黑龙江省大庆市第一中学2024-2025学年高一上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

黑龙江省大庆市第一中学 2024-2025 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { 2,1,2,3}， = {0,1,2,4}，则 ∩ 的真子集个数是( )
A. 3 B. 4 C. 7 D. 8
2
2.若扇形的圆心角为 ，弧长为2 ，则该扇形的半径为( )
3
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3.已知角 的终边经过 (2, 1)，则 等于( )
√ 5 √ 5 2√ 5 2√ 5
A. B. C. D.
5 5 5 5
4.函数 ( ) = log2 + 4的零点所在的区间是( )
1
A. ( , 1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
2
5.已知幂函数 ( ) = ，则“ > 0”是“ ( )在(0, +∞)上单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知log23 = ，2
= 7，用 ， 表示log4256为( )
+3 3 +3 3
A. B. C. D.
+ + + +1 + +1
7.对于函数 ( )， ( )，设 1 ∈ { | ( ) = 0}， 2 ∈ { | ( ) = 0}，若存在 1， 2，使得| 1 2| 1，则称
( )和 ( )互为“零点相邻函数”.若函数 ( ) = log2 与 ( ) =
2 3 互为“零点相邻函数”，则 的
取值范围是( )
A. [0,2] B. ( ∞, 2] C. [1,2] D. ( ∞, 0] ∪ [1,2]
1 2
8.已知函数 ( ) = lg(√ 2 + 1 + )，若 > 0， > 0，且 (2 ) + ( 1) = 0，则 + 的最小值为( )

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
二、多选题：本题共 3 小题，共 104 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的有( )
A. 命题“ > 0， ≤ 1”的否定是“ > 0， ≥ 1”
B. 若 > 0 > ，则 < 2

C. 角 的终边在第一象限，那么角 的终边在第二象限
3
D. 函数 ( ) = lg( + 2)在[0,1]上单调递减，则 的取值范围是( 2,0)
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10.已知函数 ( )的定义域为 ，值域为[ 2,3]，则下列函数的值域也为[ 2,3]的是( )
A. = ( + 1) B. = ( ) + 1 C. = ( ) D. = ( )
11.已知函数 ( )的定义域为 .且满足 ( + ) = ( ) + ( ) + 1，当 > 0时， ( ) > 1， (1) = 1，则
下列结论正确的有( )
A. ( )是奇函数
B. ( )在 上单调递增
C. (2027) = 4053
D. 不等式 ( 2) < ( ) + 4的解集为( 1,2)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知函数 ( ) = 2| 1|，且 = (4)， = (0.20.3)， = (log30.5)，则 ， ， 的大小关系为______. (用
“<”连接)
13.西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现，鲑鱼的游速 (单位： )可以表
1
示为 = 3 ，品其中 表示鱼的耗氧的单位数.当一条大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数是其静止时耗氧2 100
量的单位数的27倍时，它的游速是______ / ．
8
14.已知函数 ( ) = ， ( ) = 2| |2 ，设函数 ( ) = 2 ( ) +
2 ，若对任意
+4 1
、 2 ∈ [2, +∞)都
有 ( 1) < ( 2)成立，则实数 的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知集合 = { |2 > 1}， = { | 2 < 1}．
(1)求集合 ∩ ；
(2)若 ∈ ∩ ，函数 ( ) = √ (4 3)，求函数 ( )的定义域．
16.(本小题12分)
2√ 5
已知 = ，且 为第三象限角．
5
(1)求 ， 的值；

sin(5 )sin( )sin( )
(2)求 2 3 的值．
cos( + )cos( + )sin( + )
2 2
17.(本小题12分)
4
已知函数 ( ) = ． 4 +2
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1 1
(1)设 ( ) = ( + ) ，判断并证明函数 ( )的奇偶性；
2 2
(2)求关于 的不等式2[ ( )]2 < (1 )的解集．
18.(本小题12分)
2
已知函数 ( ) = log2( + 1)， ( ) = 2
+1．
1
(1)求证： ( )为奇函数．
(2)解关于 的不等式 ( ) (2 ) ≤ 2 2．

(3)若2 (2 ) ≥ ( )恒成立，求实数 的取值范围．
19.(本小题12分)
( )
已知函数 ( )满足 ( ) + 2 ( ) = 3 2 + 2 + 3，函数 ( ) = ．

(1)求函数 ( )的解析式；
(2)若不等式 (log2 ) 2 ≤ 0在 ∈ [4,8]上恒成立，求实数 的取值范围；
6 7
(3)若关于 的方程2 (| |) + 4 2 = 0有四个不同的实数解，求实数 的取值范围．
| |
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 < <
3
13.【答案】
2
14.【答案】( ∞, 1) ∪ (2,+∞)
15.【答案】解：(1) = { |2 > 1} = { | > 0}， = { | 2 < 1} = { | 1 < < 1}，
故 A∩ = { |0 < < 1}；
(4 3) ≥ 0
(2)因为 ∈ ∩ ，所以0 < < 1，由题意得{ ，
4 3 > 0
因为 = log 在(0, +∞)上单调递减，所以0 < 4 3 ≤ 1，
3 3
解得 < ≤ 1，故定义域为( , 1]．
4 4
2√ 5
16.【答案】解：(1)因为sin2 + cos2 = 1， = ，
5
√ 5
所以 = ± ，
5
又 为第三象限角，
√ 5
所以 = ，
5
1
所以 = = ．
cos 2

sin(5 )sin( )sin( )
(2)由诱导公式化简得： 2
( ) 1
3 = = = ．
cos( + )cos( + )sin( + ) cos ( sin )( cos ) 2
2 2
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17.【答案】解：(1)函数 ( )为奇函数，证明如下：
1
+
1 1 4 1 2 4 2 1 4 1
( ) = ( + ) = = = ，
2 2 1 + 2 2 4 +2 2 4
+1 2
4 2+2
4 1 1 1
( ) = = ，
1+4 2 1+4 2
4 1 1 1
则 ( ) + ( ) = + = 0， 4 +1 2 1+4 2
所以 ( ) = ( )， ( )为奇函数；
4 41 4 4 4 2
(2)因为 ( ) + (1 ) = + 1 = + = + = 1， 4 +2 4 +2 4 +2 4+2 4 4 +2 2+4
则2[ ( )]2 < (1 )可转化为2[ ( )]2 < 1 ( )，
即2[ ( )]2 + ( ) 1 < 0，
1
又 ( ) > 0，0 < ( ) < ，
2
4 1 1
由 ( ) = < 可得，4 < 2，解得 < ，
4 +2 2 2
1
故原不等式的解集为( ∞, )．
2
2 +1
18.【答案】解：(1)证明：函数 ( ) = 2( + 1) = ， 1 2 1
+1
要使函数有意义，则需 > 0，解得 > 1或 < 1，
1
所以 ( )的定义域为{ | < 1或 > 1}，关于原点对称，
+1 1 +1
又 ( ) = log = log = log = ( )，
1 +1 1
所以 ( )为奇函数；
(2)不等式 ( ) (2 ) ≤ 2 2，即为式 ( ) ≤ (2 ) (2 )，
设 ( ) = ( ) ，即 ( ) = 2 +1 ，可得 ( )在 上单调递减，
所以 ( ) ≤ (2 )，所以 ≥ 2 ，解得 ≥ 1，
所以原不等式的解集为[1, +∞)；
(3)由2 > 1或2 < 1，解得 > 0，

所以2 (2 ) ≥ ( )( > 0)恒成立，

2 +1
2 +1
即2 2 2 1 ≥ 2 +1，化为 ≥ 2 +1， 2 1
2 +1
即 ≤ + 2 +1
2
= 3 + + 2(2 1)对 > 0恒成立， 2 1 2 1
2
由3 + + 2(2 1) ≥ 3 + 2 × 2 = 7， 2 1
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2
当且仅当 = 2(2 1)，即 = 1时，取得等号，
2 1
所以 ≤ 7，即 的取值范围是( ∞, 7]．
19.【答案】解：(1)因为 ( ) + 2 ( ) = 3 2 + 2 + 3，
所以 ( ) + 2 ( ) = 3 2 2 + 3，
故联立上述方程组，解得 ( ) = 2 2 + 1．
( ) 1
(2)由(1)知， ( ) = 2 2 + 1， ( ) = = + 2．

因为不等式 (log2 ) 2 ≤ 0在 ∈ [4,8]上恒成立，
1
所以 2 + 2 2 ≤ 0在 ∈ [4,8]上恒成立， 2
1
设 = log2 ，则 ∈ [2,3]，所以 + 2 ≤ 0在 ∈ [2,3]上恒成立，
1 2 1
所以 ≥ 1 + 2 = ( 1)
2，在 ∈ [2,3]上恒成立，

1 1 1 1 1 1 1 4
因为 ∈ [2,3]，所以 ∈ [ , ]当 = 时，( 1)2取得最大值，最大值为( 1)2 = ，
3 2 3 3 9
1 2 1 4
所以 ≥ 1 + 22 = ( 1) 在 ∈ [2,3]上恒成立，则 ≥ ， 9
4
所以 的取值范围是[ , +∞)．
9
6 7 2 6 7
(3)方程2 (| |) + = 4 = 2 = 0等价于2 + 4 + 4 2 = 0，
| | | | | |
即2| |2 (4 + 6)| | + 6 5 = 0，| | ≠ 0，
令| | = ，则2 2 (4 + 6) + (6 5) = 0( ≠ 0)，
6 =7
因为方程2 (| |) + 4 2 = 0有四个不同的实数解，
| |
所以2 2 (4 + 6) + (6 5) = 0( ≠ 0)，有两个不同的正根 1 2，
> 0
5
记 ( ) = 2 2 (4 + 6) + (6 = 5)，所以{ (0) = 6 5 > 0， > ．
4 6 6
> 0
2×2
5
综上， 的取值范围为{ | > }.
6
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