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【决战期末·50道综合题专练】浙教版八年级上册期末数学卷
1．（1）解方程：.
（2）解不等式组：，并利用数轴确定不等式组的解集.
2．如图，在等边中，厘米，厘米.如果点M以3厘米/秒的速度运动.
（1）如果点M在线段上由点C向点B运动，点N在线段上由B点向A点运动.它们同时出发，若点N的运动速度与点M的运动速度相等.经过2秒后，和是否全等？请说明理由.
（2）在（1）的条件下，当两点的运动时间为多少时，是一个直角三角形？
（3）若点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M以原来的运动速度从点C同时出发，都顺时针沿三边运动，经过25秒点M与点N第一次相遇，请直接写出点N的运动速度是多少厘米/秒？
3．如图，欣欣妈妈在超市购买某种水果所付金额（元）与购买（千克）之间的函数图象如图所示，
（1）求时，与之间的函数关系；
（2）请你帮欣欣妈妈计算：一次性购买千克这种水果比平均分次购买可节省多少元？
4．已知y与x之间成正比例关系，且当x＝-1时，y＝3．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x＝2时，求y的值．
5．已知：如图，、都是等边三角形，、相交于点O，点M、N分别是线段、的中点．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）求证：是等边三角形．
6．已知：如图，在ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，∠C＝75°.
（1）求∠A的度数；
（2）求∠CBD的度数.
7．如图，函数与的图象交于．
（1）求出，的值；
（2）直接写出不等式的解集．
8．如图，．
（1）用尺规作出的角平分线和线段的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）按下面要求画出图形：和交于点，交于点，连接并延长，交于点；
（3）求证：．
9．某商业集团准备购进A，B两款口袋打印机在甲、乙两个商场进行销售，这两款口袋打印机每台的利润如表：
打印机 利润 商场 甲商场 乙商场
A款（元/台） 95 60
款（元/台） 70 45
为迎接双十二，该商业集团新进了40台A款，60台B款调配给甲，乙两个商场，其中70台给甲商场，30台给乙商场．
（1）设该集团调配给甲商场A款x台，求总利润y与x的函数关系式．
（2）①若这100台口袋打印机全部销售出去，如何调配才能让商业集团的利润最大，并求出利润的最大值．
②为了促销，该商业集团决定对甲商场的A款，B款每台分别让利a元和b元（），其他销售利润不变，当天结算时发现销售总利润与调配方案无关．当总利润最大时，求此时a的值．
10．如图，交于点B，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
11．如图，已知，，连接，过B点作的垂线段，使，连接．
（1）如图1，求C点坐标；
（2）如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接，作等腰直角，连接，当点P在线段上，求证：．
12．如图，直线=kx+b与坐标轴交于A（0，2），B（m，0）两点，与直线=-4x+12交于点P（2，n），直线=-4x+12交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求m，n值；
（2）直接写出方程组的解为 ；
（3）求△PBC的面积．
13．如图，在中，D为上一点，E为中点，连接DE并延长至点F，使得，连接．
（1）求证：；
（2）若，连接平分平分，求的度数．
14．如图， 于E， 于F，若 、 ，
（1）求证： 平分 ；
（2）写出 与 之间的等量关系，并说明理由。
15．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE是AC的垂直平分线．
（1）求证：△BCD是等腰三角形；
（2）△BCD的周长是a，BC=b，求△ACD的周长（用含a，b的代数式表示）
16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1向左平移3个单位后得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出顶点A2的坐标．
17．已知：如图，ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，E是AC上的一点，∠ABE＝∠ABC，过点C作CD⊥AB于D，交BE于点P．
（1）直接写出图中除ABC外的所有等腰三角形；
（2）求证：BD＝PC；
（3）点H、G分别为AC、BC边上的动点，当DHG周长取取小值时，求∠HDG的度数．
18．学校为激励更多班级积极参与“分类适宜，垃圾逢春”活动，决定购买拖把和扫帚作为奖品，奖励给垃圾分类表现优异的班级.若购买3把拖把和2把扫帚共需80元，购买2把拖把和1把扫帚共需50元.
（1）请问拖把和扫帚每把各多少元？
（2）现准备购买拖把和扫帚共200把，且要求购买拖把的费用不低于购买扫帚的费用，所有购买的资金不超过2690元，问有几种购买方案，哪种方案最省钱？
19．已知直线 与 互相垂直，垂足为O，点A在射线 上运动，点B在射线 上运动，点A，B均不与点O重合.
（1）如图1， 平分 平分 .若 ，则 .
（2）如图2， 平分 交 于点I， 平分 的反向延长线交 的延长线于点D.
①若 ，则 ▲ .
②在点A，B的运动过程中， 的大小是否会发生变化？若不变，求出 的度数；若变化，请说明理由.
（3）如图3，已知点E在 的延长线上， 的平分线 的平分线 与 的平分线所在的直线分别相交于点D，F.在 中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出 的度数.
20．探究：如图①， ， 平分 ， 平分 ，且点 、 、 均在直线 上，直线 分别与 、 交于点 、 .
（1）若 ， ，则 .
（2）若 ，求 的度数.
（3）如图②， 和 的平分线 、 交于点 ， 经过点 且平行于 ，分别与 、 交于点 、 .若 ，直接写出 的度数.（用含 的代数式表示）
21．如图，在等边 中，点 、 分别在边 、 上，且 ，过点 作 ，交 的延长线于点 .
（1）求 的度数；
（2）若 ，求 的长.
22．已知 与 成正比例，且当 时， ．
（1）求出 与 之间的函数解析式；
（2）当 时，求 的值．
23．某公司要印制新产品宣传材料．甲印刷厂提出：每份材料收1元印制费，另收1500元制版费；乙厂提出：300张以内（含300张）每份材料收2.5元印制费，超出部分每张减少0.1元，不收制版费．
（1）分别写出两厂的收费y(元)与印制数量x(份)之间的关系式．
（2）印制800份宣传材料时，选择哪家印刷厂比较合算？
24．某水果批发站购进苹果和梨共100箱，其中苹果每箱40元，梨每箱45元。
（1）若设苹果箱数为x箱，总费用为y元，试用x的代数式来表示总费用y.
（2）若购进的100箱水果中，苹果箱数不小于30箱，且不大于90箱，试求该水果批发站此次购入水果的总费用的范围.
25．如图，在直角坐标系中，长方形ABCD的三个顶点的坐标为A(1，1)，B(6，1)， D(1，4)，且AB∥x轴，点P(a，b-2)是长方形内一点(不含边界)
（1）求a，b的取值范围
（2）若将点P向左移动8个单位，再向上移动2个单位到点Q ，若点Q恰好与点C关于y轴对称，求a，b的值
26．已知函数y1＝2x－4与y2＝－2x＋8的图象，观察图象并回答问题：
（1）x取何值时，2x－4＞0？
（2）x取何值时，－2x＋8＞0？
（3）x取何值时，2x－4＞0与－2x＋8＞0同时成立？
（4）求函数y1＝2x－4与y2＝－2x＋8的图象与x轴所围成的三角形的面积？
27．市教育局在全市中小学推广某学校“品格教育”科研成果，其中“敬老孝亲”是“品格教育”亮点之一. 重阳节（农历九月初九）快到了，某校八年级（1）班班委发起为老人们献上真挚的节日祝福活动，决定全班同学利用课余时间去卖鲜花筹集慰问金．已知同学们从花店按每支1.5元买进鲜花，并按每支4.5元卖出．
（1）求同学们卖出鲜花的销售额 （元）与销售量 （支）之间的函数关系式；
（2）若从花店购买鲜花的同时，还总共用去40元购买包装材料，求所筹集的慰问金 （元）与销售量 （支）之间的函数关系式；若要筹集不少于500元的慰问金，则至少要卖出鲜花多少支？（慰问金 = 销售额 － 成本）
28．定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移1个单位再向下平移2个单位称为一个跳步.如：点 一个跳步后对应点 .已知点 ， .
（1）求点 ， 经过1个跳步后的对应点 ， 的坐标.
（2）求直线 经过一个跳步后对应直线的函数表达式.
29．解下列不等式 组 ：
（1）2x+1（2）
30．点O为平面直角坐标系的坐标原点，直线 与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.
（1）求点A，点B的坐标；
（2）若 ∠BAO=∠AOC ，求直线OC的函数表达式；
（3）点D是直线 上的一点，把线段BD绕点D旋转 ，点B的对应点为点 若点E恰好落在直线AB上，则称这样的点D为“好点”，求出所有“好点”D的坐标.
31．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，分别以AB，AC为边作两个等腰三角形ABD和ACE，且AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°.
（1）求∠DBC的度数．
（2）求证：BD＝CE.
32．如图①，在等边三角形ABC中．D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边三角形EDC．连接AE.
（1）求证：△DBC≌△EAC
（2）试说明AE∥BC的理由．
（3）如图②，当图①中动点D运动到边BA的延长线上时，所作仍为等边三角形，猜想是否仍有AE∥BC 若成立请证明．
33．△ABC的顶点均在边长为1的小正方形网络中的格点上，如图，建立平面直角坐标系，点B在x轴上.
（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的△A’B’C’，连接AA’，求证：△AA’C≌△A’AC’；
（2）请在y轴上画点P，使得PB+PC最短.（保留作图痕迹，不写画法）
34．如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A=50°时，求∠DEF的度数；
（3）若∠A=∠DEF，判断△DEF是否为等腰直角三角形．
35．某商场代销甲、乙两种商品，其中甲种商品进价为120元/件，售价为130元/件，乙种商品进价为100元/件，售价为150元/件．
（1）若商场用36000元购进这两种商品若干，销售完后可获利润6000元，则该商场购进甲、乙两种商品各多少件？（列方程组解答）
（2）若商场购进这两种商品共100件，设购进甲种商品x件，两种商品销售后可获总利润为y元，请写出y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的范围），并指出购进甲种商品件数x逐渐增加时，总利润y是增加还是减少？
36．某食品加工厂需要一批食品包装盒，供应这样包装盒有两种方案可供选择：
方案一：从包装盒加工厂直接购买，购买所需的费y1与包装盒数x满足如图1所示的函数关系．
方案二：租赁机器自己加工，所需费用y2（包括租赁机器的费用和生产包装盒的费用）与包装盒数x满足如图2所示的函数关系．根据图象回答下列问题：
（1）方案一中每个包装盒的价格是多少元？
（2）方案二中租赁机器的费用是多少元？生产一个包装盒的费用是多少元？
（3）请分别求出y1、y2与x的函数关系式．
（4）如果你是决策者，你认为应该选择哪种方案更省钱？并说明理由．
37．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．
（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形；
（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、 、 ；
（3）如图3，A、B、C是小正方形的顶点，求∠ABC．
38．已知：如图，△ABC中的顶点A、C分别在平面直角坐标系的x轴、y轴上，且∠ACB=90°，AC=2，BC=1，当点A从原点出发朝x轴的正方向运动，点C也随之在y轴上运动，当点C运动到原点时点A停止运动，连结OB．
（1）点A在原点时，求OB的长；
（2）当OA=OC时，求OB的长；
（3）在整个运动过程中，OB是否存在最大值？若存在，请你求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
39．解不等式（组）
（1）2x﹣7≤3（x﹣1）
（2） 并写出它的整数解．
40．课本中有一探究活动：如图1，有甲、乙两个三角形，甲三角形内角分别为10°，20°，150°；乙三角形内角分别为80°，25°，75°．你能把每一个三角形分成两个等腰三角形吗？画一画，并标出每个等腰三角形顶角的度数．
（1）小明按要求画出了图1中甲图的分割线，请你帮他作出图1中乙图的分割线；
（2）小明进一步探究发现：能将一个顶角为108°的等腰三角形分成三个等腰三角形；请在图2中用两种不同的方法画出分割线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种方法
41．在
中，
，
，直线
经过点
，且
于
，
于
.
（1）当直线
绕点
旋转到图1的位置时，
①求证：
≌
；
②求证：
；
（2）当直线
绕点
旋转到图2的位置时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.
42．如图，在平面直角坐标系中，直线
与直线
相交于点
.
（1）求m，b的值；
（2）求
的面积；
（3）点P是x轴上的一点，过P作垂于x轴的直线与
的交点分别为C，D，若P点的横坐标为n，当
时直接写出n的取值范围.
43．如图，在中，，．点M在BC边上，且，射线于点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点．
（1）线段是否存在最小值？ （用“是”或“否”填空）．
（2）如果线段存在最小值，请直接写出BN的长；如果不存在，请说明理由．
44．如图①，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，CD平分∠ACB， ，垂足E在 CD的延长线上. 求证∶ .
（1）观察分析∶延长 BE，CA，交于点 F.可证明△ _ △ ，依据是 ； 从而得到 ；再证 .
（2）类比探究∶如图②，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点 D在线段 BC上， ，垂足为E，DE与AB相交于点F. 试探究BE与DF的数量关系，并证明你的结论.
45．在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，E、F分别是AD、AC边上的点.
∴ ；
（1）如图①，连接BE、EF，若∠ABE＝∠EFC，求证：BE＝EF；
（2）如图②，若B、E、F在一条直线上，且∠ABE＝∠BAC＝45°，探究BD与AE的数量之间有何等量关系，并证明你的结论；
（3）如图③，若AB＝13，BC＝10，AD＝12，连接EC、EF，直接写出EC+EF的最小值.
46．定义：函数 叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B.
（1）关于1的对称函数 与直线 交于点C，如图.
① ， ， .
②P为关于1的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当 时，求点P的坐标；
（2）当直线 与关于m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围.
47． 年新冠肺炎疫情在全球蔓延，全球疫情大考面前，中国始终同各国安危与共、风雨同舟，时至 月，中国已经向 多个国家和国际组织提供医疗物资援助．某次援助，我国组织 架飞机装运口罩、消毒剂、防护服三种医疗物资共 吨，按计划 架飞机都要装运，每架飞机只能装运同一种医疗物资，且必须装满．根据如下表提供的信息，解答以下问题：
防疫物资种类 口罩 消毒剂 防护服
每架飞机运载量（吨）
每吨物资运费（完）
（1）若有 架飞机装运口罩，有 架飞机装运消毒剂，求 与 之间的函数关系式；
（2）若此次物资运费为 元，求 与 之间的函数关系式；
（3）如果装运每种医疗物资的飞机都不少于 架，那么怎样安排运送物资，方能使此次物资运费最少，最少运费为多少元
48．在平面直角坐标系中，已知点 ， 与坐标原点O在同一直线上，且AO=BO，其中m，n满足 .
（1）求点A，B的坐标；
（2）如图1，若点M，P分别是x轴正半轴和y轴正半轴上的点，点P的纵坐标不等于2，点N在第一象限内，且 ，PA⊥PN， ，求证：BM⊥MN；
（3）如图2，作AC⊥y轴于点C，AD⊥x轴于点D，在CA延长线上取一点E，使 ，连结BE交AD于点F，恰好有 ，点G是CB上一点，且 ，连结FG，求证： .
49．在平面直角坐标系 中，点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 ，给出如下定义：若 ，则称 为点 的“最大距离”；若 ，则称 为点 的“最大距离”.
例如：点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 ，因为 ，所以点 的“最大距离”为 .根据以上定义解答下列问题：
（1）点 的“最大距离”为 （直接填空）；
（2）若点 的“最大距离”为 ，则 的值为 （直接填空）；
（3）若点 在直线 上，且点 的“最大距离”为 ，求点 的坐标.
50．某校八年级举行英语演讲比赛，购买A，B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是12元和8元．根据比赛设奖情况，需购买笔记本共30本，并且所购买A笔记本的数量要不多于B笔记本数量的 ，但又不少于B笔记本数量 ，设买A笔记本n本，买两种笔记本的总费为w元．
（1）写出w（元）关于n（本）的函数关系式，并求出自变量n的取值范围；
（2）购买这两种笔记本各多少时，费用最少？最少的费用是多少元？
（3）商店为了促销，决定仅对A种类型的笔记本每本让利a元销售，B种类型笔记本售价不变．问购买这两种笔记本各多少本时花费最少？
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【决战期末·50道综合题专练】浙教版八年级上册期末数学卷
1．（1）解方程：.
（2）解不等式组：，并利用数轴确定不等式组的解集.
【答案】（1）解：方程两边同乘最简公分母，
得，
解得.
检验：当时，
，
∴是原方程的解.
（2）解：解不等式①，得.
解不等式②，得.
把不等式①、②的解集在数轴上表示如下：
∴不等式组的解集为.
【解析】【分析】（1）利用去分母将分式方程化为整式方程，解出整式方程并检验即得；
（2）先分别解出两个不等式的解集，然后再数轴上，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集.
2．如图，在等边中，厘米，厘米.如果点M以3厘米/秒的速度运动.
（1）如果点M在线段上由点C向点B运动，点N在线段上由B点向A点运动.它们同时出发，若点N的运动速度与点M的运动速度相等.经过2秒后，和是否全等？请说明理由.
（2）在（1）的条件下，当两点的运动时间为多少时，是一个直角三角形？
（3）若点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M以原来的运动速度从点C同时出发，都顺时针沿三边运动，经过25秒点M与点N第一次相遇，请直接写出点N的运动速度是多少厘米/秒？
【答案】（1）解：，理由如下：
由题意得，运动2秒后，厘米，厘米，
∴厘米，
∵是等边三角形，
∴，
又∵厘米，厘米，
∴；
（2）解：设运动时间为t秒，是直角三角形有两种情况：
当时，
∵，
∴
∴，
∴
解得；
当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
综上所述，当运动时间为秒或秒时，是直角三角形；
（3）厘米/秒或厘米/秒
【解析】【解答】解：（3）分两种情况讨论：
若点M运动速度快，则，解得；
若点N运动速度快，则，解得；
综上所述，点N的运动速度为2.6厘米/秒或3.8厘米/秒.
【分析】（1）由题意得：运动2秒后，CM=6cm，BN=6cm，则BM=BC-CM=4cm，估计等边三角形的性质可得∠B=∠C=60°，然后根据全等三角形的判定定理进行解答；
（2）当∠NMB=90°时，∠BNM=30°，由含30°角的直角三角形的性质可得BN=2BM，求解即可；当∩BNM=90°时，∠BMN=30°，此时BM=2BN，求解即可；
（3）若点M运动速度快，根据点M25s的路程-10=点N25s的路程建立方程，求解即可；若点N运动速度快，根据点N25s的路程-点M25s的路程=30-10建立方程，求解即可.
3．如图，欣欣妈妈在超市购买某种水果所付金额（元）与购买（千克）之间的函数图象如图所示，
（1）求时，与之间的函数关系；
（2）请你帮欣欣妈妈计算：一次性购买千克这种水果比平均分次购买可节省多少元？
【答案】（1）解：设与之间的函数关系式为：，
将，代入关系式中得：
，
由得：，
解得：，
将代入①中得：，则，
故当时，与之间的函数关系为：；
（2）解：由图象可知：当时，函数关系为：，
当时，，
故平均分次购买所需总费用为：（元），
将，代入中得：（元），
（元），
故一次性购买千克这种水果比平均分次购买可节省元.
【解析】【分析】（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，将（4，20）、（10，44）代入求出k、b的值，据此可得对应的函数关系式；
（2）由图象可知：当04．已知y与x之间成正比例关系，且当x＝-1时，y＝3．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x＝2时，求y的值．
【答案】（1）解：∵y与x之间成正比例关系，
∴设y=kx（k≠0），
∴-k=3，
解之：k=-3
∴y与x的函数解析式为y=-3x
（2）解：当x=-2时y=-2×3=-6
【解析】【分析】（1）利用已知条件可设y=kx（k≠0），将x=-1，y=3代入函数解析式求出k的值，可得到函数解析式.
（2）将x=2代入函数解析式求出对应的y的值.
5．已知：如图，、都是等边三角形，、相交于点O，点M、N分别是线段、的中点．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）求证：是等边三角形．
【答案】（1）证明：∵、都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵等边三角形，
∴，
∴，
，
，
，
，
∴，
答：的度数是．
（3）证明：∵，
∴，，
又∵点M、N分别是线段、的中点，
∴，，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
，
又，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
【解析】【分析】（1）利用“SAS”证明，再利用全等三角形的性质可得AD=BE；
（2）根据等边三角形的性质可得，再利用角的运算和等量代换求出，再求出即可；
（3）先利用“SAS”证明可得，，再求出，即可得到 是等边三角形。
6．已知：如图，在ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，∠C＝75°.
（1）求∠A的度数；
（2）求∠CBD的度数.
【答案】（1）解：∵AB=AC，∠C=75°，
∴∠ABC=∠C=75°，
∴∠A=180°-75°-75°=30°，
∴∠A的度数30°；
（2）解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴∠DBA=∠A=30°，
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=75°-30°=45°，
∴∠CBD的度数为45°.
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠C=75°，再利用三角形内角和定理求出∠A的度数即可；
（2） 由线段垂直平分线的性质可得DA=DB，利用等腰三角形的性质可得∠DBA=∠A=30°， 根据∠CBD=∠ABC-∠ABD 即可求解.
7．如图，函数与的图象交于．
（1）求出，的值；
（2）直接写出不等式的解集．
【答案】（1）解：将代入得，
解得
将代入得，
解得
∴的值分别为，．
（2）解：
【解析】【解答】（2）解：由图象知，不等式的解集为．
【分析】（1）将点P的坐标代入求出n的值，再将点P的坐标代入求出m的值即可；
（2）根据函数图象，直接利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
8．如图，．
（1）用尺规作出的角平分线和线段的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）按下面要求画出图形：和交于点，交于点，连接并延长，交于点；
（3）求证：．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）证明：如图所示，过点D作DP⊥AB于P，
∵BM平分∠ABC，
∴，
∵GH垂直平分BC，
∴BD=BC，DE⊥BC，
∴∠BDE=40°，DP=DE
∴∠BDC=2∠BDE=80°，
∴∠PFD=∠BDC-∠FBM=30°，
∴FD=2DP=2DE
【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据要求作出图形即可；
（3）过点D作DP⊥AB于P，先求出∠PFD=∠BDC-∠FBM=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得FD=2DP=2DE。
9．某商业集团准备购进A，B两款口袋打印机在甲、乙两个商场进行销售，这两款口袋打印机每台的利润如表：
打印机 利润 商场 甲商场 乙商场
A款（元/台） 95 60
款（元/台） 70 45
为迎接双十二，该商业集团新进了40台A款，60台B款调配给甲，乙两个商场，其中70台给甲商场，30台给乙商场．
（1）设该集团调配给甲商场A款x台，求总利润y与x的函数关系式．
（2）①若这100台口袋打印机全部销售出去，如何调配才能让商业集团的利润最大，并求出利润的最大值．
②为了促销，该商业集团决定对甲商场的A款，B款每台分别让利a元和b元（），其他销售利润不变，当天结算时发现销售总利润与调配方案无关．当总利润最大时，求此时a的值．
【答案】（1）解：设该集团调配给甲商场A款x台，根据题意得，
，
即，
，
∴，
∴；
（2）解：①∵，
∴y随x的增大而增大，
∴当时，y有最大值，其最大值为（元），
∴要使商业集团的利润最大，这100台打印机的调配方案为：甲商场A款40台，B款30台，乙商场A款0台，B款30台；
②
∵销售总利润与调配方案无关，
∴，，
∵，
∴当时，y的值最大，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）利用利润公式计算求解即可；
（2）①先求出 y随x的增大而增大， 再求解即可；
②根据题意先求出 ，再求解即可。
10．如图，交于点B，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，．
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【解析】【分析】（1）先利用“HL”证明，再利用全等三角形的性质可得；
（2）先求出，再利用全等三角形的性质可得。
11．如图，已知，，连接，过B点作的垂线段，使，连接．
（1）如图1，求C点坐标；
（2）如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接，作等腰直角，连接，当点P在线段上，求证：．
【答案】（1）解：如图所示，
过点C作轴于D，
∵，，
∴，
∴，且，
∴，且，，
∴，，
∴，．
故C点坐标为：．
（2）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）过点C作轴于D，先利用“AAS”证明，可得，，再求出点C的坐标即可；
（2）先利用“SAS”证明，再利用全等三角形的性质可得。
12．如图，直线=kx+b与坐标轴交于A（0，2），B（m，0）两点，与直线=-4x+12交于点P（2，n），直线=-4x+12交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求m，n值；
（2）直接写出方程组的解为 ；
（3）求△PBC的面积．
【答案】（1）解：把点P（2，n）代入得：，
∴P（2，4），
把A（0，2），P（2，4）代入得，，
解得：，
∴，
把B（m，0）代入得：，
解得：，
∴，；
（2）
（3）解：当时，
解得：，
∴C（3，0），
∵P（2，4），B（－2，0），C（3，0），
∴BC=5，
∴．
【解析】【解答】解：（2）∵直线与交于点P（2，4），
∴方程组的解为：，
故答案为：；
【分析】（1）把点P（2，n）代入y2中可求出n值，即得点P坐标，再利用待定系数法求出y1，然后将B（m，0）代入y1中即可求出m值；
（2）方程组的解即是直线与交点的坐标；
（3）先求出点C坐标，即得BC的长，利用三角形的面积公式即可求解.
13．如图，在中，D为上一点，E为中点，连接DE并延长至点F，使得，连接．
（1）求证：；
（2）若，连接平分平分，求的度数．
【答案】（1）证明：∵E为中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得：，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴
【解析】【分析】（1）根据SAS证明△ADE≌△CFE，可得∠A=∠ECF，根据平行线的判定即证；
（2）由（1）知∠A=∠ECF，由角平分线的定义可得，利用等量代换即可求解.
14．如图， 于E， 于F，若 、 ，
（1）求证： 平分 ；
（2）写出 与 之间的等量关系，并说明理由。
【答案】（1）解：∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠E=∠CFD=90°
∵BD=CD，BE=CF
∴ Rt△BED≌Rt△CFD
∴DE=DF
∴AD平分∠BAD
（2）解：AB+AC=2AE
∠AED=∠AFD=90°
∵ AD=AD DE=DF
∴Rt△ADE≌Rt△ADF
∴AE=AF
∴AB+AC=AB+AF+CF
=AB+AF+BE
=2AE
【解析】【分析】（1）可证Rt△BED≌Rt△CFD得到结论；（2）AB+AC=2AE。证明Rt△ADE≌Rt△ADF即可。
15．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE是AC的垂直平分线．
（1）求证：△BCD是等腰三角形；
（2）△BCD的周长是a，BC=b，求△ACD的周长（用含a，b的代数式表示）
【答案】（1）证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB= =72°，∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，
∴∠ACD=∠A=36°，
∵∠CDB是△ADC的外角，
∴∠CDB=∠ACD+∠A=72°，
∴∠B=∠CDB，
∴CB=CD，
∴△BCD是等腰三角形
（2）解：∵AD=CD=CB=b，△BCD的周长是a，∴AB=a﹣b，∵AB=AC，
∴AC=a﹣b，
∴△ACD的周长=AC+AD+CD=a﹣b+b+b=a+b
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠B=∠ACB=72°，根据中垂线的性质得出AD=DC，根据等边对等角得出∠ACD=∠A=36°，根据三角形的外角和定理得出∠CDB=∠ACD+∠A=72°，从而得出∠B=∠CDB，即△BCD是等腰三角形 ；
（2）根据AD=CD=CB=b，△BCD的周长是a，得出AB=AC=a﹣b，从而得出△ACD的周长=AC+AD+CD=a﹣b+b+b=a+b 。
16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1向左平移3个单位后得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出顶点A2的坐标．
【答案】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求
（2）解：如图所示，△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为（﹣3，﹣1）．
【解析】【分析】（1）在画一个图形的轴对称图形时，先从确定一些特殊的对称点开始，连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形；（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
17．已知：如图，ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，E是AC上的一点，∠ABE＝∠ABC，过点C作CD⊥AB于D，交BE于点P．
（1）直接写出图中除ABC外的所有等腰三角形；
（2）求证：BD＝PC；
（3）点H、G分别为AC、BC边上的动点，当DHG周长取取小值时，求∠HDG的度数．
【答案】（1）△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形
（2）证明：如图，在线段AD上取点H，使DH=DB，连接CH，
∵DH=DB，CD⊥AB，
∴BC=CH，
∴∠BHC=∠ABC=67.5°，
∵∠BEC=∠ACB=67.5°，
∴∠BHC=∠ABC=∠BEC=∠ACB，
∵BC=CB，
∴△BCH≌△CBE，
∴BH=CE，
∵CE=CP，
∴BH=CP，
∴ ；
（3）解：如图，作点D关于直线BC的对称点M，作点D关于AC的对称点F，连接FM交BC于点G，交AC于点H，此时△DGH的周长最小，
∵∠ABC=67.5°，CD⊥AB，
∴∠BCD=90°-∠ABC=22.5°，
∵DM⊥CB，
∴∠CDM=90°-∠BCD=90°-22.5°=67.5°，
∵DA=DC，DF⊥AC，
∴∠CDF=∠CDA=45°，
∴∠MDF=45°+67.5°=112.5°，
∴∠M+∠F=180°-112.5°=67.5°，
∵GD=GM，HF=HD，
∴∠M=∠GDM，∠F=∠HDF，
∵∠DGH=∠M+∠GDM=2∠M，∠DHG=∠F+∠HDF=2∠F，
∴∠DGH+∠DHG=2(∠M+∠F)=135°，
∴∠GDH=180°-(∠DGH+∠DHG)=45°．
【解析】【解答】解：（1）△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，理由如下：
∵AB=AC，∠A=45°，
∴∠ABC = ∠ACB = (180°-45°)=67.5°，
∵∠ABE＝∠ABC，
∴∠ABE = 22.5°，
∴∠CBE=45°，
∴∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°，
∴∠BEC=∠ACB，
∴BC=BE，即△BCE为等腰三角形，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC = ∠CDB = 90°，
∴∠ACD = 90°–∠A = 45°
∴∠A=∠ACD=45°，
∴DA= DC，
∴△ADC是等腰三角形，
∵∠CPE = ∠BPD = 90°–∠ABE=67.5°，∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°，∠CEP =67.5°，
∴∠CPE = ∠CEB = 67.5°，
∴CP=CE，
∴△CPE是等腰三角形，
综上所述，除ABC外的所有等腰三角形有△ADC，△CPE，△BCE；
【分析】（1）△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，分别证明∠A=∠ACD=45°，∠CPE = ∠CEB = 67.5°，即可即可得出结论；
（2）在线段AD上取点H，使DH=DB，连接CH，利用全等三角形的性质证明BH=CE，即可得出结论；
（3）作点D关于直线BC的对称点M，作点D关于AC的对称点F，连接FM交BC于点G，交AC于点H，此时△DGH的周长最小，证明∠M+∠F=180°-112.5°=67.5°，即可得出结论。
18．学校为激励更多班级积极参与“分类适宜，垃圾逢春”活动，决定购买拖把和扫帚作为奖品，奖励给垃圾分类表现优异的班级.若购买3把拖把和2把扫帚共需80元，购买2把拖把和1把扫帚共需50元.
（1）请问拖把和扫帚每把各多少元？
（2）现准备购买拖把和扫帚共200把，且要求购买拖把的费用不低于购买扫帚的费用，所有购买的资金不超过2690元，问有几种购买方案，哪种方案最省钱？
【答案】（1）解：设拖把每把x元，扫帚每把y元.
则 ，解得： ，
答：拖把每把20元，扫帚每把10元.
（2）解：购买拖把 把，则扫帚（200- ）把.
则 ，解得： ≤a≤69，
∵ 为整数，
∴ =67，68，69，
∴有3种购买方案，①买拖把67把，扫帚133把；②买拖把68把，扫帚132把；③买拖把69把，扫帚131把.
当a=67时，共花费67×20+133×10=2670元；
当a=68时，共花费68×20+132×10=2680元；
当a=69时，共花费69×20+131×10=2690元；
∵2670＜2680＜2690，
∴选择方案①买拖把67把，扫帚133把最省钱.
【解析】【分析】（1）设拖把每把x元，扫帚每把y元，由题意可得3x+2y=80，2x+y=50，联立求解即可；
（2）设购买拖把a把，由题意可得20a≥10(200-a)，20a+10(200-a)≤2690，联立求出a的范围，结合a为整数可得a的值，据此可得购买方案，然后计算出每种方案下的花费，最后进行比较即可.
19．已知直线 与 互相垂直，垂足为O，点A在射线 上运动，点B在射线 上运动，点A，B均不与点O重合.
（1）如图1， 平分 平分 .若 ，则 .
（2）如图2， 平分 交 于点I， 平分 的反向延长线交 的延长线于点D.
①若 ，则 ▲ .
②在点A，B的运动过程中， 的大小是否会发生变化？若不变，求出 的度数；若变化，请说明理由.
（3）如图3，已知点E在 的延长线上， 的平分线 的平分线 与 的平分线所在的直线分别相交于点D，F.在 中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出 的度数.
【答案】（1）135
（2）解：①45；② 的大小不会发生变化.
∵
故 的大小不会发生变化， .
（3）解：∵ 的平分线 ， 的平分线 与 的平分线所在的直线分别相交于点D，F，
∴ ，
∴ ，
∴ .
①当 时， ，
∴ ；
②当 时， ，
∴ （舍去）；
③当 时， ，
∴ ；
④当 时， ，
∴ （舍去）.
综上，当 或 时，在 中，有一个角的度数是另一个角的3倍.
【解析】【解答】解：如图：（1）∵ ，
∴
∵ ，
∴ .
∵ 平分 平分 ，
∴ ，
∴ .
（2）①∵ ，且 平分 平分 ，
∴ .
∵ ，
∴ .
【分析】（1）由垂直的概念可得∠AOB=90°，则∠ABO=60°，由角平分线的概念可得∠IBA=30°，∠IAB=15°，然后利用内角和定理进行求解；
（2）①由外角的性质可得∠MBA=120°，由角平分线的概念可得∠CBA=60°，∠BAI=15°，由外角的性质可得∠CBA=∠ADB+∠BAD，据此计算；
②由角平分线的概念可得∠CBA=∠MBA，∠BAD=∠BAO，由外角的性质可得∠BAD+∠ADB=∠CBA，据此求解；
（3）由角平分线的概念可得∠DAO=∠BAO，∠FAO=∠EAP，根据∠DAF=∠DAO+∠FAO可得∠DAF=90°，由外角的性质可得∠ADF=∠POD-∠OAD=∠ABO，然后分①∠DAF=3∠ADF，②∠DAF=3∠F，③∠F=3∠ADF，④∠ADF=3∠F进行计算.
20．探究：如图①， ， 平分 ， 平分 ，且点 、 、 均在直线 上，直线 分别与 、 交于点 、 .
（1）若 ， ，则 .
（2）若 ，求 的度数.
（3）如图②， 和 的平分线 、 交于点 ， 经过点 且平行于 ，分别与 、 交于点 、 .若 ，直接写出 的度数.（用含 的代数式表示）
【答案】（1）120°
（2）解：∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
拓展：
（3）解： = .
【解析】【解答】解：（1）∵∠AFH＝80°，OF平分∠AFH，
∴∠OFH＝40°，
又∵EG∥FH，
∴∠EOF＝∠OFH＝40°；
∵∠CHF＝40°，OH平分∠CHF，
∴∠FHO＝20°，
∴△FOH中，∠FOH＝180°﹣∠OFH﹣∠OHF＝120°；
故答案为：120°；
（3）∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴
.
.
【分析】（1）由角平分线的概念可得∠OFH＝40°，由平行线的性质可得∠EOF＝∠OFH＝40°，由角平分线的概念可得∠FHO＝20°，然后利用内角和定理进行求解；
（2）由角平分线的概念可得∠OFH=∠AFH，∠OHF=∠CHF，结合∠AFH+∠CHF=110°可得∠OFH+∠OHF=55°，然后根据内角和定理求解即可；
（3）由角平分线的概念可得∠OFH=∠AFH，∠OHI=∠CHI，然后结合∠FOH=∠OHI-∠OFH进行求解.
21．如图，在等边 中，点 、 分别在边 、 上，且 ，过点 作 ，交 的延长线于点 .
（1）求 的度数；
（2）若 ，求 的长.
【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90° ∠EDC＝30°；
（2）解：∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，
∴△EDC是等边三角形.
∴ED＝DC＝6，
∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，
∴DF＝2DE＝12.
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得∠B＝60°，由平行线的性质可得∠EDC＝∠B＝60°，接下来根据余角的性质进行求解即可；
（2）易得△EDC是等边三角形，则ED＝DC＝6，然后根据含30°角的直角三角形的性质进行求解.
22．已知 与 成正比例，且当 时， ．
（1）求出 与 之间的函数解析式；
（2）当 时，求 的值．
【答案】（1）解：设y=k（x-1），
把x=3，y=4代入得（3-1）k=4，解得k=2，
所以y=2（x-1），
即y=2x-2；
（2）解：当x=1时，
y=2×1-2=0．
【解析】【分析】（1）利用正比例函数的定义，设y=k（x-1），然后把已知的一组对应值代入求出k即可得到y与x的关系式；
（2）利用（1）中关系式求出自变量为1时对应的函数值即可。
23．某公司要印制新产品宣传材料．甲印刷厂提出：每份材料收1元印制费，另收1500元制版费；乙厂提出：300张以内（含300张）每份材料收2.5元印制费，超出部分每张减少0.1元，不收制版费．
（1）分别写出两厂的收费y(元)与印制数量x(份)之间的关系式．
（2）印制800份宣传材料时，选择哪家印刷厂比较合算？
【答案】（1）解：甲厂：y＝x＋1500，
乙厂：
即为：
（2）解：x＝800时，甲厂：y＝800＋1500＝2300，
乙厂：y＝2.4×800+30＝1950，
∵2300＞1950，
∴印制800份宣传材料时，选择乙厂比较合算．
【解析】【分析】（1）根据两个印刷厂的印制费分别列式整理即可；（2）把x＝800代入进行计算即可得解．
24．某水果批发站购进苹果和梨共100箱，其中苹果每箱40元，梨每箱45元。
（1）若设苹果箱数为x箱，总费用为y元，试用x的代数式来表示总费用y.
（2）若购进的100箱水果中，苹果箱数不小于30箱，且不大于90箱，试求该水果批发站此次购入水果的总费用的范围.
【答案】（1）解：y=40x+45（100-x）=-5x+4500.
（2）解：30≤x≤90，
-450≤-5x≤-150.
4050≤-5x+4500≤4350
【解析】【分析】（1）根据总费用=苹果的箱数×每一箱的单价+梨子的箱数×每一箱的单价，列出y与x的函数解析式。
（2）根据已知条件：苹果箱数不小于30箱，且不大于90箱，可得到x的取值范围，然后利用不等式的性质，可得到y的取值范围。
25．如图，在直角坐标系中，长方形ABCD的三个顶点的坐标为A(1，1)，B(6，1)， D(1，4)，且AB∥x轴，点P(a，b-2)是长方形内一点(不含边界)
（1）求a，b的取值范围
（2）若将点P向左移动8个单位，再向上移动2个单位到点Q ，若点Q恰好与点C关于y轴对称，求a，b的值
【答案】（1）解：∵A(1，1)，B(6，1)， D(1，4)，且AB∥x轴，点P(a，b-2)是长方形内一点(不含边界) ，
∴1＜a＜6，1＜b-2＜4
解之：3＜b＜6
∴a，b的取值范围分别为：1＜a＜6，3＜b＜6.
（2）解： ∵将点P向左移动8个单位，再向上移动2个单位到点Q，
∴点Q（a-8，b-2+2）即（a-8，b）
∵点C（6，4）和点Q关于y轴对称
∴6+a-8=0，b=4，
解之：a=2，b=4.
【解析】【分析】（1）根据点A，B，D的横坐标及点P(a，b-2)是长方形内一点(不含边界) 可得到a的取值范围，再根据点A，B，D的纵坐标可求出b的取值范围。
（2）利用点的坐标平移规律：上加下减，左减右加，可得到点Q的坐标，再根据点Q恰好与点C关于y轴对称，分别建立关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值。
26．已知函数y1＝2x－4与y2＝－2x＋8的图象，观察图象并回答问题：
（1）x取何值时，2x－4＞0？
（2）x取何值时，－2x＋8＞0？
（3）x取何值时，2x－4＞0与－2x＋8＞0同时成立？
（4）求函数y1＝2x－4与y2＝－2x＋8的图象与x轴所围成的三角形的面积？
【答案】（1）解：当x＞2时，2x 4＞0
（2）解：当x＜4时，－2x＋8＞0
（3）解：由（1）（2）可知当2＜x＜4时，2x 4＞0与 2x＋8＞0同时成立
（4）解：联立y1＝2x－4与y2＝－2x＋8，解得x=3，y=2，
∴函数y1＝2x－4与y2＝－2x＋8的图象的交点坐标为（3，2），
所以函数y1＝2x－4与y2＝－2x＋8的图象与x轴所围成的三角形的面积＝ ×（4 2）×2＝2（平方单位）
【解析】【分析】利用图象可解决（1）、（2）、（3）；利用图象写出两函数图象的交点坐标，然后根据三角形面积公式计算函数y1＝2x－4与y2＝－2x＋8的图象与x轴所围成的三角形的面积.
27．市教育局在全市中小学推广某学校“品格教育”科研成果，其中“敬老孝亲”是“品格教育”亮点之一. 重阳节（农历九月初九）快到了，某校八年级（1）班班委发起为老人们献上真挚的节日祝福活动，决定全班同学利用课余时间去卖鲜花筹集慰问金．已知同学们从花店按每支1.5元买进鲜花，并按每支4.5元卖出．
（1）求同学们卖出鲜花的销售额 （元）与销售量 （支）之间的函数关系式；
（2）若从花店购买鲜花的同时，还总共用去40元购买包装材料，求所筹集的慰问金 （元）与销售量 （支）之间的函数关系式；若要筹集不少于500元的慰问金，则至少要卖出鲜花多少支？（慰问金 = 销售额 － 成本）
【答案】（1）解：依据题意得：y=4.5x；
（2）解：w=4.5x-1.5x-40=3x-40
∴所筹集的慰问金w（元）与销售量x（支）之间的函数关系式为w=3x-40
当w≥500时，3x-40≥500
解得x≥180
∴若要筹集不少于500元的慰问金，至少要售出鲜花180支.
【解析】【分析】（1）销售额y=销售量x×鲜花单价；（2）根据：慰问金=销售额-成本，大于等于500元，可将卖出的鲜花支数求出．
28．定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移1个单位再向下平移2个单位称为一个跳步.如：点 一个跳步后对应点 .已知点 ， .
（1）求点 ， 经过1个跳步后的对应点 ， 的坐标.
（2）求直线 经过一个跳步后对应直线的函数表达式.
【答案】（1）解：点 经过1个跳步后对应点 ，
点 经过1个跳步后对应点 .
（2）解：设直线 经过一个跳步后对应直线 的函数表达式为 ，
由题意得： ，
∴ ， .
∴直线 经过一个跳步后对应直线 的函数表达式为 .
【解析】【分析】（1）根据坐标系中点平移坐标变化规律即可解答；
（2）根据（1）点 ， 经过1个跳步后的对应点 ， 的坐标在直线 经过一个跳步后直线上，利用待定系数法即可求解.
29．解下列不等式 组 ：
（1）2x+1（2）
【答案】（1）解： ，
移项得， ，
合并同类项得， ；
（2）解： ，
由 得， ；
由 得， ，
故此不等式组的解集为： ．
【解析】【分析】（1）利用移项、合并即可求出解集.
（2）先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集即可.
30．点O为平面直角坐标系的坐标原点，直线 与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.
（1）求点A，点B的坐标；
（2）若 ∠BAO=∠AOC ，求直线OC的函数表达式；
（3）点D是直线 上的一点，把线段BD绕点D旋转 ，点B的对应点为点 若点E恰好落在直线AB上，则称这样的点D为“好点”，求出所有“好点”D的坐标.
【答案】（1）解：当 时， ，
所以点B的坐标为 ，
当 时， ，
所以点A的坐标为 ；
（2）解：当OC在二、四象限时， ， ，
当OC在一、三象限时，OC经过点 ， ；
（3）解：设点D的坐标为 ，则E的坐标为 ，或 ，
所以可得： 或 ，
解得： 或 ，
所以E的坐标为 或
【解析】【分析】（1）分别将x=0,y=0求出y、x的值，即可求出B、A的坐标；
（2）根据一次函数的性质解答即可；
（3）设点D的坐标为 ，则E的坐标为 ，或 ， 将E点分别代入y=+2中，求出m的值即可.
31．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，分别以AB，AC为边作两个等腰三角形ABD和ACE，且AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°.
（1）求∠DBC的度数．
（2）求证：BD＝CE.
【答案】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝ ＝70°.
∵AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠DBA＝ ＝45°，
∴∠DBC＝70°＋45°＝115°.
（2）证明：∵AB＝AD，AC＝AE，AB＝AC，
∴AB＝AC＝AD＝AE.
又∵∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴BD＝CE.
【解析】【分析】（1）、根据等腰三角形的性质易求出∠ABC＝70°，∠DBA＝45，从而可以求出答案。
（2）、根据三角形全等的判定定理易证△ABD≌△ACE(SAS)，从而得出答案。
32．如图①，在等边三角形ABC中．D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边三角形EDC．连接AE.
（1）求证：△DBC≌△EAC
（2）试说明AE∥BC的理由．
（3）如图②，当图①中动点D运动到边BA的延长线上时，所作仍为等边三角形，猜想是否仍有AE∥BC 若成立请证明．
【答案】（1）解：∵∠ACB=60 ， ∠DCE=60 ，∴∠BCD=60 -∠ACD， ∠ACE=60 -∠ACD，即∠BCD=∠ACE，在△DBC和△EAC中，
，
∴△DBC≌△EAC(SAS)
（2）解：∵△DBC≌△EAC，∴∠EAC=∠B=60 ，又∵∠ACB=60 ，
∴∠EAC=∠ACB，
∴AE∥BC
（3）解：仍有AE∥BC，∵△ABC，△EDC都为等边三角形，
∴BC=AC， DC=CE， ∠BCA=∠DCE=60 ，
∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
在△DBC和△EAC中，
，
∴△DBC和△EAC(SAS)，
∴∠EAC=∠B=60 ，
又∵∠ACB=60 ，
∴∠EAC=∠ACB，
∴AE∥BC.
【解析】【分析】（1）根据已知条件△ABC和△EDC都是等边三角形，根据等边三角形的性质，得出边和角等于相等，再证明∠BCD=∠ACE，然后利用SAS证明△DBC≌△EAC即可。
（2）根据△DBC≌△EAC得出∠EAC=∠B=60 ° ，再利用等量代换证明∠EAC=∠ACB，然后根据平行线的判定即可证得结论。
（3）仍有AE∥BC，根据△ABC，△EDC都为等边三角形，得出BC=AC， DC=CE， ∠BCA=∠DCE，再证明∠BCD=∠ACE，就可证明△DBC和△EAC，然后再证明∠EAC=∠ACB，即可证得AE∥BC。
33．△ABC的顶点均在边长为1的小正方形网络中的格点上，如图，建立平面直角坐标系，点B在x轴上.
（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的△A’B’C’，连接AA’，求证：△AA’C≌△A’AC’；
（2）请在y轴上画点P，使得PB+PC最短.（保留作图痕迹，不写画法）
【答案】（1）解：如图，证明：由勾股定理不难求出：AC= ，A 'C '= ，A 'C= ，A C '= ，
∴AC=A 'C '，A 'C=A C '，
在△AA 'C和△A 'AC '中， ，
∴△AA 'C≌△A 'AC '
（2）解：如图，
【解析】【分析】(1)由平面直角坐标系中的信息用勾股定理可求得AC= ，A 'C '= ，A 'C= ，A C '= ，所以 AC=A'C '，A'C=AC '，用边边边定理可证△AA 'C≌△A 'AC '；
（2）先找出点B关于y轴的对称点，再将点B关于y轴的对称点与点C连接起来交y轴于点P，点P即为所求。
34．如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A=50°时，求∠DEF的度数；
（3）若∠A=∠DEF，判断△DEF是否为等腰直角三角形．
【答案】（1）证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 在△BDE和△CEF中， ∵ ， ∴△BDE≌△CEF（SAS）， ∴DE=EF， ∴△DEF是等腰三角形
（2）解：∵∠DEC=∠B+∠BDE， 即∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE， ∵△BDE≌△CEF， ∴∠CEF=∠BDE， ∴∠DEF=∠B， 又∵在△ABC中，AB=AC，∠A=50°， ∴∠B=65°， ∴∠DEF=65°
（3）解：由（1）知：△DEF是等腰三角形，即DE=EF， 由（2）知，∠DEF=∠B， 而∠B不可能为直角， ∴△DEF不可能是等腰直角三角形．
【解析】【分析】（1）先由等边对等角求得∠B=∠C，从而利用边角边证 △BDE≌△CEF ，从而可证得DE=CF，即可知 △DEF是等腰三角形 ；
（2）由三角形外角的性质与 △BDE≌△CEF，可得∠DEF=∠B ，又根据三角形内角和定理可求得∠B，即可求得∠DEF的度数；
（3）由（1）可知，若 △DEF是等腰直角三角形 ，那么∠DEF=90°，结合（2）可知∠DEF=∠B≠90°，故可判断 △DEF不可能是等腰直角三角形 .
35．某商场代销甲、乙两种商品，其中甲种商品进价为120元/件，售价为130元/件，乙种商品进价为100元/件，售价为150元/件．
（1）若商场用36000元购进这两种商品若干，销售完后可获利润6000元，则该商场购进甲、乙两种商品各多少件？（列方程组解答）
（2）若商场购进这两种商品共100件，设购进甲种商品x件，两种商品销售后可获总利润为y元，请写出y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的范围），并指出购进甲种商品件数x逐渐增加时，总利润y是增加还是减少？
【答案】（1）解：设购进甲商品x件，乙商品y件，
依题意得： ，
解得： ．
答：该商场购进甲商品240件，乙商品72件
（2）解：依题意得：y=（130﹣120）x+（150﹣100）（100﹣x）=﹣40x+5000．
∵﹣40＜0，
∴购进甲种商品件数x逐渐增加时，利润y逐渐减少
【解析】【分析】（1）设购进甲商品x件，乙商品y件，根据进价36000元及利润6000元即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据总利润=甲种商品利润+乙种商品利润即可得出y关于x的一次函数关系式，根据一次函数的性质即可得出结论．
36．某食品加工厂需要一批食品包装盒，供应这样包装盒有两种方案可供选择：
方案一：从包装盒加工厂直接购买，购买所需的费y1与包装盒数x满足如图1所示的函数关系．
方案二：租赁机器自己加工，所需费用y2（包括租赁机器的费用和生产包装盒的费用）与包装盒数x满足如图2所示的函数关系．根据图象回答下列问题：
（1）方案一中每个包装盒的价格是多少元？
（2）方案二中租赁机器的费用是多少元？生产一个包装盒的费用是多少元？
（3）请分别求出y1、y2与x的函数关系式．
（4）如果你是决策者，你认为应该选择哪种方案更省钱？并说明理由．
【答案】（1）解：500÷100=5（元/盒）．
答：方案一中每个包装盒的价格是5元
（2）解：当x=0时，y=2000，
∵（3000﹣2000）÷4000= （元/盒），
∴方案二中租赁机器的费用是2000元，生产一个包装盒的费用是 元
（3）解：根据题意得：
y1=5x，y2= x+2000
（4）令y1＜y2，即5x＜ x+2000，
解得：x＜ ，
∵x为正整数，
∴0＜x≤421；
令y1＞y2，即5x＞ x+2000，
解得：x＞ ，
∵x为正整数，
∴x≥422．
综上所述：当0＜x≤421时选择方案一省钱；当x≥422时选择方案二省钱
【解析】【分析】（1）根据单价=总价÷数量即可求出方案一中每个包装盒的价格；（2）由x=0时y=2000即可得出租赁机器的费用，再根据单价=总价÷数量即可求出方案二中生产一个包装盒的费用；（3）根据总价=单价×数量（总价=单价×数量+租赁机器费用）即可得出y1、y2与x的函数关系式；（4）分别令y1＜y2和y1＞y2，求出不等式的解集结合x为正整数即可得出结论．
37．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．
（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形；
（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、 、 ；
（3）如图3，A、B、C是小正方形的顶点，求∠ABC．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
（3）解：连接AC，
由勾股定理得：AC=BC= ，AB= ，
∵AC2+BC2=AB2=10，
∴△ABC为等腰直角三角形
∴∠ABC=45°
【解析】【分析】（1）面积为5的正方形的边长为 ，画出正方形即可；（2）以直角边为1和2构造斜边为 ，再以2和3为直角边构造斜边为 就得到三角形三边长分别为2、 、 ；（3）连接AC，利用勾股定理的逆定理证明△ACB为直角三角形即可得到∠ABC的度数．
38．已知：如图，△ABC中的顶点A、C分别在平面直角坐标系的x轴、y轴上，且∠ACB=90°，AC=2，BC=1，当点A从原点出发朝x轴的正方向运动，点C也随之在y轴上运动，当点C运动到原点时点A停止运动，连结OB．
（1）点A在原点时，求OB的长；
（2）当OA=OC时，求OB的长；
（3）在整个运动过程中，OB是否存在最大值？若存在，请你求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：点A在原点时，OB=AB，
∵∠ACB=90°，AC=2，BC=1，
∴AB= = = ；
∴OB=
（2）解：当OA=OC时，如图1，作BD⊥y轴于D，
∵AC=2，BC=1，
∵OA2+OC2=AC2，
∴OA=OC= ，
∵OA=OC，
∴∠ACO=45°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=45°，
∴∠BCD=∠CBD，
∴DB=DC，
∵DC2+DB2=BC2，
∴DB=DC= ，
∴OD=OC+DC= + = ，
∴OB= = =
（3）解：如图2，作AC的中点D，连接OD、BD，
∵OB≤OD+BD，
∴当O、D、B三点共线时OB取得最大值，
∵BD= = = ，OD=AD= AC=1，
∴点B到原点O的最大距离为1+ ．
【解析】【分析】（1）根据题意AB的长就是OB的长，根据勾股定理求得AB的长即可；（2）作BD⊥y轴于D，根据勾股定理可得OC= ，DC=DB= ，最后根据勾股定理即可求得OB；（3）Rt△AOC的外接圆圆心是AC中点，设AC中点为D，根据三角形三边关系有OB≤OD+BD=1+ ，即O、D、B三点共线时OB取得最大值．
39．解不等式（组）
（1）2x﹣7≤3（x﹣1）
（2） 并写出它的整数解．
【答案】（1）解：2x﹣7≤3（x﹣1），
2x﹣7≤3x﹣3，
2x﹣3x≤﹣3+7，
﹣x≤4，
x≥﹣4
（2）解：
∵解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜3，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜3，
∴不等式组的整数解为﹣1，0，1，2
【解析】【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；（2）求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
40．课本中有一探究活动：如图1，有甲、乙两个三角形，甲三角形内角分别为10°，20°，150°；乙三角形内角分别为80°，25°，75°．你能把每一个三角形分成两个等腰三角形吗？画一画，并标出每个等腰三角形顶角的度数．
（1）小明按要求画出了图1中甲图的分割线，请你帮他作出图1中乙图的分割线；
（2）小明进一步探究发现：能将一个顶角为108°的等腰三角形分成三个等腰三角形；请在图2中用两种不同的方法画出分割线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种方法
【答案】（1）解：按要求作图如图：
（2）解：按要求作图如图：
或 （视为同一种）；
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质，一个等腰三角形的两底角相等，故可把原三角形中的一个角分成两个角作图即可；（2）根据等腰三角形的性质，一个等腰三角形的两底角相等，故可把原三角形中的一个角分成两个角作图．
41．在
中，
，
，直线
经过点
，且
于
，
于
.
（1）当直线
绕点
旋转到图1的位置时，
①求证：
≌
；
②求证：
；
（2）当直线
绕点
旋转到图2的位置时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.
【答案】（1）证明：①∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
又∵AC=BC，
∴ ≌ ；
②∵ ≌ ，
∴CD=BE，AD=CE，
∵DE=CE+CD，
∴DE=AD+BE；
（2）解：DE=AD+BE不成立，此时应有DE=AD－BE，理由如下：
∵BE⊥MN，AD⊥MN，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
又∵AC=BC，
∴ ≌ ，
∴AD=CE，CD=BE，
∵DE=CE－CD，
∴DE=AD－BE.
【解析】【分析】（1）①根据垂直的概念得∠ADC=∠BEC=90°，根据同角的余角相等得∠DAC=∠BCE，然后利用全等三角形的判定定理AAS进行证明；
②根据全等三角形的性质可得CD=BE，AD=CE，然后根据DE=CE+CD进行证明；
（2）同理证明△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，然后根据DE=CE-CD进行证明.
42．如图，在平面直角坐标系中，直线
与直线
相交于点
.
（1）求m，b的值；
（2）求
的面积；
（3）点P是x轴上的一点，过P作垂于x轴的直线与
的交点分别为C，D，若P点的横坐标为n，当
时直接写出n的取值范围.
【答案】（1）解：∵点B（m，4）直线l2：y=2x上，
∴4=2m，
∴m=2，
∴点B（2，4），
将点B（2，4）代入直线 得： ，
解得b=3；
（2）解：将y=0代入 ，得：x=-6，
∴A（-6，0），
∴OA=6，
∴△AOB的面积= =12；
（3）n的取值范围为 或 .
【解析】【解答】（3）解：令x=n，则
，
，
当C、D在点B左侧时，
则
，
解得：
；
当C、D在点B右侧时，
则
，
解得：
；
综上：n的取值范围为
或
.
【分析】（1）将B（m，4）代入y=2x中可得m的值，据此可得点B的坐标，然后代入直线l1中就可求出b的值；
（2）将y=0代入直线l1中可得x的值，据此可得点A的坐标，求出OA，然后利用三角形的面积公式进行计算；
（3）当C、D在点B左侧时，有
n+3-2n>2；当C、D在点B右侧时，有2n-(
n+3)>2，求解即可.
43．如图，在中，，．点M在BC边上，且，射线于点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点．
（1）线段是否存在最小值？ （用“是”或“否”填空）．
（2）如果线段存在最小值，请直接写出BN的长；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）是
（2）解：由（1）可得时，存在最小值
∵，
∴
∴
∵
∴
∴的长为．
【解析】【解答】解：(1)如图，作M关于直线的对称点，过作于，交于，连接
由对称的性质可知，
∵
∴的长度最小
∴最小，即存在最小值
故答案为：是．
【分析】(1)作M关于直线的对称点，过作于，交于，连接，由对称的性质可知，即得，当时的长度最小，即可判断；
（2） 由（1）可得时，存在最小值，根据三角形内角和求出，利用直角三角形的性质可得， 先求出BM'的长，即得结论.
44．如图①，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，CD平分∠ACB， ，垂足E在 CD的延长线上. 求证∶ .
（1）观察分析∶延长 BE，CA，交于点 F.可证明△ _ △ ，依据是 ； 从而得到 ；再证 .
（2）类比探究∶如图②，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点 D在线段 BC上， ，垂足为E，DE与AB相交于点F. 试探究BE与DF的数量关系，并证明你的结论.
【答案】（1）ABF；ACD；ASA；BF＝CD；解：延长BE交AC的延长线与点F， ，CD平分 为等腰三角形， 在 和 中
（2）解：BE＝ FD，证明如下：过点D作DG∥CA，与BE的延长线交于点G，与AB交于点H
则∠BDG＝∠C，
DE平分
为等腰三角形
BE＝ BG，
结合（1）的证明方法，可证
∴BG＝FD .
∵BE＝ BG，
∴BE＝ FD .
【解析】【分析】（1）延长BE交AC的延长线与点F，结合已知可证 为等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一得出BE=BF，再根据ASA证明△ABF≌△ACD，根据全等三角形对应边相等得出BF=CD，即可得到答案；
（2）过点D作DG∥CA，交BE的延长线与点G，与AE交于点H，证明∠DHF=∠A=90°，BH=DH，∠BDE=∠EDG= ∠BDG，结合题意可证△BDG 为等腰三角形，于是与（1）同理可证BE＝ FD.
45．在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，E、F分别是AD、AC边上的点.
∴ ；
（1）如图①，连接BE、EF，若∠ABE＝∠EFC，求证：BE＝EF；
（2）如图②，若B、E、F在一条直线上，且∠ABE＝∠BAC＝45°，探究BD与AE的数量之间有何等量关系，并证明你的结论；
（3）如图③，若AB＝13，BC＝10，AD＝12，连接EC、EF，直接写出EC+EF的最小值.
【答案】（1）解：连接CE，
，
∵AB＝AC，D是BC边的中点，
∴AD为线段BC的垂直平分线， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即∠ABE＝∠ACE，
∵∠ABE＝∠EFC，
∴∠ACE＝∠EFC，
∴ ，
∴ ；
（2）解：连接CE，
由（1）可得∠ABE＝∠ACE，
∵∠ABE＝∠BAC＝45°，
∴ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）
【解析】【解答】解：（3）由（1）可知 ，
∴ ，
作 于点P，则BP为 的最小值，
，
解得 ，
∴EC+EF的最小值为 .
【分析】（1）连接CE，根据等腰三角形的性质可得 、 ，进而可得∠ABE＝∠ACE，利用等边对等角即可得证；
（2）根据已知易得 和 都是等腰直角三角形，通过证明 即可得出结论；
（3）由（1）可得 ，作 于点P，则BP为 的最小值，利用等面积法即可求解.
46．定义：函数 叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B.
（1）关于1的对称函数 与直线 交于点C，如图.
① ， ， .
②P为关于1的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当 时，求点P的坐标；
（2）当直线 与关于m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围.
【答案】（1）解：① ； ；
②当点P在x轴上方时，
∵ ，则点P、C所在的直线与x轴平行，
而点 ，故点P的纵坐标为2，
当 时， ，故点 ；
当点P在x轴下方时，
同理可得， ，解得 或
故点P的坐标为 或 或 ；
（2）解：①如图所示，
当直线 与对称函数图象相交在C1点时，
此时直线 与关于m的对称函数仅有一个交点，
联立 ，解得： ，即 ；
②如图所示，
当直线 与对称函数图象相交在C2点时，
此时直线 与关于 的对称函数有两个交点，
联立 ，解得： ，即 ；
∴当 在 之间时，均能满足直线 与关于m的对称函数有两个交点，
∴ ；
【解析】【解答】解：（1）①令 ，代入对称函数得：
或 ，
解得： 或 ，
∴ ； ；
令 代入得 ，
∴ ，
故答案为： ， ， ；
【分析】（1）①令 ，代入对称函数求解即可得到A，B的横坐标，然后代入 求解得到C的纵坐标，从而得到这几个点的完整坐标；②分为点P在x轴上方和在x轴下方时两种情况进行讨论即可；
（2）当直线 与关于m的对称函数有两个交点时，临界点为点C，根据C的不同位置情况进行讨论，即可得出结论.
47． 年新冠肺炎疫情在全球蔓延，全球疫情大考面前，中国始终同各国安危与共、风雨同舟，时至 月，中国已经向 多个国家和国际组织提供医疗物资援助．某次援助，我国组织 架飞机装运口罩、消毒剂、防护服三种医疗物资共 吨，按计划 架飞机都要装运，每架飞机只能装运同一种医疗物资，且必须装满．根据如下表提供的信息，解答以下问题：
防疫物资种类 口罩 消毒剂 防护服
每架飞机运载量（吨）
每吨物资运费（完）
（1）若有 架飞机装运口罩，有 架飞机装运消毒剂，求 与 之间的函数关系式；
（2）若此次物资运费为 元，求 与 之间的函数关系式；
（3）如果装运每种医疗物资的飞机都不少于 架，那么怎样安排运送物资，方能使此次物资运费最少，最少运费为多少元
【答案】（1）解：根据题意得，
设有 架飞机装运口罩，有 架飞机装运消毒剂，则有 架飞机装运防护服，
解得： ；
与 之间的函数关系式： 且x为正整数；
（2）解：
且x为正整数；
（3）解：由题意得：
解得： 且x为正整数，
或 ，
随 的增大而减小，
当 时，
最小， （元）
答：9架飞机装运口罩，4架飞机装运消毒剂，7架飞机装运防护服，方能使此次物资运费最少，最少运费为24200元．
【解析】【分析】（1）分别计算每种飞机所运载的重量，根据总重量120吨，列出函数关系式，注意x的实际意义；
（2）根据表格信息，分别计算每种飞机所承担的运费，再相加可得总运费，注意x的实际意义；
（3）由每种医疗物资的飞机都不少于4架，列出一元一次不等式组，解得x的取值范围，即可解得最少运费。
48．在平面直角坐标系中，已知点 ， 与坐标原点O在同一直线上，且AO=BO，其中m，n满足 .
（1）求点A，B的坐标；
（2）如图1，若点M，P分别是x轴正半轴和y轴正半轴上的点，点P的纵坐标不等于2，点N在第一象限内，且 ，PA⊥PN， ，求证：BM⊥MN；
（3）如图2，作AC⊥y轴于点C，AD⊥x轴于点D，在CA延长线上取一点E，使 ，连结BE交AD于点F，恰好有 ，点G是CB上一点，且 ，连结FG，求证： .
【答案】（1）解：∵
∴
即
∴
解得：
∵ ，
∴A点坐标为（-1，1），B点坐标为（1，-1）
（2）证明：
如图，在x轴负半轴取点Q，OQ=OM，连接QA，QP，PM，
∵AO=BO，∠AOQ=∠BOM
∴△AOQ≌△BOM（SAS）
∠AQO=∠BMO
∴AQ=BM=MN，
又∵OQ=OM，PO⊥QM
∴PQ=PM，
又∵PA=PN
∴△PQA≌△PMN（SSS）
∴∠QPA=∠MPN，∠PQA=∠PMN
∴∠QPA+∠APM=∠MPN+∠APM=90°
∴△QPM为等腰直角三角形
∴∠PMQ=∠PQM=45°，
∵∠PQA=∠NMP，∠AQO=∠OMB
∴∠PQA+∠AQO=∠NMP+∠OMB=∠PQM=45°
∴∠NMP+∠OMB+∠QMP=90°.
∴BM⊥MN
（3）证明：过B作BH⊥AF交AF延长线于H，连接EH，如图：
∵点A的坐标为（-1，1），点B的坐标为（1，-1）
∴H点的坐标为（-1，-1）
∴
又∵CG=1，
∵AC⊥y轴，AD⊥x轴，BH⊥AH
∴∠FHB=∠EAH，
∠EHA=∠FBH
∵AE=BG，AC=CG，
∴CE=CB
∴∠CEB=∠CBE
又∵∠HBE=∠CEB
∴∠HBE=∠EBC
∴∠FBG=∠EHF
在△EFH和△FBG中
∴△EFH≌△FBG
【解析】【分析】（1）将关于m、n的关系式进行变形，成为连个完全平方式的和，解出m和n的值，即可得到A、B的坐标.（2）求证两线段垂直，可以通过将两直线所成的角进行拆分，然后计算各个角相加的和，本题通过在x轴负半轴取点Q，OQ=OM，连接QA，QP，PM，然后根据题干中条件和辅助线条件求证 △PQA≌△PMN，得出PQ=PM，再继续求证△PQA≌△PMN，得到△QPM为等腰直角三角形，得出角PQM=45°，再根据等量代换，求∠NMP、∠OMB、∠QMP之和即可.（3）要求证 ，只需证两边所在三角形全等即可，即求证△EFH≌△FBG.根据点的坐标特征和等量代换关系得出 ，然后求证 ，根据三角形全等的性质得到和等量代换得到 ∠FBG=∠EHF，最后根据三角形全等的判定方法证明△EFH≌△FBG即可解决.
49．在平面直角坐标系 中，点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 ，给出如下定义：若 ，则称 为点 的“最大距离”；若 ，则称 为点 的“最大距离”.
例如：点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 ，因为 ，所以点 的“最大距离”为 .根据以上定义解答下列问题：
（1）点 的“最大距离”为 （直接填空）；
（2）若点 的“最大距离”为 ，则 的值为 （直接填空）；
（3）若点 在直线 上，且点 的“最大距离”为 ，求点 的坐标.
【答案】（1）6
（2）±7
（3）解：当 时 ， （不合题意舍去）
当 时， （不合题意舍去）
当 时，
当 时，
或
【解析】【解答】解：（1）∵点A（5，-6）到x轴的距离为6，到y轴的距离为5，且6＞5，
∴点A（5，-6）的“最大距离”为6；
（ 2 ）若点B（a，3）的“最大距离为”7，
∴|a|=7，
解得：a=±7，
故答案为：±7；
【分析】（1）由点A（5，-6）到x轴的距离为6，到y轴的距离为5，依据“最大距离”的定义可得答案；（2）由“最大距离”的定义知|a|=7，解之可得；（3）分别求出x=5，x=-5，y=5，y=-5时另一个函数值，再依据“最大距离”的定义取舍可得.
50．某校八年级举行英语演讲比赛，购买A，B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是12元和8元．根据比赛设奖情况，需购买笔记本共30本，并且所购买A笔记本的数量要不多于B笔记本数量的 ，但又不少于B笔记本数量 ，设买A笔记本n本，买两种笔记本的总费为w元．
（1）写出w（元）关于n（本）的函数关系式，并求出自变量n的取值范围；
（2）购买这两种笔记本各多少时，费用最少？最少的费用是多少元？
（3）商店为了促销，决定仅对A种类型的笔记本每本让利a元销售，B种类型笔记本售价不变．问购买这两种笔记本各多少本时花费最少？
【答案】（1）解：由题意可知：w=12n+8（30﹣n），
∴w=4n+240，
又∵A笔记本的数量要不多于B笔记本数量的 ，但又不少于B笔记本数量的 ．
∴ ，解得5≤n≤ ，
（2）w=4n+240，
∵k=4＞0，
∴w随n的增大而增大，
∴当n=5时，w取到最小值为260元．
（3）w=（12﹣a）n+8（30﹣n），
∴w=（4﹣a）n+240，
当4﹣a＞0，即a＜4时，n=5，即买A笔记本5本，B笔记本25本，花费最少，
当4﹣a=0，即a=4时，5≤n≤13，即买A笔记本5﹣13本，B笔记本25﹣17本，花费为240元，
当4﹣a＜0，即a＞4时，n=13，即买A笔记本13本，B笔记本17本，花费最少．
【解析】【分析】（1） 设买A笔记本n本，则购买B笔记本（30-n）本，买两种笔记本的总费为w元，根据W=购买A笔记本的费用+购买B笔记本的费用，即可求出W与n的函数关系式；由 购买A笔记本的数量要不多于B笔记本数量的 ，但又不少于B笔记本数量 ， 列出不等式组，求解得出自变量n的取值范围；
（2）根据（1）所得函数解析式可知该函数是一次函数，自变量的系数k=4＞0，故W随n的增大而增大，要使W最小，则n取最小，从而即可求出答案；
（3）每本A类笔记本的售价为（12-a）元，购买A类笔记本的总费用为 （12﹣a）n 元，购买B类笔记本的总费用为 8（30﹣n） 元，根据W=购买A笔记本的费用+购买B笔记本的费用，即可求出W与n的函数关系式，再将函数解析式整理成一般形式，然后分自变量的系数大于0，等于0，小于0三种情况求解即可。
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