辽宁省朝阳市凌源市2024-2025学年高一上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

辽宁省朝阳市凌源市 2024-2025 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { |0 < < 2}， = { | 2 2 3 < 0}，则 ∩ =( )
A. (0,2) B. ( 1,3) C. (0,3) D. ( 1,2)
2.已知 > ，则下列不等式成立的是( )
1 1 1 1
A. < B. 2 > 2 C. | | > | | D. ( ) < ( )
3 3
1 1
3.“ 3 > 3”是“ > ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.有一组样本数据：1，1，2，2，3，3，4，4，4，6，则关于该组数据的数字特征中，数值最大的为( )
A. 75%分位数 B. 平均数 C. 极差 D. 众数
5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( )
1 1 1 2
A. B. C. D.
6 3 2 3
3
6.已知 > 1，若 = ( ) , = 2, = 2 ，则 ， ， 的大小关系正确的是( )
4
3
A. < < B. < < C. < < D. < <
7.已知 ( 1, 1)， ( 2, 2)是函数 = 的图象上两个不同的点，则( )
1+ 2 1+ 2 + 1+ 2 1+ 2 +
A. 2 > √ 1 2 B. 2 >
1 2 C. 2 < 1 2
2 √ 1 2 D.
2 <
2
2 , > 0 ( 1) ( )8.设函数 ( ) = { 2 ，对 1， 2 ∈ ( 1 ≠ 2)有
2 > 0成立，则实数 的取值范围是( )
+ , ≤ 0 1 2
A. [0,1] B. ( ∞, 1] C. (1, +∞) D. [1,2]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.先后两次掷一个均匀的骰子，记事件 ：“两次掷出的点数之和是11”，记事件 ：“第二次掷出的点数
是偶数”，记事件 ：“两次掷出的点数相同”，记事件 ：“至少出现一个奇数点”，则( )
A. 与 互斥 B. 与 对立 C. 与 独立 D. 与 对立
10.设 ( )是定义域为 的单调函数，对 ， ∈ ， ( + ) = ( ) + ( )， (2) = 4，则( )
A. (1) = 2 B. ( ) + ( ) = 0
C. ( )是减函数 D. 当0 < < 1时， ( ) > ( 2)
11.已知正实数 ， 满足 + 2 = 2，则( )
第 1 页，共 8 页
2
A. + ≥ 4 B. 2 + 4 2 ≥ 2 C. ≤ 1 D. 4 + 16 ≥ 8

三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
4 1 3 ln
12.求值：( ) 2 2 = ______．
25
1
13.函数 ( ) = + 4有______个零点．

14.已知幂函数 ( )经过点(2,8)，函数 ( ) = 3 3 + ( )满足 (2 ) + ( 2) < 0，则实数 的取值范
围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
2
已知集合 = { | < 0}, = { |( )( 2 2) < 0}．
3
(1)当 = 1时，求 ∪ ；
(2)命题 ： ∈ ，命题 ： ∈ ，若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
16.(本小题15分)
已知二次函数 ( ) = 2 + + ，满足 ( + 1) = ( ) + + 1．
(1)若 ( 1) = 1，求 ( )的解析式；
1
(2)若对 ∈ [ 2,2], ( ) > ，求 的取值范围．
2
17.(本小题15分)
近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾，可回收垃圾和其他垃圾三类，并分
别设置了相应的垃圾箱，为了获悉高中学生对垃圾分类的了解情况，某中学设计了一份调查问卷，500名学
生参加测试，从中随机抽取了100名学生问卷，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，
[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数不低于60的概率；
(2)根据频率分布直方图估计中位数；
(3)学校环保志愿者协会决定组织同学们利用课余时间分批参加“垃圾分类，我在实践”活动，以增强学生
的环保意识.首次活动从样本中问卷成绩低于40分的学生中随机抽取2人参加，已知样本中分数小于40的5名
学生中，男生3人，女生2人，求抽取的2人中男女同学各1人的概率．
第 2 页，共 8 页
18.(本小题17分)
1
已知函数 ( ) = ln( + )( ∈ )．
1
(1)若函数 ( ) = ( ) + 2为奇函数，求 的值；
2+ 1
(2)若对 ∈ [2,3], ( 2 ) ≤ 0，求 的取值范围．
19.(本小题17分)
定义： ∈ ，总有 ( ) ≤ ( ) ≤ ( )，称 ( )为“完美嵌套”于 ( )与 ( )内，已知 ( ) = 2 1， ( ) =
2 2 + 3．
(1)求函数 = ( ) ( )的零点；
(2)过点( 2, 1)的二次函数 ( ) = 2 + + “完美嵌套”于 ( )与 ( )内，
( )求 ( )的解析式；
1
( )当 > 时，4 ( ) ≥ ( )恒成立，求实数 的取值范围．
2
第 3 页，共 8 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】1
13.【答案】2
14.【答案】( 2,0)
2
15.【答案】解：(1) = { | < 0} = { |2 < < 3}．
3
当 = 1时， = { |( + 1)( 3) < 0} = { | 1 < < 3}，
∴ ∪ = { | 1 < < 3}．
(2)由(1)得， = { |2 < < 3}．
由( )( 2 2) = 0得 = 或 = 2 + 2．
1 7
∵ 2 + 2 = ( )2 + > 0，∴ 2 + 2 > ，
2 4
∴ = { |( )( 2 2) < 0} = { | < < 2 + 2}．
∵ 是 的充分不必要条件，∴ ，
≤ 2
∴ { 2 ，解得 ≤ 1或1 ≤ ≤ 2， + 2 ≥ 3
∴实数 的取值范围是( ∞, 1] ∪ [1,2]．
16.【答案】解：(1)因为 ( ) = 2 + + ，且 ( + 1) = ( ) + + 1，
所以 ( + 1)2 + ( + 1) + = 2 + + + + 1，
整理得2 + + = + 1，即(2 1) + + 1 = 0，
第 4 页，共 8 页
2 1 = 0 1
所以{ ，解得 = = ，
+ 1 = 0 2
1 1
所以 ( ) = 2 + + ，
2 2
又因为 ( 1) = 1，
1 1
所以 + = 1，故 = 1，
2 2
1 1
所以 ( ) = 2 + 1；
2 2
1
(2)由于 ∈ [ 2,2], ( ) > ，
2
1
整理可得 > 2 在[ 2,2]上恒成立，
2
1
只需要 ≥ ( 2 ) ， 2
1 1 1
令 ( ) = 2 = ( + 1)2 + ，
2 2 2
其图象的对称轴为 = 1，开口向下，
所以 ( )在[ 2, 1]上单调递增，在( 1,2]上单调递减，
1
所以当 = 1时， ( )取到最大值 ，
2
1
所以 > ，
2
1
所以 的取值范围为( , +∞)．
2
17.【答案】(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数高于60的频率为
(0.02 + 0.04 + 0.02) × 10 = 0.8，
所以样本中分数高于60的概率为0.8．
故从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数高于60的概率估计为0.8．
(2)由频率分布直方图可得：[80,90]上的频率为0.02 × 10 = 0.2，
[70,80)上的频率为0.04 × 10 = 0.4，故此两组的频率和为0.6，
设中位数为 ，则 ∈ (70,80)且(80 ) × 0.04 + 0.2 = 0.5，
故 = 72.5即中位数为72.5．
(3)设2名女生分别为 1， 2，3名男生分别为 1， 2， 3，
则从这5名同学中选取2人的结果为：
{ 3, 1}，{ 3, 2}，{ 2, 3}，{ 1, 2}，{ 1, 2}，{ 1, 3}，{ 1, 1}，{ 1, 2}，{ 2, 1}，{ 2, 2}，
共10种情况．
第 5 页，共 8 页
其中2人中男女同学各1人包含结果为：
{ 1, 1}，{ 1, 2}，{ 2, 1}，{ 2, 2}，{ 3, 1}，{ 3, 2}，共6种．
6 3
设事件 = {抽取的2人中男女同学各1人}，则 ( ) = =
10 5
3
所以，抽取的2人中男女同学各1人的概率是 ．
5
1 2 2 2 +2
18.【答案】解：(1) ( ) = ln( + ) + 2 = ln(2 + ) = ln ，
1 1 1
因为函数 ( )为奇函数，
所以 ( ) + ( ) = 0，
2 2 +2 2 2 +2
即ln + ln = 0，
1 1
2
( 2 +2) 4 2 2
即ln = 0，
1 2
2
( 2 +2) 4 2 2
所以 2 = 1， 1
所以( 2 + 2)2 4 2 2 = 1 2，
1 3
( 2 + 2)2 = 1 = 或 =
所以{ ，即{ 2 2 ，
4 2 = 1 1 1 = 或 =
2 2
1
解得 = ；
2
+1
此时 ( ) = ln ，
1
定义域为( ∞, 1) ∪ (1, +∞)，满足题意，
1
故 = ；
2
2+ 1 1 2
(2) ( 2 ) = ln( + 2 ) = ln( + )， + 1
2 1
1

2+ 1
由 ∈ [2,3], ( 2 ) ≤ 0，
2
得ln( + ) ≤ 0 = 1，
1
2
所以 ∈ [2,3],0 < + ≤ 1，
1
2 2
则 ∈ [2,3], < ≤ 1 ，
1 1
2 2
故只需( ) < ≤ (1 ) 即可，
1 1
令 = 1， ∈ [1,2]，则 = + 1，
第 6 页，共 8 页
2 2+2 +1 1
则 = = + + 2，
1
1
令 ( ) = + + 2, ∈ [1,2]，

由对勾函数的性质可知函数 ( )在[1,2]上单调递增，
9 2 9
所以 ( ) ∈ [4, ]，即 ∈ [4, ]，
2 1 2
2 2 7
所以( ) = 4, (1 ) = ， 1 1 2
7
所以 ∈ ( 4, ]．
2
19.【答案】解：(1)因为 ( ) = 2 1， ( ) = 2 2 + 3，
所以 = ( ) ( ) = ( 2 2 + 3) (2 1) = 2 4 + 4 = ( 2)2，
令 = 0，则 2 4 + 4 = ( 2)2 = 0，解得 = 2，
所以函数 = ( ) ( )的零点是2；
(2)( )由题意2 1 ≤ 2 + + ≤ 2 2 + 3恒成立，
令 = 2，得3 ≤ 4 + 2 + ≤ 3，
所以4 + 2 + = 3，
由题意 ( 2) = 4 2 + = 1，
4 + 2 + = 3 = 1
所以两式联立得{ ，解得{ ，
4 2 + = 1 = 1 4
对于2 1 ≤ 2 + + 恒成立，即 2 + 2 4 ≥ 0恒成立，
> 0 > 0
所以{ 2 ，即{ 2 ， = ( 1) 4 (2 4 ) ≤ 0 = (4 1) ≤ 0
1
所以4 1 = 0，解得 = ，
4
1
所以 = 1 4 = 0，所以 = , = 1, = 0；
4
此时对于 2 + + ≤ 2 2 + 3恒成立，
3
即 2 + 3 3 ≤ 0恒成立，
4
即 2 4 + 4 = ( 2)2 ≥ 0恒成立，显然符合题意，
1
所以 = , = 1, = 0，
4
1
所以 ( ) = 2 + ；
4
1
( )当 > 时，4 ( ) ≥ ( )恒成立，
2
第 7 页，共 8 页
即 2 + 4 ≥ ( 2 2 + 3)恒成立，
又 2 2 + 3 = ( 1)2 + 2 > 0，
2+4 2 2 +3+6 3 6 3 3(2 1)
所以 ≤
2
=
2 +3 2
= 1 + = 1 + 恒成立，
2 +3 2 2 +3 2 2 +3
3(2 1)
所以 ≤ [1 + ]
2 2 +3
，
3(2 1)
记 ( ) = 1 +
2
，
2 +3
令 = 2 1 > 0，
3 12 12
则 = 1 + +1 2 = 1 + 2 = 1 + 9 ，
( ) ( +1)+3 +9 2 + 2
2
因为 > 0，
9 9
所以 + 2 ≥ 2√ 2 = 6 2 = 4，

1 1
所以0 < 9 ≤ ，
+ 2 4

12
所以 = 1 + 9 ∈ (1,4],
+ 2

所以 ≤ 1．
所以实数 的取值范围为( ∞, 1]．
第 8 页，共 8 页