为.
故答案为：D.
【分析】根据方差的性质求解即可.
8．（2024高二下·重庆市期末）若样本空间中的事件满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：因为，
所以，
解得，
则.
故答案为：A.
【分析】由题意，利用条件概率、全概率公式求解即可.
二、 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9．（2024高二下·重庆市期末）若随机变量服从正态分布，已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：易知正态密度曲线的对称轴为，
A、，故A正确；
B、由对称性可知，，故B正确；
C、 ，故C错误；
D、，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据正态分布的对称性，结合已知条件逐项判断即可.
10．（2024高二下·重庆市期末）已知函数及其导函数的定义域都是，若函数的图象关于点对称，为偶函数，则（ ）
A． B．
C．的图象关于直线对称 D．的最小周期是1
【答案】B,C
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：因为为偶函数，函数的图象关于点对称，
对于函数，显然其图象关于点对称，且，故为偶函数，
即满足条件为偶函数，且其图象关于点对称，但，故A错误；
的最小正周期不是，故D错误；
函数的图象关于点对称，则，
令，得，故B正确；
函数的图象关于点对称，则，
两边求导得：，则的图象关于直线对称， 故C正确；
故答案为：BC.
【分析】举反例即可判断A，D；再由对称性和对称性与周期性之间的关系分析即可判断BC.
11．（2024高二下·重庆市期末）设都是不小于3的整数，当时，，设集合，如果与不能同时成立，则（ ）
A．若，则或
B．若，则的可能取值为3或4或5
C．若的值确定，则
D．若为奇数，则的最大值为
【答案】A,B,D
【知识点】元素与集合的关系；数列的应用
三、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高二下·重庆市期末）的展开式中的系数为 .
【答案】-6
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：二项式展开式的通项为，
令，则的系数为.
故答案为：.
【分析】根据二项展开式的通项公式求解即可.
13．（2024高二下·重庆市期末）已知某航空公司从重庆到北京的航班运行准点率约为，那么在50次运行中，平均准点班次约为 次.
【答案】46
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：由题意，在50次运行中，平均准点班次约为.
故答案为：46.
【分析】根据已知条件，利用概率的意义计算即可.
14．（2024高二下·重庆市期末）已知是的两个不同的极值点，且，若恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
因为是函数的两个不同的极值点，所以是的两个根，
由韦达定理可得：，，则，且，
又因为，所以，
，即，
又，即，令，
则在单调递增，则.
故答案为：.
【分析】求导，由题意，结合韦达定理可得，，则可转化为，则的范围可求，将化为，利用导数以及求出的a的范围即可求得b的范围.
四、 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．（2024高二下·重庆市期末）在中国的传统医学中，食物和药物一直被认为是相辅相成的.中医食疗是一门利用食物来调理身体和治疗疾病的科学，它将中草药的药效引入食物中，达到治病的目的.为了研究姜汤对治疗感冒是否更有效，进行了临床试验，得到如下数据：抽到服用姜汤的患者40名，其中30名痊愈，10名未痊愈；抽到服用白开水的患者60名，其中35名痊愈，25名未痊愈.
附：参考公式：.
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
（1）根据上述信息完成下列列联表；
疗法 疗效 合计
痊愈 未痊愈
服用白开水
合计
（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为姜汤对治疗感冒更有效果？并解释得到的结论.
【答案】（1）解：根据上述信息完成下列列联表；
疗法 疗效 合计
痊愈 未痊愈
服用姜汤 30 10 40
服用白开水 35 25 60
合计 65 35 100
（2）解：零假设为：疗法和疗效独立，即两种疗法效果没有差异.
根据列联表中的数据，经计算得到
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为姜汤对治疗感冒更有效果，此推断犯错误的概率不大于0.1.
【知识点】独立性检验；2×2列联表
【解析】【分析】（1）分析已知数据，完成列联表即可；
（2）先建进行零假设，再计算卡方值比较判断即可.
16．（2024高二下·重庆市期末）口袋中装有2个红球和4个白球，把从口袋中不放回的随机抽2个球称为“一次抽取”.
（1）求第1次至少抽到一个红球的概率；
（2）设“一次抽取”中抽到红球的个数为，求的分布列与数学期望.
【答案】（1）解：设第1次至少抽到一个红球”，则“第1次抽到2个球都是白球”，
第1次抽取的样本空间包括个样本点，即，而，
所以，
即第1次至少抽到一个红球的概率是；
（2）解：由题意知，且每次抽到红球个数的概率相等，
即的分布列为：
0 1 2
所以.
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；超几何分布
【解析】【分析】（1）利用古典概型概率公式求2个都是白球的概率，再利用对立事件概率公式求解即可；
（2）确定随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望即可.
17．（2024高二下·重庆市期末）2023年我国汽车出口跃居世界首位.整车出口491万辆，同比增长.作为中国外贸“新三样”之一，新能源汽车成为出口增长新动能.已知某款新能源汽车在匀速行驶状态下每千米的耗电量（单位：）与速度（单位：）在的函数关系为.假设电价是1元.
（1）当车速为多少时，车辆每千米的耗电量最低？
（2）已知司机的工资与开车时间成正比例关系，若总费用=电费+司机的工资，甲地到乙地的距离为，最经济的车速是，则司机每小时的工资为多少元？
【答案】（1）解：由，求导可得，令，解得，
则当车速为时，车辆每千米的耗电量最低.
（2）解：设司机的工资为元，则行车的总费用为
，
，由题意知时，，
得，即司机每小时的工资为150元.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求导，令求解车辆每千米的耗电量最低值即可；
（2）计算汽车行驶的总费用，并求函数的导数，由题意可知，是函数的极值点，代入求解即可.
18．（2024高二下·重庆市期末）国家对化学元素镓（）相关物项实施出口管制.镓在高端半导体领域有着非常重要的作用，其应用前景十分广阔.某镓合金研制单位为了让镓合金中的镓元素含量百分比稳定在一定范围内，由质检员每天17次随机抽取并检测镓元素在镓合金材料中的含量百分比.设表示一天的17次检测得到的镓含量（单位：）的监测数据，并记监测数据的平均数，标准差.设表示镓合金中镓含量（单位：），且，当为正整数时，令，根据表中的和值解答：
1 2 3 4
0.6827 0.9545 0.9973 0.9999
0.0015 0.4531 0.9551 0.9983
（1）记表示一天中抽取17次的镓含量的次数，求及的数学期望；
（2）当一天中至少1次监测镓含量，就认为该天研制情况异常，须对研制过程作改进.已知某天监测数据的最小值为17，最大值为21，经计算得.若用该天监测数据得的和分别估计为和且，利用估计判断该天的研制过程是否必须作改进？
（3）若去掉一天中的监测结果，设余下的数据标准差为，请用数据表示.
【答案】（1）解：由题意得1次监测镓含量的概率为0.9973，
镓含量的概率为0.0027，
，
，则；
（2）解：由估计得，
，发现最小值，
则该天至少1次监测镓含量中，故必须作改进；
（3）解：设余下的数据的平均数，则，
即.
【知识点】极差、方差与标准差；互斥事件与对立事件；二项分布；正态密度曲线的特点；3σ原则
【解析】【分析】（1）根据正态分布求解的概率，以及的概率，再利用对立事件求，再根据二项分布求期望即可；
（2）由可知，，作出判断即可；
（3）根据平均数公式和标准差公式，化简求解即可.
19．（2024高二下·重庆市期末）设为自然对数的底数，已知函数.
（1）当函数图象的切线经过原点时，求切线的方程；
（2）当实数满足且，求的最大值.
【答案】（1）解：函数，求导可得，
设函数的图象上一点为，
则该点处的切线为，
即切线为，
解得或，此时或，则切线的方程为或；
（2）解：设，则，再设，则，
由得在上单调递增，同理得在上单调递减，
即在上单调递增，在上单调递减，
容易得到当时，，当时，，
时，的最大值为，即，
由，得，而，
必存在，使得，且当时，；
当时，，即在上单减，在上单增，
而，
当时，，
当时，，即，当且仅当时等号成立，
，故当时，，
即当时，当且仅当时等号成立，
，，
当且仅当时等号成立，的最大值为8.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求函数的导函数，设切点坐标，利用导数的几何意义求切线方程，并代入原点，即可求解切点，以及切线方程；
（2）首先构造函数，利用导数分析函数的性质，从而证明当时，代入，求最值即可.
1 / 1重庆市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题
一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高二下·重庆市期末）已知是函数的导函数，则满足的函数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·重庆市期末）如图是学校高二1 2班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的中期考试数学成绩统计，那么（ ）
A．两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等
B．1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班
C．2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的
D．“两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确
3．（2024高二下·重庆市期末）对于函数，若系数可以发生改变，则改变后对函数的单调性没有影响的是（ ）
A． B． C． D．b，c
4．（2024高二下·重庆市期末）某地根据以往数据，得到当地16岁男性的身高与其父亲身高的经验回归方程为，当地人小王16岁时身高，他父亲身高，则小王身高的残差为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·重庆市期末）若函数，在时有极大值，则的极小值为（ ）
A．0 B． C． D．
6．（2024高二下·重庆市期末）甲 乙 丙 丁 戊五个人站成一排照相，若甲不站最中间的位置，则不同的排列方式有（ ）
A．48种 B．96种 C．108种 D．120种
7．（2024高二下·重庆市期末）若王阿姨手工制作的工艺品每一件售出后可以获得纯利润4元，她每天能够售出的工艺品（单位：件）均值为50，方差为1.44，则王阿姨每天能够获得纯利润的标准差为（ ）
A．1.2 B．2.4 C．2.88 D．4.8
8．（2024高二下·重庆市期末）若样本空间中的事件满足，则（ ）
A． B． C． D．
二、 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9．（2024高二下·重庆市期末）若随机变量服从正态分布，已知，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高二下·重庆市期末）已知函数及其导函数的定义域都是，若函数的图象关于点对称，为偶函数，则（ ）
A． B．
C．的图象关于直线对称 D．的最小周期是1
11．（2024高二下·重庆市期末）设都是不小于3的整数，当时，，设集合，如果与不能同时成立，则（ ）
A．若，则或
B．若，则的可能取值为3或4或5
C．若的值确定，则
D．若为奇数，则的最大值为
三、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高二下·重庆市期末）的展开式中的系数为 .
13．（2024高二下·重庆市期末）已知某航空公司从重庆到北京的航班运行准点率约为，那么在50次运行中，平均准点班次约为 次.
14．（2024高二下·重庆市期末）已知是的两个不同的极值点，且，若恒成立，则实数的取值范围是 .
四、 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．（2024高二下·重庆市期末）在中国的传统医学中，食物和药物一直被认为是相辅相成的.中医食疗是一门利用食物来调理身体和治疗疾病的科学，它将中草药的药效引入食物中，达到治病的目的.为了研究姜汤对治疗感冒是否更有效，进行了临床试验，得到如下数据：抽到服用姜汤的患者40名，其中30名痊愈，10名未痊愈；抽到服用白开水的患者60名，其中35名痊愈，25名未痊愈.
附：参考公式：.
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
（1）根据上述信息完成下列列联表；
疗法 疗效 合计
痊愈 未痊愈
服用白开水
合计
（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为姜汤对治疗感冒更有效果？并解释得到的结论.
16．（2024高二下·重庆市期末）口袋中装有2个红球和4个白球，把从口袋中不放回的随机抽2个球称为“一次抽取”.
（1）求第1次至少抽到一个红球的概率；
（2）设“一次抽取”中抽到红球的个数为，求的分布列与数学期望.
17．（2024高二下·重庆市期末）2023年我国汽车出口跃居世界首位.整车出口491万辆，同比增长.作为中国外贸“新三样”之一，新能源汽车成为出口增长新动能.已知某款新能源汽车在匀速行驶状态下每千米的耗电量（单位：）与速度（单位：）在的函数关系为.假设电价是1元.
（1）当车速为多少时，车辆每千米的耗电量最低？
（2）已知司机的工资与开车时间成正比例关系，若总费用=电费+司机的工资，甲地到乙地的距离为，最经济的车速是，则司机每小时的工资为多少元？
18．（2024高二下·重庆市期末）国家对化学元素镓（）相关物项实施出口管制.镓在高端半导体领域有着非常重要的作用，其应用前景十分广阔.某镓合金研制单位为了让镓合金中的镓元素含量百分比稳定在一定范围内，由质检员每天17次随机抽取并检测镓元素在镓合金材料中的含量百分比.设表示一天的17次检测得到的镓含量（单位：）的监测数据，并记监测数据的平均数，标准差.设表示镓合金中镓含量（单位：），且，当为正整数时，令，根据表中的和值解答：
1 2 3 4
0.6827 0.9545 0.9973 0.9999
0.0015 0.4531 0.9551 0.9983
（1）记表示一天中抽取17次的镓含量的次数，求及的数学期望；
（2）当一天中至少1次监测镓含量，就认为该天研制情况异常，须对研制过程作改进.已知某天监测数据的最小值为17，最大值为21，经计算得.若用该天监测数据得的和分别估计为和且，利用估计判断该天的研制过程是否必须作改进？
（3）若去掉一天中的监测结果，设余下的数据标准差为，请用数据表示.
19．（2024高二下·重庆市期末）设为自然对数的底数，已知函数.
（1）当函数图象的切线经过原点时，求切线的方程；
（2）当实数满足且，求的最大值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A、，，故A错误；
B、，，故B正确；
C、，，故C错误；
D、，，故D错误.
故答案为：.
【分析】根据导数的运算法则逐项求导判断即可.
2．【答案】A
【知识点】收集数据的方法
【解析】【解答】解：原图是学校高二1 2班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，
从两个班随机抽取的6名学生的期中考试数学成绩优秀率无法确定哪个班的比较高，2班6名学生数学成绩不优秀的和优秀的人数也不能确定，故A正确，BC错误；
两个班期中考试数学成绩的优秀率均在0.5左右，并不能直接确定“两班学生的数学成绩优秀率存在差异”，故D错误.
故答案为：A.
【分析】根据等高堆积条形图分析判断即可.
3．【答案】C
【知识点】导数的四则运算；函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】解：函数，求导可得，与的对的正负性有影响，不影响的正负性，则对的单调性没有影响.
故答案为：C.
【分析】先求导，分析的正负性即可判断.
4．【答案】B
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由题意，当时，，则，
故小王身高的残差为.
故答案为：B.
【分析】根据回归方程求小王身高的预测值，再计算残差即可.
5．【答案】D
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
由题意，，则，解得，
当时，，令，解得或，
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
则函数的极小值为.
故答案为：D.
【分析】先求函数的导函数，由题意可得，，求得，再利用导数判断函数的单调性，求解函数的极小值即可.
6．【答案】B
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：甲不站最中间的位置，则从乙 丙 丁 戊四个人中选一个人站中间，有种不同的站法；剩余的四个人进行全排列，有种不同的排法，
则不同的排列方式有种.
故答案为：B.
【分析】先从乙 丙 丁 戊四个人中选一个人站中间，其余的四个人进行全排列求解即可.
7．【答案】D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：设每天能够售出的工艺品为，由题意，可得均值，方差，
每天能够获得纯利润为，则，则王阿姨每天能够获得纯利润的标准差为.
故答案为：D.
【分析】根据方差的性质求解即可.
8．【答案】A
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：因为，
所以，
解得，
则.
故答案为：A.
【分析】由题意，利用条件概率、全概率公式求解即可.
9．【答案】A,B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：易知正态密度曲线的对称轴为，
A、，故A正确；
B、由对称性可知，，故B正确；
C、 ，故C错误；
D、，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据正态分布的对称性，结合已知条件逐项判断即可.
10．【答案】B,C
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：因为为偶函数，函数的图象关于点对称，
对于函数，显然其图象关于点对称，且，故为偶函数，
即满足条件为偶函数，且其图象关于点对称，但，故A错误；
的最小正周期不是，故D错误；
函数的图象关于点对称，则，
令，得，故B正确；
函数的图象关于点对称，则，
两边求导得：，则的图象关于直线对称， 故C正确；
故答案为：BC.
【分析】举反例即可判断A，D；再由对称性和对称性与周期性之间的关系分析即可判断BC.
11．【答案】A,B,D
【知识点】元素与集合的关系；数列的应用
12．【答案】-6
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：二项式展开式的通项为，
令，则的系数为.
故答案为：.
【分析】根据二项展开式的通项公式求解即可.
13．【答案】46
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：由题意，在50次运行中，平均准点班次约为.
故答案为：46.
【分析】根据已知条件，利用概率的意义计算即可.
14．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
因为是函数的两个不同的极值点，所以是的两个根，
由韦达定理可得：，，则，且，
又因为，所以，
，即，
又，即，令，
则在单调递增，则.
故答案为：.
【分析】求导，由题意，结合韦达定理可得，，则可转化为，则的范围可求，将化为，利用导数以及求出的a的范围即可求得b的范围.
15．【答案】（1）解：根据上述信息完成下列列联表；
疗法 疗效 合计
痊愈 未痊愈
服用姜汤 30 10 40
服用白开水 35 25 60
合计 65 35 100
（2）解：零假设为：疗法和疗效独立，即两种疗法效果没有差异.
根据列联表中的数据，经计算得到
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为姜汤对治疗感冒更有效果，此推断犯错误的概率不大于0.1.
【知识点】独立性检验；2×2列联表
【解析】【分析】（1）分析已知数据，完成列联表即可；
（2）先建进行零假设，再计算卡方值比较判断即可.
16．【答案】（1）解：设第1次至少抽到一个红球”，则“第1次抽到2个球都是白球”，
第1次抽取的样本空间包括个样本点，即，而，
所以，
即第1次至少抽到一个红球的概率是；
（2）解：由题意知，且每次抽到红球个数的概率相等，
即的分布列为：
0 1 2
所以.
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；超几何分布
【解析】【分析】（1）利用古典概型概率公式求2个都是白球的概率，再利用对立事件概率公式求解即可；
（2）确定随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望即可.
17．【答案】（1）解：由，求导可得，令，解得，
则当车速为时，车辆每千米的耗电量最低.
（2）解：设司机的工资为元，则行车的总费用为
，
，由题意知时，，
得，即司机每小时的工资为150元.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求导，令求解车辆每千米的耗电量最低值即可；
（2）计算汽车行驶的总费用，并求函数的导数，由题意可知，是函数的极值点，代入求解即可.
18．【答案】（1）解：由题意得1次监测镓含量的概率为0.9973，
镓含量的概率为0.0027，
，
，则；
（2）解：由估计得，
，发现最小值，
则该天至少1次监测镓含量中，故必须作改进；
（3）解：设余下的数据的平均数，则，
即.
【知识点】极差、方差与标准差；互斥事件与对立事件；二项分布；正态密度曲线的特点；3σ原则
【解析】【分析】（1）根据正态分布求解的概率，以及的概率，再利用对立事件求，再根据二项分布求期望即可；
（2）由可知，，作出判断即可；
（3）根据平均数公式和标准差公式，化简求解即可.
19．【答案】（1）解：函数，求导可得，
设函数的图象上一点为，
则该点处的切线为，
即切线为，
解得或，此时或，则切线的方程为或；
（2）解：设，则，再设，则，
由得在上单调递增，同理得在上单调递减，
即在上单调递增，在上单调递减，
容易得到当时，，当时，，
时，的最大值为，即，
由，得，而，
必存在，使得，且当时，；
当时，，即在上单减，在上单增，
而，
当时，，
当时，，即，当且仅当时等号成立，
，故当时，，
即当时，当且仅当时等号成立，
，，
当且仅当时等号成立，的最大值为8.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求函数的导函数，设切点坐标，利用导数的几何意义求切线方程，并代入原点，即可求解切点，以及切线方程；
（2）首先构造函数，利用导数分析函数的性质，从而证明当时，代入，求最值即可.
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