安徽省合肥市中锐学校高中部2024-2025学年高二上学期期末数学模拟试卷（PDF版，含答案）

安徽省合肥市中锐学校高中部 2024-2025 学年高二上学期期末数学模
拟试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线(3 + 2) + + 6 = 0和直线 + 3 = 0平行，则( )
1
A. = 0或 = B. = 1或 = 2
3
C. = 1 D. = 2
2.如图：在平行六面体 1 1 1 1中， 为 1 1， 1 1的交点．若 = ， = ， 1 = ，则
向量 =( )
1 1 1 1A. + + B. + +
2 2 2 2
1 1 1 1
C. + D. +
2 2 2 2
1
3.在数列{ }中， 1 = 2， = +1，则 5 =( ) 2
1 1
A. B. C. 16 D. 32
16 8
2 2
4.双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的渐近线与圆
2 + ( 4)2 = 4相切，则双曲线 的离心率为( )

2√ 3 4
A. B. 2 C. D. 4
3 3
2 2
5.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点为 1， 2，上一点 满足 1 ⊥ 2， 为线段 2的中垂
7
线与 的交点，若△ 1的周长为 ，则 的离心率为( ) 2
√ 6 √ 10 √ 6 √ 3
A. B. C. D.
4 4 3 2
6.跑步是一项常见的有氧运动，能增强人体新陈代谢和基础代谢率，是治疗和预防“三高”的有效手段．赵
老师最近给自己制定了一个180千米的跑步健身计划，计划前面5天中每天跑4千米，以后每天比前一天多跑
0.4千米，则他要完成该计划至少需要( )
A. 23天 B. 24天 C. 25天 D. 26天
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7.若圆 1：
2 + 2 + 4 4 + 7 = 0与圆 2：
2 + 2 4 + 2 + = 0相切，则实数 =( )
A. 11 B. 31 C. 11或31 D. 11或 31
8.已知 为坐标原点， 为抛物线 ： 2 = 4 的焦点，直线 与 交于点 ， (点 在第一象限)，若 = 0，
则△ 与△ 面积之和的最小值为( )
A. 6√ 5 B. 7√ 5 C. 8√ 5 D. 9√ 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若 ， ， ( , , 均不为0)是等差数列，则下列说法正确的是( )
A. 2， 2， 2一定成等差数列
B. 2 ，2 ，2 可能成等差数列
C. + 2， + 2， + 2一定成等差数列
1 1 1
D. ， ， 可能成等差数列

10.给出下列命题，其中是真命题的是( )
1
A. 若直线 的方向向量 = (1, 1,2)，直线 的方向向量 = (2,1, )，则 与 垂直
2
B. 若直线 的方向向量 = (0,1, 1)，平面 的法向量 = (1, 1, 1)，则 ⊥
C. 若平面 ， 的法向量分别为 1 = (0,1,3)， 2 = (1,0,2)，则 ⊥
D. 若存在实数 ， ，使 = + ，则点 、 ， ， 共面
11.下列结论中正确的是( )
2
A. 若直线 的方程 + √ 3 + 1 = 0，则直线 的倾斜角为
3
B. 已知曲线 ： 2 + 2 = 2| | + 2| |( , 不全为0)，则曲线 的周长为4√ 2
3
C. 若直线3 + 2 + 6 = 0与直线 2 + 2 = 0垂直，则 =
2
D. 圆 ： 2 + 2 + 2 + 4 + 1 = 0与圆 ： 2 + 2 = 1的公切线条数为2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
8
12.已知直线 + 1 = 0与⊙ ：( 1)2 + 2 = 4交于 ， 两点，写出满足“△ 面积为 ”的 的
5
一个值______．
13.已知等差数列{ }中， 2 = 4， 6 = 16，若在数列{ }每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一
个等差数列，则新数列的第43项为______．
14.如图，在长方体 1 1 1 1中， = 2 = 2 1 = 2，以 为
坐标原点，向量 ， ， 1的方向分别为 轴、 轴、 轴的正方向，建
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立空间直角坐标系，点 在平面 1 1 1 1上，若 ⊥平面 1，则点 的坐标是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列{ }的前 项和为 ，公差为2，且 1， 2， 4成等比数列．
(1)求 1， 2， 3；
(2)设 =

+ 2 ，求数列{ }的前9项和．
16.(本小题15分)
2 2 √ 6
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 ，焦距为2√ 2． 3
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 = + 2与 交点 ， 两点， 为坐标原点，且∠ = 90°，求实数 的值．
17.(本小题15分)
如图，在多面体 中， // ， // ， = = = = 2， = = √ 10， = 2√ 3，
= 4．
(1)证明：平面 ⊥平面 ．
6√ 91
(2)若 是线段 上一点，且 与平面 所成角的正弦值为 ，求 ．
91
18.(本小题17分)
已知圆 经过(2,0)，(4,2)两点，且圆心 在直线 = 上．
(1)求圆 的标准方程；
(2)过点(2,4)的直线 与圆 相交于 ， 两点，且△ 为直角三角形，求 的方程．
19.(本小题17分)
已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ， 上的动点 到点 的距离与到其准线 的距离之和的最小值为2．
(1)求抛物线 的方程；
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(2)已知点 ， ， ( , 2)是抛物线 上不同的三点．
( )若直线 过点 ，且交准线 于点 ， = 1 ， = 2 ，求 1 + 2的值；
( )若直线 ， 的斜率分别为 1， 2，且 1 2 = 1，求直线 的斜率 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
1 1
12.【答案】2(或 2或 或 )
2 2
65
13.【答案】
2
1
14.【答案】(1, , 1)
2
15.【答案】解：(1)由 1， 2， 4成等比数列得
2
2 = 1 4，化简得(2 1 + )
2 = 1(4 1 + 6 )，
又 = 2，解得 1 = 1，所以 2 = 3， 3 = 5；
(2)由(1)可知数列{ }的通项公式 = 1 + 2( 1) = 2 1，
所以 = 2 1 + 2
，
2×(1 2 )
设{2 }的前 项和为 +1 ，则 = = 2 2， 1 2
(1+2 1)
又 = =
2，
2
所以{ }的前9项和为 9 + 9 = 81 + 1024 2 = 1103．
√ 6
16.【答案】解：(1)因为椭圆 的离心率为 ，焦距为2√ 2，
3
√ 6
=
所以{ 3 ，①
2 = 2√ 2
又 2 = 2 + 2，②
联立①②，解得 2 = 3， 2 = 1，
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2
则椭圆 的方程为 + 2 = 1；
3
(2)不妨设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= + 2
联立{ 2 ，消去 并整理得(3 2 + 1) 2 2 + 12 + 9 = 0， + = 1
3
此时 = 144 2 36(3 2 + 1) > 0，
即 2 > 1，
12 9
由韦达定理得 1 + 2 = 2 ， 1 2 = 2 ，
3 +1 3 +1
因为∠ = 90°，
所以 = 1 2 + 1 2 = (
2 + 1) 1 2 + 2 ( 1 + 2) + 4 = 0，
即13 3 2 = 0，
√ 39
解得 = ± ，
3
此时满足 2 > 1．
√ 39
故 = ± ．
3
17.【答案】(1)证明：取 的中点 ，取 的中点 ，连接 ， ， ， ，
因为 // ， = 2， = 4，
所以 // ，且 = ，所以四边形 是平行四边形，所以 = =
√ 10，
又 = √ 10，所以△ 是等腰三角形，
同理可得△ 是等腰三角形，
因为 是 的中点，所以 ⊥ ， ⊥ ， = √ 2 ( )2 = 3， = √ 2 ( )2 = √ 3，
2 2
又 = 2√ 3，所以 2 + 2 = 2，即 ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以平面 ⊥平面 ．
(2)解：以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (0,0,3)， (0,2,3)， (0, 1,0)， (√ 3, 0,0)， (√ 3, 2,0)，
所以 = (0,1,3)， = (√ 3, 1,0)， = ( √ 3, 0,3)， = (√ 3, 2, 3)，
= + 3 = 0,
设平面 的法向量为 = ( , , )，则{
= √ 3 + = 0,
令 = 1，得 = 3， = √ 3，所以 = (√ 3, 3,1)，
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设 = = ( √ 3 , 0,3 )， ∈ [0,1]，
则 = + = (√ 3 √ 3 , 2, 3 + 3 )，
6√ 91
因为 与平面 所成角的正弦值为 ，
91
| | |√ 3(√ 3 √ 3 ) 6+( 3+3 )| 6√ 91
所以|cos < ， > | = = =| | | | 91 ， √ 2 2 (√ 3 √ 3 ) +4+( 3+3 ) ×√ 13
1 1 3
整理得(1 )2 = ，解得 = 或 = (舍去)，
4 2 2
所以
√ 3 3
= ( , 0, )，即| | = √ 3．
2 2
18.【答案】解：(1)因为圆 经过(2,0)，(4,2)两点，且圆心 在直线 = 上，
设圆心 为( , )，半径为 ，
此时 = √ (4 )2 + (2 )2 = √ (2 )2 + (0 )2，
解得 = 2，
所以圆心 为(2,2)，半径 = 2，
则圆 的标准方程为( 2)2 + ( 2)2 = 4；
(2)因为圆 的方程为( 2)2 + ( 2)2 = 4，
此时圆 的圆心 (2,2)，半径为2，
因为△ 为直角三角形，
所以∠ = 90°且 = = 2，
此时圆心 (2,2)到直线 的距离为√ 2，
当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 = 2，
此时直线 过圆心，不符合题意；
当直线 的斜率存在时，
设直线 的方程为 4 = ( 2)，
即 2 + 4 = 0，
|2 2 2 +4|
此时直线 到点 (2,2)的距离 = = √ 2，
√ 2 1+
解得 = ±1．
则直线 的方程为 + 2 = 0或 + 6 = 0．

19.【答案】解：(1)抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点 ( , 0)，准线 为： = ，
2 2
当点 为抛物线顶点时，其到焦点的距离与到准线的距离和最小，最小值为 ，
所以 = 2，所以抛物线 的方程为 2 = 4 ．
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(2)( )显然直线 不垂直于坐标轴，设直线 的方程为： = + 1( ≠ 0)，
2 = 4
联立{ ，消去 得 2 4 4 = 0， = 16 2 + 16 > 0，
= + 1
2
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，又 ( 1, )，

则{ 1
+ 2 = 4 ，所以
2
= ( + 1, + ), 1 1 = (1 1, )， 1 2 = 4
1
2 2 2
由 = ，得 1 + = 1 1，整理得 1 = 1 ，同理得 2 = 1 1 ， 1 2
2 1 1 2 + 2 4
所以 1 + 2 = 2 ( + ) = 2
1 2 = 2 = 0
1 2 1
．
2 4
( )设直线 的方程为： = + ，
= +
联立{ 2 ，消去 得
2 4 4 = 0，则 = 16 2 + 16 > 0，
= 4
( 3, 3)， ( 4, 4)， 3 + 4 = 4 ， 3 4 = 4 ，
2 2 4 4
而 (1,2)，所以 =
3 = 31 = , 1 2 +2 2 =3 +2， 3 1 3 4
4
4 4
因为 1 2 = 1，所以 = 16 +2 +2 ，即( 3 + 2)( 4 + 2) = 16， 3 4
即 3 4 + 2( 3 + 4) + 4 = 16，则 4 + 8 12 = 0，解得 = 2 3，
由 > 0，得 2 + 2 3 > 0，解得 < 3或 > 1，
1 1
则 = ∈ ( , 0) ∪ (0,1)，
3
1
所以直线 的斜率 的取值范围是( , 0) ∪ (0,1)．
3
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