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【决战期末·50道综合题专练】苏科版九年级上册期末数学卷
1．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．
（1）设每件童装降价x元时，每天可销售 件，每件盈利 元；（用x的代数式表示）
（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．
（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．
2．如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连结DE．
（1）若AD=DB，OC=5，求切线AC的长；
（2）求证：ED是⊙O的切线．
3．为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题．
（1）m= %，这次共抽取了 名学生进行调查；并补全条形图；
（2）请你估计该校约有 名学生喜爱打篮球；
（3）现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？
4．如图所示，已知 为⊙ 的直径， 是弦，且 于点 ，连接AC、OC、BC．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求⊙ 的直径．
5．如图，点O为中点，分别延长到点C，到点D，使．以点O为圆心，分别以，为半径在上方作两个半圆．点P为小半圆上任一点（不与点A，B重合），连接并延长交大半圆于点E，连接，．
（1）求证：；
（2）若，当最大时，直接指出与小半圆的位置关系，并求此时（答案保留π）．
6．关于x的一元二次方程有实数根．
（1）当是方程的一个根，求m的值；
（2）求m的取值范围．
7．如图，在Rt中，，平分交于点D，O为上一点，经过点A，D的分别交，于点E，F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
8．第24届冬奥会期间，小星收集到4张卡片，按顺序分别记为卡片、、、．正面图案如图所示，卡片背面完全相同．
（1）若小星从中随机摸出一张卡片，则卡片上的图案恰好是花样滑冰的概率是 ．
（2）小星把这4张卡片背面朝上洗匀后摸出1张，放回洗匀后再摸出一张，请用列表或画树状图的方法，求这两张卡片正面图案恰好是冰壶和冰球的概率．
9．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都为1个单位长度
（1）画出绕点顺时针旋转的图形；
（2）求出点的旋转路径长．
10．如图，四边形是的内接四边形，，点是的中点.
（1）求的度数；
（2）求证：四边形是菱形.
11．某校为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级800名学生每天的自主学习情况，该校领导随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间.根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1，图2），请根据统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次调查的学生人数是 人；
（2）将条形统计图图1和扇形统计图图2补充完整；
（3）请估算，该校九年级自主学习时间不少于1.5小时的学生有 人；
（4）老师想从学习效果较好的3位同学（分别记为 ，其中B为小华）随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小华B的概率.
12．某口罩生产厂家今年9月份生产口罩的数量为200万个，11月份生产口罩的数量达到242万个，且从9月份到11月份，每月的平均增长率都相同.
（1）求每月生产口罩的平均增长率；
（2）按照这个平均增长率，预计12月份这口罩生产厂家生产口罩的数量达到多少万个？
13．某服装厂批发应季T恤衫，其单价y（元）与批发数量x（件）（x为正整数）之间的函数关系如图所示．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）若每件T恤衫的成本价是45元，当件（x为正整数）时，服装厂如果想获得8000元利润，求一次批发多少件时所获利润为8000元？
14．已知 的半径是 .
（1）若 ，则点P到圆上各点的距离中，最短距离为 ，最长距离为 .
（2）若 ，则点P到圆上各点的距离中，最短距离为 ，最长距离为 .
（3）若P到圆上各点的距离中，最短距离为 ，则最长距离为 .
15．ETC（ Electronic
Toll Collection ）不停车收费系统是目前世界上最先进的路桥收费方式.安装有ETC的车辆通过路桥收费站无需停车就能交纳费用.某高速路口收费站有A，B，C，D四个ETC通道，车辆可任意选择一个ETC通道通过，且通过每个ETC通道的可能性相同，一天，小李和小赵分别驾驶安装有ETC的汽车经过此收费站.
（1）求小李通过A通道的概率；
（2）请用列表或画树状图的方法表示出两人通过此收费站的所有可能结果，并求出小李和小赵经过相同通道的概率.
16．解方程
（1） ；
（2） .
17．现有一张演唱会的门票，小明与小华为了决定谁拿这张门票去看开幕式，小华设计了一种方案如下：如图，有 、 两个转盘，其中转盘 被分成3等份，转盘 被分成4等份，并在每一份内标上数字.两人同时分别转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效，重转），若将 转盘指针指向的数字记为 ， 转盘指针指向的数字记为 ，从而确定点 的坐标为 .
（1）请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点 的坐标；
（2）小华提议，在（1）的基础上，若点 落在反比例函数 图象上则小明赢；否则，自己赢.你觉得小华的提议对双方公平吗？请说明理由.
18．如图，某校准备一面利用旧墙，其余三面用篱笆围成一个矩形花圃ABCD.墙可利用的最大长度为13米，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米.
（1）若围成的花圃面积为 时，求 的长；
（2）如图，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且花圃面积为 ，请你判断能否围成这样的花圃？如果能，求 的长；如果不能，请说明理由.
19．已知，如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是 上一点，AG与DC的延长线交于点F．
（1）如CD=8，BE=2，求⊙O的半径长；
（2）求证：∠FGC=∠AGD．
20．如图，在⊙O中，AB＝CD，弦AB与CD相交于点M.
（1）求证： .
（2）连接AC，AD，若AD是⊙O的直径，求证：∠BAC+2∠BAD＝90°.
21．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．
（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．
22．某果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低，若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），
它们之间的函数关系如图所示.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，D为弧AC的中点，E是BA延长线上一点，∠DAE＝105°.
（1）求∠CAD的度数；
（2）若⊙O的半径为4，求弧BC的长.
24．为了节约用水，某水厂规定：某单元居民如果一个月的用水量不超过x吨，那么这个月该单元居民只交10元水费.如果超过x吨，则这个月除了仍要交10元水费外，超过那部分按每吨 元交费.
（1）该单元居民8月份用水80吨，超过了“规定的x吨”，则超过部分应交水费 元（用含x的式子表示）.
（2）下表是该单元居民9月、10月的用水情况和交费情况：
月份 用水量（吨） 交费总数（元）
9月份 85 25
10月份 50 10
根据上表数据，求该x吨是多少？
25．有A、B两个黑布袋，A布袋中有四个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0，1，2，3，B布袋中有三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0，1，2．小明先从A布袋中随机取出一个小球，用m表示取出的球上标有的数字，再从B布袋中随机取出一个小球，用n表示取出的球上标有的数字．
（1）若用（m，n）表示小明取球时m与n 的对应值，用列表法(或画树状图)表示出（m，n）的所有取值；
（2）求关于x的一元二次方程 有实数根的概率．
26．春节期间，支付宝“集五福”活动中的“集五福”福卡共分为5种，分别为富强福、和谐福、友善福、爱国福、敬业福，从国家、社会和个人三个层面体现了社会主义核心价值观的价值目标.
（1）小明一家人春节期间参与了支付宝“集五福”活动，小明和姐姐都缺一个“敬业福”，恰巧爸爸有一个可以送给他们其中一个人，两个人各设计了一个游戏，获胜者得到“敬业福”．
在一个不透明盒子里放入标号分别为1，2，3，4的四个小球，这些小球除了标号数字外都相同，将小球摇匀．
小明的游戏规则是：从盒子中随机摸出一个小球，摸到标号数字为奇数小球，则判小明获胜，否则，判姐姐获胜．请判断，此游戏规则对小明和姐姐公平吗？说明理由．
姐姐的游戏规则是：小明从盒子中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回盒里，充分摇匀后，姐姐再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字.若两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判小明获胜，若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶，则判姐姐获胜．请用列表法或画树状图的方法进行判断此游戏规则对小明和姐姐是否公平.
（2）“五福”中体现了社会主义核心价值观的价值目标的个人层面有哪些？
27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法）
①作AC的垂直平分线，交AB于点O，交AC于点D；
②以O为圆心，OA为半径作圆，交OD的延长线于点E．
（2）在（1）所作的图形中，解答下列问题．
①点B与⊙O的位置关系是 ；（直接写出答案）
②若DE＝2，AC＝8，求⊙O的半径．
28．重庆人民在秋冬季节都爱吃黄橙橙香喷喷的脐橙，游老大看大商机，用5400元购进600斤“福本”脐橙和500斤“纽维尔”脐橙在自家水果店销售.已知“福本”脐橙比“纽维尔”脐橙每斤贵0.2元.
（1）“福本”脐橙和“纽维尔”脐橙的进价分别为多少元？
（2）脐橙销售火爆，游老大继续进货，他到价格更合理的东华水果批发店进货，“福本”脐橙数量与上次数量一样多，进价比上次每斤减少了 a%，“纽维尔”脐橙比上次数量多 a%，进价比上次每斤减少了 a%，若这两次的进货总金额不变，则a的值为多少？
29．已知关于x的方程（m-1）x2-（m-2）x+ m=0.
（1）当m取何值时方程有一个实数根？
（2）当m取何值时方程有两个实数根？
（3）设方程的两根分别为x1、x2，且x1x2=m+1，求m的值.
30．某同学报名参加学校秋季运动会，有以下 5 个项目可供选择：径赛项目：100m、200m、1000m（分别用 A1、A2、A3 表示）；田赛项目：跳远，跳高（分别用 T1、T2 表示）.
（1）该同学从 5 个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率 P 为 ；
（2）该同学从5个项目中任选两个，求恰好是一个径赛项目和一个田赛项目的概率 P1，利用列表法或树状图加以说明；
（3）该同学从 5 个项目中任选两个，则两个项目都是径赛项目的概率 P2 为 .
31．从﹣2，﹣ ，0，4中任取一个数记为m，再从余下的三个数中，任取一个数记为n，若k=m n．
（1）请用列表或画树状图的方法表示取出数字的所有结果；
（2）求正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限的概率．
32．解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣5=0；
（2）（x﹣3）2+2（x﹣3）=0．
33．小明参加某网店的“翻牌抽奖”活动，如图，4张牌分别对应价值5，10，15，20（单位：元）的4件奖品．
（1）如果随机翻1张牌，那么抽中20元奖品的概率为 ．
（2）如果随机翻2张牌，且第一次翻过的牌不再参加下次翻牌，请用列表或画树状图的方法求出所获奖品总值不低于30元的概率为多少？
34．如图，放在直角坐标系中的正方形ABCD边长为4，现做如下实验：抛掷一枚均匀的正四面体骰子（它有四个顶点，各顶点的点数分别是1至4这四个数字中一个），每个顶点朝上的机会是相同的，连续抛掷两次，将骰子朝上的顶点数作为直角坐标中P点的坐标）第一次的点数作横坐标，第二次的点数作纵坐标）．
（1）求P点落在正方形ABCD面上（含正方形内部和边界）的概率．
（2）将正方形ABCD平移整数个单位，则是否存在一种平移，使点P落在正方形ABCD
面上的概率为 ；若存在，指出其中的一种平移方式；若不存在，请说明理由．
35．（1）计算：
（2）用配方法解方程：4x2-8x-5=0．
36．如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，D是OA延长线上的一点，连接DC，且∠B=∠D=30°，AC=4．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求阴影部分的面积．
37．如图，AB是⊙O的直径，CB是弦，OD⊥CB于E，交劣弧CB于D，连接AC．
（1）请写出两个不同的正确结论；
（2）若CB=8，ED=2，求⊙O的半径．
38．《中国足球改革总体方案》提出足球要进校园，为了解某校学生对校园足球喜爱的情况，随机对该校部分学生进行了调查，将调查结果分为“很喜欢”、“较喜欢”、“一般”、“不喜欢”四个等级，并根据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图；
（1）一共调查了 名学生，请补全条形统计图 ；
（2）在此次调查活动中，选择“一般”的学生中只有两人来自初三年级，现在要从选择“一般”的同学中随机抽取两人来谈谈各自对校园足球的感想，请用画树状图或列表法求选中的两人刚好都来自初三年级的概率．
39．如图，在边长为1的正方形网格中，线段绕某点顺时针旋转得到线段，点与点是对应点，点与点是对应点.
（1）在图中画出旋转中心（保留画图痕迹）；
（2）求旋转过程中点经过的路径长.
40．如图 Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作⊙O交BC于点D，与AC的另一个交点E，且连接DE .
（1）若＝140°，求∠C的度数.
（2）求证AB＝AP.
41．综合应用：如图，AB是的直径，点C是上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，G是的内心，连接CG并延长，交于点E，交AB于点F，连接BE．
（1）求证：AC平分；
（2）连接BG，判断的形状，并说明理由；
（3）若，，求线段EC的长．
42．定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（i﹣4i）＝5﹣3i
（1）填空：i3＝ ，i4＝ ．
（2）填空：①（2+i）（2﹣i）＝ ； ②（2+i）2＝ ．
（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知，（x+y）+3i＝1﹣（x﹣y）i，（x，y为实数），求x，y的值．
（4）试一试：请利用以前学习的有关知识将 化简成a+bi的形式．
（5）解方程：x2﹣2x+4＝0．
43．已知，是直径，弦于点，点是上一点．
（1）如图1，连接、、，求证：平分；
（2）如图2，连接、、，交于点，交于点，若；求证：；
（3）如图，在（2）的条件下，连接交于，连接，若，，求半径．
44．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为BC上一动点.将△ABE沿AE翻折后得到 AFE，延长AF交CD所在直线于点G，设BE＝x.
（1）若点G在CD边上，求x的取值范围；
（2）若x＝5，求CG的长.
45．如图， 内接于 ， 是 上的一点，连接 ， ， ．
（1）求证：
（2）若 ， ，求 的半径．
46．如图，已知，⊙O的半径 ，弦AB，CD交于点E，C为 的中点，过D点的直线交AB延长线与点F，且DF=EF．
（1）如图1，试判断DF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，连接AC，若AC∥DF，BE= AE，求CE的长．
47．如图，PA切⊙O于点A，射线PC交⊙O于C、B两点，半径OD⊥BC于E，连接BD、DC和OA，DA交BP于点F；
（1）求证：∠ADC+∠CBD＝ ∠AOD；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中相等的线段．
48．某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．
（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？
（2）若商场经营该商品一天要获利润2160元，并让顾客得到实惠，则每件商品应降价多少元？
49．如图，C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作等边△HAC与等边△DCB，连接DH．
（1）如图1，当∠DHC=90°时，求 的值；
（2）在（1）的条件下，作点C关于直线DH的对称点E，连接AE、BE，求证：CE平分∠AEB；
（3）现将图1中△DCB绕点C顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜90°），如图2，点C关于直线DH的对称点为E，则（2）中的结论是否成立并证明．
50．为了响应国家“自主创业”的号召，某大学毕业生开办了一个装饰品商店，采购了一种今年刚上市的饰品进行了30天的试销，购进价格为20元/件，销售结束后，得知日销售量P（件）与销售时间x（天）之间的关系如图（1）所示，销售价格Q（元/件）与销售时间x（天）之间的关系如图（2）所示．
（1）根据图象直接写出：日销售量P（件）与销售时间x（天）之间的函数关系式为 ；销售单价Q（元/件）与销售时间x（天）的函数关系式为 ．（不要求写出自变量的取值范围）
（2）写出该商品的日销售利润W（元）和销售时间x（天）之间的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）
（3）请问在30天的试销售中，哪一天的日销售利润最大？并求出这个最大利润．
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【决战期末·50道综合题专练】苏科版九年级上册期末数学卷
1．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．
（1）设每件童装降价x元时，每天可销售 件，每件盈利 元；（用x的代数式表示）
（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．
（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．
【答案】（1）20+2x；40-x
（2）解：依题可得：（20+2x）（40-x）=1200，
∴x2-30x+200=0，
∴（x-10）（x-20）=0，
∴x1=10，x2=20，
答：每件童装降价10元或20元时，平均每天赢利1200元．
（3）解：（20+2x）（40-x）=2000，
∴x2-30x+600=0，
∴△=b2-4ac=（-30）2-4×1×600=-15000，
∴原方程无解.
答：不可能平均每天赢利2000元.
【解析】【解答】解：（1）依题可得：
每天可销售：20+2x件，每件盈利：40-x元，
【分析】（1）根据销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量；每件利润=原售价-进价-降价，列式即可.
（2）根据总利润=每件利润×销售数量，列方程求解即可.
（3）根据（2）中相关关系列方程，判断方程有无实数根即可.
2．如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连结DE．
（1）若AD=DB，OC=5，求切线AC的长；
（2）求证：ED是⊙O的切线．
【答案】（1）【解答】解：连接CD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
即CD⊥AB，
∵AD=DB，OC=5，
∴CD是AB的垂直平分线，
∴AC=BC=2OC=10；
（2）【解答】证明：连接OD，如图所示，
∵∠ADC=90°，E为AC的中点，
∴DE=EC=AC，
∴∠1=∠2，
∵OD=OC，
∴∠3=∠4，
∵AC切⊙O于点C，
∴AC⊥OC，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，
即DE⊥OD，
∴ED是⊙O的切线．
【解析】【分析】（1）连接CD，由直径所对的圆周角为直角可得：∠BDC=90°，即可得：CD⊥AB，然后根据AD=DB，进而可得CD是AB的垂直平分线，进而可得 AC=BC=2OC=10；
（2）连接OD，先由直角三角形中线的性质可得DE=EC，然后根据等边对等角可得∠1=∠2，由OD=OC，根据等边对等角可得∠3=∠4，然后根据切线的性质可得∠2+∠4=90°，进而可得：∠1+∠3=90°，进而可得：DE⊥OD，从而可得：ED是⊙O的切线．
3．为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题．
（1）m= %，这次共抽取了 名学生进行调查；并补全条形图；
（2）请你估计该校约有 名学生喜爱打篮球；
（3）现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？
【答案】（1）20；50
（2）360
（3）解：列表如下：
男1
男2
男3
女
男1
男2，男1
男3，男1
女，男1
男2
男1，男2
男3，男2
女，男2
男3
男1，男3
男2，男3
女，男3
女
男1，女
男2，女
男3，女
∵所有可能出现的结果共12种情况，并且每种情况出现的可能性相等．其中一男一女的情况有6种．
∴抽到一男一女的概率P= .
【解析】【解答】（1）m=100%-14%-8%-24%-34%=20%；
∵跳绳的人数有4人，占的百分比为8%，
∴4÷8%=50；
如图所示；50×20%=10（人）．
（ 2 ）1500×24%=360；
【分析】（1）首先由条形图与扇形图可求得m=100%-14%-8%-24%-34%=20%；由跳绳的人数有4人，占的百分比为8%，可得总人数4÷8%=50；（2）由1500×24%=360，即可求得该校约有360名学生喜爱打篮球；（3）首先根据题意画出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与抽到一男一女学生的情况，再利用概率公式即可求得答案
4．如图所示，已知 为⊙ 的直径， 是弦，且 于点 ，连接AC、OC、BC．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求⊙ 的直径．
【答案】（1）证明：∵
∴
又∵ 为直径，
∴ ，
又∵
∴ ，
∴
∴
（2）解：∵ ， 为直径
∴ ，
∴
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中，
即 ，解得 ，
∴
【解析】【分析】（1）先利用 得到 ，再利用直角三角形的两锐角互余即可求解；（2）利用垂径定理得到CE＝DE= ，再得到 ， ，在 中，利用 得到 求出BE，即可得到求解．
5．如图，点O为中点，分别延长到点C，到点D，使．以点O为圆心，分别以，为半径在上方作两个半圆．点P为小半圆上任一点（不与点A，B重合），连接并延长交大半圆于点E，连接，．
（1）求证：；
（2）若，当最大时，直接指出与小半圆的位置关系，并求此时（答案保留π）．
【答案】（1）证明：在和中，
，
∴
（2）解：当最大时，与小半圆O相切，如图.
∵，
∴，
∵与小半圆相切，
∴，
∴，
∴，
∴
【解析】【分析】（1）利用公共角相等，根据SAS证明三角形全等即可；
（2）当最大时，与小半圆O相切，得出，根据扇形面积公式求解即可。
6．关于x的一元二次方程有实数根．
（1）当是方程的一个根，求m的值；
（2）求m的取值范围．
【答案】（1）解：把代入原方程得，
解得
（2）解：根据题意得，
解得．
【解析】【分析】（1）先根据方程的解的定义把x=0代入原方程求出m的值即可；
（2）根据判别式的意义得出，再解不等式即可。
7．如图，在Rt中，，平分交于点D，O为上一点，经过点A，D的分别交，于点E，F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：如图，连接，则，
，
是的平分线，
，
，
，
，
为的半径，点D在上，
∴是的切线；
（2）解：过点O作，交于点G，如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
的半径为5．
【解析】【分析】（1）先求出，再结合为的半径，点D在上，即可得到是的切线；
（2）过点O作，交于点G，先证明四边形是矩形，再利用矩形的性质可得，即可得到的半径为5。
8．第24届冬奥会期间，小星收集到4张卡片，按顺序分别记为卡片、、、．正面图案如图所示，卡片背面完全相同．
（1）若小星从中随机摸出一张卡片，则卡片上的图案恰好是花样滑冰的概率是 ．
（2）小星把这4张卡片背面朝上洗匀后摸出1张，放回洗匀后再摸出一张，请用列表或画树状图的方法，求这两张卡片正面图案恰好是冰壶和冰球的概率．
【答案】（1）
（2）解：由题意，列表如下：
A B C D
A
B
C
D
共有16种等可能的结果，其中两张卡片正面图案恰好是冰壶和冰球的结果有2种，
∴两张卡片正面图案恰好是冰壶和冰球的概率为．
【解析】【解答】（1）解：由题意得：；
故答案为：；
【分析】（1）利用概率公式求解即可；
（2）先利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
9．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都为1个单位长度
（1）画出绕点顺时针旋转的图形；
（2）求出点的旋转路径长．
【答案】（1）解：根据旋转的性质，作三个顶点关于原点中心对称点，连接对称后的三个顶点即可，如图所示：
即为所求；
（2）解：如图所示：
在网格中，
由圆周长公式可得的旋转路径长为.
【解析】【分析】（1）利用旋转的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）先求出圆的半径，再利用弧长公式求出点的旋转路径长即可。
10．如图，四边形是的内接四边形，，点是的中点.
（1）求的度数；
（2）求证：四边形是菱形.
【答案】（1）解：∵
∵
∴
（2）证明：连结
∵点为的中点
∴弧弧
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，为等边三角形，
∴，
∴四边形为菱形.
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补可得∠ADC+∠B=180°，进而结合∠ADC=2∠B，可得∠B的度数；
（2）连接OD，根据等弧所对的圆心角相等得∠AOD=∠COD，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠AOD=∠COD=60°，然后判断出△AOD、△COD是等边三角形，从而得出AO=CO=AD=CD，根据四边相等的四边形是菱形即可得出答案.
11．某校为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级800名学生每天的自主学习情况，该校领导随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间.根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1，图2），请根据统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次调查的学生人数是 人；
（2）将条形统计图图1和扇形统计图图2补充完整；
（3）请估算，该校九年级自主学习时间不少于1.5小时的学生有 人；
（4）老师想从学习效果较好的3位同学（分别记为 ，其中B为小华）随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小华B的概率.
【答案】（1）50
（2）解：每天自主学习1.5小时的人数为： （人），
每天自主学习2小时所占的比例为： ，
补全条形统计图和扇形统计图如下：
（3）400
（4）解：列表如下：
A B C
A
B
C
由列表法可得，共有6种等可能的结果，选中小华B的有4种，
∴P（选中小华B） .
【解析】【解答】解：(1)根据两个图可得：每天自主学习0.5小时的人数为5人，扇形统计图中此部分的比例为10%，
∴抽取的总人数为： （人），
故答案为：50；
(3)由扇形统计图可得：每天自主学习不少于1.5小时的人数的比例为： ，
∴ （人），
故答案为：400；
【分析】（1）利用每天自主学习0.5小时的人数除以所占的比例可得总人数；
（2）根据总人数求出每天自主学习1.5小时的人数，利用每天自主学习2小时的人数除以总人数可得所占的比例，据此补全统计图；
（3） 首先求出每天自主学习不少于1.5小时的人数的比例，然后乘以800即可；
（4）列出表格，找出总情况数以及选中小华B的情况数，然后利用概率公式进行计算.
12．某口罩生产厂家今年9月份生产口罩的数量为200万个，11月份生产口罩的数量达到242万个，且从9月份到11月份，每月的平均增长率都相同.
（1）求每月生产口罩的平均增长率；
（2）按照这个平均增长率，预计12月份这口罩生产厂家生产口罩的数量达到多少万个？
【答案】（1）解：设每月生产口罩的平均增长率为x，根据题意得，
解得： ， （不合题意，舍去）
答：每月生产口罩的平均增长率为10%.
（2）解： （万个）
答：预计12月份这生产厂家生产口罩的数量达到266.2万个.
【解析】【分析】（1）设每月生产口罩的平均增长率为x， 根据11月份的生产量=9月份的生产量× (1+增长率)2，列出关于x的一元二次方程求解，取其正值，即可得出结果；
（2）根据“12月份的生产量=11月份的生产量× (1+增长率) ”计算，即可求出结果.
13．某服装厂批发应季T恤衫，其单价y（元）与批发数量x（件）（x为正整数）之间的函数关系如图所示．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）若每件T恤衫的成本价是45元，当件（x为正整数）时，服装厂如果想获得8000元利润，求一次批发多少件时所获利润为8000元？
【答案】（1）（）
（2）解：当且x为整数时，
∴
解得：，
答：一次批发400件时，获得利润是8000元．
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：当且x为整数时，；
当且x为整数时，
函数图象过点 ，
设该段函数关系式为
∴ ，解得： ，
∴该段函数关系式为；
当且x为整数时，；
【分析】（1）根据题意得：当且x为整数时，当且x为整数时，函数图象过点 ，设该段函数关系式为 ，得出k、b的值，即可得出该段函数关系式，即可得出答案。
14．已知 的半径是 .
（1）若 ，则点P到圆上各点的距离中，最短距离为 ，最长距离为 .
（2）若 ，则点P到圆上各点的距离中，最短距离为 ，最长距离为 .
（3）若P到圆上各点的距离中，最短距离为 ，则最长距离为 .
【答案】（1）；
（2）；
（3） 或 .
【解析】【解答】解：（1） ，则P在圆内部，点P到圆上各点的距离中，最短距离是 ，最长距离是 .
故答案为： ， ；
（2） ，则点P在圆的外部，到圆上各点的距离中，最短距离为 ，最长距离是 .
故答案为： ， ；
（3）当P在圆内部时，最长距离是 ，
当P在圆外时，最长距离是 .
故答案为： 或 .
【分析】（1）由OP=2cm可知P在圆内部，点P到圆上各点的距离中，最短距离是半径-2，最长距离是半径+2，据此解答；
（2）由OP=6cm可知点P在圆的外部，到圆上各点的距离中，最短距离为6-半径，最长距离是6+半径，据此解答；
（3）当P在圆内部时，最长距离是2×4-3；当P在圆外时，最长距离是3+4+4，据此解答.
15．ETC（ Electronic
Toll Collection ）不停车收费系统是目前世界上最先进的路桥收费方式.安装有ETC的车辆通过路桥收费站无需停车就能交纳费用.某高速路口收费站有A，B，C，D四个ETC通道，车辆可任意选择一个ETC通道通过，且通过每个ETC通道的可能性相同，一天，小李和小赵分别驾驶安装有ETC的汽车经过此收费站.
（1）求小李通过A通道的概率；
（2）请用列表或画树状图的方法表示出两人通过此收费站的所有可能结果，并求出小李和小赵经过相同通道的概率.
【答案】（1）解：小李通过收费站的所有可能结果有4种，通过A通道的可能只有1种
小李通过A通道的概率为 ；
（2）画树状图，如图，
由树状图可知共有16种等可能结果，其中小李和小赵经过相同通道的结果有4种，
∴P（小李和小赵经过相同通道） .
【解析】【分析】（1）直接根据概率公式进行计算；
（2）画出树状图，找出总情况数以及小李和小赵经过相同通道的结果数，然后利用概率公式进行计算.
16．解方程
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2） ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【解析】【分析】（1）首先求出判别式的值，然后利用求根公式进行计算；
（2）将右边的式子移至左边，变形可发现含有公因式(x-1)，提取公因式可得(3x+2)(x-1)=0，据此求解.
17．现有一张演唱会的门票，小明与小华为了决定谁拿这张门票去看开幕式，小华设计了一种方案如下：如图，有 、 两个转盘，其中转盘 被分成3等份，转盘 被分成4等份，并在每一份内标上数字.两人同时分别转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效，重转），若将 转盘指针指向的数字记为 ， 转盘指针指向的数字记为 ，从而确定点 的坐标为 .
（1）请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点 的坐标；
（2）小华提议，在（1）的基础上，若点 落在反比例函数 图象上则小明赢；否则，自己赢.你觉得小华的提议对双方公平吗？请说明理由.
【答案】（1）解：列表得：
1 2 3 4
1
2
4
则所有可能的结果共有12种；
（2）解：∵若 在函数 上，
则 为 ， ， 共3个，
∴（小明赢） ，
（小华赢） ，
∵ ，
∴不公平.
【解析】【分析】（1）由题意列表，由表格中的信息可知所有可能的结果有12种；
（2）计算（1）表格中各点的横纵坐标的积是否等于4，若等于4，则点在反比例函数图象上；反之不在图像上；从而可找出符合题意的点的个数，再根据概率公式计算即可判断求解.
18．如图，某校准备一面利用旧墙，其余三面用篱笆围成一个矩形花圃ABCD.墙可利用的最大长度为13米，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米.
（1）若围成的花圃面积为 时，求 的长；
（2）如图，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且花圃面积为 ，请你判断能否围成这样的花圃？如果能，求 的长；如果不能，请说明理由.
【答案】（1）解：根据题意得：
则
解得：
当 时，
当 时，
墙可利用的最大长度为 ，
舍去.
的长为 .
（2）解：依题意可知：
即
∵
方程无实数根
答：不能围成这样的花圃.
【解析】【分析】（1）利用含x的代数式表示出BC的长，再利用矩形的面积公式建立关于x的方程，解方程求出x的值，再求出BC的长，然后根据墙可利用的最大长度，可确定出BC的长.
（2）利用矩形的面积=78，建立关于x的方程，根据方程根的情况，可作出判断.
19．已知，如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是 上一点，AG与DC的延长线交于点F．
（1）如CD=8，BE=2，求⊙O的半径长；
（2）求证：∠FGC=∠AGD．
【答案】（1）解：连接OC．设⊙O的半径为R．
∵CD⊥AB，
∴
在Rt 中，∵
∴
解得R=5．
（2）解：连接AD，
∵弦CD⊥AB，
∴ =
∴
∵四边形ADCG是圆内接四边形，
∴
∴
【解析】【分析】（1）连接OC．设⊙O的半径为R．根据垂径定理得到
在Rt 中，利用勾股定理列式计算即可.（2）连接AD，根据垂径定理可得 = ，得到 根据四边形ADCG是圆内接四边形，得到 根据等量代换即可得到
20．如图，在⊙O中，AB＝CD，弦AB与CD相交于点M.
（1）求证： .
（2）连接AC，AD，若AD是⊙O的直径，求证：∠BAC+2∠BAD＝90°.
【答案】（1）证明：如图，∵AB＝CD，
∴ ＝ ，
∴ + ＝ + ，
∴
（2）证明：连接AD.
∵ ，
∴∠ADC＝∠BAD，
∴∠AMC＝∠MAD+∠MDA＝2∠BAD，
∵AD是直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠CAB+∠AMC＝90°，
∴∠CAB+2∠BAD＝90°.
【解析】【分析】（1）根据弦、弧的关系可得＝，据此证明；
（2）连接AD，根据圆周角定理可得∠ADC＝∠BAD，结合外角的性质可得∠AMC＝2∠BAD，根据互余两角之和为90°可得∠CAB+∠AMC＝90°，据此证明.
21．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．
（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．
【答案】（1）证明：∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4≥0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0
得1+a+a﹣2=0，
解得a= ；
∴方程为x2+ x﹣ =0，
即2x2+x﹣3=0，
设另一根为x1，则1×x1= =﹣ ，
∴另一根x1=﹣ ．
【解析】【分析】（1）根据根的判别式即可求解；（2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0，求出a，再利用根与系数的关系求出方程的另一根．
22．某果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低，若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），
它们之间的函数关系如图所示.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？
【答案】（1）解：设 ，将点（12，74）、（28，66）代入，得
，解得 ，
∴y与x的函数关系式为 ；
（2）解：由题意得： ，
解得： ， ，
∵投入成本最低，
∴x=10，
答：增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克.
【解析】【分析】（1）设 ，将点（12，74）、（28，66）代入即可求出k与b的值，得到函数关系式；
（2）根据单株树的产量×种的树的数量=总产量列方程，求出x的值并检验即可得到答案.
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，D为弧AC的中点，E是BA延长线上一点，∠DAE＝105°.
（1）求∠CAD的度数；
（2）若⊙O的半径为4，求弧BC的长.
【答案】（1）解：∵AB=AC，
∴ = ，
∴∠ABC=∠ACB，
∵D为 的中点，
∴ = ，
∴∠CAD=∠ACD，
∴ =2 ，
∴∠ACB=2∠ACD，
又∵∠DAE=105°，
∴∠BCD=105°，
∴∠ACD= ×105°=35°，
∴∠CAD=35°；
（2）解：∵∠DAE=105°，∠CAD=35°，
∴∠BAC=180°-∠DAE-∠CAD=40°，
连接OB，OC，
∴∠BOC=80°，
∴弧BC的长= = .
【解析】【分析】(1)由AB=AC，得到 = ，求得∠ABC=∠ACB，推出∠CAD=∠ACD，得到∠ACB=2∠ACD，于是得到结论；
(2)根据平角的定义得到∠BAC=40°，连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC=80°，根据弧长公式即可得到结论.
24．为了节约用水，某水厂规定：某单元居民如果一个月的用水量不超过x吨，那么这个月该单元居民只交10元水费.如果超过x吨，则这个月除了仍要交10元水费外，超过那部分按每吨 元交费.
（1）该单元居民8月份用水80吨，超过了“规定的x吨”，则超过部分应交水费 元（用含x的式子表示）.
（2）下表是该单元居民9月、10月的用水情况和交费情况：
月份 用水量（吨） 交费总数（元）
9月份 85 25
10月份 50 10
根据上表数据，求该x吨是多少？
【答案】（1）
（2）解：根据表格提供的数据，可以知道 ，根据9月份用水情况可以列出方程：
解得，
因为 ，所以
该水厂规定的x吨是60吨.
【解析】【解答】解：（1）超过的用水量为（80-x）吨，所以，超过部分应交水费 元；
【分析】（1）由题意得超过的用水量为（80-x）吨， 超过那部分按每吨 元交费 ，由此可得 超过部分应交水费 ；
（2） 根据题意和表格提供的数据，可以知道 ， 根据9月份用水情况及题意和（1）可以列出一元二次方程 ，解之即得 该x吨是多少 .
25．有A、B两个黑布袋，A布袋中有四个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0，1，2，3，B布袋中有三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0，1，2．小明先从A布袋中随机取出一个小球，用m表示取出的球上标有的数字，再从B布袋中随机取出一个小球，用n表示取出的球上标有的数字．
（1）若用（m，n）表示小明取球时m与n 的对应值，用列表法(或画树状图)表示出（m，n）的所有取值；
（2）求关于x的一元二次方程 有实数根的概率．
【答案】（1）解：画树状图得：
则（m，n）的所有取值为：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）；
（2）解：∵关于x的一元二次方程 有实数根，
∴△＝m2﹣2n≥0，
∴关于x的一元二次方程 有实数根的有：（0，0），（1，0），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）
∴关于x的一元二次方程 有实数根的概率为： ＝
【解析】【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，（2）利用m，n的值确定△≥0时的个数，根据概率公式求出该事件的概率．
26．春节期间，支付宝“集五福”活动中的“集五福”福卡共分为5种，分别为富强福、和谐福、友善福、爱国福、敬业福，从国家、社会和个人三个层面体现了社会主义核心价值观的价值目标.
（1）小明一家人春节期间参与了支付宝“集五福”活动，小明和姐姐都缺一个“敬业福”，恰巧爸爸有一个可以送给他们其中一个人，两个人各设计了一个游戏，获胜者得到“敬业福”．
在一个不透明盒子里放入标号分别为1，2，3，4的四个小球，这些小球除了标号数字外都相同，将小球摇匀．
小明的游戏规则是：从盒子中随机摸出一个小球，摸到标号数字为奇数小球，则判小明获胜，否则，判姐姐获胜．请判断，此游戏规则对小明和姐姐公平吗？说明理由．
姐姐的游戏规则是：小明从盒子中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回盒里，充分摇匀后，姐姐再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字.若两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判小明获胜，若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶，则判姐姐获胜．请用列表法或画树状图的方法进行判断此游戏规则对小明和姐姐是否公平.
（2）“五福”中体现了社会主义核心价值观的价值目标的个人层面有哪些？
【答案】（1）解：小明的游戏：∵共有4种等可能结果，一次摸到小球的标号数字为奇数或为偶数的各有2种，
∴小明获胜的概率为 ＝ ，姐姐获胜的概率为 ＝ ，
∴游戏1对小明和姐姐是公平的；
姐姐的游戏：画树状图如下：
共有16种可能情况，其中两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的共有8种，两次摸到小球的标号数字为一奇一偶的结果也共有8种，
∴小明获胜的概率为 ＝ ，姐姐获胜的概率为 ＝ ，
∴游戏2对小明和姐姐是公平的．.
（2）解：“五福”中国家层面是：富强福，“五福”中社会层面是：和谐福，
“五福”中个人层面是：友善福、爱国福、敬业福．
【解析】【分析】（1）在两种游戏中，分别求出小明和姐姐获胜的概率，即可得答案；（2）分别从国家、社会和个人三个层面解答即可得答案.
27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法）
①作AC的垂直平分线，交AB于点O，交AC于点D；
②以O为圆心，OA为半径作圆，交OD的延长线于点E．
（2）在（1）所作的图形中，解答下列问题．
①点B与⊙O的位置关系是 ；（直接写出答案）
②若DE＝2，AC＝8，求⊙O的半径．
【答案】（1）解：如图所示；
（2）①点B在⊙O上
②∵OD⊥AC，且点D是AC的中点，
∴AD= AC=4，
设⊙O的半径为r，
则OA=OE=r，OD=OE﹣DE=r﹣2，
在Rt△AOD中，∵OA2=AD2+OD2，
即r2=42+（r﹣2）2，
解得r=5．
∴⊙O的半径为5
【解析】【解答】（2）解：①连结OC，如图，
∵OD垂直平分AC，
∴OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵∠A+∠B=90°，∠OCB+∠ACO=90°，
∴∠B=∠OCB，
∴OC=OB，
∴OB=OA，
∴点B在⊙O上；
故答案为点B在⊙O上
【分析】（1）分别以点A，C为圆心，大于AC的长度为半径画弧两弧，在AC的两侧分别相交，过两交点作直线DO， 交AB于点O，交AC于点D，直线DO就是所求的 AC的垂直平分线 ； 以O为圆心，OA为半径作圆，交OD的延长线于点E；
（2）① 连结OC，如图， 根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出 OA=OC， 根据等边对等角得出 ∠A=∠ACO， 根据等角的余角相等得出 ∠B=∠OCB， 再根据等角对等边得出 OC=OB， 故OB=OA，根据到圆心的距离等于半径的点在圆上即可得出结论 点B在⊙O上 ； ② 根据垂径定理得出AD的长， 在Rt△AOD中 ，利用勾股定理即可算出该圆的半径。
28．重庆人民在秋冬季节都爱吃黄橙橙香喷喷的脐橙，游老大看大商机，用5400元购进600斤“福本”脐橙和500斤“纽维尔”脐橙在自家水果店销售.已知“福本”脐橙比“纽维尔”脐橙每斤贵0.2元.
（1）“福本”脐橙和“纽维尔”脐橙的进价分别为多少元？
（2）脐橙销售火爆，游老大继续进货，他到价格更合理的东华水果批发店进货，“福本”脐橙数量与上次数量一样多，进价比上次每斤减少了 a%，“纽维尔”脐橙比上次数量多 a%，进价比上次每斤减少了 a%，若这两次的进货总金额不变，则a的值为多少？
【答案】（1）解：设“福本”脐橙的进价是x元，则“纽维尔”脐橙的进价为（x﹣0.2）元，
由题意，得600x+500（x﹣0.2）＝5400，
解得，x＝5，
∴x﹣0.2＝4.8，
答：“福本”脐橙和“纽维尔”脐橙的进价分别为5元、4.8元。
（2）解：由题意可得，600×5×（1﹣ a%）+500×（1+ a%）×4.8×（1﹣ a%）＝5400，
解得，a＝40或a＝0（舍去），
即a的值为40。
【解析】【分析】（1） 设“福本”脐橙的进价是x元，则“纽维尔”脐橙的进价为（x﹣0.2）元， 根据“福本”脐橙的总进价+ “纽维尔”脐橙的总进价=5400列出方程，求解即可；
（2） “福本”脐橙进价为 5×（1﹣ a%） 元每斤， “纽维尔”脐橙 的数量为 500×（1+ a%）斤，进价为4.8×（1﹣ a%）元每斤，根据“福本”脐橙的总进价+ “纽维尔”脐橙的总进价=5400列出方程，求解并检验即可。
29．已知关于x的方程（m-1）x2-（m-2）x+ m=0.
（1）当m取何值时方程有一个实数根？
（2）当m取何值时方程有两个实数根？
（3）设方程的两根分别为x1、x2，且x1x2=m+1，求m的值.
【答案】（1）解：当m-1=0，即m=1时，该方程为一元一次方程，方程有一个实数根：x=- ；
（2）解：当m-1≠0，即m≠1时，该方程为一元二次方程；
当△=[-（m-2）]2-4（m-1）× m≥0时，方程有两个实数根.
解得：m≤ ，且m≠1，
∴当m≤ ，且m≠1时方程有两个实数根；
（3）解：由一元二次方程根与系数关系得：x1x2= ，又因为x1x2=m+1，
所以： =m+1，
整理，得：4m2-m-4=0，
解得m1= 、m2= ，
∵ - = ＜0，
∴m2＜m1＜0，
∴m的值为 .
【解析】【分析】（1）m-1=0即m=1时，方程是一元一次方程，据此可得；（2）由m-1≠0即m≠1时，该方程为一元二次方程，利用判别式求解可得；（3）根据x1x2= =m+1可得关于m的方程，解之可得.
30．某同学报名参加学校秋季运动会，有以下 5 个项目可供选择：径赛项目：100m、200m、1000m（分别用 A1、A2、A3 表示）；田赛项目：跳远，跳高（分别用 T1、T2 表示）.
（1）该同学从 5 个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率 P 为 ；
（2）该同学从5个项目中任选两个，求恰好是一个径赛项目和一个田赛项目的概率 P1，利用列表法或树状图加以说明；
（3）该同学从 5 个项目中任选两个，则两个项目都是径赛项目的概率 P2 为 .
【答案】（1）
（2）解：画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中一个径赛项目和一个田赛项目的结果数为12，
所以一个径赛项目和一个田赛项目的概率P1= = ；
（3）
【解析】【解答】解：（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率P= ；（3）两个项目都是径赛项目的结果数为6，
所以两个项目都是径赛项目的概率P2= = .
故答案为 ， .
【分析】（1）直接根据概率公式求解；（2）先画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出一个径赛项目和一个田赛项目的结果数，然后根据概率公式计算一个径赛项目和一个田赛项目的概率P1；（3）找出两个项目都是径赛项目的结果数，然后根据概率公式计算两个项目都是径赛项目的概率P2.
31．从﹣2，﹣ ，0，4中任取一个数记为m，再从余下的三个数中，任取一个数记为n，若k=m n．
（1）请用列表或画树状图的方法表示取出数字的所有结果；
（2）求正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限的概率．
【答案】（1）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数
（2）解：两数之积为正数的结果数为2，即k＞0有两种可能，
所以正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限的概率= =
【解析】【分析】（1）画树状图展示所有12种等可能的结果数；（2）利用正比例函数的性质得到k＞0时，正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限，然后找出两数之积为正数的结果数，再利用概率公式计算即可．
32．解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣5=0；
（2）（x﹣3）2+2（x﹣3）=0．
【答案】（1）解：∵a=1，b=﹣2，c=﹣5，
∴△=4﹣4×1×（﹣5）=24＞0，
∴x= =1
（2）解：∵（x﹣3）2+2（x﹣3）=0，
∴（x﹣3）（x﹣3+2）=0，即（x﹣3）（x﹣1）=0，
则x﹣3=0或x﹣1=0，
解得：x=3或x=1
【解析】【分析】（1）公式法求解可得；（2）因式分解法求解可得．
33．小明参加某网店的“翻牌抽奖”活动，如图，4张牌分别对应价值5，10，15，20（单位：元）的4件奖品．
（1）如果随机翻1张牌，那么抽中20元奖品的概率为 ．
（2）如果随机翻2张牌，且第一次翻过的牌不再参加下次翻牌，请用列表或画树状图的方法求出所获奖品总值不低于30元的概率为多少？
【答案】（1）
（2）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中所获奖品总值不低于30元的结果数为4，
所以所获奖品总值不低于30元的概率= =
【解析】【解答】解：抽中20元奖品的概率= ；答案为
【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出所获奖品总值不低于30元的结果数，然后根据概率公式求解．
34．如图，放在直角坐标系中的正方形ABCD边长为4，现做如下实验：抛掷一枚均匀的正四面体骰子（它有四个顶点，各顶点的点数分别是1至4这四个数字中一个），每个顶点朝上的机会是相同的，连续抛掷两次，将骰子朝上的顶点数作为直角坐标中P点的坐标）第一次的点数作横坐标，第二次的点数作纵坐标）．
（1）求P点落在正方形ABCD面上（含正方形内部和边界）的概率．
（2）将正方形ABCD平移整数个单位，则是否存在一种平移，使点P落在正方形ABCD
面上的概率为 ；若存在，指出其中的一种平移方式；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：根据题意，点P的横坐标有数字1，2，3，4四种选择，点P的纵坐标也有数字1，2，3，4四种选择，
所以构成点P的坐标共有4×4=16种情况．
如下图所示：
其中点P的（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）四种情况将落在正方形ABCD面上，
故所求的概率为
（2）解：因为要使点P落在正方形ABCD面上的概率为 ，所以只能将正方形ABCD向上或向右整数个单位平移，且使点P落在正方形面上的数目为12．
∴存在满足题设要求的平移方式：先将正方形ABCD上移2个单位，后右移1个单位（先右后上亦可）；
或先将正方形ABCD上移1个单位，后右移2个单位（先右后上亦可）
【解析】【分析】（1）依题意得点P的横坐标有数字1，2，3，4四种选择，纵坐标也有数字1，2，3，4四种选择，故点P的坐标共有16种情况，有四种情况将落在正方形ABCD上，所以概率为 ．（2）要使点P落在正方形面上的概率为 ，所以要将正方形移动使之符合．
35．（1）计算：
（2）用配方法解方程：4x2-8x-5=0．
【答案】（1）解：原式=2 + -4× + =2 + -2 + =1
（2）解：方程两边同除以4，变形得x2-2x= ，
配方，得x2-2x+1= ，即（x-1）2= ，
开方得：x-1=± ，
解得：x1=2.5，x2=-0.5
【解析】【分析】（1）直接根据平方根、绝对值、负整数指数幂和特殊角的锐角三角函数值进行运算；（2）配方法先将二次项的系数化为1，再根据完全平方公式进行配方即可。
36．如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，D是OA延长线上的一点，连接DC，且∠B=∠D=30°，AC=4．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求阴影部分的面积．
【答案】（1）解：直线CD为⊙O的切线．理由如下：连结OC，如图，
则∠AOC=2∠B=60°，
∵∠D=30°，
∴∠OCD=180°-30°-60°=90°，
∴OC⊥CD，∴CD为⊙O的切线
（2）解：∵OA=OC，∠AOC=60°，
∴△AOC为等边三角形，
∴OA=AC=4，
∴S阴影部分=S扇形AOC-S△OAC
= - 42
= π-4 ．
【解析】【分析】根据切线的判定，先连接OC，再证明∠OCD=90°即可；第一问已求出∠AOC=60°，直接用扇形AOC的面积减去△AOC的面积即为阴影部分面积。
37．如图，AB是⊙O的直径，CB是弦，OD⊥CB于E，交劣弧CB于D，连接AC．
（1）请写出两个不同的正确结论；
（2）若CB=8，ED=2，求⊙O的半径．
【答案】（1）解：不同类型的正确结论有：①BE=CE；②BD=CD；③∠BED=90°；④∠BOD=∠A；⑤AC//OD；⑥AC⊥BC；⑦ ；⑧ ；⑨△BOD是等腰三角形；⑩ ；等等
（2）解：∵ OD⊥CB ∴BE=CE= =4
设的半径等于R，则OE=OD－DE=R－2
在Rt△OEB中，由勾股定理得，
即
解得R=5
∴⊙O的半径为5
【解析】【分析】（1）根据垂径定理和直径的性质，得到结论；（2）根据垂径定理和勾股定理求出⊙O的半径．
38．《中国足球改革总体方案》提出足球要进校园，为了解某校学生对校园足球喜爱的情况，随机对该校部分学生进行了调查，将调查结果分为“很喜欢”、“较喜欢”、“一般”、“不喜欢”四个等级，并根据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图；
（1）一共调查了 名学生，请补全条形统计图 ；
（2）在此次调查活动中，选择“一般”的学生中只有两人来自初三年级，现在要从选择“一般”的同学中随机抽取两人来谈谈各自对校园足球的感想，请用画树状图或列表法求选中的两人刚好都来自初三年级的概率．
【答案】（1）30；
（2）解：用A，B分别表示来自初三年级的学生，C，D表示其他两个学生，
画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，选中的两人刚好都来自初三年级的有2种情况，
∴选中的两人刚好都来自初三年级的概率为： =
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：一共调查的学生有：3÷10%=30（名）；
调查结果为“一般”的人数：30﹣13﹣10﹣3=4（名）．
故答案为：30；
补全统计图得：
【分析】（1）一共调查的学生人数=不喜欢足球的人数不喜欢足球的人数所占的百分比即可；调查结果为“一般”的人数=一共调查的学生人数-很喜欢足球的人数-较喜欢足球的人数-不喜欢足球的人数，根据计算补全条形统计图即可；
（2）用A，B分别表示来自初三年级的学生，C，D表示其他两个学生，根据题意画出树状图，知共有12种等可能的结果，选中的两人刚好都来自初三年级的有2种情况，根据概率公式计算即可。
39．如图，在边长为1的正方形网格中，线段绕某点顺时针旋转得到线段，点与点是对应点，点与点是对应点.
（1）在图中画出旋转中心（保留画图痕迹）；
（2）求旋转过程中点经过的路径长.
【答案】（1）解：如图所示，
（2）解：
∴旋转过程中点经过的路径长l=，
【解析】【分析】（1）分别作线段AA1，BB1的垂直平分线，两直线的交点即为旋转中心；
（2）点A的运动轨迹是以OA为半径的圆的四分之一，利用弧长公式求解即可.
40．如图 Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作⊙O交BC于点D，与AC的另一个交点E，且连接DE .
（1）若＝140°，求∠C的度数.
（2）求证AB＝AP.
【答案】（1）解：连接BE，如图所示：
∵BP是直径，
∴∠BEC＝90°，
∵＝140°，
∴＝40°，
∵，
∴＝80°，
∴∠CBE＝40°，
∴∠C＝50°；
（2）证明：∵，
∴∠CBP＝∠EBP，
∵∠ABE+∠A＝90°，∠C+∠A＝90°，
∴∠C＝∠ABE，
∵∠APB＝∠CBP+∠C，∠ABP＝∠EBP+∠ABE，
∴∠APB＝∠ABP，
∴AP＝AB.
【解析】【分析】（1）连接BE，由圆周角定理可得∠BEC＝90°，从而得出＝40°， 由垂径定理可得 ＝80°， 即得∠CBE＝40°，根据直角三角形两锐角互余即可求解；
（2）根据圆心角、弧、弦之间的关系可得∠CBP＝∠EBP，利用余角的性质可得∠C＝∠ABE，根据三角形外角的性质可推出∠APB＝∠ABP， 利用等角对等边即可求解.
41．综合应用：如图，AB是的直径，点C是上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，G是的内心，连接CG并延长，交于点E，交AB于点F，连接BE．
（1）求证：AC平分；
（2）连接BG，判断的形状，并说明理由；
（3）若，，求线段EC的长．
【答案】（1）证明：∵DP切于C。
∴
∵
∴
∴
∴
∵在中，
∴
∴
即AC平分
（2）解：是等腰三角形．理由：
∵G是的内心
∴，
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∴是等腰三角形
（3）解：过B作于H，连接AE，如图所示：
∵AB是的直径
∴
∴
∴在中，
在等腰直角三角形CBH中，
∵
∴
∴在中，
∴在中，
∴
【解析】【分析】（1）先根据切线的性质得到，进而根据垂直得到，根据平行线的判定与性质得到，从而根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，再根据角平分线的判定即可求解；
（2）先根据三角形的内心得到，，进而结合题意等量代换得到，从而根据等腰三角形的判定即可求解；
（3）过B作于H，连接AE，先根据圆周角定理得到，从而根据等腰直角三角形的性质得到，再根据勾股定理求出AB，从而根据题意解直角三角形得到，进而求出BE和EH，最后根据CE=CH+EG即可求解。
42．定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（i﹣4i）＝5﹣3i
（1）填空：i3＝ ，i4＝ ．
（2）填空：①（2+i）（2﹣i）＝ ； ②（2+i）2＝ ．
（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知，（x+y）+3i＝1﹣（x﹣y）i，（x，y为实数），求x，y的值．
（4）试一试：请利用以前学习的有关知识将 化简成a+bi的形式．
（5）解方程：x2﹣2x+4＝0．
【答案】（1）﹣i；1
（2）5；3+4i
（3）解：根据复数相等的条件，得： ，
解得： ；
（4）解： = = = =i；
（5）解：x2﹣2x+4=0，
∵x2-2x=-4，
∴x2-2x+1=-4+1，即(x-1）2=-3，
则(x-1）2=3i2，
∴x-1=i或x-1=-i，
∴x=1+i或x=1-i.
【解析】【解答】（1）解：i3=i2×i=－i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，故答案为：﹣i； 1；（2）解：①（2+i）（2－i）=4－i2=4+1=5；
②（2+i）2=i2+4i+4=﹣1+4i+4=3+4i；
【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则、i2=﹣1计算即可；（2）利用平方差公式、完全平方公式把原式展开，根据i2=﹣1计算即可；（3）根据复数相等的条件解答即可；（4）充分利用i2=﹣1计算，分子分母同时乘以（1+i）即可；（5）将原方程配方成(x-1）2=-3，据此得出(x-1）2=3i2，再两边开平方计算可得。
43．已知，是直径，弦于点，点是上一点．
（1）如图1，连接、、，求证：平分；
（2）如图2，连接、、，交于点，交于点，若；求证：；
（3）如图，在（2）的条件下，连接交于，连接，若，，求半径．
【答案】（1）证明： 是 直径， ，
∴ ，
，
平分 ；
（2）证明：设 ，
，
，
，
，
，
，
，
∵ ，
，
，
，
，
，
，
，
如图2，连接 ，
，
∴△DFE≌△DFP（SAS） ，
，
， ， ，
∴△CEH≌△DEH（ASA） ，
，
；
（3）解：如图3，连接 EG 、 CO ，
设 ，
为直径， ，
∴ ，
，由 知 ，
， ，
，
，
在 和 中，
，
∴△AFE≌△AFP（SAS） ，
，
，
∴AG为EP的中垂线，
，
，
∵AB为直径，
，
，
，
在 和 中，
， ， ，
∴△AEG≌△APG（SSS） ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
设半径为 ， ，
则 ，
∵ ，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
， ， ，
∴△CHO≌△BGE（AAS） ，
，
，
，
，
，
在 中，由勾股定理得 ，
即 ，
，
，
则 ，
，
即 ，
令 ，
则原式为 ，
即 ，
解得： ， 舍 ，
，
负值舍去 ．
半径为10．
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得，根据等弧所对的圆周角相等得∠BPC=∠BPD，据此即可得出结论；
（2）∠DCP＝α，根据圆周角定理证明∠BAD＝∠PAD，连接OD，利用SAS证明△DFE≌△DFP，可得DP＝DE，再永AAS证明△CEH≌△DEH，可得CE＝DE，进而可以解决问题；
（3）连接EG、CO，利用SAS证明△AEF≌△APF，可得EF＝PF，再利用SSS证明△AEG≌△APG，可得∠AEG＝∠APG＝90°，利用等角对等边证明BO＝BG，设半径为r，HC＝a，用AAS证△CHO≌△BGE，可得HC＝BE＝a，根据S△AOG＝30，可得EG＝，然后在Rt△EBG中利用勾股定理即可解决问题．
44．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为BC上一动点.将△ABE沿AE翻折后得到 AFE，延长AF交CD所在直线于点G，设BE＝x.
（1）若点G在CD边上，求x的取值范围；
（2）若x＝5，求CG的长.
【答案】（1）解：设BE ，
当点G与点C重合时，
在 中， ，
由折叠的性质，得△ABE △AFE，
∴AF=AB=6，BE= FE ，
在 中，∠CFE=90 ，CF ，CE=8- ，
∴ ，即 ，
解得： ；
当点G与点D重合时，
同理，AF=AB=6，BE= FE，∠BQF=∠B=∠AFE=90 ，
∴四边形ABEF为矩形，
∴BE= AB=6，即 ，
∴点G在CD边上时，x的取值范围为： ；
（2）解：由（1）知，当 时点G在CD边上，连接EG，
∴当 时点G在CD边上，且点G不与C、D两点不重合，
设DG= ，
由折叠的性质，得△ABE △AFE，
∴AF=AB=6，BE= FE ，
在 中，∠D=90 ，AD ，DG=y，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】（1）根据折叠的性质，结合利用勾股定理和矩形的性质分别求得当点G与点C重合和点G与点D重合时x的值，即可得到x的取值范围；
（2） 设DG= ，连接GE，在Rt△AGD和Rt△EFG以及Rt△ECG中，分别利用勾股定理列式把有关线段用x表示出来，再根据 列方程求出y，则CG可求.
45．如图， 内接于 ， 是 上的一点，连接 ， ， ．
（1）求证：
（2）若 ， ，求 的半径．
【答案】（1）证明： ，
即： ，
（2）解：如图：连接 ， ，过点 作 于点 ，
则
，
， ，
，
．
设 为 ，则 为
，
，
，
的半径为
【解析】【分析】（1）先根据AD=BC，求出
，最后作答即可；
（2）先求出∠AOB=120°，再求出∠OAE=30°，最后列方程计算求解即可。
46．如图，已知，⊙O的半径 ，弦AB，CD交于点E，C为 的中点，过D点的直线交AB延长线与点F，且DF=EF．
（1）如图1，试判断DF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，连接AC，若AC∥DF，BE= AE，求CE的长．
【答案】（1）解：如图1，连接OC和OD
∵C为弧的AB的中点
∴OC⊥AB，∠OCE+∠AEC=90°
∴DF=EF
∴∠FDE=∠FED=∠AEC
∵OA=OC
∴∠OCE=∠ODC
∴∠ODC=∠CDF=90°，即OD⊥DF
∴DF和圆相切。
（2）连接OA和OC，由（1）可知，OC⊥AB
∴AH=BH
∵AC∥DF
∴∠ACD=∠CDF，EF=DF
∴∠DEF=∠CDF=∠ACD
∴AC=AE
设AE=5x，则BE=3x
∴AH=4x，BE=x，AC=AE=5X
∴由勾股定理得，CH=3x
CE2=CH2+HE2+9x2+x2
∴CE=x
在直角三角形AOH中，由勾股定理得，AO2=AH2+OH2
即r2=（x-3r）2+（4r）2
解得，x=2
∴CE=2
【解析】【分析】（1）连接OC和OD，计算得到∠ODC+∠CDF=90°，即可得到答案；
（2）连接OA和OC，根据CE=x，由勾股定理列出方程，即可得到答案。
47．如图，PA切⊙O于点A，射线PC交⊙O于C、B两点，半径OD⊥BC于E，连接BD、DC和OA，DA交BP于点F；
（1）求证：∠ADC+∠CBD＝ ∠AOD；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中相等的线段．
【答案】（1）证明： ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
（2）
【解析】【解答】（2） ，
， ，
，
，
，
切 于点A，
，
，
，
，
，
．
【分析】（1）根据垂径定理得到 ，根据等腰三角形的性质得到 ，即可得到结论；（2）根据垂径定理得到 ， ，根据等腰三角形的性质得到 ，根据切线的性质得到 ，求得 ，推出 ，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．
48．某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．
（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？
（2）若商场经营该商品一天要获利润2160元，并让顾客得到实惠，则每件商品应降价多少元？
【答案】（1）解：（100﹣80）×100=2000（元），
答：商场经营该商品原来一天可获利润2000元
（2）解：依题意得：
（100﹣80﹣x）（100+10x）=2160，
即x2﹣10x+16=0，
解得：x1=2，x2=8，
因为让顾客得到实惠，所以应该降价8元．
答：商场经营该商品一天要获利润2160元，并让顾客得到实惠，则每件商品应降价8元
【解析】【分析】（1）根据利润公式：原来一天可获利润=（原售价﹣原进价）×一天的销售量；（2）先求出降价后每天销售的数量根据：降价后的单件利润×销售量=总利润，列方程解答．
49．如图，C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作等边△HAC与等边△DCB，连接DH．
（1）如图1，当∠DHC=90°时，求 的值；
（2）在（1）的条件下，作点C关于直线DH的对称点E，连接AE、BE，求证：CE平分∠AEB；
（3）现将图1中△DCB绕点C顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜90°），如图2，点C关于直线DH的对称点为E，则（2）中的结论是否成立并证明．
【答案】（1）解：∵△HAC与△DCB都是等边三角形，
∴∠ACH=∠DCB=60°，AC=HC，BC=CD，
∴∠HCD=180°﹣∠ACH﹣∠DCB=60°，
∵∠DHC=90°，
∴∠HDC=180°﹣∠DHC﹣∠HCD=30°，
∴CD=2CH，
∴BC=2AC，
∴ =2；
（2）解：如图1，
由对称性得∠EHD=90°，EH=HC，
∵AH=HC，
∴EH=AH，
∵∠DHC=90°，
∴E，H，C三点共线，
∴∠AEC= ∠AHC=30°，
由（1）可得BC=2CH=EC，
∴∠BEC= ∠ACE=30°，
∴∠AEC=∠BEC，即CE平分∠AEB；
（3）解：结论仍然正确，理由如下：
如图2，
由对称性可知：HC=HE，
又∵AH=HC，
∴HC=HA=HE，
∵A，C，E都在以H为圆心，HA为半径的圆上，
∴∠AEC= ∠AHC=30°，
同理可得，∠BEC= ∠BDC=30°，
∴∠AEC=∠BEC，
∴EC平分∠AEB．
【解析】【分析】（1）根据△HAC与△DCB都是等边三角形，可得∠ACH=∠DCB=60°，AC=HC，BC=CD，进而得出∠HDC=180°﹣∠DHC﹣∠HCD=30°，得出CD=2CH，即可得到BC=2AC，最后求得 的值；（2）先由对称性得∠EHD=90°，EH=HC，根据E，H，C三点共线，以及三角形外角性质，得出∠AEC= ∠AHC=30°，由（1）可得BC=2CH=EC，得出∠BEC= ∠ACE=30°，即可得出CE平分∠AEB；（3）由对称性可知：HC=HE，进而得出A，C，E都在以H为圆心，HA为半径的圆上，据此得到∠AEC= ∠AHC=30°，而同理可得，∠BEC= ∠BDC=30°，最后得出EC平分∠AEB．
50．为了响应国家“自主创业”的号召，某大学毕业生开办了一个装饰品商店，采购了一种今年刚上市的饰品进行了30天的试销，购进价格为20元/件，销售结束后，得知日销售量P（件）与销售时间x（天）之间的关系如图（1）所示，销售价格Q（元/件）与销售时间x（天）之间的关系如图（2）所示．
（1）根据图象直接写出：日销售量P（件）与销售时间x（天）之间的函数关系式为 ；销售单价Q（元/件）与销售时间x（天）的函数关系式为 ．（不要求写出自变量的取值范围）
（2）写出该商品的日销售利润W（元）和销售时间x（天）之间的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）
（3）请问在30天的试销售中，哪一天的日销售利润最大？并求出这个最大利润．
【答案】（1）P=-2x+80；Q= x+30
（2）解：根据题意，得W＝P（Q-20）＝（-2x＋80）[（ x＋30）-20]＝-x2＋20x＋800（1≤x≤30，且x为正整数），
即W＝-x2＋20x＋800
（3）解：∵W＝-x2＋20x＋800＝-（x-10）2＋900，
∴当x＝10时，W取最大值为900．
∴在30天的试销中，第10天的日销售利润最大，最大利润为900元．
【解析】【解答】解：⑴设P＝kx＋80，将（30，20）代入，
得20＝30k＋80，解得k＝-2，
所以日销售量P（件）与销售时间x（天）之间的函数关系式为P＝-2x＋80；
设Q＝mx＋30，将（30，45）代入，
得45＝30m＋30，解得m＝ ，
所以Q（元/件）与销售时间x（天）的函数关系式为Q＝ x＋30．
故答案为P＝-2x＋80，Q＝ x＋30；
【分析】（1）根据图像可得该函数为一次函数，设P＝kx＋80，将已知坐标代入即可得出k的值；设Q＝mx＋30，将已知的坐标代入，即可得m的值，求出函数。（2）根据销售利润=日销售量×（销售价-进价）列出函数关系式，解得x的值。（3）将第二问的函数关系式通过配方法进行化简，根据x的范围，根据二次函数的性质得到最大值。
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