反比例函数专项训练（含解析）-2025年中考数学一轮复习

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反比例函数专项训练-2025年中考数学一轮复习
一．选择题（共6小题）
1．（2024 沙坪坝区模拟）反比例函数的图象一定经过的点是（　　）
A．（1，6） B．（﹣1，﹣6） C．（2，﹣3） D．（3，2）
2．（2024 雨花区校级二模）若函数y＝的图象在第二、四象限内，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣2 B．m＜﹣2 C．m＞2 D．m＜2
3．（2024 莱芜区一模）若点A（1，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
4．（2024 赤峰一模）若反比例函数的图象经过点A（a，b），则下列结论中不正确的是（　　）
A．点A位于第二或四象限
B．图象一定经过（﹣a，﹣b）
C．在每个象限内，y随x的增大而减小
D．图象一定经过（﹣b，﹣a）
5．（2024 新邵县三模）已知反比例函数的图象如图所示，若点P的坐标为（2，3），则k的值可能为（　　）
A．3 B．6 C．7 D．8
6．（2024 广州模拟）已知点A与点B分别在反比例函数与的图象上，且OA⊥OB，则tan∠BAO的值为（　　）
A． B． C．2 D．4
二．填空题（共6小题）
7．（2024 封开县二模）已知闭合电路的电压为定值，电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，根据下表，则a＝　 　．
I/A 10 2.4 2 1.2
R/Ω a 50 60 100
8．（2024 茌平区一模）验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了 　 　度．
9．（2024 陈仓区一模）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线交反比例函数y＝图象于A，B两点，BC⊥y轴于点C，△ABC的面积为6，则k的值为 　 　．
10．（2024 商南县三模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数的图象上．若x1 x2＝﹣2，则y1 y2的值为 　 　．
11．（2024 重庆模拟）如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC＝BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是 　 　．
12．（2024 雁塔区校级模拟）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC﹣S△BAD为 　 　．
三．解答题（共7小题）
13．（2024 永城市校级二模）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点A，B（4a，1），点C（1，b）在反比例函数的图象上．
（1）求反比例函数的表达式及点C的坐标．
（2）求△AOC的面积．
14．（2024 涡阳县三模）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝﹣的图象相交于A（m，1），B（2，n）两点，与y轴交于点C．
（1）求一次函数的解析式；
（2）设D为线段AC上的一个动点（不包括A，C两点），过点D作DE∥y轴交反比例函数图象于点E，当△CDE的面积是4时，求点E的坐标．
15．（2024 聊城模拟）定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka+1，d＝﹣kb+1，其中k为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣3，7）是点（2，3）的“﹣2级变换点”．
（1）点（1，1）的“3级变换点”是点 　 　；
（2）设点Q（p，q）是点P（1，1）的“k级变换点”．
①M（p，m）为反比例函数的图象上，当p＞0时，判断m，q的大小关系：　 　；
②点A的坐标为（﹣3，2），若∠QAO＝45°，求点Q的坐标；
（3）若以（n，0）为圆心，1为半径的圆上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+5上，求n的取值范围．
16．（2024 河南模拟）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（﹣2，6），B（4，n）两点，与x轴交于点C，连接OA，OB．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象直接写出不等式组≤kx+b＜0的解集．
17．（2024 郾城区校级模拟）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣6，2），B（﹣3，n）两点，与y轴交于点C．
（1）求k，b，m及n的值．
（2）将直线AB沿y轴向上平移t（t＞0）个单位长度后与反比例函数图象交于点D，E，与y轴交于点F．若图中阴影部分（即△ADC）的面积是9，求t的值．
18．（2024 通辽二模）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段（即：当10≤x≤24时，大棚内的温度y（℃）是时间x（h）的反比例函数），已知点A坐标为（0，10）．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）当0≤x≤5时，求大棚内的温度y与时间x的函数关系式；
（2）求恒温系统设定的恒定温度；
（3）若大橱内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害，问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？
19．（2024 镇平县模拟）如图，阴影部分是小壮同学利用几何画板制作的挂件图案的一部分．他先过点A（1，1）和两B（x，0）画直线y＝﹣x+b，又把所画直线沿x轴向右平移2个单位长度得到直线A′B′，交反比例函数y＝（k≠0）的图象于点A′，C，点A′，B′分别是点A和点B的对应点，AC∥y轴，A′D＝CD．
（1）求b的值和反比例函数的解析式；
（2）已知DA，A'，A′D围成的图形是扇形，求四边形ABB′C中阴影部分的面积．
反比例函数专项训练-2025年中考数学一轮复习
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．（2024 沙坪坝区模拟）反比例函数的图象一定经过的点是（　　）
A．（1，6） B．（﹣1，﹣6） C．（2，﹣3） D．（3，2）
【解答】解：A、当x＝1时，y＝﹣6，此函数图象不经过该点，故本选项不符合题意；
B、当x＝﹣1时，y＝6，此函数图象不经过该点，故本选项不符合题意；
C、当x＝2时，y＝﹣3，此函数图象经过该点，故本选项符合题意；
D、当x＝3时，y＝﹣2，此函数图象不经过该点，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．（2024 雨花区校级二模）若函数y＝的图象在第二、四象限内，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣2 B．m＜﹣2 C．m＞2 D．m＜2
【解答】解：∵函数y＝的图象在第二、四象限，
∴m+2＜0，
解得m＜﹣2．
故选：B．
3．（2024 莱芜区一模）若点A（1，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
【解答】解：∵反比例函数中，k＝﹣3＜0，
∴函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．
又∵﹣2＜0，
∴点B（﹣2，y2）位于第二象限，
∴y2＞0；
又∵0＜1＜3，
∴点A（2，y1），点C（3，y3）位于第四象限，
∴y1＜y3＜0；
∴y1＜y3＜y2，
故选：C．
4．（2024 赤峰一模）若反比例函数的图象经过点A（a，b），则下列结论中不正确的是（　　）
A．点A位于第二或四象限
B．图象一定经过（﹣a，﹣b）
C．在每个象限内，y随x的增大而减小
D．图象一定经过（﹣b，﹣a）
【解答】解：∵反比例函数的图象经过点A（a，b），
∴ab＝（﹣a） （﹣b）＝6，故选项B、D正确，不符合题意；
∵k＝6＞0，
∴图象位于第一、三象限，故选项A不正确，符合题意；
在每个象限内，y随x的增大而减小，故选项C正确，不符合题意．
故选：A．
5．（2024 新邵县三模）已知反比例函数的图象如图所示，若点P的坐标为（2，3），则k的值可能为（　　）
A．3 B．6 C．7 D．8
【解答】解：过P作PH⊥y轴于H，交双曲线于A，
∴点A的纵坐标为3，横坐标为a，
∴A（a，3），
∴k＝3a＜3×2＝6，
故选：A．
6．（2024 广州模拟）已知点A与点B分别在反比例函数与的图象上，且OA⊥OB，则tan∠BAO的值为（　　）
A． B． C．2 D．4
【解答】解：过点A作AC⊥y轴，过点B作BD⊥y轴，则∠ACO＝∠BDO＝90°，
∴∠OAC+∠COA＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∴∠OAC＝BOD，
∵∠ACO＝∠BDO＝90°，
∴△ACO∽△ODB，
∴，
∵点A与点B分别在反比例函数与的图象上，
∴，S△BOD＝2，
∴，
∴，
∵∠AOB＝90°，
∴；
故选：C．
二．填空题（共6小题）
7．（2024 封开县二模）已知闭合电路的电压为定值，电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，根据下表，则a＝　12　．
I/A 10 2.4 2 1.2
R/Ω a 50 60 100
【解答】解：设电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）的函数解析式为I＝，
∵当I＝2时，R＝60，
∴2＝，
解得k＝120，
∴I＝，
当I＝10时，10＝，
解得R＝12，
故答案为：12．
8．（2024 茌平区一模）验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了 　200　度．
【解答】解：设y＝（k≠0），
∵（0.2，500）在图象上，
∴k＝500×0.2＝100，
∴函数解析式为：y＝，
当x＝0.25时，y＝＝400，
当x＝0.5时，y＝＝200，
∴度数减少了400﹣200＝200（度），
故答案为：200．
9．（2024 陈仓区一模）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线交反比例函数y＝图象于A，B两点，BC⊥y轴于点C，△ABC的面积为6，则k的值为 　﹣6　．
【解答】解：由对称性可知，OA＝OB，
∴S△AOC＝S△BOC＝S△ABC，
∵BC⊥y轴，△ABC的面积为6，
∴S△BOC＝S△ABC＝＝|k|，
又∵k＜0，
∴k＝﹣6，
故答案为：﹣6．
10．（2024 商南县三模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数的图象上．若x1 x2＝﹣2，则y1 y2的值为 　﹣8　．
【解答】解：∵点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数的图象上，
∴x1 y1＝x2 y2＝4，
∴y1＝，y2＝，
∴y1y2＝＝＝﹣8．
故答案为：﹣8．
11．（2024 重庆模拟）如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC＝BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是 　3　．
【解答】解：分别过A、B两点作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E，
∵AC＝CB，∴OD＝OE，
设A（﹣a，），则B（a，），
故S△AOB＝S梯形ADBE﹣S△AOD﹣S△BOE
＝（+）×2a﹣a×﹣a×
＝3，
故答案为：3．
12．（2024 雁塔区校级模拟）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC﹣S△BAD为 　5　．
【解答】解：设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，
则B点坐标为（a+b，a﹣b），
∵点B在反比例函数在第一象限的图象上，
∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2＝10，
∴，
故答案为：5．
三．解答题（共7小题）
13．（2024 永城市校级二模）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点A，B（4a，1），点C（1，b）在反比例函数的图象上．
（1）求反比例函数的表达式及点C的坐标．
（2）求△AOC的面积．
【解答】解：（1）将B（4a，1）代入得，，
解得：a＝1，
∴B（4，1），
将B（4，1）代入得，，
解得：k＝4，
∴反比例函数的表达式为．
将C（1，b）代入得，，
解得：b＝4，
∴C（1，4）．
（2）如图，记AC与x轴的交点为D，
由题意可知，A、B关于O成中心对称，
∴A（﹣4，﹣1），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
将A（﹣4，﹣1），C（1，4）代入得，，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
当y＝0时，0＝x+3，
解得：x＝﹣3，
∴D（﹣3，0），
∴，
∴△AOC的面积为．
14．（2024 涡阳县三模）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝﹣的图象相交于A（m，1），B（2，n）两点，与y轴交于点C．
（1）求一次函数的解析式；
（2）设D为线段AC上的一个动点（不包括A，C两点），过点D作DE∥y轴交反比例函数图象于点E，当△CDE的面积是4时，求点E的坐标．
【解答】解：（1）把A（m，1），B（2，n）代入中，得：
A（﹣6，1），B（2，﹣3）．
又∵A（﹣6，1），B（2，﹣3）在一次函数y＝ax+b的图象上，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为．
（2）由（1）可知C（0，﹣2），设点D的坐标为，则．
∴，
∴．
解得m＝﹣2，
∴E（﹣2，3）．
15．（2024 聊城模拟）定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka+1，d＝﹣kb+1，其中k为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣3，7）是点（2，3）的“﹣2级变换点”．
（1）点（1，1）的“3级变换点”是点 　（4，﹣2）　；
（2）设点Q（p，q）是点P（1，1）的“k级变换点”．
①M（p，m）为反比例函数的图象上，当p＞0时，判断m，q的大小关系：　m＞q　；
②点A的坐标为（﹣3，2），若∠QAO＝45°，求点Q的坐标；
（3）若以（n，0）为圆心，1为半径的圆上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+5上，求n的取值范围．
【解答】解：（1）∵3×1+1＝4，1×（﹣3）+1＝﹣2，
∴点（1，1）的“3级变换点”是点（4，﹣2），
故答案为：（4，﹣2）；
（2）①∵点Q（p，q）是点P（1，1）的“k级变换点，
∴p＝k+1，q＝﹣k+1，
∵M（p，m），
∴M（k+1，m），
∵M（p，m）为反比例函数的图象上，
∴（k+1）m＝4，
∴m＝，
∴m﹣q＝﹣（﹣k+1）＝，
∵p＞0，
∴k+1＞0，
∴＞0，
∴m＞q，
故答案为：m＞q；
②由题意得，所以点Q在直线y＝﹣x+2上．
设点A绕坐标原点O按顺时针方向旋转90°至点M，连结AM，交直线y＝﹣x+2于点Q，作AH⊥x轴于H，MK⊥x轴于K．
在△AHO和△OKM中，
，
∴△AHO≌△OKM（AAS），
∴M（2，3），
∴lAM：，
联立y＝﹣x+2，得Q（，）；
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）是圆上两个点，
则它们的一级变换点A′（x1+1，﹣y1+1），B′（x2+1，﹣y2+1），
∵该两点在y＝﹣x+5上，
∴﹣y1+1＝﹣x1﹣1+5，﹣y2+1＝﹣x2﹣1+5，
即A，B两点在y＝x﹣3上，
由直线与圆的位置关系可得，当时，圆与直线y＝x﹣3相切，
∴当时，圆与直线y＝x﹣3有2个公共点，
∴．
16．（2024 河南模拟）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（﹣2，6），B（4，n）两点，与x轴交于点C，连接OA，OB．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象直接写出不等式组≤kx+b＜0的解集．
【解答】解：（1）∵点A（﹣2，6）在反比例函数 的图象上，
∴m＝﹣2×6＝﹣12．
∴反比例函数的表达式为 ．
∵点B（4，n）在反比例函数 的图象上，．
∴点B（4，﹣3），
把点A（﹣2，6），B（4，﹣3）的坐标分别代入y＝kx+b，得，
，解得，
∴一次函数的表达式为 ．
（2）在 中，令y＝0，得x＝2，
∴C（2，0），
∴OC＝2．
∴．
即△AOB的面积是9．
（3）根据函数图象不等式解集为：2＜x≤4．
17．（2024 郾城区校级模拟）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣6，2），B（﹣3，n）两点，与y轴交于点C．
（1）求k，b，m及n的值．
（2）将直线AB沿y轴向上平移t（t＞0）个单位长度后与反比例函数图象交于点D，E，与y轴交于点F．若图中阴影部分（即△ADC）的面积是9，求t的值．
【解答】解：（1）把A（﹣6，2）代入反比例函数得，m＝﹣6×2＝﹣12，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣，
把B（﹣3，n）代入y＝﹣得，n＝＝4，
∴B（﹣3，4），
把A（﹣6，2），B（﹣3，4）代入y＝kx+b得：，
解得，
∴k＝，b＝6，m＝﹣12，n＝4；
（2）由（1）知yAB＝x+6，
令x＝0，则y＝6，
∴C（0，6），
∴OC＝6，
∵将直线AB沿y轴向上平移t（t＞0）个单位长度后直线DE，
∴DE∥AB，且CF＝t，
连接AF，
∵AB∥DE，
∴S△ACD＝S△ACF，
∴S△ACF＝9，
过A作AH⊥y轴于H，
∴AH＝6，
∴S△ACF＝CF AH＝9，
∴CF＝3，
即t＝3．
18．（2024 通辽二模）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段（即：当10≤x≤24时，大棚内的温度y（℃）是时间x（h）的反比例函数），已知点A坐标为（0，10）．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）当0≤x≤5时，求大棚内的温度y与时间x的函数关系式；
（2）求恒温系统设定的恒定温度；
（3）若大橱内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害，问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？
【解答】解：（1）设线段AB解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵线段AB过点（0，10），（2，14），代入得：
，
解得，
∴线段AB的解析式为：y＝2x+10（0≤x≤5）；
（2）∵AB解析式为：y＝2x+10，
当x＝5时，y＝2x+10＝20，
∴恒温系统设定恒温为20℃；
（3）设双曲线CD解析式为：，
∵C（10，20），
∴k2＝200，
∴双曲线CD解析式为：，
把y＝10代入中，解得：x＝20，
∴20﹣10＝10，
∴恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．
19．（2024 镇平县模拟）如图，阴影部分是小壮同学利用几何画板制作的挂件图案的一部分．他先过点A（1，1）和两B（x，0）画直线y＝﹣x+b，又把所画直线沿x轴向右平移2个单位长度得到直线A′B′，交反比例函数y＝（k≠0）的图象于点A′，C，点A′，B′分别是点A和点B的对应点，AC∥y轴，A′D＝CD．
（1）求b的值和反比例函数的解析式；
（2）已知DA，A'，A′D围成的图形是扇形，求四边形ABB′C中阴影部分的面积．
【解答】解：（1）∵直线 y＝﹣x+b 过点A（1，1），
∴﹣1+b＝1，解得b＝2．
∴直线AB的解析式为 y＝﹣x+2．
∴点B的坐标为（2，0）．
∵点A'，B'分别是点A（1，1），B（2，0）的对应点，
∴点A'的坐标为（3，1），点B'的坐标为（4，0）．
∴直线A'B'的解析式为y＝﹣x+4．
∵点A'（3，1）在反比例函数 的图象上，
∴，即k＝3．
∴反比例函数的解析式为 ；
（2）解方程组，得或，
∴点C的坐标为（1，3）．
∵AC∥y轴，AA′∥x轴，
∴∠CAA'＝90°．
由点A，A'，C的坐标，可知AC＝AA'＝2，
∴A′C＝＝＝2，
在等腰Rt△CAA′中，A′D＝CD，
∴AD＝＝A′D＝，∠ADA'＝90°，
∵AA′∥x轴，AB//A'B'，
∴四边形ABB'A'是平行四边形．
∴S阴影＝S扇形DAA′+S平行四边形ABB′A′′﹣2（S扇形ADA′﹣S△ADA′）＝S平行四边形ABB′A′′+2S△ADA′﹣S扇形ADA′＝2×1+2×．
∴四边形 ABB'C中阴影部分的面积为．
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