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【决战期末·50道综合题专练】苏科版八年级上册期末数学卷
1．如图，中，，，，，的角平分线交于点G，作，
（1）求证：
（2）如图连接交于E.求证：
（3）若，，求的面积.
2．如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8.
（1）求出这个魔方的棱长；
（2）图①中阴影部分是一个正方形 ，求出阴影部分的面积及其边长.
（3）把正方形 放到数轴上，如图②，使得点 与 重合，那么点 在数轴上表示的数为 .
3．在“新冠病毒”防控期间，某益康医疗器械公司分两次购进酒精消毒液与测温枪两种商品进行销售两次购进同一商品的进价相同，具体情况如表所示：
项目 购进数量（件） 购进所需费用（元）
酒精消毒液 测温枪
第一次 30 40 7560
第二次 40 30 5880
（1）求酒精消毒液和测温枪两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）公司决定酒精消毒液以每件20元出售，测温枪以每件240元出售.为满足市场需求，需购进这两种商品共1000件，且酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍，求该公司销售完上述1000件商品获得的最大利润.
4．如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在l的异侧，，，测得.
（1）求证：≌；
（2）若，，求的长.
5．已知点，试分别根据下列条件，求点的坐标.
（1）点在轴上；
（2）点到两坐标轴的距离相等.
6．如图，点A，B，C，D在同一直线上，∠M＝∠N，AM＝BN，请你添加一个条件，使得△ACM≌△BDN，并给出证明.
（1）你添加的条件是： .
（2）证明：
7．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，两线相交于F点.
（1）若∠BAC=60°，∠C=70°，求∠AFB的大小；
（2）若D是BC的中点，∠ABE=30°，求证：△ABC是等边三角形.
8．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如表：
x/元 … 15 20 25 …
y/件 … 25 20 15 …
已知日销售量y是销售价x的一次函数．
（1）求日销售量y（件）与每件产品的销售价x（元）之间的函数表达式；
（2）当每件产品的销售价定为35元时，此时每日的销售利润是多少元？
9．某农户种植一种经济作物，总用水量y(m3)与种植时间x(天)之间的函数关系如图所示．
（1）第20天的总用水量为 m3；
（2）当x≥20时，求y与x之间的函数表达式；
（3）种植时间为多少天时，总用水量达到7 000 m3.
10．如图，已知OC是∠AOB的平分线，将直尺DEMN如图摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上，DN边与OC交于点P。
（1）猜想△DOP 是三角形。
（2）证明你的猜想，写出解答过程。
11．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从移动到，同时小船从移动到，且绳长始终保持不变．、、三点在一条直线上，．回答下列问题：
（1）根据题意可知： （填“＞”、“＜”、“＝”）．
（2）若米，米，米，求小男孩需向右移动的距离（结果保留根号）．
12．已知：一个正数a的两个不同平方根分别是x+5和4x﹣15.
（1）求x的值；
（2）求a+1的立方根.
13．小美打算在“母亲节”买一束百合和康乃馨组合的鲜花送给妈妈.已知买2支百合和1支康乃馨共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元.
（1）求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？
（2）小美准备买康乃馨和百合共11支，且康乃馨不多于9支，设买康乃馨x支，买这束鲜花所需总费用为w元.
①求w与x之间的函数关系式；
②请你帮小美设计一种使费用最少的买花方案，并求出最少费用.
14．一架长为 米的梯子 ，顶端 靠在墙上，梯子底端 到墙的距离 米．
（1）求 的长；
（2）如图梯子的顶端 沿墙向下滑动 米，问梯子的底端 向外移动了多少米？
15．已知，如图，AB＝AD，∠B＝∠D，∠1＝∠2＝60°．
（1）求证：△ADE≌△ABC；
（2）求证：AE＝CE．
16．如图，的顶点分别为，，．
（1）作出关于轴对称的图形；
（2）写出、、的坐标；
（3）若，求的边上的高．
17．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，电C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（在同一条直线上），并新修一条路，已知千米，千米，千米．
（1）CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．
（2）求新路比原路少多少千米？
18．已知方程组和有相同的解．
（1）求a，b的值；
（2）若某三角形的三边长为，，，请求这个三角形的面积．
19．如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n交于点P（1，b），直线l2与x轴交于点A（4，0）．
（1）求b的值；
（2）解关于x，y的方程组，并直接写出它的解；
（3）判断直线l3：y＝nx+m是否也经过点P？请说明理由．
20．如图，在四边形中，，，的面积为6，，，
（1）求的长；
（2）求的面积．
21．如图，有以下四个条件：①AC∥DE，②DC∥EF，③CD平分∠BCA，④EF平分∠BED．
（1）若CD平分∠BCA，AC∥DE，DC∥EF，求证：EF平分∠BED．
（2）除（1）外，请再选择四个条件中的三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，再给予证明．
22．为便民惠民，树人公园特推出下列优惠方案：
①普通卡：每人每次20元；
②贵宾卡：年费为200元，每人每次10元；
③至尊卡：年费为500元，但进入不再收费．
设某人参观 次时，所需总费用为 元．
（1）直接写出选择普通卡和贵宾卡消费时的函数关系式；
（2）在同一个坐标系中，若三种方案对应的函数图象如图所示，求出点 ， ， 的坐标；
（3）根据图象，直接写出选择哪种方案更合算．
23．已知3x+1的算术平方根是4，x+2y的立方根是-1，
（1）求x、y的值；
（2）求2x-5y的平方根．
24．如图，在△ABC中：
（1）用直尺和圆规，在AB上找一点D，使点D到B、C两点的距离相等（不写作法．保留作图痕迹）
（2）连接CD，已知CD=AC，∠B=25°，求∠ACB的度数．
25．阅读如下材料，然后解答后面的问题：
已知直线 和直线 如图所示，可以看到直线 且直线 可以由直线 向上平移6个长度单位得到，直线 可以由直线 向右平移3个长度单位得到。这样，求直线 的函数表达式，可以由直线 的函数表达式直接得到。即：如果将直线 向上平移6的长度单位后得到 得 的函数表达式为： 即 如果将直线 向右平移3的长度单位后得到得 的函数表达式为： 即
（1）将直线 向上平移2个长度单位后所得的直线的函数表达式是 ；
（2）将直线 向右平移 两个长度单位后所得的直线的函数表达式是 ；
（3）已知将直线 向左平移 个长度单位后得到直线 则 .
26．勾股定理是一条古老的数学定理。它有很多种证明方法。我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明．著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系(勾
股定理)”带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．
（1）请你根据图（1）中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述)．
（2）以图(1)中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图（2））。请你利用图（2）证明勾股定理．
27．某批发商欲将一批海产品由A地运往B地，汽车货运公司和铁路货运公司均开办了海产品运输业务．已知运输路程为120千米，汽车和火车的速度分别为60千米/时和100千米/时．两货物公司的收费项目和收费标准如下表所示：
运输工具 运输费单价（元/吨 千米） 冷藏费单价（元/吨 小时） 过桥费（元） 装卸及管理费（元）
汽车 2 5 200 0
火车 1.8 5 0 1600
注：“元/吨 千米”表示每吨货物每千米的运费；“元/吨小时”表示每吨货物每小时的冷藏费．
（1）设该批发商待运的海产品有x（吨），汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为y1（元）和y2（元），试求出y1和y2和与x的函数关系式；
（2）若该批发商待运的海产品不少于30吨，为节省运费，他应该选择哪个货运公司承担运输业务？
28．如图，△ABC 中，AD⊥BC，EF 垂直平分 AC，交 AC 于点 F，交 BC 于点 E，且 BD=DE．
（1）若∠BAE=40°，求∠C
的度数；
（2）若△ABC
周长 13cm，AC=6cm，求 DC 长．
29．如图①，现有一张三角形ABC纸片，沿BC边上的高AE所在的直线翻折，使得点C与BC边上的点D重合．
（1）填空：△ADC是 三角形；
（2）若AB=15，AC=13，BC=14，求BC边上的高AE的长；
（3）如图②，若∠DAC=90°，试猜想：BC、BD、AE之间的数量关系，并加以证明．
30．如图，在长方形ABCD中，把△BCD沿对角线BD折叠得到△BED，线段BE与AD相交于点P，若AB=2，BC=4．
（1）BD= ；
（2）点P到BD的距离是 ．
31．如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，．
（1）求证：是直角三角形；
（2）求的长．
32．在等边中，D是的中点，，的两边分别交直线、于E、F．
（1）问题：如图1，当E、F分别在边、上，，时，直接写出线段与的数量关系；
（2）探究：如图2，当E落在边上，F落在射线上时，（1）中的结论是否仍然成立？写出理由；
（3）应用：如图3，当E落在射线上， F落在射线上时，，，则 ．
33．如图，一次函数l1：y=2x-2的图象与x轴交于点D，一次函数l2：y=kx+b的图象与x轴交于点A，且经过点B（3，1），两函数图象交于点C（m，2）．
（1）求m，k，b的值；
（2）根据图象，直接写出1＜kx+b＜2x-2的解集．
34．如图，AD，BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°．
（1）求证：△ACB≌△BDA；
（2）若∠CAB=54°，求∠CAO的度数．
35．如图所示，在正方形网格中，若点A，C的坐标分别为，，按要求回答下列问题：
（1）在图中建立正确的平面直角坐标系．
（2）根据所建立的坐标系，写出点B的坐标．
（3）画出关于x轴对称的图形
36．某县在创建省文明卫生城市中，绿化档次不断提升.某校计划购进A、B两种树木共100棵进行校园绿化升级，经市场调查：购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元
（1）求A种、B种树木每棵各多少元？
（2）因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍.学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其他因素），实际付款总金额按市场价八折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用.
37．如图，在 中， 是它的角平分线.
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长.
38．问题：如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气.试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短.
（1）如图②，作出点A关于l的对称点A'，线段A'B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线ACB是最短的.
为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点C'，连接AC'、BC'，证明AC＋CB＜AC'＋C'B.请完成这个证明.
（2）如图③，点P为∠MON内的一个定点，在OM上有一点A，ON上有一点B.请你作出点A和点B的位置，使得△PAB的周长最小.（保留作图痕迹，不写作法）在上述条件下，若∠MON＝40°，则∠APB＝ °.
39．如图，在 和 中， ， ， .
（1）若 ， ， ，求 的大小；
（2）猜想线段 与 的关系，并证明你的猜想.
40．依靠国家强有力的政策引导和全国人民的共同努力，我国的新冠疫情态势得到了有效控制.但当前疫情发展形势依旧严峻，常态化防控工作仍然不能松懈.为了打赢这场没有硝烟的战争，某公司积极响应国家号召，采购了口罩、防护服、消毒剂等医疗物资若干箱，进行物资援助.该公司计划租用某货运公司的A、B型两种货车共6辆完成物资运送，它们的载货量和租金如表：
A B
载货量（箱/辆） 45 30
租金（元/辆） 800 550
设租用A型货车x辆，根据要求回答下列问题：
（1）用含有x的式子填写下表：
车辆数（辆） 载货量（箱） 租金（元）
A x 45x 800x
B
（2）若保证租车费用不超过4550元，求x的最大值；
（3）若该公司援助防疫物资共200箱，设这批物资的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，并求出最少运费为多少元？
41．如图1，在平面直角坐标系中，已知两点，．
（1）若a，b满足．
①直接写出的周长；
②P在第一象限内，若为等腰直角三角形，直接写出点P的坐标，
（2）如图2，C是x轴上点A右侧的动点，D在第一象限内，满足．
①探究三条线段，，之间的数量关系，并给出证明；
②设与的面积的比值为k，直接写出k的取值范围．
42．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=8，BC=6，E，F分别是直线AC，AB上的动点，连结EF.
（1）求CD的长.
（2）若点E在边AC上，且3AE=2CE，EF⊥AC，求证：CF平分∠ACD.
（3）是否存在点E，F，使得以C，E，F为顶点的三角形与△CDF全等 若不存在，请说明理由；若存在，求出所有符合条件的DF的长.
43．如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，AB＝8，AC＝6.
（1）求四边形AEDF的周长；
（2）若∠BAC＝90°，求四边形AEDF的面积.
44．甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴距出发地240千米的目的地，乙车比甲车晚出发1小时（从甲车出发时开始计时）.图中折线OABC、线段DE分别表示甲、乙两车所行路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象（线段AB表示甲出发不足1小时因故停车检修）.请根据图象所提供的信息，解决如下问题：
（1）求乙车所行路程y与时间x的函数关系式；
（2）求两车在途中第二次相遇时，他们距目的地还有多远？
（3）乙车出发多长时间，甲、乙两车在途中第一次相遇？（写出解题过程）
45．在平面直角坐标系中，已知A（x，y），且满足x2+6x+y2﹣6y+18＝0，过点A作AB⊥y轴，垂足为B.
（1）求A点坐标；
（2）如图1，若分别以AB、AO为边作等边△ABC和等边△AOD，试判定线段AC和CD的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）如图2，若在x轴正半轴上取一点M，连接BM并延长至N，以BN为直角边作等腰Rt△BNE，∠BNE＝90°，过点A作AF∥y轴交BE于点F，连接MF，设OM＝a，MF＝b，AF＝c，试证明： .
46．小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量桶和体积相同的小球进行了如下操作：请根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）放入一个小球量桶中水面升高 cm；
（2）求放入小球后量桶中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）之间的函数关系式；
（3）当量桶中水面上升至距离量桶顶部3cm时，应在量桶中放入几个小球？
47．如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE、GC．
（1）试猜想AE与GC有怎样的关系，并证明你的结论．
（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和CG．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
48．某校八年级举行数学趣味竞赛，购买A，B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是12元和8元，根据比赛设奖情况，需购买两种笔记本共30本，并且购买A笔记本的数量要少于B笔记本数量的 ，但又不少于B笔记本数量的 。
（1）求A笔记本数量的取值范围；
（2）购买这两种笔记本各多少本时，所需费用最省？最省费用是多少元？
49．探索与证明：
（1）如图①，直线 经过正三角形 的顶点 ，在直线 上取点 ， ，使得 ， ．通过观察或测量，猜想线段 ， 与 之间满足的数量关系，并予以证明；
（2）将（1）中的直线 绕着点 逆时针方向旋转一个角度到如图②的位置， ， ．通过观察或测量，猜想线段 ， 与 之间满足的数量关系，并予以证明．
50．如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则优比为较大边与较小边的比），记为 .
（1）命题：“等边三角形为优三角形，其优比为1”，是真命题还是假命题？
（2）已知 为优三角形， ， ， ，
①如图1，若 ， ， ，求 的值.
②如图2，若 ，求优比 的取值范围.
（3）已知 是优三角形，且 ， ，求 的面积.
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【决战期末·50道综合题专练】苏科版八年级上册期末数学卷
1．如图，中，，，，，的角平分线交于点G，作，
（1）求证：
（2）如图连接交于E.求证：
（3）若，，求的面积.
【答案】（1）证明：∵，的角平分线交于点G，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∵，，
∴.
【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠DCG=∠BCG=45°，则∠A=∠DCG，由已知条件可知AD=CD，∠FDA=∠BDC，然后利用全等三角形的判定定理进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得AF=CG，利用SAS证明△ACF≌△CBG，得到∠ACF=∠CBG，结合∠ACF+∠BCE=90°可得∠BEC=90°，据此证明；
（3）根据全等三角形的性质可得CF=BG=10，然后根据三角形的面积公式进行计算.
2．如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8.
（1）求出这个魔方的棱长；
（2）图①中阴影部分是一个正方形 ，求出阴影部分的面积及其边长.
（3）把正方形 放到数轴上，如图②，使得点 与 重合，那么点 在数轴上表示的数为 .
【答案】（1）解：设魔方的棱长为 ，则 ，解得： ；
（2）解：∵魔方的棱长为2，∴每个小立方体的棱长都是1，
∴每个小正方形面积为1，魔方的一面四个小正方形的面积为4；
∴ ；
∵正方形 的面积为2 ∴边长为
（3）
【解析】【解答】（3）∵正方形 的边长为 ，点 与 重合，
∴点 在数轴上表示的数为： ，
故答案为 ．
【分析】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可；
（2）根据棱长，求出每个小正方体的边长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得解；
（3）用点A表示的数减去边长即可得解．
3．在“新冠病毒”防控期间，某益康医疗器械公司分两次购进酒精消毒液与测温枪两种商品进行销售两次购进同一商品的进价相同，具体情况如表所示：
项目 购进数量（件） 购进所需费用（元）
酒精消毒液 测温枪
第一次 30 40 7560
第二次 40 30 5880
（1）求酒精消毒液和测温枪两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）公司决定酒精消毒液以每件20元出售，测温枪以每件240元出售.为满足市场需求，需购进这两种商品共1000件，且酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍，求该公司销售完上述1000件商品获得的最大利润.
【答案】（1）解：设酒精消毒液和测温枪每件的进价分别是x元，y元
由题意可得：
解得：
答：酒精消毒液的进价为12元，测温枪的进价为180元；
（2）解：设购进酒精消毒液a件，则购进测温枪件，销售完这1000件商品获得的利润为W，
由题意可得：，
酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍，
，
解得：，
利润W是关于a的一次函数，同时，
W随着a的增大而减小，
当时，W有最大值为，
该公司销售完这1000件商品获得的最大利润为元.
【解析】【分析】（1）设酒精消毒液和测温枪每件的进价分别是x元，y元，根据酒精消毒液的件数×单价+测温枪的件数×单价=总费用可得关于x、y的方程组，联立求解即可；
（2）设购进酒精消毒液a件，则购进测温枪(1000-a)件，销售完这1000件商品获得的利润为W，根据(售价-进价)×件数=总利润可得W与a的关系式，根据酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍可得a的范围，然后利用一次函数的性质进行解答.
4．如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在l的异侧，，，测得.
（1）求证：≌；
（2）若，，求的长.
【答案】（1）证明：，
，
在与中
≌；
（2）解：≌，
，
，
，
.
【解析】【分析】（1）根据二直线平行，内错角相等得∠ABC=∠DEF，从而利用ASA判断出△ABC≌△DEF；
（2）根据全等三角形的对应边相等得BC=EF，根据等式的性质可得BF=EC，最后根据FC=BE-BF-CE即可算出答案.
5．已知点，试分别根据下列条件，求点的坐标.
（1）点在轴上；
（2）点到两坐标轴的距离相等.
【答案】（1）解：根据题意，得 ，
解之，得 ，
∴点 的坐标为 .
（2）解：根据题意，得 或 ，
解之，得 或 ，
∴ ， 或 ， ，
∴点 的坐标为 或 .
【解析】【分析】（1）利用点P在y轴上，可知点P的横坐标为0，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，然后将m的值代入求出点P的坐标.
（2）利用点P到两坐标轴的距离相等，可得到2m+4=m-1或2m+4+m-1=0，分别求出列方程的解，即可得到点P的坐标.
6．如图，点A，B，C，D在同一直线上，∠M＝∠N，AM＝BN，请你添加一个条件，使得△ACM≌△BDN，并给出证明.
（1）你添加的条件是： .
（2）证明：
【答案】（1）∠MAC＝∠NBD
（2）证明：在△ACM和△BDN中
∵∠M＝∠N，AM＝BN，∠MAC＝∠NBD
∴△ACM≌△BDN（ASA）.
【解析】【解答】解：（1）∵∠M＝∠N，AM＝BN，
∴利用角边角定理，可添加条件∠MAC=∠NBD，
利用角角边定理可添加条件∠ACM=∠BDN，
利用边角边定理，可添加条件CM=DN
故答案为：∠MAC＝∠NBD（答案不唯一）；
【分析】（1）判定两个三角形全等的一般方法有：ASA、SSS、SAS、AAS、HL，所以可添加条件为∠MAC=∠NBD，或CM=DN或∠ACM=∠BDN；
（2）根据全等三角形的判定定理即可得到结论.
7．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，两线相交于F点.
（1）若∠BAC=60°，∠C=70°，求∠AFB的大小；
（2）若D是BC的中点，∠ABE=30°，求证：△ABC是等边三角形.
【答案】（1）解：∵∠BAC=60°，∠C=70°，
∴∠ABC=180°﹣60°﹣70°=50°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FBD= ∠ABC=25°，
∵AD⊥BC，
∴∠BDF=90°，
∴∠AFB=∠FBD+∠BDF=115°
（2）证明：∵∠ABE=30°，BE平分∠ABC，
∴∠ABC=60°，
∵BD=DC，AD⊥BC，
∴AB=AC，
∴△ABC是等边三角形
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠ABC的度数，利用角平分线的定义求出∠FBD的度数.根据垂直定义可得∠BDF=90°，从而求出∠AFB的度数.
（2）根据角平分线的定义求出∠ABC=60°，根据垂直平分线的定义可得AB=AC，根据有一个角是60°的等腰三角形判定△ABC是等边三角形.
8．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如表：
x/元 … 15 20 25 …
y/件 … 25 20 15 …
已知日销售量y是销售价x的一次函数．
（1）求日销售量y（件）与每件产品的销售价x（元）之间的函数表达式；
（2）当每件产品的销售价定为35元时，此时每日的销售利润是多少元？
【答案】（1）解：设 ，将 ， 和 ， 代入，得： ，解得： ，
∴ ；
（2）解：将 代入（ ）中函数表达式得：
，
∴利润 （元），
答：此时每天利润为 元
【解析】【分析】（1）设一次函数的解析式为 ，取表格中的两对对应点代入，即可求出日销售量y（件）与每件产品的销售价x（元）之间的函数表达式； （2） 将 代入（ ）中函数表达式 求出销售量y，再根据（售价-进价）×数量即可求出利润.
9．某农户种植一种经济作物，总用水量y(m3)与种植时间x(天)之间的函数关系如图所示．
（1）第20天的总用水量为 m3；
（2）当x≥20时，求y与x之间的函数表达式；
（3）种植时间为多少天时，总用水量达到7 000 m3.
【答案】（1）1000
（2）解：当x≥20时，设y=kx+b，
∵函数图象经过点（20，1000），（30，4000），
∴ ，
解得：k=300，b=-5000，
∴y与x之间的函数关系式为：y=300x-5000（x≥20）
（3）解：令y=7000，得300x-5000=7000，
解得：x=40．
∴种植时间为40天时，总用水量达到7000 m3．
【解析】【解答】解：（1）根据图象得出，第20天的总用水量为1000m3，
【分析】（1）根据图像提供的信息解决问题，由图像可知， 第20天的总用水量为 1000m3；
（2）由图像可知，当x≥20时，y与x之间的函数是一次函数关系，利用待定系数法即可求出函数关系式；
（3）将y=7000代入（2）所得的函数关系式即可算出对应的自变量的值，从而得出答案。
10．如图，已知OC是∠AOB的平分线，将直尺DEMN如图摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上，DN边与OC交于点P。
（1）猜想△DOP 是三角形。
（2）证明你的猜想，写出解答过程。
【答案】（1）是
（2）解：∵0C平分∠AOB
∠AOP=∠BOP
DN∥EM
∴∠DPO=∠BOP
∴∠AOP=∠DPO
即△DOP是等腰三角形。
【解析】【分析】猜想△DOP 是等腰三角形，根据平行线的性质和等腰三角形的判定即可证明。
11．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从移动到，同时小船从移动到，且绳长始终保持不变．、、三点在一条直线上，．回答下列问题：
（1）根据题意可知： （填“＞”、“＜”、“＝”）．
（2）若米，米，米，求小男孩需向右移动的距离（结果保留根号）．
【答案】（1）=
（2）解：∵A、B、F三点共线，
∴在中，
，
∵，
∴在中，
，
由（1）可得：，
∴，
∴小男孩需移动的距离为米．
【解析】【解答】解：（1）∵AC的长度是男孩拽之前的绳长，是男孩拽之后的绳长，绳长始终未变，
∴，
故答案为：=；
【分析】（1）根据绳长不变即得结论；
（2） 在中，利用勾股定理求出AC=10，从而得出BF=AF-AB=5，在中 ，利用勾股定理求出BC=，由（1）知CE=AC-BC即可求解.
12．已知：一个正数a的两个不同平方根分别是x+5和4x﹣15.
（1）求x的值；
（2）求a+1的立方根.
【答案】（1）解：∵一个正数a的两个平方根分别是x+5和4x﹣15，
∴（x+5）+（4x﹣15）＝0，
∴5x﹣10＝0，解得x＝2；
（2）解：由（1）得x＝2，
∴a＝（2+5）2＝49.
a+1＝×49+1＝7+1＝8，
∴a+1的立方根是：＝2.
【解析】【分析】（1）一个正数的两个平方根互为相反数，依此建立关于x的一元一次方程，求解即可；
（2）根据（1）的结果求出a值，再代入原式计算，然后根据立方根定义解答即可.
13．小美打算在“母亲节”买一束百合和康乃馨组合的鲜花送给妈妈.已知买2支百合和1支康乃馨共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元.
（1）求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？
（2）小美准备买康乃馨和百合共11支，且康乃馨不多于9支，设买康乃馨x支，买这束鲜花所需总费用为w元.
①求w与x之间的函数关系式；
②请你帮小美设计一种使费用最少的买花方案，并求出最少费用.
【答案】（1）解：设买一支康乃馨需m元，买一支百合需n元，
则根据题意得： ，
解得： ，
答：买一支康乃馨需4元，买一支百合需5元；
（2）解：①根据题意得：w＝4x+5（11﹣x）＝﹣x+55，
②∵康乃馨不多于9支，
∴x≤9，
∵﹣1＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝9时，w最小，
即买9支康乃馨，买11﹣9＝2支百合费用最少，wmin＝﹣9+55＝46（元），
答：w与x之间的函数关系式：w＝﹣x+55，买9支康乃馨，买2支百合费用最少，最少费用为46元.
【解析】【分析】（1）设买一支康乃馨需m元，买一支百合需n元，根据：买2支百合和1支康乃馨共需花费14元可得方程m+2n=14，根据3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元可得方程3m-2n=2，然后联立求解即可；
（2）①根据总费用=单价×数量可得W与x的函数关系式；
②根据康乃馨不多于9支可知x≤9，然后结合一次函数的性质进行解答.
14．一架长为 米的梯子 ，顶端 靠在墙上，梯子底端 到墙的距离 米．
（1）求 的长；
（2）如图梯子的顶端 沿墙向下滑动 米，问梯子的底端 向外移动了多少米？
【答案】（1）解： 一架长 米的梯子 ，顶端 靠在墙上，梯子底端 到墙的距离 米，∠C=90°，
．
答： 的长为 米．
（2）解： ， ，
，
又∠C=90°，
，
．
答：梯子的底端 向外移动了 米．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）利用勾股定理求出CE的长，再利用CE-AC即可得到答案。
15．已知，如图，AB＝AD，∠B＝∠D，∠1＝∠2＝60°．
（1）求证：△ADE≌△ABC；
（2）求证：AE＝CE．
【答案】（1）证明：∵∠1＝∠2
∴∠1+ ＝∠2+
即∠DAE=∠BAC
在△ADE和△ABC中
∴△ADE≌△ABC
（2）证明：∵△ADE≌△ABC
∴AE＝AC
又∵∠2＝60°
∴△AEC为等边三角形
∴AE＝CE
【解析】【分析】（1）根据∠1＝∠2可推出∠DAE=∠BAC，然后结合全等三角形的判定定理进行证明；
（2）由全等三角形的性质可得AE＝AC，结合∠2＝60°可推出△AEC为等边三角形，据此证明.
16．如图，的顶点分别为，，．
（1）作出关于轴对称的图形；
（2）写出、、的坐标；
（3）若，求的边上的高．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：由图可知：，，；
（3）解：∵，
∴的边上的高：
，
=；
【解析】【分析】（1）分别作出点A、B、C关于x轴对称的点 、、，顺次连接即可；
（2）直接根据所图形写出、、的坐标；
（3）利用三角形的面积计算即可。
17．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，电C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（在同一条直线上），并新修一条路，已知千米，千米，千米．
（1）CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．
（2）求新路比原路少多少千米？
【答案】（1）解：∵在中，，
又，
是以为直角的直角三角形，
，
∵点到直线垂线段的长度最短，
是村庄C到河边的最近路．
（2）解：设，
千米，
千米，
在中，由勾股定理得：，
，
解得，
千米，
比少千米．
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证明 是以为直角的直角三角形，再利用点到直线垂线段的长度最短，即可得到答案；
（2）设，则，再利用勾股定理可得，求出x的值，即可得到，再计算即可。
18．已知方程组和有相同的解．
（1）求a，b的值；
（2）若某三角形的三边长为，，，请求这个三角形的面积．
【答案】（1）解：解方程组，
得，
把代入第二个方程组得，
解得；
（2）解：∵，，
∴以，，为边的三角形是直角三角形，．
∴．
【解析】【分析】（1）先利用加减消元法求出方程组的解，再将x、y的值代入求出a、b的值即可；
（2）利用勾股定理的逆定理判断出直角三角形，再利用三角形的面积公式求解即可。
19．如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n交于点P（1，b），直线l2与x轴交于点A（4，0）．
（1）求b的值；
（2）解关于x，y的方程组，并直接写出它的解；
（3）判断直线l3：y＝nx+m是否也经过点P？请说明理由．
【答案】（1）解：∵点P（1，b）在直线l1：y＝x+1上，
∴b＝1+1＝2．
（2）解：∵直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n交于点P（1，2），
∴关于x，y的方程组的解为．
（3）解：直线l3：y＝nx+m也经过点P．理由如下：
将点A（4，0）、P（1，2）代入直线l2：y＝mx+n中，
得：，解得：，
∴直线l3：y＝x﹣．
当x＝1时，y＝×1﹣＝2，
∴直线l3：y＝x﹣经过点P（1，2）．
【解析】【分析】（1）将点P的坐标代入y＝x+1求出b的值即可；
（2）根据一次函数的图象与二元一次方程组的关系可得答案；
（3）利用待定系数法求出直线l3：y＝x﹣，再将x=1代入y＝x﹣求出y的值，即可得到点P也在直线上。
20．如图，在四边形中，，，的面积为6，，，
（1）求的长；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：在中，，，的面积为6
∴是直角三角形，
∴
∴
∴在中，
（2）解：在中，，，，
∵，
∴
∴是直角三角形，且，
∴
【解析】【分析】（1）根据三角形面积公式求出BD，再根据勾股定理求得BC；
（2）根据勾股定理判定 是直角三角形，且， 再利用三角形面积公式可得答案。
21．如图，有以下四个条件：①AC∥DE，②DC∥EF，③CD平分∠BCA，④EF平分∠BED．
（1）若CD平分∠BCA，AC∥DE，DC∥EF，求证：EF平分∠BED．
（2）除（1）外，请再选择四个条件中的三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，再给予证明．
【答案】（1）证明：∵CD平分∠BCA，
∴∠BCD＝∠ACD，
∵DC∥EF，
∴∠BCD＝∠BEF，∠DEF＝∠CDE，
∵AC∥DE，
∴∠ACD＝∠CDE，
∴∠BEF＝∠DEF，即EF平分∠BED．
（2）解：如果EF平分∠BED，AC∥DE，DC∥EF，那么CD平分∠BCA．
证明：∵EF平分∠BED，
∴∠BEF＝∠DEF，
∵DC∥EF，
∴∠BCD＝∠BEF，∠DEF＝∠CDE，
∵AC∥DE，
∴∠ACD＝∠CDE，
∴∠BCD＝∠ACD，即EF平分∠BED．
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得出 ∠BCD＝∠ACD，再由平行线的性质证明可得出结论；
（2）根据题意写出一个真命题，仿照（1）的证明过程即可证出结论。
22．为便民惠民，树人公园特推出下列优惠方案：
①普通卡：每人每次20元；
②贵宾卡：年费为200元，每人每次10元；
③至尊卡：年费为500元，但进入不再收费．
设某人参观 次时，所需总费用为 元．
（1）直接写出选择普通卡和贵宾卡消费时的函数关系式；
（2）在同一个坐标系中，若三种方案对应的函数图象如图所示，求出点 ， ， 的坐标；
（3）根据图象，直接写出选择哪种方案更合算．
【答案】（1）解：由题意得，普通卡：y1＝20x；贵宾卡：y2＝10x＋200；
（2）解：令y1＝500得：20x＝500，解得：x＝25，
∴点B坐标为（25，500）；
令y2＝500得：10x＋200＝500，解得：x＝30，
∴点C的坐标为（30，500）；
联立y1、y2得： ，
解得： ，
∴点A的坐标为（20，400）；
∴A（20，400），B（25，500），C（30，500）；
（3）解：由图像可知：①当0＜x＜20时，选择普通卡更合算；
②当x＝20时，选择普通卡和贵宾卡的总费用相同，均比至尊卡合算；
③当20＜x＜30时，选择贵宾卡更合算；
④当x＝30时，选择贵宾卡和至尊卡的总费用相同，均比普通卡合算；
⑤当x＞30时，选择至尊卡更合算．
【解析】【分析】（1）根据：总费用=每人次费用×参观次数，总费用=年费+每人次费用×参观次数可分别普通卡和贵宾卡消费时的函数关系式；
（2）利用函数交点坐标求法分别得出即可；
（3）利用（2）的点的坐标以及结合得出函数图象得出答案。
23．已知3x+1的算术平方根是4，x+2y的立方根是-1，
（1）求x、y的值；
（2）求2x-5y的平方根．
【答案】（1）解：因为3x+1的算术平方根是4，所以3x+1=16，解得x=5，又因为x+2y的立方根是－1，所以x+2y=－1，即5+2y=－1，解得y=－3，
所以x=5， y=－3.
（2）解：因为x=5， y=－3，所以2x-5y=2×5－5×(－3)＝25，
因为5的平方是25， －5的平方是25，
所以25的平方根是5和－5，
【解析】【分析】（1）根据3x+1的算术平方根是4，x+2y的立方根是-1，可得出3x+1=16，x+2y=－1，解方程组求出x、y的值。
（2）将x、y的值代入2x-5y，再求出2x-5y的平方根。
24．如图，在△ABC中：
（1）用直尺和圆规，在AB上找一点D，使点D到B、C两点的距离相等（不写作法．保留作图痕迹）
（2）连接CD，已知CD=AC，∠B=25°，求∠ACB的度数．
【答案】（1）解：如图所示：
故点D为所求
（2）解：由（1）得DC=DB，
∴∠BCD=∠B=25°，
∴∠ACD=∠B+∠BCD=50°，
∵CD=AC，
∴∠A=∠ADC=50°，
∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣50°﹣25°=105°
【解析】【分析】（1）作BC的垂直平分线交于AB于一点，则交点为所求；（2）由垂直平分线的性质再结合已知条件即可求出∠ACB的度数．
25．阅读如下材料，然后解答后面的问题：
已知直线 和直线 如图所示，可以看到直线 且直线 可以由直线 向上平移6个长度单位得到，直线 可以由直线 向右平移3个长度单位得到。这样，求直线 的函数表达式，可以由直线 的函数表达式直接得到。即：如果将直线 向上平移6的长度单位后得到 得 的函数表达式为： 即 如果将直线 向右平移3的长度单位后得到得 的函数表达式为： 即
（1）将直线 向上平移2个长度单位后所得的直线的函数表达式是 ；
（2）将直线 向右平移 两个长度单位后所得的直线的函数表达式是 ；
（3）已知将直线 向左平移 个长度单位后得到直线 则 .
【答案】（1）y = 2x–1
（2）y = 3x–3m+1
（3）8
【解析】【分析】根据一次函数平移的规律，左右平移，左加右减，变自变量；上下平移，上加下减，变常数项，据此分别求出（1）（2）（3）的结论即可.
26．勾股定理是一条古老的数学定理。它有很多种证明方法。我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明．著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系(勾
股定理)”带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．
（1）请你根据图（1）中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述)．
（2）以图(1)中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图（2））。请你利用图（2）证明勾股定理．
【答案】（1）解：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。即a2+b2=c2
（2）解：∵S梯形ABCD=S△ABE+S△CDS+S△ADE，
∴（a+b）2=ab+c2+ab，
整理得：a2+b2=c2，即得证。
【解析】【分析】（1）勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
（2）通过梯形面积可看成三个三角形面积之和可列出等式，再进行化简即可得到勾股定理。
27．某批发商欲将一批海产品由A地运往B地，汽车货运公司和铁路货运公司均开办了海产品运输业务．已知运输路程为120千米，汽车和火车的速度分别为60千米/时和100千米/时．两货物公司的收费项目和收费标准如下表所示：
运输工具 运输费单价（元/吨 千米） 冷藏费单价（元/吨 小时） 过桥费（元） 装卸及管理费（元）
汽车 2 5 200 0
火车 1.8 5 0 1600
注：“元/吨 千米”表示每吨货物每千米的运费；“元/吨小时”表示每吨货物每小时的冷藏费．
（1）设该批发商待运的海产品有x（吨），汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为y1（元）和y2（元），试求出y1和y2和与x的函数关系式；
（2）若该批发商待运的海产品不少于30吨，为节省运费，他应该选择哪个货运公司承担运输业务？
【答案】（1）解：y1＝2×120x+5×（120÷60）x+200＝250x+200
y2＝1.8×120x+5×（120÷100）x+1600＝222x+1600；
（2）解：若y1＝y2，则x＝50．
∴当海产品不少于30吨但不足50吨时，选择汽车货运公司合算；
当海产品恰好是50吨时选择两家公司都一样，没有区别；
当海产品超过50吨时选择铁路货运公司费用节省一些．
【解析】【分析】（1）运输公司收取的费用=运输费+冷藏费+过路费+装卸费，据此分别列出关系式即可.
（2）根据（1）中关系式，当y1=y2，y1＞y2，y1＜y2，分别列式计算出即可.
28．如图，△ABC 中，AD⊥BC，EF 垂直平分 AC，交 AC 于点 F，交 BC 于点 E，且 BD=DE．
（1）若∠BAE=40°，求∠C
的度数；
（2）若△ABC
周长 13cm，AC=6cm，求 DC 长．
【答案】（1）解：∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，
∴AB=AE=EC，
∴∠C =∠CAE，∵∠BAE=40°，
∴∠AED =70°，∴
（2）解：∵△ABC周长为13 cm，AC=6 cm， ∴AB+BE+EC=7 cm，即2DE+2EC=7 cm，
∴DE+EC=DC=3.5cm
【解析】【分析】⑴根据垂直平分线的性质易得∠C=∠CAE，AB=AE=EC，由三角形外角的性质可知∠AED=2∠C，再由三角形内角和定理即可求得所求角的度数.⑵根据△ABC的周长与题中所给条件，可知AB+BC的长度，由⑴中所得相等的边易得 ，从而求得DC的长
29．如图①，现有一张三角形ABC纸片，沿BC边上的高AE所在的直线翻折，使得点C与BC边上的点D重合．
（1）填空：△ADC是 三角形；
（2）若AB=15，AC=13，BC=14，求BC边上的高AE的长；
（3）如图②，若∠DAC=90°，试猜想：BC、BD、AE之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）等腰
（2）解：设CE=x，则BE=14﹣x，
在Rt△AEC中，由勾股定理得：AE2=AC2﹣CE2，
∴AE2=132﹣x2
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE2=AB2﹣BE2，
∴AE2=152﹣（14﹣x）2
∴132﹣x2=152﹣（14﹣x）2
解得：x=5，
在Rt△AEC中，由勾股定理得：
（3）解：猜想BC、BD、AE之间的数量关系为：BC﹣BD=2AE．
证明如下：
由（1）得：△ADC是等腰三角形，又∠DAC=90°，
∴△ADC是等腰直角三角形
又AE是CD边上的高，
∴DE=CE， ，
∴△AED与△AEC都是等腰直角三角形，
∴DE=AE=EC，即CD=2AE．
∵BC﹣BD=CD
∴BC﹣BD=2AE．
【解析】【解答】解：（1）∵三角形ABC纸片，沿BC边上的高AE所在的直线翻折，使得点C与BC边上的点D重合．
∴AD=AC，
∴△ADC是等腰三角形；
故答案为：等腰．
【分析】（1）根据折叠得到AD=AC，所以△ADC是等腰三角形；（2）设CE=x，利用勾股定理得到方程132﹣x2=152﹣（14﹣x）2解得：x=5，在Rt△AEC中，由勾股定理即可解答；（3）猜想BC、BD、AE之间的数量关系为：BC﹣BD=2AE．由△ADC是等腰三角形，又∠DAC=90°，得到△ADC是等腰直角三角形又AE是CD边上的高，所以△AED与△AEC都是等腰直角三角形，即可得到CD=2AE．由BC﹣BD=CD，即可解答．
30．如图，在长方形ABCD中，把△BCD沿对角线BD折叠得到△BED，线段BE与AD相交于点P，若AB=2，BC=4．
（1）BD= ；
（2）点P到BD的距离是 ．
【答案】（1） （或2 ）
（2） （或 ）
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是长方形，
∴∠C=90°，
∴BD= = =2 ，
故答案为2 ；
2）在△APB与△DEP中，
，
∴△APB≌△DEP，
∴AP=EP，
设AP=x，可知EP=x，PD=4﹣x，
∴在Rt△PED中，
x2+22=（4﹣x）2，
解得x= ．
即AP= ，
∴PD=4﹣ = ，
∴△BDP的面积= × ×2= ×2 点P到BD的距离，
∴点P到BD的距离= ，
故答案为 ．
【分析】（1）由勾股定理直接得出；（2）设AP=x，证出△ABP≌△EDP，可知EP=x，PD=8﹣x，根据翻折不变性，可知ED=DC=AB=2，然后在Rt△PED中，利用勾股定理求出x，再由三角形的面积即可求出结论．
31．如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，．
（1）求证：是直角三角形；
（2）求的长．
【答案】（1）证明：∵，，，
∴
∴
∴是直角三角形；
（2）解：连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴设，则，
∵在中，
，
∴，
∴，
∴
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理可得，即可证出是直角三角形；
（2）连接BE，设，则，利用勾股定理可得，将数据代入可得，最后求出即可。
32．在等边中，D是的中点，，的两边分别交直线、于E、F．
（1）问题：如图1，当E、F分别在边、上，，时，直接写出线段与的数量关系；
（2）探究：如图2，当E落在边上，F落在射线上时，（1）中的结论是否仍然成立？写出理由；
（3）应用：如图3，当E落在射线上， F落在射线上时，，，则 ．
【答案】（1）解：，理由如下：
是等边三角形，
，
是的中点，
，
，，
，
，
（2）解：结论成立．．
理由：如图1，过点D分别作于G点，于H点，
由（1）可得：，
，
，
，
，
．
在和中，
，
，
；
（3）6
【解析】【解答】解：（3）如图2中，过D作交于M点，
，
同理可证，
，．
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
故答案为：6
【分析】（1）先利用“AAS”证明，再利用全等三角形的性质可得；
（2）过点D分别作于G点，于H点，先利用“ASA”证明，再利用全等三角形的性质可得；
（3）过D作交于M点，先利用“SAS”证明，可得，再求出，最后求出即可。
33．如图，一次函数l1：y=2x-2的图象与x轴交于点D，一次函数l2：y=kx+b的图象与x轴交于点A，且经过点B（3，1），两函数图象交于点C（m，2）．
（1）求m，k，b的值；
（2）根据图象，直接写出1＜kx+b＜2x-2的解集．
【答案】（1）解：∵点C在直线l1：y=2x-2上
∴2=2m-2
解得m=2
∵点C（2，2）、B（3，1）在直线l2上
∴
解得：
（2）解：2＜x＜3．
【解析】【解答】解：（2）图象可得，
两函数图象交于点C（2，2）
∴不等式组kx+b＜2x-2的解集为
由（1）可知由直线l2的解析式为
当时，
1＜kx+b＜2x-2的解集为．
【分析】（1）先求出点C的坐标，再将点B、C的坐标代入直线l2，求出k、b的值即可；
（2）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
34．如图，AD，BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°．
（1）求证：△ACB≌△BDA；
（2）若∠CAB=54°，求∠CAO的度数．
【答案】（1）证明：∵∠D=∠C=90°，
∴△ABC和△BAD都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）；
（2）解：在Rt△ABC中，∠CAB=54°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=36°，
∵Rt△ABC≌Rt△BAD，
∴∠ABC=∠BAD=36°，
∴∠CAO=∠CAB-∠BAD=54°-36°=18°．
【解析】【分析】（1）利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△BAD即可；
（2）根据全等三角形的性质可得∠ABC=∠BAD=36°，再利用角的运算可得∠CAO=∠CAB-∠BAD=54°-36°=18°。
35．如图所示，在正方形网格中，若点A，C的坐标分别为，，按要求回答下列问题：
（1）在图中建立正确的平面直角坐标系．
（2）根据所建立的坐标系，写出点B的坐标．
（3）画出关于x轴对称的图形
【答案】（1）解：所建立的平面直角坐标系如下所示：
（2）解：点B的坐标为（-3，-1）；
（3）解：如图所示即为所求
【解析】【分析】（1）根据点A、C的坐标建立平面直角坐标系即可；
（2）根据平面直角坐标系直接写出点B的坐标即可；
（3）根据轴对称的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可。
36．某县在创建省文明卫生城市中，绿化档次不断提升.某校计划购进A、B两种树木共100棵进行校园绿化升级，经市场调查：购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元
（1）求A种、B种树木每棵各多少元？
（2）因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍.学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其他因素），实际付款总金额按市场价八折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用.
【答案】（1）解：设A种树每棵x元，B种树每棵y元
依题意得：
解得
答：A种树每棵100元，B种树每棵80元
（2）解：设购买A种树木为a棵，则购买B种树木为 棵
则
解得
设实际付款总金额是w元，则
即
∵ ，w随a的增大而增大
∴当 时，w最小
即当 时， （元）
答：当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，所需费用最少，最少为7600元.
【解析】【分析】（1）设A种树每棵x元，B种树每棵y元，根据“购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元”列出方程组并解答；
（2）设购买A种树木为x棵，则购买B种树木为（100-x）棵，根据“购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍”列出不等式并求得x的取值范围，结合实际付款总金额=0.8×（A种树的金额+B种树的金额）进行解答.
37．如图，在 中， 是它的角平分线.
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长.
【答案】（1）证明：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DF.
∵ ， ，
∴ .
即S△ABD：S△ACD＝AB：AC.
（2）解：如图，过点A作AE⊥BC于E，
∵ ， ，
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ .
【解析】【分析】（1）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质得到DE＝DF，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）过点A作AE⊥BC于E，由三角形面积公式可得 ，再与（1）所得结论建立等式，即可求出 的长.
38．问题：如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气.试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短.
（1）如图②，作出点A关于l的对称点A'，线段A'B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线ACB是最短的.
为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点C'，连接AC'、BC'，证明AC＋CB＜AC'＋C'B.请完成这个证明.
（2）如图③，点P为∠MON内的一个定点，在OM上有一点A，ON上有一点B.请你作出点A和点B的位置，使得△PAB的周长最小.（保留作图痕迹，不写作法）在上述条件下，若∠MON＝40°，则∠APB＝ °.
【答案】（1）解：如图②，连接 ，
∵点A，点 关于l对称，点C在l上，
∴ ，
∴ ，
同理可得： ，
∵ ＜ ，
∴AC＋BC＜
（2）100
【解析】【解答】证明：（2）如图所示，点A、B即为所求，
由轴对称的性质可得：
故答案为：100°.
【分析】（1）如图②，连接A'、C'由轴对称的性质可得 再证明： 再利用三角形的三边关系可得结论；
（2）分别作点 关于OM，ON的对称点 连接 交OM于A，交ON于B，则△PAB的周长最短，再由轴对称的性质可得： 证明 再求解 从而可得答案.
39．如图，在 和 中， ， ， .
（1）若 ， ， ，求 的大小；
（2）猜想线段 与 的关系，并证明你的猜想.
【答案】（1）解：∵ ， ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ .
（2）解：猜想： ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ≌ ，
∴ ，
如图，延长 交 于点 ，
∵ ≌ ，∴ ，
∴
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】（1）首先利用勾股定理算出AE的长，进而用勾股定理逆定理判断即可；
（2）用SAS证 ≌ ，得出BD=CE， ，再延长 交 于点 ，证 即可.
40．依靠国家强有力的政策引导和全国人民的共同努力，我国的新冠疫情态势得到了有效控制.但当前疫情发展形势依旧严峻，常态化防控工作仍然不能松懈.为了打赢这场没有硝烟的战争，某公司积极响应国家号召，采购了口罩、防护服、消毒剂等医疗物资若干箱，进行物资援助.该公司计划租用某货运公司的A、B型两种货车共6辆完成物资运送，它们的载货量和租金如表：
A B
载货量（箱/辆） 45 30
租金（元/辆） 800 550
设租用A型货车x辆，根据要求回答下列问题：
（1）用含有x的式子填写下表：
车辆数（辆） 载货量（箱） 租金（元）
A x 45x 800x
B
（2）若保证租车费用不超过4550元，求x的最大值；
（3）若该公司援助防疫物资共200箱，设这批物资的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，并求出最少运费为多少元？
【答案】（1）6﹣x；30（6﹣x）；550（6﹣x）
（2）解：由题意可知：800x+550（6﹣x）≤4550，
解得x≤5，
∴x的最大值是5
（3）解：由题意可得，
y＝800x+550（6﹣x）＝250x+3300，
∴y随x的增大而增大，
∵45x+30（6﹣x）≥200，
解得x≥ ，
又∵x为整数，
∴当x＝2时，y取得最小值，此时y＝3800，
答：y与x之间的函数关系式是y＝250x+3300，最少运费为3800元.
【解析】【解答】解：（1）由题意可得，
车辆数（辆） 载货量（箱） 租金（元）
A x 45x 800x
B 6﹣x 30（6﹣x） 550（6﹣x）
故答案为：6﹣x，30（6﹣x），550（6﹣x）；
【分析】（1）根据A、B型两种货车共6辆可得B型货车有(6-x)辆，根据每辆的载货量×车辆数=总载货量可得A、B型两种货车的载货量，根据租金=每辆的租金×辆数可得租金，据此解答；
（2）根据A型货车的租金+B型货车的租金≤4550列出不等式，求解即可；
（3）根据A型货车的租金+B型货车的租金=总运费可得y与x的关系式，根据物资共200箱列出关于x的不等式，求出x的范围，然后结合一次函数的性质进行解答.
41．如图1，在平面直角坐标系中，已知两点，．
（1）若a，b满足．
①直接写出的周长；
②P在第一象限内，若为等腰直角三角形，直接写出点P的坐标，
（2）如图2，C是x轴上点A右侧的动点，D在第一象限内，满足．
①探究三条线段，，之间的数量关系，并给出证明；
②设与的面积的比值为k，直接写出k的取值范围．
【答案】（1）解：①∵
∴
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵
∴
∴的周长；
②如图所示，当，时，过点P作轴，
∵
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∴，
∴
∴点P的坐标为；
如图所示，当，时，过点P作轴，
同理可证，
∴，
∴
∴点P的坐标为；
如图所示，当，时，过点P作轴，轴，
同理可证，
∴，
根据题意可得，四边形是正方形
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴点P的坐标为，
综上所述，点P的坐标为或或.
（2）解：①如图所示，在上截取，连接，
∵
∴
∴
∵
∴是等边三角形
∴，
又∵
∴
∴
∵，
∴
∴；
②由①可得，，
∴
∵
∴是等边三角形
∵
∵C是x轴上点A右侧的动点，
∴
∴在中，
∴如图所示，当点C和点A重合时，，过点D作，
∴此时的长度最小，
∴点H是的中点，
∴
∵，，
∴
∴
∴
∴
∵C是x轴上点A右侧的动点，
∴
∴．
【解析】【分析】（1）①先利用非负数之和为0的性质求出a、b的值，再利用勾股定理求出AB的长，最后利用三角形的周长公式求出△AOB的周长即可；
②分类讨论：第一种情况：当，时，第二种情况：当，时，第三种情况：当，时，再分别画出图形并利用线段的和差求解线段的长，从而可得点P的坐标；
（2）①在上截取，连接，先利用“AAS”证出，可得ED=AB，再结合含30°角的直角三角形的性质可得，最后利用线段的和差即等量代换求出AD的长即可；
②当点C和点A重合时，，过点D作，先利用“HL”证出，可得，再求出，可得，再结合，可得.
42．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=8，BC=6，E，F分别是直线AC，AB上的动点，连结EF.
（1）求CD的长.
（2）若点E在边AC上，且3AE=2CE，EF⊥AC，求证：CF平分∠ACD.
（3）是否存在点E，F，使得以C，E，F为顶点的三角形与△CDF全等 若不存在，请说明理由；若存在，求出所有符合条件的DF的长.
【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴.
∵CD⊥AB于点D，
∴，
∴ 10CD=6×8，即.
（2）解：如图1，∵3AE=2CE，AC=8，，
∴，即CE=CD.
∵CD⊥AB，EF⊥AC，
∴∠CDF=∠CEF=90°.
∵CF=CF，
∴△CEF≌△CDF(HL)，
∴∠ECF=∠DCF，
∴CF平分∠ACD.
（3）解：存在点E，F，使得以C，E，F为顶点的三角形与△CDF全等.
由题意，以C，E，F为顶点的三角形与△CDF全等，
CF是公共边，有四种情形：
①如图2，若点E，F在线段AC，AD上.
当CE=CD，∠CDF=∠CEF=90°时，
∵CF=CF，∴△CEF≌△CDF，
∴，.
∵EF=FD，EF2+AE2=AF2，
②如图3，若点E，F在射线AC，AB上.
同①可得△CEF≌△CDF，
③如图4，若点E在线段AC上，点在线段BD上.
当时，
，
，
④如图5，若点E在射线CA上，点在射线BA上.
当时，
，此时，
综上，所有符合条件的DF的长是.
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得的长，再利用三角形的面积公式直接求解即可.
（2）先证明，再根据全等三角形的判定证明即可证明.
（3）分4种情况求解：①若点E，F在线段上；②若点E，F在射线上；③若点E在线段上，点F在线段上；④若点E在射线上，点F在射线上．
43．如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，AB＝8，AC＝6.
（1）求四边形AEDF的周长；
（2）若∠BAC＝90°，求四边形AEDF的面积.
【答案】（1）解：延长DE到G，使GE＝DE，连接BG，
∵E、F分别是AB、AC的中点，AB＝8，AC＝6，
∴AE＝BE＝ AB＝4，AF＝CF＝ AC＝3.
在△AED和△BEG中，
，
∴△AED≌△BEG（SAS）.
∴AD＝BG，∠DAE＝∠GBE.
∵AD⊥BC，
∴∠DAE＋∠ABD＝90°.
∴∠GBE＋∠ABD＝90°.
即∠GBD＝∠ADB＝90°.
在△GBD和△ABD中，
，
∴△GBD≌△ABD（SAS）.
∴GD＝AB.
∵DE＝ GD，
∴DE＝ AB＝4.
同理可证：DF＝ AC＝3.
∴四边形AEDF的周长＝AE＋ED＋DF＋FA＝14.
（2）解：由（1）得AE＝DE＝ AB＝4，AF＝DF＝ AC＝3，
在△AEF和△DEF中，
，
∴△AEF≌△DEF（SSS）.
∵∠BAC＝90°，
∴S△AEF＝ AE AF＝ ×4×3＝6.
∴S四边形AEDF＝2S△AEF＝12.
【解析】【分析】（1）延长DE到G，使GE＝DE，连接BG，根据线段中点的定义求出AE＝4，AF＝3，并利用SAS证明△AED≌△BEG，由全等三角形的性质得出 AD＝BG，∠DAE＝∠GBE.，再次利用全等三角形的判定得出△GBD≌△ABD，可证得DE＝ AB＝4，同理DF＝ AC＝3，即可计算出四边形的周长；
（2）利用SSS可证△AEF≌△DEF，根据直角三角形的面积计算方法求出△AEF的面积，则四边形的面积即可求解.
44．甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴距出发地240千米的目的地，乙车比甲车晚出发1小时（从甲车出发时开始计时）.图中折线OABC、线段DE分别表示甲、乙两车所行路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象（线段AB表示甲出发不足1小时因故停车检修）.请根据图象所提供的信息，解决如下问题：
（1）求乙车所行路程y与时间x的函数关系式；
（2）求两车在途中第二次相遇时，他们距目的地还有多远？
（3）乙车出发多长时间，甲、乙两车在途中第一次相遇？（写出解题过程）
【答案】（1）解：设乙车所行使路程y与时间x的函数关系式为y=k1x+b1，
把（1，0）、（5，240）代入可得 ，
∴ ，
∴乙车所行使路程y与时间x的函数关系式为 ；
（2）解：由图象可得点F表示第二次相遇，
当x=3时， ，
∴ ，
∴他们距目的地240-120=120m；
（3）解：设线段BC对应的函数关系式为y=k2x+b2，
把（3，120）、（4，240）代入可得 ，
∴ ，
∴BC： ，
当x=2.25时， ，
∴ ，
将y=30代入 ，得 ，
∴P（ ，30），
∴乙车出发 小时，两车第一次相遇.
【解析】【分析】（1）根据题意，设出乙车所行路程y与时间x的函数关系式，把点的坐标代入即可求出函数关系式；
（2）根据乙车所行路程的解析式，利用点F的横坐标，求出F的纵坐标即可求解；
（3）求出线段BC对应的函数关系式，求出点P的坐标，计算两车在途中第一次相遇的时间.
45．在平面直角坐标系中，已知A（x，y），且满足x2+6x+y2﹣6y+18＝0，过点A作AB⊥y轴，垂足为B.
（1）求A点坐标；
（2）如图1，若分别以AB、AO为边作等边△ABC和等边△AOD，试判定线段AC和CD的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）如图2，若在x轴正半轴上取一点M，连接BM并延长至N，以BN为直角边作等腰Rt△BNE，∠BNE＝90°，过点A作AF∥y轴交BE于点F，连接MF，设OM＝a，MF＝b，AF＝c，试证明： .
【答案】（1）解：∵x2+6x+y2﹣6y+18＝0，
∴（x+3）2+（y﹣3）2＝0，
∴x+3＝0，y﹣3＝0，
∴x＝﹣3，y＝3，
∴点A的坐标为(﹣3，3)；
（2）解：CD＝AC，CD⊥AC.
理由如下：
∵△ABC和△AOD为等边三角形，
∴AB＝AC，AO＝AD，∠DAO＝∠CAB＝60°，
∴∠DAO﹣∠CAO＝∠CAB﹣∠CAO，
∴∠DAC＝∠OAB，
∴△DAC≌△OAB（SAS），
∴CD＝OB，∠ACD＝∠ABO＝90°，
由（1）可知BO＝AB＝3，
又∵AB＝AC，
∴CD＝OB＝AB＝AC，且CD⊥AC，
（3）证明：在AF上取一点P，使得AP＝OM＝a，连接BP，
∵AB＝BO，AP＝OM，∠PAB＝∠MOB＝90°，
∴△BAP≌△BOM（SAS），
∴∠ABP＝∠OBM，BP＝BM，
∵∠ABP+∠PBO＝90°，
∴∠OBM+∠PBO＝90°，
又∵△BEN为等腰直角三角形，
∴∠FBN＝45°，
∴∠PBF＝90°﹣45°＝45°＝∠FBN，
又∵BF＝BF，
∴△FBP≌△FBM（SAS），
∴FP＝FM＝b，
∴AF＝FP+AP，
即c＝a+b.
∴ .
【解析】【分析】（1）由非负数的性质可求出x＝﹣3，y＝3，则可得出答案；
（2）由等边三角形的性质得出AB＝AC，AO＝AD，∠DAO＝∠CAB＝60°，利用SAS证明△DAC≌△OAB，由全等三角形的性质可得出CD＝OB，∠ACD＝∠ABO＝90°，则可得出结论；
（3）在AF上取一点P，使得AP＝OM＝a，连接BP，利用SAS证明△BAP≌△BOM，由全等三角形的性质得出∠ABP＝∠OBM，BP＝BM，利用SAS证明△FBP≌△FMB，由全等三角形的性质得出FP＝FM＝b，即可得出结论.
46．小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量桶和体积相同的小球进行了如下操作：请根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）放入一个小球量桶中水面升高 cm；
（2）求放入小球后量桶中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）之间的函数关系式；
（3）当量桶中水面上升至距离量桶顶部3cm时，应在量桶中放入几个小球？
【答案】（1）2
（2）设水面的高度y与小球个数x的表达式为y=kx+b.
当量筒中没有小球时，水面高度为30cm；当量筒中有3个小球时，水面高度为36cm，
因此，（0，30），（3，36）满足函数表达式，
则 ，
解，得 .
则所求表达式为y=2x+30；
（3）由题意，得2x+30=46，
解，得x=8.
所以要放入8个小球.
【解析】【解答】解：(1)根据中间量筒可知，放入一个小球后，量筒中的水面升高2cm.
故答案为：2；
【分析】（1）根据中间量筒可知，放入一个小球后，量筒中的水面升高2cm；
（2）本题中关键是如何把图象信息转化为点的坐标，无球时水面高30cm，就是点（0，30）；3个球时水面高为36，就是点（3，36），从而利用待定系数法求出y与x的函数关系式；
（3）将y=46代入（2）所求的函数解析式可求出量筒中小球的个数.
47．如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE、GC．
（1）试猜想AE与GC有怎样的关系，并证明你的结论．
（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和CG．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）AE⊥GC，理由如下：
如图1，延长GC交AE于点H，
在正方形ABCD与正方形DEFG中，AD＝DC，∠ADE＝∠CDG＝90°，DE＝DG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠1＝∠2；
∵∠2＋∠3＝90°，
∴∠1＋∠3＝90°，
∴∠AHG＝180°－（∠1＋∠3）＝180°－90°＝90°，
∴AE⊥GC．
（2）成立，理由如下：
如图2，延长AE和GC相交于点H，
在正方形ABCD和正方形DEFG中，
AD＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠DCB＝∠B＝∠BAD＝∠EDG＝90°，
∴∠1＝∠2＝90°－∠3；
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠5＝∠4；
又∵∠5＋∠6＝90°，∠4＋∠7＝180°－∠DCE＝180°－90°＝90°，
∴∠6＝∠7，
又∵∠6＋∠AEB＝90°，∠AEB＝∠CEH，
∴∠CEH＋∠7＝90°，
∴∠EHC＝90°，
∴AE⊥GC．
【解析】【分析】（1）观察图形，AE、CG的位置关系可能是垂直，下面着手证明．由于四边形ABCD、DEFG都是正方形，易证得△ADE≌△CDG，则∠1＝∠2，由于∠2、∠3互余，所以∠1、∠3互余，由此可得AE⊥GC．（2）题（1）的结论仍然成立，参照（1）题的解题方法，可证△ADE≌△CDG，得∠5＝∠4，由于∠4、∠7互余，而∠5、∠6互余，那么∠6＝∠7；由图知∠AEB＝∠CEH＝90°－∠6，即∠7＋∠CEH＝90°，由此得证．
48．某校八年级举行数学趣味竞赛，购买A，B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是12元和8元，根据比赛设奖情况，需购买两种笔记本共30本，并且购买A笔记本的数量要少于B笔记本数量的 ，但又不少于B笔记本数量的 。
（1）求A笔记本数量的取值范围；
（2）购买这两种笔记本各多少本时，所需费用最省？最省费用是多少元？
【答案】（1）解：设A种笔记本购买x本
∵
∴ ，且x为整数
（2）解：设购买总费用为y元
∴y=12x+8(30-x)=4x+240
∵y随x减小而减小，∴当x=6时，y=264
答：当购买A笔记本6本，B笔记本24本时，最省费用264元
【解析】【分析】（1）设A种笔记本购买x本，根据题意列出不等式组，解不等式组即可得出x的取值范围；
（2）根据题意可以得到费用与x的函数关系式，根据一次函数的性质，即可得到购买这两种笔记本各多少本时，所需费用最省.
49．探索与证明：
（1）如图①，直线 经过正三角形 的顶点 ，在直线 上取点 ， ，使得 ， ．通过观察或测量，猜想线段 ， 与 之间满足的数量关系，并予以证明；
（2）将（1）中的直线 绕着点 逆时针方向旋转一个角度到如图②的位置， ， ．通过观察或测量，猜想线段 ， 与 之间满足的数量关系，并予以证明．
【答案】（1）解：DE=BD＋CE，证明如下
∵△ABC为等边三角形
∴AB=CA，∠BAC=60°
∵ ，
∴
∴∠ABD＋∠BAD=180°－∠ADB=120°
∠CAE＋∠BAD=180°－∠BAC=120°
∴∠ABD=∠CAE
在△ABD和△CAE中
∴△ABD≌△CAE
∴BD=AE，AD= CE
∴DE=AE＋AD= BD＋CE；
（2）解：CE =BD＋DE，证明如下
∵△ABC为等边三角形
∴AB=CA，∠BAC=60°
∵ ，
∴
∴∠ABD＋∠BAD=180°－∠ADB=60°
∠CAE＋∠BAD=∠BAC=60°
∴∠ABD=∠CAE
在△ABD和△CAE中
∴△ABD≌△CAE
∴BD=AE，AD= CE
∵AD= AE＋DE
∴CE= BD＋DE．
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB=CA，∠BAC=60°，然后根据已知条件可得 ，并且可证出∠ABD=∠CAE，利用AAS即可证出△ABD≌△CAE，从而得出BD=AE，AD= CE，然后根据DE=AE＋AD和等量代换即可得出结论；（2）根据等边三角形的性质可得AB=CA，∠BAC=60°，然后根据已知条件可得 ，并且可证出∠ABD=∠CAE，利用AAS即可证出△ABD≌△CAE，从而得出BD=AE，AD= CE，然后根据AD= AE＋DE和等量代换即可得出结论；
50．如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则优比为较大边与较小边的比），记为 .
（1）命题：“等边三角形为优三角形，其优比为1”，是真命题还是假命题？
（2）已知 为优三角形， ， ， ，
①如图1，若 ， ， ，求 的值.
②如图2，若 ，求优比 的取值范围.
（3）已知 是优三角形，且 ， ，求 的面积.
【答案】（1）解：该命题是真命题，理由如下：
设等边三角形的三边边长为a
则其中两条边的和为2a，恰好是第三边a的2倍，满足优三角形的定义，即等边三角形为优三角形
又因该两条边相等，则这两条边的比为1，即其优比为1
故该命题是真命题；
（2）解：①
根据优三角形的定义，分以下三种情况：
当 时， ，整理得 ，此方程没有实数根
当 时， ，解得
当 时， ，解得 ，不符题意，舍去
综上，a的值为 ；
②由题意得： 均为正数
根据优三角形的定义，分以下三种情况：（ ）
当 时，则
由三角形的三边关系定理得
则 ，解得 ，即
故此时k的取值范围为
当 时，则
由三角形的三边关系定理得
则 ，解得 ，即
故此时k的取值范围为
当 时，则
由三角形的三边关系定理得
则 ，解得 ，即
故此时k的取值范围为
综上，k的取值范围为 ；
（3）解：如图，过点A作 ，则
设
是优三角形，分以下三种情况：
当 时，即 ，解得
则
当 时，即 ，解得
则
当 时，即 ，整理得 ，此方程没有实数根
综上， 的面积为 或 .
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质、优三角形和优比的定义即可判断；
（2）①先利用勾股定理求出c的值，再根据优三角形的定义列出 的等式，然后求解即可；②类似①分三种情况分析，再根据三角形的三边关系定理得出每种情况下 之间的关系，然后根据优比的定义求解即可；
（3）如图（见解析），设 ，先利用直角三角形的性质、勾股定理求出AC、AB的长及 面积的表达式，再类似（2），根据优三角形的定义分三种情况分别列出等式，然后解出x的值，即可得出 的面积.
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