二次函数专项训练（含解析）-2025年中考数学一轮复习

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二次函数专项训练-2025年中考数学一轮复习
一．选择题（共6小题）
1．（2024 吉林一模）某数学兴趣小组借助数学软件探究函数y＝ax2（x﹣b）的图象，输入了一组a，b的值，得到了它的函数图象如图所示，借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值满足（　　）
A．a＜0，b＜0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＞0，b＞0
2．（2024 中山市校级三模）把抛物线y＝﹣x2+1向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣（x+3）2+1 B．y＝﹣（x+1）2+3
C．y＝﹣（x﹣1）2+4 D．y＝﹣（x+1）2+4
3．（2024 西安校级模拟）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b，（a＜0）的图象上三个点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），C（1，y3），若x1＜1＜x2，x1+x2＜2，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y2＜y3
4．（2024 西湖区一模）在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b是常数）的图象经过点P（﹣2，0），且与y轴正半轴相交，则二次函数y＝ax2+bx+1的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024 吉安一模）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降2.5米时，水面的宽度为米．（　　）
A．3 B．6 C．8 D．9
6．（2024 金沙县一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：
①2a+b＝0；②abc＜0；③9a+3b+c＞0；④3a+c＜0；⑤若m≠1，则m（am+b）﹣a＜b．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共8小题）
7．（2024 南岗区校级二模）抛物线y＝（x﹣1）2的顶点坐标是　 　．
8．（2024 柳州一模）已知二次函数y＝x2﹣4x+2，当﹣1≤x≤3时，y的取值范围内是 　 　．
9．（2024 凉州区一模）已知P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣3x+1上，那么x1+x2＝ 　 　．
10．（2024 南通一模）某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是S＝﹣0.25t2+10t，无人机着陆后滑行 　 　秒才能停下来．
11．（2024 化德县校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交y轴于点（0，5），对称轴为直线x＝﹣2，若y≥5，则x的取值范围是 　 　．
12．（2024 淮北三模）抛物线y＝ax2﹣4ax经过原点，且与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐标为（2，﹣4）．
（1）a的值为 　 　；
（2）若点P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作PQ⊥x轴，且点Q位于一次函数y＝x﹣4的图象上．当t＜4时，PQ的长度随t的增大而增大，则t的取值范围是 　 　．
13．（2024 历下区校级模拟）如图，抛物线C1的解析式为y＝﹣x2+4，将抛物线绕点O顺时针旋转45°得到图形G，图形G分别与y轴、x轴正半轴交于点A、B，连接AB，则△OAB的面积为 　 　．
14．（2024 瓦房店市模拟）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC，点N在y轴负半轴上，点A绕点N顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点M处，且∠ANM+∠ACM＝180°，则点M的坐标是 　 　．
三．解答题（共6小题）
15．（2024 房山区一模）在平面直角坐标系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣2上任意两点．
（1）当a＝1时，求抛物线与y轴的交点坐标及顶点坐标；
（2）若对于，，都有y1＞y2，求a的取值范围．
16．（2024 武威一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）交x轴于A，C两点，交y轴于点B，5OA＝OB＝OC．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）已知抛物线的对称轴上存在一点M，使得△ABM的周长最小，请求出点M的坐标；
（3）连接BC，点P是线段BC上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求当四边形OBQP为平行四边形时点P的坐标．
17．（2024 荆州二模）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点P距离地面高度为8米，宽度OM为16米．现以点O为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．
（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使点A，D在抛物线上．点B，C在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆AB，AD，DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．
18．（2024 息烽县一模）小明和小亮参加了一次篮球比赛，篮球传出后的运动路线为如图所示的抛物线，以小明站立的位置为原点O建立平面直角坐标系，篮球在O点正上方1.8m的点P处出手，篮球的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式．
（1）求c的值；
（2）求篮球在运动过程中离地面的最大高度；
（3）小明传球给小亮，小亮手举过头顶在对方球员后方接球，已知小亮跳起后，手离地面的最大高度为BC＝2.8m，则球在下落过程中，若小亮要想顺利接住球，求他至少距离小明多远的距离．
19．（2024 怀远县一模）如图1，已知直线y＝﹣x+5与坐标轴相交于A、B，点C坐标是（﹣1，0），抛物线经过A、B、C三点．点P是抛物线上的一点，过点P作y轴的平行线，与直线AB交于点D，与x轴相交于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在第一象限时，连接CP交OA于点E，连接EF，如图2所示．
①求AE+DF的值；
②设四边形AEFB的面积为S，则点P在运动过程中是否存在面积S的最大值，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（2024 巴东县模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（2，0），B（﹣2，0）两点，与y轴相交于点C，M为第四象限的抛物线上一动点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接BC，CM和AM，当四边形ABCM的面积为9时，求点M的坐标；
（3）请完成以下探究．
【动手操作】作直线OM，交抛物线于另一点N，过点C作y轴的垂线，分别交直线AM，直线BN于点D，E．
【猜想证明】随着点M的运动，线段DE的长是否为定值？若是，请直接写出该定值并证明；若不是，请说明理由．
二次函数专项训练-2025年中考数学一轮复习
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．（2024 吉林一模）某数学兴趣小组借助数学软件探究函数y＝ax2（x﹣b）的图象，输入了一组a，b的值，得到了它的函数图象如图所示，借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值满足（　　）
A．a＜0，b＜0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＞0，b＞0
【解答】解：令y＝ax2（x﹣b）＝0，
解得，x＝0或x＝b，
由图象可知，x＝b＞0，
当x＜0时，x﹣b＜0，y＝ax2（x﹣b）＜0，
∴a＞0，
故选：D．
2．（2024 中山市校级三模）把抛物线y＝﹣x2+1向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣（x+3）2+1 B．y＝﹣（x+1）2+3
C．y＝﹣（x﹣1）2+4 D．y＝﹣（x+1）2+4
【解答】解：抛物线y＝﹣x2+1向左平移1个单位，得：y＝﹣（x+1）2+1；
然后向上平移3个单位，得：y＝﹣（x+1）2+1+3．
即y＝﹣（x+1）2+4，
故选：D．
3．（2024 西安校级模拟）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b，（a＜0）的图象上三个点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），C（1，y3），若x1＜1＜x2，x1+x2＜2，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y2＜y3
【解答】解：抛物线y＝ax2﹣2ax+b的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵a＜0，
∴开口向下，
∴x＝1时有最大值y3，
∵x1＜1＜x2，x1+x2＜2，
∴A、B在x＝1的两侧，且A离着对称轴较远，
∴y2＞y1，
∴y3＞y2＞y1．
故选：D．
4．（2024 西湖区一模）在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b是常数）的图象经过点P（﹣2，0），且与y轴正半轴相交，则二次函数y＝ax2+bx+1的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b是常数）的图象经过点P（﹣2，0），且与y轴正半轴相交，
∴a＞0，﹣2a+b＝0，
∴﹣＝﹣1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
故选：A．
5．（2024 吉安一模）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降2.5米时，水面的宽度为米．（　　）
A．3 B．6 C．8 D．9
【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y轴通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A、B两点，OA和OB可求出为AB的一半为2米，抛物线的顶点C坐标为（0，2），
，
设顶点式为y＝ax2+2，代入点A的坐标（﹣2，0），
得出4a+2＝0，
解得：a＝﹣0.5，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣0.5x2+2，
当水面下降2.5米时，即当y＝﹣2.5时，﹣0.5x2+2＝﹣2.5，
解得：x＝±3，
∴水面的宽度为3﹣（﹣3）＝6（米），
故选：B．
6．（2024 金沙县一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：
①2a+b＝0；②abc＜0；③9a+3b+c＞0；④3a+c＜0；⑤若m≠1，则m（am+b）﹣a＜b．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，①正确，符合题意．
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵b＝﹣2a，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，②正确，符合题意．
由图象可得x＝﹣1时，y＜0，根据抛物线对称性可得x＝3时，y＜0，
∴9a+3b+c＜0，③错误，不符合题意．
∵x＝﹣1，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∵b＝﹣2a，
∴3a+c＜0，④正确，符合题意．
∵x＝1时，y取最大值，
∴am2+bm+c≤a+b+c，
∴m（am+b）﹣a＜b（m≠1），⑤正确，符合题意．
故选：D．
二．填空题（共8小题）
7．（2024 南岗区校级二模）抛物线y＝（x﹣1）2的顶点坐标是　（1，0）　．
【解答】解：
∵y＝（x﹣1）2，
∴抛物线顶点坐标为（1，0），
故答案为：（1，0）．
8．（2024 柳州一模）已知二次函数y＝x2﹣4x+2，当﹣1≤x≤3时，y的取值范围内是 　﹣2≤y≤7　．
【解答】解：二次函数y＝x2﹣4x+2化为顶点式为y＝（x﹣2）2﹣2，
∵a＝1＞0，
∴二次函数有最小值为y最小值＝﹣2，此时x＝2，
当x＝﹣1时，y＝（﹣1﹣2）2﹣2＝7，
当x＝3时，y＝（3﹣2）2﹣2＝﹣1，
∴该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，y的取值范围内是﹣2≤y≤7，
故答案为：﹣2≤y≤7．
9．（2024 凉州区一模）已知P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣3x+1上，那么x1+x2＝ 　3　．
【解答】解：∵P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣3x+1上，
∴P、Q关于对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣，
∴x1+x2＝3，
故答案为：3．
10．（2024 南通一模）某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是S＝﹣0.25t2+10t，无人机着陆后滑行 　20　秒才能停下来．
【解答】解：由题意得，
S＝﹣0.25t2+10t
＝﹣0.25（t2﹣40t+400﹣400）
＝﹣0.25（t﹣20）2+100，
∵﹣0.25＜0，
∴t＝20时，飞机滑行的距离最大，
即当t＝20秒时，飞机才能停下来．
故答案为：20．
11．（2024 化德县校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交y轴于点（0，5），对称轴为直线x＝﹣2，若y≥5，则x的取值范围是 　﹣4≤x≤0　．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c交y轴于点（0，5），对称轴为直线x＝﹣2，
∴图象过点（﹣4，5），
∵图象开口向下，
∴当y≥5时，x的取值范围是﹣4≤x≤0．
故答案为：﹣4≤x≤0．
12．（2024 淮北三模）抛物线y＝ax2﹣4ax经过原点，且与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐标为（2，﹣4）．
（1）a的值为 　1　；
（2）若点P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作PQ⊥x轴，且点Q位于一次函数y＝x﹣4的图象上．当t＜4时，PQ的长度随t的增大而增大，则t的取值范围是 　　．
【解答】解：（1）由题意，将（2，﹣4）代入y＝ax2﹣4ax中，得4a﹣8a＝﹣4，
解得a＝1，
故答案为：1；
（2）由（1）得抛物线的表达式为y＝x2﹣4x，
联立方程组，解得或，
∴抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x﹣4的交点坐标为（1，﹣3），（4，0），
设P（t，t2﹣4t），Q（t，t﹣4），
当t≤1时，PQ＝t2﹣4t﹣（t﹣4）＝t2﹣5t+4＝，
∵1＞0，
∴当t≤1时，PQ的长度随t的增大而减小，不符合题意；
当1＜t＜4时，PQ＝t﹣4﹣（t2﹣4t）＝﹣t2+5t﹣4＝，
∵﹣1＜0，
∴当时，PQ的长度随t的增大而增大，当时，PQ的长度随t的增大而减小，
故答案为：．
13．（2024 历下区校级模拟）如图，抛物线C1的解析式为y＝﹣x2+4，将抛物线绕点O顺时针旋转45°得到图形G，图形G分别与y轴、x轴正半轴交于点A、B，连接AB，则△OAB的面积为 　　．
【解答】解：由题意可知，将抛物线绕点O顺时针旋转45°得到图形G的对称轴为直线y＝x，
设直线y＝x与抛物线y＝﹣x2+4在第一象限的交点为M，
∴把OM绕点O顺时针旋转45°得到OB，如图所示：
联立方程组得：，
解得或，
∴点M坐标为（，），
∴OM＝×＝，
即OB＝，
∵对称性，
∴OA＝OB，
∴△OAB的面积为OB2＝×（）2＝．
故答案为：．
14．（2024 瓦房店市模拟）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC，点N在y轴负半轴上，点A绕点N顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点M处，且∠ANM+∠ACM＝180°，则点M的坐标是 　　．
【解答】解：如图，过点N作 NE⊥CA的延长线于点E，过点N作 NF⊥CM 于点F，
∴∠CEN＝∠NFC＝90°，∠CEN+∠NFC＝180°，
∴∠ENF+∠ACM＝180°．
∵∠ANM+∠ACM＝180°，
∴∠ANM＝∠ENF，
∴∠ANE＝∠MNF．
∵∠AEN＝∠MFN＝90°，AN＝MN，
∴△AEN≌△MFN，
∴NE＝NF，
∴∠ACO＝∠MCO．
设CM 与x轴交于点D．
∵∠AOC＝∠DOC，CO＝CO，
∴△ACO≌△DCO，
∴AO＝DO．
∵抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，
∴点A的坐标为 （﹣3，0），点C的坐标为（0，4），
∴AO＝DO＝3．
∴点D的坐标为（3，0），
∴直线CM的解析式为 ．
联立 解得 （舍 去）或 ，
∴点M的坐标为 ．
故答案为：．
三．解答题（共6小题）
15．（2024 房山区一模）在平面直角坐标系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣2上任意两点．
（1）当a＝1时，求抛物线与y轴的交点坐标及顶点坐标；
（2）若对于，，都有y1＞y2，求a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝1时，抛物线为y＝x2﹣2x﹣1，
令x＝0，则y＝﹣1，
∴抛物线与y轴的交点为（0，﹣1），
∵y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）；
（2）∵y＝x2﹣2ax+a2﹣2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝a，
∴A（x1，y1），B（x2，y2）离抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣2的对称轴距离较大，函数值越大．
∴当a≥＝时，点A离对称轴远，都有y1＞y2．
∴a的取值范围为a．
16．（2024 武威一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）交x轴于A，C两点，交y轴于点B，5OA＝OB＝OC．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）已知抛物线的对称轴上存在一点M，使得△ABM的周长最小，请求出点M的坐标；
（3）连接BC，点P是线段BC上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求当四边形OBQP为平行四边形时点P的坐标．
【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，c＝﹣5＝yB，
则OB＝5＝OA＝OC，
则点A、C、B的坐标分别为：（1，0）、（﹣5，0）、（0，﹣5），
设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+5）＝a（x2+4x﹣5）＝ax2+bx﹣5，
则a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2+4x﹣5；
（2）点A关于抛物线对称轴得对称点为点C，则BC交抛物线的对称轴于点M，此时△ABM的周长最小，理由：
△ABM的周长＝AB+AM+BM＝AB+CM+BM＝AB+BC为最小，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x﹣5，
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣2，
当x＝﹣2时，y＝﹣x﹣5＝﹣3，
则点M（﹣2，﹣3）；
（3）设点P（x，﹣x﹣5），则点Q（x，x2+4x﹣5），
则PQ＝（﹣x﹣5）﹣（x2+4x﹣5）＝﹣x2﹣5x，
∵PQ∥OB，
故当PQ＝OB时，满足题设条件，
即PQ＝﹣x2﹣5x＝OB＝5，
解得：x＝，
则点P的坐标为：（，）或（，）．
17．（2024 荆州二模）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点P距离地面高度为8米，宽度OM为16米．现以点O为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．
（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使点A，D在抛物线上．点B，C在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆AB，AD，DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．
【解答】解：（1）依题意：抛物线形的公路隧道，其高度为8米，宽度OM为16米，现在O点为原点，
∴点M（16，0），顶点P（8，8），
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx．
把点M（16，0），点P（8，8）代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∵OM＝16，M（16，0），
∴自变量x的取值范围为：0≤x≤16；
（2）当时，，
∴能同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆．
（3）设OB＝x，则BC＝16﹣2x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝16﹣2x，
设l＝AB+AD+DC，则，
∴，
∵，
∴当时，l有最大值为．
答：三根木杆AB，AD，DC的长度和的最大值是20米．
18．（2024 息烽县一模）小明和小亮参加了一次篮球比赛，篮球传出后的运动路线为如图所示的抛物线，以小明站立的位置为原点O建立平面直角坐标系，篮球在O点正上方1.8m的点P处出手，篮球的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式．
（1）求c的值；
（2）求篮球在运动过程中离地面的最大高度；
（3）小明传球给小亮，小亮手举过头顶在对方球员后方接球，已知小亮跳起后，手离地面的最大高度为BC＝2.8m，则球在下落过程中，若小亮要想顺利接住球，求他至少距离小明多远的距离．
【解答】解：（1）由题意得点P的坐标为（0，1.8），
将P（0，1.8）代入得：c＝1.8，
∴c＝1.8；
（2）由（1）知c＝1.8，
∴，
∵﹣＜0，
∴当x＝4时，y有最大值，最大值为3.8，
∴篮球在运动过程中离地面的最大高度为3.8m；
（3）由 ，
令y＝2.8，则﹣x2+x+1.8＝2.8，
解得，，
∵且在下落过程中接球，
∴，
所以在球下落过程中小亮离小明的距离至少 米才能顺利接住球．
19．（2024 怀远县一模）如图1，已知直线y＝﹣x+5与坐标轴相交于A、B，点C坐标是（﹣1，0），抛物线经过A、B、C三点．点P是抛物线上的一点，过点P作y轴的平行线，与直线AB交于点D，与x轴相交于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在第一象限时，连接CP交OA于点E，连接EF，如图2所示．
①求AE+DF的值；
②设四边形AEFB的面积为S，则点P在运动过程中是否存在面积S的最大值，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝5，
∴B（5，0），
当y＝0时，x＝5，
∴A（0，5），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣5）（x+1），
将点A（0，5）代入，可得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）①设P（t，﹣t2+4t+5），则D（t，﹣t+5），F（t，0），
设直线CP的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线CP的解析式为y＝（5﹣t）x+5﹣t，
∴E（0，5﹣t），
∴AE＝t，DF＝5﹣t，
∴AE+DF＝5；
②不存在，理由如下：
S＝S△AOB﹣S△EOF＝×5×5﹣t（5﹣t）＝（t﹣）2+，
∵P点在第一象限，
∴0＜t＜5，
∴当t＝时，S有最小值，
当点P在对称轴左侧时，S随m的减小而增大，且无限趋近m＝0时S的值，无法等于；
当点P在对称轴右侧时，S随m的增大而增大，且无限趋近m＝5时S的值，无法等于；
∴当点P在第一象限时，不存在S的最大值．
20．（2024 巴东县模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（2，0），B（﹣2，0）两点，与y轴相交于点C，M为第四象限的抛物线上一动点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接BC，CM和AM，当四边形ABCM的面积为9时，求点M的坐标；
（3）请完成以下探究．
【动手操作】作直线OM，交抛物线于另一点N，过点C作y轴的垂线，分别交直线AM，直线BN于点D，E．
【猜想证明】随着点M的运动，线段DE的长是否为定值？若是，请直接写出该定值并证明；若不是，请说明理由．
【解答】（1）解：由题意得：y＝（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，
即抛物线的表达式为：y＝x2﹣4；
（2）解：如图1，连接AC，过点M作MH∥y轴交AC于点H，
由点C（0，﹣4）、A的坐标得，直线AC的表达式为：y＝2x﹣4，
设点M（m，m2﹣4），则点H（m，2m﹣4），
则四边形ABCM的面积＝S△ABC+S△ACM＝AB×CO+AO×MH＝4×4+×2×（2m﹣4﹣m2+4）＝9，
解得：m＝1，
即点M（1，﹣3）；
（3）证明：依据题意作图如图2，
设点M、N的坐标分别为：（m，m2﹣4），（n，n2﹣4），
由点M、N的坐标得，直线MN的表达式为：y＝（m+n）（x﹣m）+m2﹣4，
将（0，0）代入上式得：0＝（m+n）（0﹣m）+m2﹣4，
整理得：mn＝﹣4；
同理可得，直线AM的表达式为：y＝（m+2）（x﹣2），
当y＝﹣4时，就﹣4＝（m+2）（x﹣2），
解得：xD＝﹣，
同理可得：xE＝﹣2﹣，
∵mn＝﹣4，
则DE＝xD﹣xE＝﹣﹣（﹣2﹣）＝4﹣4（）＝4﹣4×＝2．
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