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【决战期末·50道综合题专练】浙教版九年级上册期末数学卷
1．如图，四边形内接于，分别延长，，使它们相交于点，，且.
（1）求证：.
（2）若，点为的中点，求的半径.
2．在的方格纸中，点A，B，C，D，E，F分别位于如图所示的小正方形的顶点上.
（1）从C，D，E，F四点中任意取一点，以所取的这一点及A，B为顶点画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率是 .
（2）从C，D，E，F四点中任意取两个不同的点，以所取的这两点及A，B为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率（用树状图或列表求解）.
3．已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点.
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点在该函数图象上，求点B的坐标.
4．某商品的进货价为每件30元，为了合理定价，先投放市场试销．据市场调查，销售价为每件40元时，每周的销售量是180件，而销售价每上涨1元，则每周的销售量就会减少5件，设每件商品的销售价上涨x元，每周的销售利润为y元．
（1）用含x的代数式表示：每件商品的销售价为 元，每件商品的利润为 元，每周的商品销售量为 件；
（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（3）应怎样确定销售价，使该商品的每周销售利润最大？最大利润是多少？
5．如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的一点，EF⊥DE交BC于点F．
（1）求证：△ADE∽△BEF；
（2）若AE：EB=1：2，求DE：EF的比值．
6．在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了用估计袋中红球的数量，八（1）班学生在数学实验室分组做摸球实验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：
摸球的次数s 150 300 600 900 1200 1500
摸到白球的频数n 63 a 247 365 484 606
摸到白球的频率 0.420 0.410 0.412 0.406 0.403 b
（1）按表格数据格式，表中的a= ；b= ；
（2）请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.1）；
（3）请推算：摸到红球的概率是 （精确到0.1）；
（4）试估算：这一个不透明的口袋中红球有 只．
7．某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（2）应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？
8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△CDE，点A、B的对应点分别是D、E，点F是边BC中点，连结AD、EF．
（1）求证：△ACD是等边三角形；
（2）判断AD与EF有怎样的数量关系，并说明理由．
9．如图，一个可以自由转动的转盘被均匀分成3等份，每份分别标上数字﹣3，0，2．现做一个游戏，小黄先转动转盘一次，转盘停止后，指针指向的数字记为x，小林再转动转盘一次，转盘停止后，指针指向的数字记为y，从而得到A（x，y）．（注：若指针停在等分线处，则重新转动．）
（1）用列表或画树状图的方法列出所有可能的点A的坐标；
（2）若规定点A（x，y）在第一象限内小黄获胜，点A（x，y）在第三象限内小林获胜，此游戏公平吗？并说明理由．
10．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点O（0，0）、A（4，1）、B（4，4）均在格点上．
（1）画出△OAB绕原点顺时针旋转后得到的△，并写出点的坐标；
（2）在（1）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的扇形的面积．
11．如图，ABC的三个顶点A、B、C都在格点上，坐标分别为(﹣2，4)、(﹣2，0)、9﹣4，1)．
（1）画出ABC绕着点A逆时针旋转90°得到的AB1C1；
（2）写出点B1、C1的坐标．
12．已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2（a≠0）．
（1）该二次函数图象的对称轴是直线 ；
（2）若该二次函数的图象开口向上，当﹣1≤x≤5时，函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为，求点M和点N的坐标；
（3）已知线段PQ的两个端点坐标分别为P（0，﹣4）、Q（3，﹣4），当此函数图象与线段PQ只有一个交点时，直接写出a的取值范围．
（4）对于该二次函数图象上的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x2≥3时，y1≥y2恒成立，设t≤x1≤t+1，请结合图象，直接写出t的取值范围
13．北方的冬天，人们酷爱冰雪运动，在这项运动里面，我们可以用数学知识解决一些实际问题．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方50米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．当运动员运动到离A处的水平距离为60米时，离水平线的高度为60米．
（1）求小山坡最高点到水平线的距离．
（2）求抛物线所对应的函数表达式．
（3）当运动员滑出点A后，直接写出运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为10米．
14．如图，中，，，点、在边上，，将绕点顺时针旋转得．
（1）求证：；
（2）连接，求证：；
（3）若，，则 ，四边形的面积＝ ．
15．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝x2+2x与x轴的另一个交点为A，把该抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1绕着点O旋转180°，得到C2，C2与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线C2的顶点E的坐标；
（2）将C2绕着点B旋转180°得到C3，连接C1与C3的最低点，则阴影部分图形的面积为 ．
16．已知二次函数表达式为y=x2-4x+1.
（1）求出这个二次函数图象的对称轴；
（2）求出这个二次函数的图象与坐标轴的交点坐标.
17．在矩形ABCD中，，E是AD上一点，.将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为F.
（1）如图1，若点F落在矩形ABCD的边CD上.
①求证：.
②求边AD的长.
（2）如图2，若点F落在对角线BD上，求边AD的长.
18．嵊州大桥桥面上有两个完全相同的拱形钢梁，每一个拱形钢梁可看作抛物线的一部分，如图是大桥的侧面示意图，桥面长米.点是桥面的中点，钢梁最高点，离桥面的高度均为米.以桥面所在的直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系.
（1）求过点，，三点的抛物线表达式.
（2）“嵊州大桥”四个字标注在离桥面高度为米的拱形钢梁的点处（点在点的左侧），小明从点出发在桥面上匀速前行，半分钟后到达点正下方的点处，则小明通过桥面需多少分钟？
19．如图，用长为30的篱笆一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃.设花圃的一边AB为x（m），面积为y（m）.
（1）求y关于x的函数表达式，并求出自变量x的取值范围；
（2）如果要围成面积为63m2的花圃，那么AB的长为多少？
（3）求出所能围成的花圃的最大面积.
20．
（1）已知二次函数的图象的顶点坐标为.判断点是否在这个函数的图象上？为什么？
（2）如图，在中，已知点E在DA的延长线上，，连接CE交BD于点F，求的值.
21．如图，某零件的截面为弓形．
（1）请用直尺和圆规作出该弓形的圆心．
（2）若AB=2 ，弓形的高为1．
①求弓形的半径．
②求 的长．
22．如图，AB是圆O的直径，点C、M为圆O上两点，且C点为AM的中点，过C点的切线交射线BM、BA于点E、F点．
（1）求证：BE⊥FE；
（2）若∠F=30°，MB=2，求弧BM的长度．
23．某公司生产一种成本为20元/件的新产品，在2018年1月1日投放市场，前3个月是试销售，3个月后，正常销售.
（1）试销售期间，该产品的销售价格不低于20元/件，且不能超过80元/件，销售价格 （元/件）与月销售量 （万件）满足函数关系式 ，前3个月每件产品的定价多少元时，每月可获得最大利润？最大利润为多少？
（2）正常销售后，该种产品销售价格统一为 元/件，公司每月可销售 万件，从第4个月开始，每月可获得的最大利润是多少万元？
24．如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，CO相交于点E．
（1）求证： ；
（2）若AD=16，CE=4，求⊙O的半径．
25．小哲的姑妈经营一家花店，随着越来越多的人喜爱“多肉植物”，姑妈也打算销售“多肉植物”，小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后，绘制了以下两张图：
（1）如果在3月份出售这种植物，单株获利 元；
（2）单株售价 与月份x之间的关系式为 ；单株成本 与月份x之间的关系式为 ．
（3）请你运用所学知识，帮助小哲的姑妈求出在哪个月销售这种“多肉植物”，单株获利最大（提示：单株获利=单株售价-单株成本）．
26．新区一中为了了解同学们课外阅读的情况，现对初三某班进行了“你最喜欢的课外书籍类别”的问卷调查．用“A"表示小说类书籍，“B”表示文学类书籍，“C”表示传记类书籍，“D”表示艺术类书籍．根据问卷调查统计资料绘制了如下两副
不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息解答以下问题：
（1）本次问卷调查，共调查了 名学生，请补全条形统计图；
（2）在接受问卷调查的学生中，喜欢“C”的人中有2名是女生，喜欢“D”的人中有2名是女生，现分别从喜欢这两类书籍的学生中各选1名进行读书心得交流，请用画树状图或列表法求出刚好选中2名是一男一女的概率．
27．如图， 为 的直径， 为 上的两条弦，且 于点F， ，交 延长线于点E， ．
（1）求 的度数；
（2）求阴影部分的面积
28．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2＝AB AD．
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD＝4，AB＝6，求AF的值．
29．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润 与投资金额 成正比例关系，如图1所示；种植花卉的利润 与投资金额 成二次函数关系，如图2所示.（注：利润与投资金额的单位均为万元）
（1）分别求出利润 与 关于投资金额 的函数关系；
（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，设他投入种植花卉的金额是 万元，求这位专业户能获取的最大总利润是多少万元？
30．口袋中装有1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出1个球，放回搅匀，再摸出第2个球，两次摸球就可能出现3种结果：
（1）都是红球；
（2）都是白球；
（3）一红一白．请你用所学的概率知识，用画树状图的方法；求每个事件发生的概率是多少？
31．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的C'处，点D落在点D'处，C'D'交线段AE于点G.
（1）求证：△BC'F∽△AGC'；
（2）若C'是AB的中点，AB=6，BC=9，求AG的长.
32．已知二次函数 的图象过点A（ 1，0），点B（3，0）和点C.
（1）若点C(0，3)，求二次函数表达式；
（2）若点C(m，n)，证明：当 时，总有am2+bm a+b .
33．如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数 （x＞0）的图象交于点A（m，3）和B（3，1）.
（1）填空：一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ；
（2）请直接写出不等式组 ≤﹣x+b的解集是 ；
（3）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，求S的最大值和最小值.
34．如图，在 ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE.
（1）若AD AB＝AE AC.求证： ADE∽ ACB；
（2）若AB=8，AC=6，AD=3，直接写出：当AE= 时， ADE与 ACB相似.
35．如图，已知为的直径，切于点C，交的延长线于点D，且．
（1）求的大小；
（2）若，求的长．
36．景德桥，俗称西关大桥，是我国一座著名的古代石拱桥．景德桥位于山西省东南部的晋城西门外，横跨沁水河，过去，它是晋城通往沁水河阳城地区交通干道上的一座重要桥梁，故曾又名沁阳桥．桥下水面宽度 是20米，拱高 是4米，若水面上升3米至 处．
（1）把拱桥看作抛物线的一部分，建立如图1所示的平面直角坐标系，求水面宽度 ．
（2）把拱桥看作圆的一部分，则可构造如图2所示的图形，求水面宽度 ．
37．如图，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，AC＝8，BC＝6．
（1）求⊙O的面积；
（2）若D为⊙O上一点，且△ABD为等腰三角形，直接写出CD的长为 ．
38．如图，O为线段 的中点， 与 交于点H， ，且 交 于D， 交 于E．
（1）写出图中两对相似三角形；并证明其中一对．
（2）连接 ，如果 ， ， ，求 的长．
39．如图：已知AB为圆O的直径，CD是弦，且 于点E，连结AC，OC，BC．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求圆O的直径；
（3）在（2）的前提下，求劣弧BC的长．
40．一种实验用轨道弹珠，在轨道上行驶5分钟后离开轨道，前2分钟其速度v（米/分）与时间t（分）满足二次函数 ，后三分钟其速度v（米/分）与时间t（分）满足反比例函数关系，如图，轨道旁边的测速仪测得弹珠半分钟末的速度为0.5米/分．
求：
（1）二次函数和反比例函数的关系式；
（2）弹珠离开轨道时的速度．
41．如图，在中，，，点、分别在线段、上运动，并保持
（1）当是等腰三角形时，求的长；
（2）当时，求的长．
42．已知二次函数的解析式为：（m是常数）．
（1）当时，求函数图象的顶点坐标和对称轴；
（2）若点，在函数图象上，求证：；
（3）已知函数图象经过点，，，若对于任意的都满足，求m的取值范围．
43．如图1，在正方形ABCD中，M是BC边上一点，点P在AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BP，DQ．
（1）求证：DQ＝BP
（2）如图2，当点P在AM的延长线上，其它条件不变，连接DP，若点P，Q，D恰好在同一条直线上，求证：DP2＋DQ2＝2AB2
44．如图，已知点M（-2，0），a＜0，n为正整数．抛物线C1：y1＝a（x-1）2＋k1交x轴于点M与点A1（b1，0），C2：y2＝a（x-b1）2＋k2交x轴于点M与点A2（b2，0），C3：y3＝a（x-b2）2＋k3交x轴于点M与点A3（b3，0），…按此规律，Cn：yn＝a（x-bn-1）2＋kn．交x轴于点M与点An（bn，0）．
（1）填空：b1＝ ，b2＝ ，b3＝ ，An-1An＝ ；
（2）用含a的代数式表示：抛物线y3的顶点坐标为 ；抛物线yn的顶点坐标为 ；
（3）设抛物线Cn的顶点为Pn．
①若△MP10A10为等腰直角三角形，求a的值；
②直接写出当a与n满足什么数量关系时，△MPnAn是等腰直角三角形．
45．问题提出：如图，在锐角 中，如何作一个正方形 ，使 落在 边上， 分别落在 边上？
勤奋小组同学给出了如下作法：①画一个有三个顶点落在 两边上的正方形 ；
②连接 ，并延长交 于点 ；③过点 作 于点 ；④过 作 ，交 于点 ；⑤过点 作 于点 ，则四边形 即为所求作的正方形.
受勤奋小组同学的启发，创新小组同学认为可以在锐角 中，作出长与宽的比为 的矩形 ，使 位于边 上， 分别位于边 上.
（1）你认为勤奋小组同学的作法正确吗？请说明理由.
（2）请你帮助创新小组同学在在锐角 中，作出所有满足长与宽的比为 的矩形 ，使 位于边 上， 分别位于边 上.（在备用图中完成，不写作法，保留作图痕迹）
解决问题：
（3）在（2）的条件下，已知 的面积为36， ，求出矩形 的面积.
46．如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F.
（1）如图1，若k＝1，则AF与AE之间的数量关系是 ；
（2）如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；（用含k的式子表示）
（3）若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，求EG的长.
47．某种鱼迁入一生态系统后.在无人为干预的条件下.这种鱼的种群在10个生长周期内的自然生长速率（数量增长的百分率）与时间的关系如下表（每周期约3个月）：
第0周期| 第1周期 第2周期 第3周期 第4周期
生长速率（%） 0 18 32 42 48
这种鱼种群的数量增加到一定程度后，由于受生态制约，不再增加.
（1）在无人为干预条件下，选择适当的函数模型描述该鱼种群的自然生长速率随生长周期变化的规律，写出函数解析式；
（2）在无人为干预条件下，用函数图象描述该鱼种群数量与生长周期之间的关系，则下列 ， ， 三个图象中最合理的是哪一个图象？请说明理由.
（3）为了保证该鱼种群的可持续生长，考虑在适当时机进行捕获，问：最佳捕获时期是哪个时期？请说明理由.
48．如图，已知抛物线 的图象的顶点坐标是 ，并且经过点 ，直线 与抛物线交于 ， 两点，以 为直径作圆，圆心为点 ，圆 与直线 交于对称轴右侧的点 ，直线 上每一点的纵坐标都等于1.
（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：圆 与 轴相切；
（3）过点 作 ，垂足为 ，再过点 作 ，垂足为 ，求 的值.（或者求 的值）
49．如图1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D在AB边的延长线上，且CD＝AB．
（1）求BD的长度；
（2）如图2，将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'．
①若α＝30°，A'D'与CD相交于点E，求DE的长度；
②连接A'D、BD'，若旋转过程中A'D＝BD'时，求满足条件的α的度数．
（3）如图3，将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'，若点M为AC的中点，点N为线段A'D'上任意一点，直接写出旋转过程中线段MN长度的取值范围．
50．如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF.现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至 ，旋转角为 .
（1）当点 ′恰好落在EF边上时，求旋转角 的值；
（2）如图2，G为BC的中点，且0°＜ ＜90°，求证： ；
（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中， 与 能否全等？若能，直接写出旋转角 的值；若不能，说明理由.
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【决战期末·50道综合题专练】浙教版九年级上册期末数学卷
1．如图，四边形内接于，分别延长，，使它们相交于点，，且.
（1）求证：.
（2）若，点为的中点，求的半径.
【答案】（1）证明：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴
（2）解：如图，连接
∵，
∴是的直径，
∴，
∵
∴
∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
在中，，
∴的半径为
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得∠A+∠BCD=180°，由邻补角的性质可得∠BCD+∠DCE=180°，则∠A=∠DCE，由等腰三角形的性质可得∠E=∠DCE，据此证明；
（2）连接AC，则AC为直径，由圆周角定理可得∠ABC=90°，根据∠A=∠AEB可得AB=BE=8，由中点的概念可得BC的值，然后利用勾股定理进行计算即可.
2．在的方格纸中，点A，B，C，D，E，F分别位于如图所示的小正方形的顶点上.
（1）从C，D，E，F四点中任意取一点，以所取的这一点及A，B为顶点画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率是 .
（2）从C，D，E，F四点中任意取两个不同的点，以所取的这两点及A，B为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率（用树状图或列表求解）.
【答案】（1）
（2）解：用“树状图”或利用表格列出所有可能的结果：
∵以点A、B、E、C为顶点及以A、B、E、F为顶点所画的四边形是平行四边形，
∴所画的四边形是平行四边形的概率.
【解析】【解答】（1）解：根据从C，D，E，F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取C，D，E点时，所画三角形是等腰三角形，
所画三角形是等腰三角形的概率；
故答案为：；
【分析】（1）根据从C，D，E，F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取C，D，E点时，所画三角形是等腰三角形，然后根据概率公式进行计算；
（2）画出树状图，找出总情况数以及所画的四边形是平行四边形的情况数，然后根据概率公式进行计算.
3．已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点.
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点在该函数图象上，求点B的坐标.
【答案】（1）解：设抛物线解析式为，
把 代入得 ，
解得，
∴抛物线解析式为
（2）解：把代入得，
解得，
∴B点坐标为（， 2）或（， 2）
【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a(x-1)2-4，将（0，-3）代入求出a的值，据此可得二次函数的表达式；
（2）将B（m，-2）代入二次函数的表达式中进行计算可得m的值，据此可得点B的坐标.
4．某商品的进货价为每件30元，为了合理定价，先投放市场试销．据市场调查，销售价为每件40元时，每周的销售量是180件，而销售价每上涨1元，则每周的销售量就会减少5件，设每件商品的销售价上涨x元，每周的销售利润为y元．
（1）用含x的代数式表示：每件商品的销售价为 元，每件商品的利润为 元，每周的商品销售量为 件；
（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（3）应怎样确定销售价，使该商品的每周销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）x+40；x+10；180﹣5x
（2）解：所求函数关系式为：y=（x+10）（18﹣5x） 即y=﹣5x2+130x+1800
（3）解：∵在y=﹣5x2+130x+1800中，a=﹣5＜0，b=130，x=1800，∴当x=﹣ =﹣ =13时，x+40=13+40=53，y有最大值且最大值为： =1800﹣ =2645（元），∴当售价为53元时，可获得最大利润2645元．
【解析】【解答】解：（1）每件商品的销售价为：（x+40）元，每件商品的利润为：（x+10）元，每周的商品销售量为：（180﹣5x）件；
故答案为：x+40，x+10，180﹣5x；
【分析】（1）根据每件商品的销售价上涨x元，就可表示出现在每件商品的售价；利用售价-进价=利润，可求出每件商品的利润，然后根据每周的销售量是180件，而销售价每上涨1元，则每周的销售量就会减少5件，求出每周商品的销售量。
（2）每周的销售利润为y=销售量×每一件的利润，列出y与x的关系式。
（3）利用二次函数的顶点式解答或将（2）中的函数解析式转化为顶点式，再利用二次函数的性质求解。
5．如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的一点，EF⊥DE交BC于点F．
（1）求证：△ADE∽△BEF；
（2）若AE：EB=1：2，求DE：EF的比值．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE=∠EBF=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°，
∵EF⊥DE，
∴∠BEF+∠AED=90°，
∴∠ADE=∠BEF，
∴△ADE∽△BEF
（2）解：∵AE：EB=1：2，
∴AB：EB=3：2，
∵AD=AB，
∴AD：EB=3：2，
∵△ADE∽△BEF，
∴DE：EF=AD：EB=3：2
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质，可证得∠DAE=∠EBF，再根据垂直的定义及同角的余角相等，可证∠ADE=∠BEF，然后根据有两组角对应相等的两三角形相似，可证得结论。
（2）由正方形的性质及已知AE：EB=1：2 就可求出AD：EB=3：2，再根据相似三角形的性质，就可求出DE：EF的比值。
6．在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了用估计袋中红球的数量，八（1）班学生在数学实验室分组做摸球实验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：
摸球的次数s 150 300 600 900 1200 1500
摸到白球的频数n 63 a 247 365 484 606
摸到白球的频率 0.420 0.410 0.412 0.406 0.403 b
（1）按表格数据格式，表中的a= ；b= ；
（2）请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.1）；
（3）请推算：摸到红球的概率是 （精确到0.1）；
（4）试估算：这一个不透明的口袋中红球有 只．
【答案】（1）123；0.404
（2）0.4
（3）0.6
（4）15
【解析】【解答】解：（1）a=300×0.41=123，b=606÷1500=0.404；（2）当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近0.40；（3）摸到红球的概率是1﹣0.4=0.6；（4）设红球有x个，根据题意得： =0.6，
解得：x=15；
故答案为：123，0.404；0.4；0.6；15．
【分析】（1）根据频率=频数÷样本总数分别求得a、b的值即可；（2）从表中的统计数据可知，摸到白球的频率稳定在0.4左右；（3）摸到红球的概率为1﹣0.4=0.6；（4）根据红球的概率公式得到相应方程求解即可；
7．某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（2）应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）【解答】解：设y=kx+b，由图象可知，
，
解之，得：，
∴y=﹣2x+60；
（2）p=（x﹣10）y=（x﹣10）（﹣2x+60）=﹣2x2+80x﹣600，∵a=﹣2＜0，∴p有最大值，
当x==20时，p最大值=200．
即当销售单价为20元/千克时，每天可获得最大利润200元．
【解析】【分析】（1）由图象过点（20，20）和（30，0），利用待定系数法求直线解析式；
（2）每天利润=每千克的利润×销售量．据此列出表达式，运用函数性质解答．
8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△CDE，点A、B的对应点分别是D、E，点F是边BC中点，连结AD、EF．
（1）求证：△ACD是等边三角形；
（2）判断AD与EF有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△CDE，
∴AC＝CD，∠ACD＝60°，
∴△ACD是等边三角形；
（2）解：AD＝EF，理由如下：
∵将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△CDE，
∴∠BCE＝60°，BC＝CE，
∵△ACD是等边三角形，
∴AD＝AC，
∵点F是边BC中点，
∴BC＝2CF，
∵∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，
∴BC＝2AB，∠ABC＝60°＝∠BCE，
∴AB＝CF，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△FCE（SAS），
∴EF＝AC，
∴AD＝EF．
【解析】【分析】（1）由旋转的性质得出AC＝CD，∠ACD＝60°，即可得出结论；
（2）由SAS可证出△ABC≌△FCE，得出EF＝AC，即可得出结论。
9．如图，一个可以自由转动的转盘被均匀分成3等份，每份分别标上数字﹣3，0，2．现做一个游戏，小黄先转动转盘一次，转盘停止后，指针指向的数字记为x，小林再转动转盘一次，转盘停止后，指针指向的数字记为y，从而得到A（x，y）．（注：若指针停在等分线处，则重新转动．）
（1）用列表或画树状图的方法列出所有可能的点A的坐标；
（2）若规定点A（x，y）在第一象限内小黄获胜，点A（x，y）在第三象限内小林获胜，此游戏公平吗？并说明理由．
【答案】（1）解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，即（-3，-3）、（-3，0）、（-3，2）、（0，-3）、（0，0）、（0，2）、（2，-3）、（2，0）、（2，2）；
（2）解：此游戏公平，理由如下：
共有9种等可能的结果，其中A（x，y）在第一象限内的结果有1种，点A（x，y）在第三象限内的结果有1种，
∴小黄获胜的概率=小林获胜的概率=，
∴此游戏公平．
【解析】【分析】（1）利用树状图求出所有等可能的情况数即可；
（2）利用概率公式求解即可。
10．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点O（0，0）、A（4，1）、B（4，4）均在格点上．
（1）画出△OAB绕原点顺时针旋转后得到的△，并写出点的坐标；
（2）在（1）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的扇形的面积．
【答案】（1）解：
；
点A1坐标是（1，-4）
（2）解：根据题意可得出：
∴线段在旋转过程中扫过的扇形的面积为：．
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质找出点A、B旋转后的对应点，再连接并写出点的坐标；
（2）利用扇形面积公式求解即可。
11．如图，ABC的三个顶点A、B、C都在格点上，坐标分别为(﹣2，4)、(﹣2，0)、9﹣4，1)．
（1）画出ABC绕着点A逆时针旋转90°得到的AB1C1；
（2）写出点B1、C1的坐标．
【答案】（1）解：如图所示，△AB1C1即为所求；
（2）解：根据图形可知：B1（2，4），C1（1，2）．
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）根据平面直角坐标系直接写出点B1、C1的坐标。
12．已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2（a≠0）．
（1）该二次函数图象的对称轴是直线 ；
（2）若该二次函数的图象开口向上，当﹣1≤x≤5时，函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为，求点M和点N的坐标；
（3）已知线段PQ的两个端点坐标分别为P（0，﹣4）、Q（3，﹣4），当此函数图象与线段PQ只有一个交点时，直接写出a的取值范围．
（4）对于该二次函数图象上的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x2≥3时，y1≥y2恒成立，设t≤x1≤t+1，请结合图象，直接写出t的取值范围
【答案】（1）x=1
（2）解：∵y=a（x-1）2-a-2，
∴抛物线顶点坐标为（1，-a-2），
∵抛物线开口向上，
∴a>0，顶点（1，-a-2）为图象最低点N，
∵5-1>1-（-1），
∴直线x=5与抛物线交点为最高点M，
把x=5代入代入y＝ax2﹣2ax﹣2，得：y=15a-2，
∴M（5，15a-2），
∵点M的坐标为，
∴，
∴，
∴；
（3）解：a=2或
（4）解：
【解析】【解答】(1)y＝ax2﹣2ax﹣2=a（x-1）2-a-2，
∴函数的对称轴为直线x=1，
故答案为：x=1；
(3)解：y=ax2-2ax-2=ax（x-2）-2，
∴当x=0或x=2时，y=-2，
∴抛物线经过定点（0，-2），（2，-2），
当a>0时，抛物线开口向上，
如图，当顶点（1，-a-2）落在PQ上时，满足题意，
此时-a-2=-4，解得a=2，
当a<0时，抛物线开口向下，
∵抛物线经过定点（0，-2），
∴抛物线不经过点P，
如图，当抛物线经过点Q时，将（3，-4）代入y=ax2-2ax-2，得：
-4=3a-2，解得：，
∴a=2或；
(4)解：当x2≥3时，y1≥y2，即抛物线开口向下，点A（x1，y1）在点B（x2，y2）上方，
∴点A到对称轴距离小于等于点B到对称轴距离，
∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴x=3时，y2取最大值，直线x=3关于对称轴对称后为直线x=-1，
∴，
∵t≤x1≤t+1，
∴，
∴．
【分析】（1）先求出y＝ax2﹣2ax﹣2=a（x-1）2-a-2，再求解即可；
（2）根据题意先求出 抛物线顶点坐标为（1，-a-2）， 再求出 ， 最后求点的坐标即可；
（3）结合函数图象，列方程求解即可；
（4）先求出点A到对称轴距离小于等于点B到对称轴距离，再求出，最后求解即可。
13．北方的冬天，人们酷爱冰雪运动，在这项运动里面，我们可以用数学知识解决一些实际问题．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方50米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．当运动员运动到离A处的水平距离为60米时，离水平线的高度为60米．
（1）求小山坡最高点到水平线的距离．
（2）求抛物线所对应的函数表达式．
（3）当运动员滑出点A后，直接写出运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为10米．
【答案】（1）解：由，得
当时，y有最大值为40．
∴小山坡最高点到水平线的距离为40米．
（2）解：把、代入中，得
得解得
∴抛物线所对应的函数表达式
（3）解：设运动员运动的水平距离是x米，
此时小山坡的高度是，
运动员运动的水平高度是，
∴，
解得或0（舍去），
答：运动员运动的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离为10米．
【解析】【分析】（1）先求出 当时，y有最大值为40，再求解即可；
（2）利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）先求出， 再求解即可。
14．如图，中，，，点、在边上，，将绕点顺时针旋转得．
（1）求证：；
（2）连接，求证：；
（3）若，，则 ，四边形的面积＝ ．
【答案】（1）证明：∵将绕点顺时针旋转得，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴
（2）证明：∵将绕点顺时针旋转得，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
（3）5；30
【解析】【解答】（3）解：如图，过点作于，
∵将绕点顺时针旋转得，，，
∴，
由（1）得，，
在中，，
由（2）得，，
∴，，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴四边形的面积：
．
故答案为：5；30．
【分析】（1）先求出 ， 再求出 ， 最后证明即可；
（2）先求出 ， 再证明求解即可；
（3）利用全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积公式计算求解即可。
15．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝x2+2x与x轴的另一个交点为A，把该抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1绕着点O旋转180°，得到C2，C2与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线C2的顶点E的坐标；
（2）将C2绕着点B旋转180°得到C3，连接C1与C3的最低点，则阴影部分图形的面积为 ．
【答案】（1）解：设抛物线y＝x2+2x的顶点为G，
∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴G（﹣1，﹣1），
∵将C1绕着点O旋转180°，得到C2，
∴点G与点E关于原点O对称，
∴E（1，1）；
（2）4
【解析】【解答】(2)设C3的最低点为F，
令y＝0，则x2+2x＝0，
解得：x＝0或x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
由题意：点A与点B关于原点O对称，
∴B（2，0），
∵将C2绕着点B旋转180°得到C3，
∴点E与点F关于原点O对称，
∴F（3，﹣1），
过点G作GH⊥OA于点H，过点F作FK⊥BD于点K，过点E作EM⊥OB于点M，如图，
∵G（﹣1，﹣1），F（3，﹣1），
∴GF∥HK，GH＝FK＝1，
∵GH⊥OA，FK⊥BD，
∴四边形GHKF为矩形．
∵G（﹣1，﹣1），F（3，﹣1），
∴HO＝1，OK＝3，
∴HK＝OH+OK＝4，
根据旋转不变性可得：S阴影部分＝S矩形GHKF，
∴S阴影部分＝HK HG＝4×1＝4，
故答案为：4．
【分析】（1）先求出 G（﹣1，﹣1）， 再求出 点G与点E关于原点O对称， 最后求解即可；
（2）先求出B（2，0），再求出HK＝OH+OK＝4，最后求解即可。
16．已知二次函数表达式为y=x2-4x+1.
（1）求出这个二次函数图象的对称轴；
（2）求出这个二次函数的图象与坐标轴的交点坐标.
【答案】（1）解：∵y=x2-4x+1=（x-2）2-3，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
答：这个二次函数图象的对称轴为直线x=2；
（2）解：令x=0，则y=1，
∴这个二次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，1），
令y=0，则x2-4x+1=0，
解得：x1=2+，x2=2-，
∴这个二次函数的图象与x轴的交点坐标为（2+，0）和（2-，0）.
【解析】【分析】（1）由题意将已知的二次函数解析式配成顶点式即可求解；
（2）由题意分别令x=0和y=0计算可求解.
17．在矩形ABCD中，，E是AD上一点，.将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为F.
（1）如图1，若点F落在矩形ABCD的边CD上.
①求证：.
②求边AD的长.
（2）如图2，若点F落在对角线BD上，求边AD的长.
【答案】（1）解：①∵四边形ABCD是矩形，将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为F.
∴，，
∴
∵
∴
∵
∴
②设DE=x，则AD=x+1
由①知
∴
∴CF=2x
在Rt△BCF中，由勾股定理得
解得（舍去）
∴AD=
（2）解：设DF=x
∵将△ABE沿BE折叠，
∴ ，
又∵
∴
∴
∴
∴DE=2x-1
在Rt△DEF中，由勾股定理得
即
解得（舍去）
∴
【解析】【分析】（1）①由折叠的性质可得∠EFB=∠A，EF=AE，BF=AB，由同角的余角相等可得∠CBF=∠DFE，结合已知根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△BFC∽△FED；
②设DE=x，则AD=x+1，由①中的相似三角形可得比例式=，则可设CF=2x，在Rt△BCF中，由勾股定理可得关于x的方程，解方程求得x的值，然后由线段的构成可求解；
（2）设DF=x，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△ABD∽△FED，于是可得比例式，则AD=2x， 在Rt△DEF中，由勾股定理可得关于x的方程，解方程求得x的值，则AD=2x可求解.
18．嵊州大桥桥面上有两个完全相同的拱形钢梁，每一个拱形钢梁可看作抛物线的一部分，如图是大桥的侧面示意图，桥面长米.点是桥面的中点，钢梁最高点，离桥面的高度均为米.以桥面所在的直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系.
（1）求过点，，三点的抛物线表达式.
（2）“嵊州大桥”四个字标注在离桥面高度为米的拱形钢梁的点处（点在点的左侧），小明从点出发在桥面上匀速前行，半分钟后到达点正下方的点处，则小明通过桥面需多少分钟？
【答案】（1）解：由题意知，点坐标为，点是过点，，三点抛物线的顶点，点坐标为，
∴设抛物线的解析式为：，
把点代入得：
解得：
∴
∴过点，，三点的抛物线表达式为；.
（2）解：把，代入解析式得：
解得：，
∵点在点的左侧
∴
∴小明通过桥面的速度为：米分
∴小明通过桥面需要时间为：分钟
∴小明通过桥面需分钟.
【解析】【分析】（1） 由题意建立适当的平面直角坐标系，根据题意写出点C、O、A的坐标，然后用待定系数法可求解；
（2）由题意把y=22.5代入（1）中的解析式可得关于x的一元二次方程，解方程求得x的值，结合已知“点E在点C的左侧”可得OF=x，根据速度=路程÷时间求得小明通过桥面的速度，然后根据时间=路程÷速度即可求得小明通过桥面OB所需要的时间.
19．如图，用长为30的篱笆一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃.设花圃的一边AB为x（m），面积为y（m）.
（1）求y关于x的函数表达式，并求出自变量x的取值范围；
（2）如果要围成面积为63m2的花圃，那么AB的长为多少？
（3）求出所能围成的花圃的最大面积.
【答案】（1）解：设AB长为x（m），则BC长为（m），
∴且.即.
∴.
（2）解：由题意得：，解得：或7.
∵，∴不合题意，就舍去.
∴如果要围成面积为63m2的花圃，那么AB的长应为7m.
（3）解：由题意知：，
∴在对称轴直线的右侧，y随x的增大而减小，
∴当时，y有最大值.最大值为.
∴篱笆围成的花圃的最大面积为m2.
【解析】【分析】（1）根据矩形的面积=两邻边之积可求解；
（2）由题意令（1）中的解析式中y=63可得关于x的一元二次方程，解方程可求解；
（3）将（1）中的解析式配成顶点式，根据二次根式的性质可求解.
20．
（1）已知二次函数的图象的顶点坐标为.判断点是否在这个函数的图象上？为什么？
（2）如图，在中，已知点E在DA的延长线上，，连接CE交BD于点F，求的值.
【答案】（1）解：点在这个函数的图象上.理由如下：
∵二次函数的图象的顶点坐标为，
∴二次函数的解析式为，
∴当时，.
∴点在这个函数的图象上.
（2）解：∵在中，
∴BC＝AD.
∵ED//BC，
∴△EDF∽△CBF，
∴，
又∵，
∴，
∴.
∴.
【解析】【分析】（1）由题意先把顶点坐标代入抛物线的解析式，然后把点（1，-1）代入所求的解析式验证即可判断求解；
（2）由平行四边形的性质可得BC=AD，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得△EDF∽△CBF，于是可得比例式并结合已知即可求解.
21．如图，某零件的截面为弓形．
（1）请用直尺和圆规作出该弓形的圆心．
（2）若AB=2 ，弓形的高为1．
①求弓形的半径．
②求 的长．
【答案】（1）解：在圆弧AB上取点C，作AC和BC的垂直平分线EF，MN，两垂直平分线交于点O，
（2）解：① 作OD⊥AB交弧AB于点D，交AB于点H，
∴，
∵弓形的高为1
∴HD=1，
设OB=r，则OH=r-1，
在Rt△OBH中，
(r-1)2+( )2=r2，
解之：r=2．
②∵OB=2，OH=1，
∴OB=2OH，
∴∠HBO=30°，∠HOB=60°，
∵OH⊥AB，
∴弧AB=2弧BD
∴∠AOB=2∠BOH=120°，
∴弧AB的长为
【解析】【分析】（1）利用垂径定理在圆弧AB上取点C，作AC和BC的垂直平分线EF，MN，两垂直平分线交于点O.
（2）① 作OD⊥AB交弧AB于点D，交AB于点H，利用垂径定理可求出BH的长，设OB=r，则OH=r-1，利用勾股定理建立关于r的方程，解方程求出r的值；②利用OB=2OH，可求出∠HOB的度数，利用垂径定理及圆周角定理可求出∠AOB的度数；然后利用弧长公式可求出弧AB的长.
22．如图，AB是圆O的直径，点C、M为圆O上两点，且C点为AM的中点，过C点的切线交射线BM、BA于点E、F点．
（1）求证：BE⊥FE；
（2）若∠F=30°，MB=2，求弧BM的长度．
【答案】（1）证明：如图：连接OC，OM，
∵FC是⊙O的切线，
∴∠OCF=90°，
∵点C是弧AM的中点，
∴∠EBC=∠OBC，
，
∴∠OBC=∠OCB，
∴ ，
∴OC//BE ，
，
∴BE⊥FE；
（2）解：∵∠F=30°， ∠E=90°，
∴∠FBE=60°，
∴△OBM为等边三角形，
，
圆 的半径
∴弧 ．
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ∠EBC=∠OBC， 再求出 OC//BE ， 最后证明求解即可；
（2）先求出 △OBM为等边三角形， 再求出 △OBM为等边三角形， 最后利用弧长公式计算求解即可。
23．某公司生产一种成本为20元/件的新产品，在2018年1月1日投放市场，前3个月是试销售，3个月后，正常销售.
（1）试销售期间，该产品的销售价格不低于20元/件，且不能超过80元/件，销售价格 （元/件）与月销售量 （万件）满足函数关系式 ，前3个月每件产品的定价多少元时，每月可获得最大利润？最大利润为多少？
（2）正常销售后，该种产品销售价格统一为 元/件，公司每月可销售 万件，从第4个月开始，每月可获得的最大利润是多少万元？
【答案】（1）解：∵每件产品的利润为(x﹣20)元，销售量 (万件)，
∴每月利润(万元) ＝200﹣ (万元)，
∵20≤x≤80，
∴当x＝80时，y取得最大值，即每月利润最大，
把x＝80代入得：每月利润＝150万元
即最大利润为150万元；
答：前3个月每件产品的定价80元时，每月可获得最大利润，最大利润为150万元，
（2）解：∵每件产品的利润为(80﹣m﹣20)元，即(60﹣m)元，销售量为(10+0.2m)万件，
∴每月利润y＝(60﹣m)×(10+0.2m)，
整理后得：每月利润y＝﹣0.2m2+2m+600＝﹣0.2(m﹣5)2+605，
∵a= -0.2<0，每件产品的利润60﹣m≥0，即m≤60，
∴当m＝5时，每月最大利润为605万元，
答：从第4个月开始，每月可获得的最大利润是605万元．
【解析】【分析】（1）根据题意求出 ＝200﹣ ，再求解即可；
（2）根据 y＝﹣0.2m2+2m+600＝﹣0.2(m﹣5)2+605， 再求出 m≤60， 最后求解即可。
24．如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，CO相交于点E．
（1）求证： ；
（2）若AD=16，CE=4，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
∵OC∥BD，∴∠AEO=∠ADB=90°
∴OC⊥AD，
由垂径定理可知： ；
（2）解：由（1）可知OC⊥AD，
又∵AD=16，
设⊙O的半径为r， ∵CE=4，
∴OE=r-4，
在Rt△AEO中，由勾股定理得 ，
解得：r=10，
∴⊙O的半径为10．
【解析】【分析】（1）先求出 ∠AEO=∠ADB=90° ，再求出 OC⊥AD， 最后证明求解即可；
（2）根据题意求出AE=8，再求出 OE=r-4， 最后利用勾股定理求解即可。
25．小哲的姑妈经营一家花店，随着越来越多的人喜爱“多肉植物”，姑妈也打算销售“多肉植物”，小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后，绘制了以下两张图：
（1）如果在3月份出售这种植物，单株获利 元；
（2）单株售价 与月份x之间的关系式为 ；单株成本 与月份x之间的关系式为 ．
（3）请你运用所学知识，帮助小哲的姑妈求出在哪个月销售这种“多肉植物”，单株获利最大（提示：单株获利=单株售价-单株成本）．
【答案】（1）1
（2）；
（3）解： ．
∵ ，
∴当 时，取得最大值．
答：5月份销售这种“多肉植物”，单株获利最大．
【解析】【解答】（1）从题图知，3月份的单株售价为5元，单株成本为4元，
∴单株获利为 （元）．
故答案为1．
（2）设直线的关系式为 ．
把点 代入上式得
解得
∴直线的关系式为 ．
设抛物线的关系式为 ．
把点 代入上式得 ，
解得 ，
∴抛物线的关系式为 ．
故答案为 ； ．
【分析】（1）从左图看，3月份的单株售价为5元，单株成本为4元，则单株获利为 （元）；
（2）点 代入一次函数上的点，求得直线的表达式为，同理，抛物线的表达式为；
（3）计算的值，配方可得结论 ．
26．新区一中为了了解同学们课外阅读的情况，现对初三某班进行了“你最喜欢的课外书籍类别”的问卷调查．用“A"表示小说类书籍，“B”表示文学类书籍，“C”表示传记类书籍，“D”表示艺术类书籍．根据问卷调查统计资料绘制了如下两副
不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息解答以下问题：
（1）本次问卷调查，共调查了 名学生，请补全条形统计图；
（2）在接受问卷调查的学生中，喜欢“C”的人中有2名是女生，喜欢“D”的人中有2名是女生，现分别从喜欢这两类书籍的学生中各选1名进行读书心得交流，请用画树状图或列表法求出刚好选中2名是一男一女的概率．
【答案】（1）20；补全条形统计图如下：
（2）解：在喜欢C”的人中2名女生、1名男生分别记作 、 、 ，在喜欢“D”的人中2名女生、2名男生分别记作 ，
列表如下：
由表知，共有12种等可能的结果，其中选中一男一女的结果有6种， (刚好选中2名是一男一女) ．
【解析】【分析】（1）根据D的人数除以占的百分比得到调查的总学生数，进而求出C的人数，补全条形统计图即可；；（2）列表可得总的情况数，找出刚好选中一男一女的情况，即可求出所求的概率．
27．如图， 为 的直径， 为 上的两条弦，且 于点F， ，交 延长线于点E， ．
（1）求 的度数；
（2）求阴影部分的面积
【答案】（1）证明： 为 的直径， 为 的弦，且 ， ，
，
，
，交 延长线于点E，
，
， ，
∴
（2）解： ，
，且 ，
，
，
， ，
阴影部分的面积为： ．
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理和直角三角形的性质可以∠DCB的度数；（2）用扇形AOD的面积减去三角形OAF的面积乘2，得阴影部分面积．
28．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2＝AB AD．
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD＝4，AB＝6，求AF的值．
【答案】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠CAD＝∠CAB，
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴ ，
∴AC2＝AD AB；
（2）证明：在Rt△ABC中，∵E为AB的中点，
∴CE＝AE（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），
∴∠ACE＝∠CAE，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAD＝∠CAE，
∴∠CAD＝∠ACE，
∴CE∥AE；
（3）解：由（1）知，AC2＝AD AB，
∵AD＝4，AB＝6，
∴AC2＝4×6＝24，
∴AC＝2 ，
在Rt△ABC中，∵E为AB的中点，
∴CE＝ AB＝3，
由（2）知，CE∥AD，
∴△CFE∽△AFD，
∴ ，
∴ ，
∴AF＝ ．
【解析】【分析】（1）先根据角平分线得出∠CAD＝∠CAB，进而判断出△ADC∽△ACB，即可得出结论；（2）先利用直角三角形的性质得出CE＝AE，进而得出∠ACE＝∠CAE，从而∠CAD＝∠ACE，即可得出结论；（3）由（1）的结论求出AC，再求出CE＝3，最后由（2）的结论得出△CFE∽△AFD，即可得出结论．
29．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润 与投资金额 成正比例关系，如图1所示；种植花卉的利润 与投资金额 成二次函数关系，如图2所示.（注：利润与投资金额的单位均为万元）
（1）分别求出利润 与 关于投资金额 的函数关系；
（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，设他投入种植花卉的金额是 万元，求这位专业户能获取的最大总利润是多少万元？
【答案】（1）解：设 ，由图1所示，函数 的图象过 ，
∴ ， ，
∴利润 关于投资量 的函数关系式是 ；
∴设 ，由图2所示，函数 的图象过 ，
∴ ，解得 ，
∴利润 关于投资量 的函数关系式是
（2）解：设投入种植花卉的资金为 万元（ ），总利润为 万元，
则投入种植树木的资金为 万元，
∴ ，
∵ ， ，
∴当 时， 的最大值是32万元.
∴他能获取的最大利润是32万元
【解析】【分析】（1）由图1可知，y1与x之间成正比例函数关系，结合图中的信息用待定系数法可求解析式；由图2可知，y2是x的二次函数，结合图中的信息用待定系数法可求解析式；
（2）设投入种植花卉的资金为x万元，种植树木的资金（8-x）万元，总利润为W万元，结合（1）的结论根据总利润= 树木的利润+花卉的利润可得W与x之间的函数关系式，再把解析式配成顶点式，根据二次函数的性质即可求解。
30．口袋中装有1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出1个球，放回搅匀，再摸出第2个球，两次摸球就可能出现3种结果：
（1）都是红球；
（2）都是白球；
（3）一红一白．请你用所学的概率知识，用画树状图的方法；求每个事件发生的概率是多少？
【答案】（1）解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，摸出两个红球的有1种结果，
∴两次摸出的球都是红球的概率为
（2）解：由树状图知，两次摸出的球都是白球的有4种结果，
∴两次摸出的球都是白球的概率为
（3）解：由树状图知，两次摸出的球是一红一白的有4种结果，
所以两次摸出的球是一红一白的概率为 ．
【解析】【分析】（1）根据题意画出树状图，利用树状图求出所有等可能的结果数及两次摸出红球的情况数，然后利用概率公式可求解。
（2） 由树状图知，两次摸出的球都是白球的有4种结果，再利用概率公式可求解。
（3） 由树状图知，两次摸出的球是一红一白的有4种结果，利用概率公式计算即可。
31．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的C'处，点D落在点D'处，C'D'交线段AE于点G.
（1）求证：△BC'F∽△AGC'；
（2）若C'是AB的中点，AB=6，BC=9，求AG的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，且延AE折叠∴∠A=∠B=∠GC'F=90° ∴∠BF C'+∠B C'F= 90°，∠A C'G+∠B C'F= 90°，∴∠BF C'=∠A C'G
∴△BC'F∽△AGC'
（2）解：由勾股定理得 ，
∴BF=4.
∵ C'是AB的中点，AB=6，
∴AC'=BC'=3.
由（1）得△BC'F∽△AGC'，
∴ ，即
∴AG= .
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，和折叠前后对应角不变，得出△BC'F∽△AGC'
（2）根据折叠前后对应边长度相加等于原 长度，利用勾股定理求出BF的长，然后根据相似三角形对应边成比例，即可求出AG=
32．已知二次函数 的图象过点A（ 1，0），点B（3，0）和点C.
（1）若点C(0，3)，求二次函数表达式；
（2）若点C(m，n)，证明：当 时，总有am2+bm a+b .
【答案】（1）解：设y=a（x+1）（x-3），代入点C (0，3)
解得a=-1
∴y=-（x+1）（x-3）
（2）解：方法一：∵图像过A（-1，0），点B（3，0），∴对称轴为直线x=1
a>0，当x=1时，图像有最小值，此时最小值为y=a+b+c
∴当x=m时，存在am2+bm+c≥a+b+c.
∴am2+bm≥a+b
方法二：∵图像过A（-1，0），点B（3，0），∴ ，则b=-2a.
am2+bm- a-b= am2-2am-a+2a= am2-2am+a=a（m2-2m+1）=a(m-1)2≥0
∴am2+bm≥a+b.
【解析】【分析】（1）由题意可知点A和点B是抛物线与x轴的交点坐标，因此设y=a（x+1）（x-3），再将点C的坐标代入，可求出a的值，然后可得到函数解析式.
（2）方法一：利用点A，B的坐标可得到抛物线的对称轴，再利用二次函数的性质可知当x=1时，图像有最小值，此时最小值为y=a+b+c；再将x=m代入，可证得结论；方法二：利用二次函数的对称轴，可得到b=-2a，再求出am2+bm- a-b=a(m-1)2≥0 ，即可证得结论.
33．如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数 （x＞0）的图象交于点A（m，3）和B（3，1）.
（1）填空：一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ；
（2）请直接写出不等式组 ≤﹣x+b的解集是 ；
（3）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，求S的最大值和最小值.
【答案】（1）y＝﹣x+4；
（2）1≤x≤3
（3）解：∵点P是线段AB上一点，设P（n，﹣n+4），
∴1≤n≤3，
∴S＝ OD PD＝ n（﹣n+4）＝﹣ （n2﹣4n）＝﹣ （n﹣2）2+2，
∵﹣ ＜0，且1≤n≤3，
∴当n＝2时，S有最大值，且最大值是2，
∴当n＝1或n＝3时，S有最小值，且最小值是 .
【解析】【解答】解：（1）将B（3，1）代入y＝﹣x+b得：
1＝﹣3+b，解得b＝4，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+4，
将B（3，1）代入y＝
得：
1＝
，解得k＝3，
∴反比例函数的解析式为
；
故答案为：
；
（2）将A（m，3）代入y＝﹣x+4得：
3＝﹣m+4，解得m＝1，
∴A（1，3），
由图可得，一次函数与反比例函数的交点分别为A（1，3），B（3，1），
则
≤﹣x+b得解集为：1≤x≤3；
故答案为：
；
【分析】（1）将B（3，1）代入y＝-x+b中求出b的值，据此可得一次函数的解析式；将B（3，1）代入y＝
中求出k的值，进而可得反比例函数的解析式 ；
（2）将A（m，3）代入y＝-x+4中求出m的值，得到点A的坐标，然后根据图象找出反比例函数在一次函数图象下放部分所对应的x的范围即可；
（3）设P（n，-n+4），根据P为线段AB上的点可得1≤n≤3，根据三角形的面积公式表示出S，然后结合二次函数的性质进行解答.
34．如图，在 ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE.
（1）若AD AB＝AE AC.求证： ADE∽ ACB；
（2）若AB=8，AC=6，AD=3，直接写出：当AE= 时， ADE与 ACB相似.
【答案】（1）证明：∵AD AB＝AE AC，
∴
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB
（2） 或4
【解析】【解答】解：（2）
△ADE与△ACB中，
是公共的，则存在两种情形，
①当
时，
，又AB=8，AC=6，AD=3，
即
解得
②当
时，
，又AB=8，AC=6，AD=3，
即
解得
综上所述，
或
故答案为：
或
.
【分析】（1） 根据已知条件可得 ，然后利用有两组边成比例，且夹角相等的两个三角形相似进行证明；
（2）分△ADE∽△ACB，△ADE∽△ABC，结合相似三角形的性质即可求出AE的值.
35．如图，已知为的直径，切于点C，交的延长线于点D，且．
（1）求的大小；
（2）若，求的长．
【答案】（1）解：连接．
∵，
∴，即 ．
∵，
∴．
∵是⊙的切线，
∴，即 ．
∴．
∴．
∴．
（2）解：∵，，
∴．
∵，
∴．
∴的长
【解析】【分析】（1） 连接． 根据切线的性质的出 ，即 ．根据圆周角定理得出， 进而证明 ． 根据等腰直角三角形的性质求出 的大小；
（2）根据等腰三角形的性质求出OC，根据弧长公式计算即可。
36．景德桥，俗称西关大桥，是我国一座著名的古代石拱桥．景德桥位于山西省东南部的晋城西门外，横跨沁水河，过去，它是晋城通往沁水河阳城地区交通干道上的一座重要桥梁，故曾又名沁阳桥．桥下水面宽度 是20米，拱高 是4米，若水面上升3米至 处．
（1）把拱桥看作抛物线的一部分，建立如图1所示的平面直角坐标系，求水面宽度 ．
（2）把拱桥看作圆的一部分，则可构造如图2所示的图形，求水面宽度 ．
【答案】（1）解：设抛物线的表达式为 ，
是20米，
米，拱高 是4米，
的坐标分别是 ，
把这两点的坐标代入表达式得
解得 ，
则抛物线的表达式是 ．
把 代入表达式解得 ，
∴水面宽度 米
（2）解：设圆的半径是r米，在 中，
，即 ，
解得 ，
，
，
∵OD⊥EF，∴GE=GF，
∴水面宽度 米．
【解析】【分析】（1）先求出 的坐标分别是 ，再利用待定系数法求函数解析式计算求解即可；
（2）先求出 ， 再求出 ， 最后利用勾股定理计算求解即可。
37．如图，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，AC＝8，BC＝6．
（1）求⊙O的面积；
（2）若D为⊙O上一点，且△ABD为等腰三角形，直接写出CD的长为 ．
【答案】（1）解： 是 的直径，
．
， ，
．
的面积 ；
（2） 或
【解析】【解答】解：（2）作直径 ， 于 ，如图，则 ，
， ，
是 的直径，
，
为等腰直角三角形，
，
又∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
，
在 中， ，
，
是 的直径，
，
，
综上所述， 的长为 或 ．
【分析】（1）先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再利用勾股定理计算出AB，然后利用圆的面积公式计算即可；
（2）作直径 ， 于 ，如图，则 ，再证明 为等腰直角三角形，得到，利用 为等腰直角三角形，得到，利用勾股定理计算出DH的长，即可得到CD的长，然后利用勾股定理计算即可。
38．如图，O为线段 的中点， 与 交于点H， ，且 交 于D， 交 于E．
（1）写出图中两对相似三角形；并证明其中一对．
（2）连接 ，如果 ， ， ，求 的长．
【答案】（1）解：① ，② ，③
证明：∵ ， 是 的外角，
∴ ，
即
∴ ，
∴
（2）解：如图：连接DE，
当 时，可得 且 ，
∴
∵O为 的中点，
∴ ，
∵
∴
∴
∴
∴ 中，由勾股定理得，
【解析】【分析】（1）利用结合180度通过等量代换得出 ，从而得出；
（2）连接DE，利用，，求出NE、HE的长，在 中，由勾股定理得出DE的长。
39．如图：已知AB为圆O的直径，CD是弦，且 于点E，连结AC，OC，BC．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求圆O的直径；
（3）在（2）的前提下，求劣弧BC的长．
【答案】（1）证明：∵AB为圆O的直径， ，
∴
，
，
（2）解：设圆O的半径为Rcm，则
在 中，
，
圆O的直径 ．
（3）解：由（2）可知，在 中， ，
，
，
劣弧BC的长是 ．
【解析】【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质、同弧的圆周角相等，又因为三角形ABC是等腰三角形即可求证；
（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径；
（3）求得圆心角的度数，利用弧长公式，写出答案即可。
40．一种实验用轨道弹珠，在轨道上行驶5分钟后离开轨道，前2分钟其速度v（米/分）与时间t（分）满足二次函数 ，后三分钟其速度v（米/分）与时间t（分）满足反比例函数关系，如图，轨道旁边的测速仪测得弹珠半分钟末的速度为0.5米/分．
求：
（1）二次函数和反比例函数的关系式；
（2）弹珠离开轨道时的速度．
【答案】（1）解： 的图象经过点 ，
，
．
二次函数的解析式为： ，
设反比例函数的解析式为 ，
由题意知，图象经过点 ，
，
反比例函数的解析式为 ；
（2）解：弹珠在第5秒末离开轨道，
其速度为 米/分．
【解析】【分析】（1）由图像可知前1分钟过点 ，后3分钟时过点 ，分别利用待定系数法可求得函数解析式；
（2）把t=5代入（1）中反比例函数的解析式即可。
41．如图，在中，，，点、分别在线段、上运动，并保持
（1）当是等腰三角形时，求的长；
（2）当时，求的长．
【答案】（1）解：在中，，，
，
由勾股定理得：，
①如图1，当时，是等腰三角形，此时，点、分别与点、重合，
；
②如图2，当时，是等腰三角形，此时，，
，，
，即是等腰三角形，
，
点是的中点，
；
③如图3，当时，是等腰三角形，
，且，
，
在和中，
，
，
，，
，
综上可知，当是等腰三角形时，的长为或2或1；
（2）解：取的中点，连接，
是等腰直角三角形，
，，
，
，，
在中，，
由（1）③可知，，
又，
，
．
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，可以得到，，然后分三种情况讨论：①；②；③，根据等腰三角形的性质，利用全等三角形的判定和性质解题即可；
（2）取的中点，连接，即可得到，，进而求得，，然后根据勾股定理得到，推理得到，然后根据相似三角形的对应边成比例解题即可．
42．已知二次函数的解析式为：（m是常数）．
（1）当时，求函数图象的顶点坐标和对称轴；
（2）若点，在函数图象上，求证：；
（3）已知函数图象经过点，，，若对于任意的都满足，求m的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，
∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线
（2）证明：∵函数图象经过点，，
∴，．
∴，
∵，
∴
（3）解：由题意知，二次函数图象开口向上，对称轴为直线，则在对称轴右侧，
∵对于任意的都满足，
∴点A，B，C存在如下情况：
情况1，如图1，当时，，
∴，且，解得；
情况2，如图2，
当时，．
∴，
∴，且
解得，
综上所述，或
【解析】【分析】（1）当时，代入函数解析式，转换为顶点式，结合二次函数的性质即可求出答案.
（2）将点，，代入得，，，则，即可求出答案.
（3）由题意知，二次函数图象开口向上，对称轴为直线，则在对称轴右侧，由对于任意的都满足，则点A，B，C存在如下情况：情况1，根据二次函数的图象与性质，以及，列不等式求解集即可；情况2，由二次函数的图象与性质分别求解满足要求的解集即可求出答案.
（1）解：当时，，
∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线；
（2）证明：∵函数图象经过点，，
∴，．
∴，
∵，
∴；
（3）解：由题意知，二次函数图象开口向上，对称轴为直线，则在对称轴右侧，
∵对于任意的都满足，
∴点A，B，C存在如下情况：
情况1，如图1，当时，，
∴，且，解得；
情况2，如图2，
当时，．
∴，
∴，且
解得，
综上所述，或．
43．如图1，在正方形ABCD中，M是BC边上一点，点P在AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BP，DQ．
（1）求证：DQ＝BP
（2）如图2，当点P在AM的延长线上，其它条件不变，连接DP，若点P，Q，D恰好在同一条直线上，求证：DP2＋DQ2＝2AB2
【答案】（1）证明：∵ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝90°，
∵线段AQ是由线段AP绕点A顺时针旋转90°得到的，
∴∠PAQ＝90°，AP＝AQ，
∴∠DAB＝∠PAQ＝90°，
∴∠DAB-∠DAM＝∠PAQ-∠DAM，即∠BAP＝∠DAQ，
在△ABP和△ADQ中，
，
∴△ABP≌△ADQ（SAS），
∴DQ＝BP；
（2）证明：连接BD，如图2：
∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠DAB＝90°，
∵线段AQ是由线段AP绕点A顺时针旋转90°得到的，
∴∠PAQ＝90°，AP＝AQ，
∴∠DAB＝∠PAQ＝90°，
∴∠DAB-∠DAM＝∠PAQ-∠DAM，即∠1＝∠2，
在△ABP和△ADQ中，
，
∴△ABP≌△ADQ（SAS），
∴DQ＝BP，∠Q＝∠3，
∵在Rt△QAP中，∠Q+∠QPA＝90°，
∴∠Q＝∠QPA＝45°，
∴∠3＝45°
∴∠BPD＝∠3+∠QPA＝90°，
∴△BPD为直角三角形，
∴DP2+BP2＝BD2，
∴DP2+DQ2＝BD2
又∵DB2＝AB2+AD2＝2AB2
∴DP2+DQ2＝2AB2．
【解析】【分析】（1）先利用“SAS”证明△ABP≌△ADQ，再利用全等三角形的性质可得DQ=BP；
（2）连接BD，先利用“SAS”证明△ABP≌△ADQ，可得DQ＝BP，∠Q＝∠3，再证明△BPD为直角三角形，可得DP2+BP2＝BD2，再结合DB2＝AB2+AD2＝2AB2，可得DP2+DQ2＝2AB2。
44．如图，已知点M（-2，0），a＜0，n为正整数．抛物线C1：y1＝a（x-1）2＋k1交x轴于点M与点A1（b1，0），C2：y2＝a（x-b1）2＋k2交x轴于点M与点A2（b2，0），C3：y3＝a（x-b2）2＋k3交x轴于点M与点A3（b3，0），…按此规律，Cn：yn＝a（x-bn-1）2＋kn．交x轴于点M与点An（bn，0）．
（1）填空：b1＝ ，b2＝ ，b3＝ ，An-1An＝ ；
（2）用含a的代数式表示：抛物线y3的顶点坐标为 ；抛物线yn的顶点坐标为 ；
（3）设抛物线Cn的顶点为Pn．
①若△MP10A10为等腰直角三角形，求a的值；
②直接写出当a与n满足什么数量关系时，△MPnAn是等腰直角三角形．
【答案】（1）6；8；10；2
（2）；，
（3）解：①抛物线，顶点，，，△是等腰直角三角形，，，又，．
②
【解析】【解答】解：（1）解：抛物线交轴于点与点，，对称轴为直线，抛物线与x轴的另一个交点为，，同理可得，，，按此规律可得，；
（2）交x轴于点与点，，，，抛物线的顶点坐标为．依此类推第n条抛物线的顶点坐标为，；
（3）②，顶点，，∴，∵△是等腰直角三角形，∴，解得，∴当与满足时，△是等腰直角三角形．
【分析】（1）先求出抛物线与x轴的另一个交点为，再找出规律求解即可；
（2）先求出抛物线的顶点坐标为，再求解即可；
（3）①先求出 ， 再求出 即可作答；
②先求出，再求出，最后求解即可。
45．问题提出：如图，在锐角 中，如何作一个正方形 ，使 落在 边上， 分别落在 边上？
勤奋小组同学给出了如下作法：①画一个有三个顶点落在 两边上的正方形 ；
②连接 ，并延长交 于点 ；③过点 作 于点 ；④过 作 ，交 于点 ；⑤过点 作 于点 ，则四边形 即为所求作的正方形.
受勤奋小组同学的启发，创新小组同学认为可以在锐角 中，作出长与宽的比为 的矩形 ，使 位于边 上， 分别位于边 上.
（1）你认为勤奋小组同学的作法正确吗？请说明理由.
（2）请你帮助创新小组同学在在锐角 中，作出所有满足长与宽的比为 的矩形 ，使 位于边 上， 分别位于边 上.（在备用图中完成，不写作法，保留作图痕迹）
解决问题：
（3）在（2）的条件下，已知 的面积为36， ，求出矩形 的面积.
【答案】（1）解：正确.
理由： ，
.
，
，
∴四边形 是矩形.
∵四边形 是正方形，
，
，
，
，
∴四边形 为正方形.
（2）仿照勤奋小组同学的作法作图，如图1与图2所示，矩形 即为所作.
（3）如图3，作 的高 ，交 于 .
的面积 ，
.
，
设 ，则 .
，
，
，
，
解得 ，
，
∴矩形 的面积 .
同理，在矩形 中，若 ，可求出 ，
，
∴矩形 的面积 .
故矩形 的面积为18或 .
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义和平行线的性质可证得∠FED=∠EDG=∠EFG=90°，可推出四边形DEFG是矩形；利用正方形的性质可证得IJ=KJ，利用平行线分线段成比例定理可证得GF=EF，利用有一组邻边相等的矩形是正方形，可证得结论，由此可作出判断；
（2）第一种作法：①画一个有三个顶点落在△ABC两边上的矩形HIJK，并使KJ=2IJ；②连接BJ ，并延长交AC于点F ；③过点F作EF⊥BC于点E；④过F作FG∥BC，交AB于点G ；⑤过点G作GD⊥BC于点D ，则四边形DEFG即为所求作的矩形形；
第二种作法：①画一个有三个顶点落在△ABC两边上的矩形HIJK，并使2KJ=IJ；②连接BJ ，并延长交AC于点F ；③过点F作EF⊥BC于点E；④过F作FG∥BC，交AB于点G ；⑤过点G作GD⊥BC于点D ，则四边形DEFG即为所求作的矩形形；
（3）作△ABC的高AM，交GF于点N，利用三角形的面积公式即△ABC的面积=36，可得到AM的长；设AN=x，可表示出MN，DG，GF的长；再证明△AGF∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例，建立关于x的方程，解方程求出x的值，可求出DG，DE的长，即可得到矩形DEFG的面积；同理可求出DG，DE的长，可得到矩形DEFG的面积.
46．如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F.
（1）如图1，若k＝1，则AF与AE之间的数量关系是 ；
（2）如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；（用含k的式子表示）
（3）若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，求EG的长.
【答案】（1）AF＝AE
（2）AF＝kAE.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADF＝90°，
∴∠FAD+∠FAB＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF＝90°，
∴∠EAB+∠FAB＝90°，
∴∠EAB＝∠FAD，
∵∠ABE+∠ABC＝180°，
∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABE＝∠ADF.
∴△ABE∽△ADF，
∴ ，
∵AD＝kAB，
∴ ，
∴ ，
∴AF＝kAE.
（3）解：①如图1，当点F在DA上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AD＝2AB＝4，
∴AB＝2，
∴CD＝2，
∵CF＝1，
∴DF＝CD﹣CF＝2﹣1＝1.
在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，
∴AF＝ ，
∵DF∥AB，
∴∠GDF＝∠GBA，∠GFD＝∠GAB，
∴△GDF∽△GBA，
∴
∵AF＝GF+AG，
∴AG＝
∵△ABE∽△ADF，
∴ ，
∴AE＝ ＝
在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，
∴EG＝ ，
②如图2，当点F在DC的延长线上时，DF＝CD+CF＝2+1＝3，
在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，
∴AF＝ .
∵DF∥AB，
∵∠GAB＝∠GFD，∠GBA＝∠GDF，
∴△AGB∽△FGD，
∴ ，
∵GF+AG＝AF＝5，
∴AG＝2，
∵△ABE∽△ADF，
∴ ，
∴ ，
在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，
∴EG＝ .
综上所述，EG的长为 或 .
【解析】【解答】解：（1）AE＝AF.
∵AD＝AB，四边形ABCD矩形，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF＝90°，
∴∠EAB＝∠FAD，
∴△EAB≌△FAD（AAS），
∴AF＝AE；
故答案为：AF＝AE.
【分析】（1）根据k=1可得AD＝AB，则四边形ABCD是正方形，由正方形的性质可得∠BAD＝90°，根据垂直的概念可得∠EAF＝90°，推出∠EAB＝∠FAD，然后证明△EAB≌△FAD，据此可得结论；
（2）由矩形的性质可得∠BAD＝∠ABC＝∠ADF＝90°，根据垂直的概念可得∠EAF＝90°，由同角的余角相等可得∠EAB＝∠FAD，证明△ABE∽△ADF，然后根据相似三角形的性质进行解答；
（3）①点F在DA上时，由矩形的性质可得AB＝CD，AB∥CD，然后求出AB、CD、DF的值，由勾股定理求出AF，由平行线的性质可得∠GDF＝∠GBA，∠GFD＝∠GAB，证明△GDF∽△GBA，△ABE∽△ADF，然后根据相似三角形的性质求出AE，接下来由勾股定理就可得到EG；②当点F在DC的延长线上时，DF＝CD+CF＝2+1＝3，由勾股定理求出AF，同理证明△AGB∽△FGD，△ABE∽△ADF，由相似三角形的性质求出AE，然后利用勾股定理就可求出EG.
47．某种鱼迁入一生态系统后.在无人为干预的条件下.这种鱼的种群在10个生长周期内的自然生长速率（数量增长的百分率）与时间的关系如下表（每周期约3个月）：
第0周期| 第1周期 第2周期 第3周期 第4周期
生长速率（%） 0 18 32 42 48
这种鱼种群的数量增加到一定程度后，由于受生态制约，不再增加.
（1）在无人为干预条件下，选择适当的函数模型描述该鱼种群的自然生长速率随生长周期变化的规律，写出函数解析式；
（2）在无人为干预条件下，用函数图象描述该鱼种群数量与生长周期之间的关系，则下列 ， ， 三个图象中最合理的是哪一个图象？请说明理由.
（3）为了保证该鱼种群的可持续生长，考虑在适当时机进行捕获，问：最佳捕获时期是哪个时期？请说明理由.
【答案】（1）解：由题意可知，该鱼种群的自然生长速率随生长周期变化的规律符合二次函数模型，设该鱼种群数量为w，生长周期为t，
设w＝ax2＋bx＋c，
将t＝0，w＝0；t＝1，w＝18；t＝2，w＝32分别代入，得
解得 ，
∴ ；
（2）解：A图象最合理，理由如下：
由（1）可知 ，
∴
∵ ，
∴当 时，w取得最大值，最大值为50，
∴A图象最合理；
（3）解：由（2）可知当 时，w取得最大值，最大值为50，
∴最佳捕获时机是第5周期.
【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）由二次函数的图象是抛物线，先将（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质可求解；
（3）由二次函数的性质可求解．
48．如图，已知抛物线 的图象的顶点坐标是 ，并且经过点 ，直线 与抛物线交于 ， 两点，以 为直径作圆，圆心为点 ，圆 与直线 交于对称轴右侧的点 ，直线 上每一点的纵坐标都等于1.
（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：圆 与 轴相切；
（3）过点 作 ，垂足为 ，再过点 作 ，垂足为 ，求 的值.（或者求 的值）
【答案】（1）解：∵已知抛物线 的图象的顶点坐标是 ，
∴可设抛物线解析式为 ，
∵抛物线经过点 ，∴ ，解得 ，
∴抛物线解析式为 ，即 .
（2）证明：联立直线和抛物线解析式可得 ，
解得： 或 ，
∴ ， ，
∵ 为 的中点，∴点 的纵坐标为 ，
∵ ，
∴圆的半径为 ，∴点 到 轴的距离等于圆的半径，
∴圆 与 轴相切.
（3）解：如图，过点 作 ，垂足为 ，连接 ，
由（2）知 ，
在 中，由勾股定理求得 ，
∵ ，∴ .
BE=
∴
【解析】【分析】（1）根据已知的顶点坐标可设抛物线的解析式为顶点式，再结合抛物线过点（4，2），可求得抛物线的解析式；
（2）把直线和抛物线解析式联立解方程组可求得B、D两点的坐标，再根据线段中点的意义可求得C点坐标，用两点间的距离公式求得线段BD的长，则圆的半径可求解，比较圆的半径和点C的纵坐标的大小并结合圆的切线的判定可求解；
（3）过点C作CH⊥m于点H，连接CM，用勾股定理可求得MH的值，利用（2）中所求B、D的坐标可求得FH，则可求得MF和BE的长，再求其比值即可.
49．如图1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D在AB边的延长线上，且CD＝AB．
（1）求BD的长度；
（2）如图2，将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'．
①若α＝30°，A'D'与CD相交于点E，求DE的长度；
②连接A'D、BD'，若旋转过程中A'D＝BD'时，求满足条件的α的度数．
（3）如图3，将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'，若点M为AC的中点，点N为线段A'D'上任意一点，直接写出旋转过程中线段MN长度的取值范围．
【答案】（1）解：如图1，过点C作CH⊥AB于H，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，CH⊥AB，
∴AB＝CD＝6 ，CH＝BH＝ AB＝3 ，∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴DH＝ ，
∴BD＝DH﹣BH＝3 ﹣3
（2）解：①如图2，过点E作EF⊥CD'于F，
∵将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A′CD′，
∴CD＝CD'＝6 ，
∵图1中CD=2CH，
∴∠DCD'＝30°＝∠CDA＝∠CD'A'，
∴CE＝D'E，
又∵EF⊥CD'，
∴CF＝D'F＝3 ，EF＝ ，CE＝2EF＝2 ，
∴DE＝DC﹣CE＝6 ﹣2 ；
②如图2﹣1，
∵∠ABC＝45°，∠ADC＝30°，
∴∠BCD＝15°，
∴∠ACD＝105°，
∵将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A′CD′，
∴AC＝A'C，CD＝CD'，∠ACA'＝∠DCD'＝α，
∴CB＝CA'，
又∵A′D＝BD′，
∴△A'CD≌△BCD'（SSS），
∴∠A'CD＝∠BCD'，
∴105°﹣α＝15°＋α，
∴α＝45°；
如图2﹣2，
同理可证：△A'CD≌△BCD'，
∴∠A'CD＝∠BCD'，
∴α﹣105°＝360°﹣α﹣15°，
∴α＝225°，
综上所述：满足条件的α的度数为45°或225°；
（3）解：如图3，当A'D'⊥AC时，N是AC与A'D'的交点时，MN的长度最小，
∵∠A'＝45°，A'D'⊥AC，
∴∠A'＝∠NCA'＝45°，
∴CN＝A'N＝3 ，
∵点M为AC的中点，
∴CM＝ AC＝3，
∴MN的最小值＝NC﹣CM＝3 ﹣3；
如图4，当点A，点C，点D'共线，且点N与点D'重合时，MN有最大值，
此时MN＝CM＋CN＝6 ＋3，
∴线段MN的取值范围是3 ﹣3≤MN≤6 ＋3．
【解析】【分析】（1）如图1，过点C作CH⊥AB于H，由等腰直角三角形的性质可得CH＝BH＝AB，由勾股定理求出DH，利用BD＝DH﹣BH即可求出结论；
（2）①如图2，过点E作EF⊥CD'于F， 由旋转的性质可得CD＝CD'＝6，∠DCD'＝30°＝∠CDA＝∠CD'A'，根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质分别求出CF＝D'F＝3 ，EF＝ ，CE＝2EF＝2 ，再利用DE＝DC﹣CE即可求解；
②分两种情况：根SSS证明△A'CD≌△BCD'，可得∠A'CD＝∠BCD'，据此建立等式即可求解；
（3）当A'D'⊥AC时，N是AC与A'D'的交点时，MN的长度最小，当点A，点C，点D'共线，且点N与点D'重合时，MN有最大值， 据此结合图形分别求出最值，即得范围.
50．如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF.现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至 ，旋转角为 .
（1）当点 ′恰好落在EF边上时，求旋转角 的值；
（2）如图2，G为BC的中点，且0°＜ ＜90°，求证： ；
（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中， 与 能否全等？若能，直接写出旋转角 的值；若不能，说明理由.
【答案】（1）解：∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，
∴CE=CH=1，
∴△CEH为等腰直角三角形，
∴∠ECH=45°，
∴∠α=30°；
（2）证明：∵G为BC中点
∴CG=1
∴CG=CE
∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′
∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG
∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α
在△GCD′和△E′CD中
∵CD′=CD，∠GCD=∠DCE′，CG=CE′
∴△GCD′≌△E′CD（SAS）
∴GD′=E′D；
（3）能．
理由如下：
∵四边形ABCD为正方形
∴CB=CD
∵CD′=CD′
∴△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，当∠BCD′=∠DCD′时，△BCD′≌△DCD′，当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，则旋转角α=（360°-90°）÷2=135°
当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，∠BCD′=∠DCD′= ∠BCD=45°，则α=360°﹣90°÷2=315°
即旋转角a的值为135°或315°时，△BCD′与△DCD′全等．
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可得CE=CH=1，可得△CEH为等腰直角三角形，从而求出结论；
（2） 根据SAS证明△GCD′≌△E′CD，可得GD′=E′D；
（3）能.理由： 可求出△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，当∠BCD′=∠DCD′时，△BCD′≌△DCD′，分两种情况：当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时或当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时分别解答即可.
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