2024-2025学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（PDF版，含答案）

2024-2025学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线：的一个方向向量为( )
A. B. C. D.
2.长方体中，，，，则( )
A. B. C. D.
3.已知数列为等差数列，，是方程的两个实数根，则( )
A. B. C. D.
4.已知直线：与直线：平行，则与之间的距离为( )
A. B. C. D.
5.已知平面的一个法向量为，点在平面内，点在平面外，则直线与平面所成角的大小为( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为，则双曲线的标准方程为( )
A. B.
C. 或 D. 或
7.已知数列首项为，且满足，数列满足，且数列前项和为，则( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆：上存在两点、关于直线对称，若椭圆离心率为，则的中点坐标为( )
A. B. C. D.
9.已知圆：及直线：，给出下列结论：
圆被轴截得的弦长为；
直线恒过定点；
时，直线被圆截得弦长取最大值；
直线被圆截得弦长最小值为．
其中正确结论的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
10.一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺了瓦片块，往下每一层多铺块，斜面上铺了瓦片层，共铺瓦片______块
11.直线过点，且在轴与轴上的截距相等，则直线的斜率为______．
12.抛物线的焦点坐标是______．
13.圆与圆交于、两点，则直线的方程为______．
14.正方体的棱长为，，分别为，的中点，为底面的中心，则点到平面的距离为______．
15.已知是坐标原点，是抛物线：的焦点，双曲线的渐近线与抛物线交于抛物线，两点异于原点，若，则双曲线离心率是______．
三、解答题：本题共5小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ若，求数列的前项和．
17.本小题分
已知圆心为的圆经过和两点，且圆心在直线：上．
Ⅰ求圆的标准方程；
Ⅱ过点作圆的切线，求切线的方程．
18.本小题分
如图，三棱台中，侧棱平面，，，．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求平面和平面夹角的余弦值．
19.本小题分
已知数列的前项和为，，．
Ⅰ求证：是等比数列；
Ⅱ求数列的通项公式；
Ⅲ若，数列的前项和为，求证：
20.本小题分
已知椭圆：的离心率为，，分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，且的周长为．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，，判断在轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，求点横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.或
12.
13.
14.
15.或
16.解：Ⅰ公差不为零的等差数列的前项和为，若，
可得，即，
由，，成等比数列，可得，即，化为，
解得，
则；
Ⅱ由，可得，
则数列的前项和．
17.解：由已知可得过点，的直线的斜率为，且，的中点为，
所以线段的垂直平分线的方程为，即，
由得，所以圆心坐标为，
半径，所以圆的标准方程为；
当过点的直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线圆相切；
当过点的直线的斜率存在时，设直线方程为，即，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，
所以，解得，所以切线方程为，
所以切线方程为或．
18.解：Ⅰ证明：以为原点，、、所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，．
可得，，，
设平面的法向量为，
则，
可得，
因为，则，
所以，
所以平面C.
Ⅱ易知平面的法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面和平面夹角的余弦值等于．
19.解：Ⅰ证明：由，可得，
又因为，
所以，因此是首项为，公比为的等比数列；
Ⅱ由Ⅰ可知，即，
当时，，
当时，，适合时，
所以；
Ⅲ证明：因为，
，
，
得，
则
所以．
因为，
所以．
20.解：Ⅰ因为椭圆的离心率为，的周长为，
所以，
解得，，，
则椭圆的方程为；
Ⅱ设直线的方程为，，，的中点为，
假设存在点，使得为以为底边的等腰三角形，
此时，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，
所以，，
因为，
所以，
即，
所以，
整理得，
需满足，
解得，
因为，
所以．
综上所述，满足条件的点横坐标的取值范围为
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