2024-2025学年北师大版九年级上册数学期末试题重组练习（含解析）

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2024-2025学年北师大版九年级上册数学期末试题重组练习
一．选择题（共8小题）
1．（2023秋 晋中期末）用配方法解方程x2﹣4x+1＝0配方后的方程是（　　）
A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x﹣2）2＝5 D．（x+2）2＝5
2．（2023秋 平定县期末）一个不透明的盒子里有红、黄、白小球共80个，它们除颜色外均相同，小文将这些小球摇匀后，随机摸出一个记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，多次实验后他发现摸到红色、黄色小球的频率依次为30%和40%，由此可估计盒中大约有白球（　　）
A．20 B．24 C．32 D．56
3．（2023秋 辽阳期末）国家级非物质文化遗产之一的东北大鼓是中国北方曲种，流行于辽宁、吉林、黑龙江3省，一度盛行于沈阳，故又称奉天大鼓、奉派大鼓、奉调大鼓、辽宁大鼓．如图是表演情景及乐器之一鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023秋 新昌县期末）若两个相似图形的相似比是3：7，则它们的面积比是（　　）
A．3：7 B．9：49 C．7：3 D．9：40
5．（2023秋 五莲县期末）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且DE∥BC，BE、CD相交于点O，若S△DOE：S△EOC＝1：3，S△ADE＝1，则S四边形DBCE＝（　　）
A．8 B．9 C．12 D．15
6．（2023秋 费县期末）如图，△ABC中，AB＝4厘米，AC＝8厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为（　　）
A．秒 B．秒
C．秒或2秒 D．秒或2秒
7．（2023秋 曹县期末）如图，四边形ABCD是菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE，AB＝6，AC＝4，则AE的长为（　　）
A．6 B．9 C．10 D．12
8．（2023秋 曹县期末）如图，Rt△ABC的顶点A，C的坐标分别为（0，3），（3，0），∠ACB＝90°，AC＝2BC，反比例的图象经过点B，则k的值为（　　）
A． B． C． D．9
二．填空题（共8小题）
9．（2023秋 咸阳期末）烛光照射下人的影子属于 　 　投影．（填“平行”或“中心”）
10．（2023秋 陇县期末）一元二次方程x2﹣5x＝2根的判别式的值是 　 　．
11．（2023秋 文昌校级期末）足球世界杯预选赛实行主客场的循环赛，即每两支球队都要在自己的主场和客场踢一场．共举行比赛210场，则参加比赛的球队共有 　 　支．
12．（2023秋 临沂期末）如图，在△ABC中，点D、E为边AB的三等分点，点F、G在边BC上，AC∥DG∥EF，点H为AF与DG的交点．若AC＝9，则DH的长为 　 　．
13．（2023秋 武功县期末）在一个不透明的袋子里有红球，黄球共20个，这些球除颜色外都相同，小明从袋子里随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸，通过多次试验发现，摸到红球的频率稳定在0.3，则袋子中黄球的个数可能是 　 　．
14．（2023秋 聊城期末）某校对教室采用药薰法进行灭蚊．根据药品使用说明，药物燃烧时，室内每立方米空气中含药量y（mg/m3）与药物点燃后的时间x（min）成正比例，药物燃尽后，y与x成反比例．已知药物点燃后8min燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为6mg．根据灭蚊药品使用说明，当每立方米空气中含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能有效杀灭室内的蚊虫，那么此次灭蚊的有效时间为 　 　分钟．
15．（2023秋 岚山区期末）如图，边长为4的正方形ABCD的顶点A，B在y轴上，反比例函数的图象经过点C和AD的中点M，则k的值是 　 　．
16．（2023秋 广水市期末）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在线段BC，CD上，且CF＝4，CE＝2，若点M，N分别在线段AB，AD上运动，P为线段MF上的点，在运动过程中，始终保持∠PEB＝∠PFC，则线段PN的最小值为 　 　．
三．解答题（共7小题）
17．（2023秋 兖州区期末）解方程：
（1）5x（x+1）＝2（x+1）；
（2）x2﹣2x﹣1＝0．
18．（2023秋 淄博期末）在一个不透明布袋中装着除颜色外其他都相同的红球3个和蓝球1个，它们已经在布袋中被搅匀了．
（1）从布袋中一次取出2个球，全是蓝球是 　 　事件．（填“必然”、“随机”或“不可能”）
（2）若随机取出一个球，求取出的球的颜色是蓝球的概率．
（3）若随机取出2个球，第一次取出一个球记下颜色后放回搅匀，第二次再取出一个球，求两次取出的球的颜色相同的概率．
19．（2023秋 武功县期末）如图，强强同学为了测量学校一座高楼OE的高度，在操场上点A处放一面平面镜，从点A处后退1m到达点B处，恰好在平面镜中看到高楼的顶部点E的像．强强在C处测得∠OCE＝45°，AC＝4m，强强同学的眼睛距地面的高度FB为1.5m．已知点O，A，B，C在同一水平线上，且FB，EO均与OC垂直．求高楼OE的高度．（平面镜的大小忽略不计）
20．（2023秋 文昌校级期末）阅读材料：
如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根，那么有x1+x2＝﹣，x1x2＝．
这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题：
设x1，x2是方程x2+6x﹣3＝0的两根，求x+x的值．
解法可以这样：∵x1+x2＝﹣6，x1x2＝﹣3，则x+x＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（﹣6）2﹣2×（﹣3）＝42．
请你根据以上解法解答下题：
已知x1，x2是方程x2﹣4x+2＝0的两根，求：
（1）+的值；
（2）（x1﹣x2）2的值．
21．（2023秋 东昌府区校级期末）实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）成正比例；1.5小时后（包括1.5小时）y与x成反比例．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）写出一般成人喝半斤低度白酒后，y与x之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；
（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上8：00能否驾车去上班？请说明理由．
22．（2023秋 城关区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，点F在AD上，且AF＝AB，连接BF交AE于点G，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若BF＝10，AB＝10，求菱形ABEF的面积．
23．（2023秋 牡丹区期末）如图， ABCD的顶点B在反比例函数的图象上，AD∥x轴．BC＝7，点O为AC的中点，已知点C（3，﹣3）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求证：点D在反比例函数的图象上；
（3）点P、Q分别在反比例函数图象的两支上，当四边形AQCP是菱形时，请求出点P的坐标．
2024-2025学年北师大版九年级上册数学期末试题重组练习
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B B B A D B B
一．选择题（共8小题）
1．（2023秋 晋中期末）用配方法解方程x2﹣4x+1＝0配方后的方程是（　　）
A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x﹣2）2＝5 D．（x+2）2＝5
【解答】解：方程移项得：x2﹣4x＝﹣1，
配方得：x2﹣4x+4＝3，即（x﹣2）2＝3．
故选：B．
2．（2023秋 平定县期末）一个不透明的盒子里有红、黄、白小球共80个，它们除颜色外均相同，小文将这些小球摇匀后，随机摸出一个记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，多次实验后他发现摸到红色、黄色小球的频率依次为30%和40%，由此可估计盒中大约有白球（　　）
A．20 B．24 C．32 D．56
【解答】解：∵多次试验的频率会稳定在概率附近，
∴从盒子中摸出一个球恰好是白球的概率约为1﹣30%﹣40%＝30%，
∴白球的个数约为80×30%＝24（个）．
故选：B．
3．（2023秋 辽阳期末）国家级非物质文化遗产之一的东北大鼓是中国北方曲种，流行于辽宁、吉林、黑龙江3省，一度盛行于沈阳，故又称奉天大鼓、奉派大鼓、奉调大鼓、辽宁大鼓．如图是表演情景及乐器之一鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：这个立体图形的主视图为：
．
故选：B．
4．（2023秋 新昌县期末）若两个相似图形的相似比是3：7，则它们的面积比是（　　）
A．3：7 B．9：49 C．7：3 D．9：40
【解答】解：∵两个相似图形的相似比是3：7，
∴它们的面积比是（）2＝9：49，
故选：B．
5．（2023秋 五莲县期末）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且DE∥BC，BE、CD相交于点O，若S△DOE：S△EOC＝1：3，S△ADE＝1，则S四边形DBCE＝（　　）
A．8 B．9 C．12 D．15
【解答】解：∵S△DOE：S△EOC＝1：3，
∴，
∵DE∥BC，
∴△DOE∽△COB，
∴，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵S△ADE＝1，
∴S△ABC＝9，
∴S四边形DBCE＝S△ABC﹣S△ADE＝9﹣1＝8，
故选：A．
6．（2023秋 费县期末）如图，△ABC中，AB＝4厘米，AC＝8厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为（　　）
A．秒 B．秒
C．秒或2秒 D．秒或2秒
【解答】解：设运动了t s（0＜t≤4），根据题意得：AP＝2t cm，CQ＝3t cm，则AQ＝AC﹣CQ＝8﹣3t（cm），
当△APQ∽△ABC时，，即＝，解得：t＝；
当△APQ∽△ACB时，，即＝，解得：t＝2；
故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是：s或2s，
故选：D．
7．（2023秋 曹县期末）如图，四边形ABCD是菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE，AB＝6，AC＝4，则AE的长为（　　）
A．6 B．9 C．10 D．12
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ACD＝∠BCA，
∵∠ACD＝∠ABE，
∴∠BCA＝∠ABE，
∵∠BAC＝∠EAB，
∴△ABC∽△AEB，
∴，
∵AB＝6，AC＝4，
∴，
∴．
故选：B．
8．（2023秋 曹县期末）如图，Rt△ABC的顶点A，C的坐标分别为（0，3），（3，0），∠ACB＝90°，AC＝2BC，反比例的图象经过点B，则k的值为（　　）
A． B． C． D．9
【解答】解：过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0），
∴OA＝OC＝3，
在Rt△AOC中，AC＝＝＝3，
又∵AC＝2BC，
∴BC＝，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°＝∠BCD＝∠CBD，
∴CD＝BD＝＝，
∴OD＝3+＝，
∴B（，）代入y＝得：k＝，
故选：B．
二．填空题（共8小题）
9．（2023秋 咸阳期末）烛光照射下人的影子属于 　中心　投影．（填“平行”或“中心”）
【解答】解：烛光发出的光线可以看成是从一点发出的光线，像这样的光线所形成的投影叫做中心投影，烛光照射下人的影子属于中心投影．
故答案为：中心．
10．（2023秋 陇县期末）一元二次方程x2﹣5x＝2根的判别式的值是 　33　．
【解答】解：由x2﹣5x＝2得x2﹣5x﹣2＝0，
∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣2）＝33．
故答案为：33．
11．（2023秋 文昌校级期末）足球世界杯预选赛实行主客场的循环赛，即每两支球队都要在自己的主场和客场踢一场．共举行比赛210场，则参加比赛的球队共有 　15　支．
【解答】解：设参加比赛的球队共有x支，每一个球队都与剩余的x﹣1队打球，即共打x（x﹣1）场
∵每两支球队都要在自己的主场和客场踢一场，即每两支球队相互之间都要比赛两场，
∴每两支球队相互之间都要比赛两场，
即x（x﹣1）＝210，
解得：x2﹣x﹣210＝0，
（x﹣15）（x+14）＝0，
x1＝15．x2＝﹣14（负值舍去）
故参加比赛的球队共有15支．
12．（2023秋 临沂期末）如图，在△ABC中，点D、E为边AB的三等分点，点F、G在边BC上，AC∥DG∥EF，点H为AF与DG的交点．若AC＝9，则DH的长为 　　．
【解答】解：∵D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，
∴BE＝DE＝AD，BF＝GF＝CG，AH＝HF，
∴AB＝3BE，DH是△AEF的中位线，
∴，
∵EF∥AC，
∴∠BEF＝∠BAC，∠BFE＝∠BCA，
∴△BEF∽△BAC，
∴，即，
解得：EF＝3，
∴DH＝＝，
故答案为：．
13．（2023秋 武功县期末）在一个不透明的袋子里有红球，黄球共20个，这些球除颜色外都相同，小明从袋子里随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸，通过多次试验发现，摸到红球的频率稳定在0.3，则袋子中黄球的个数可能是 　14　．
【解答】解：设黄球有x个，根据题意得：
，
解得：x＝14，
故答案为：14．
14．（2023秋 聊城期末）某校对教室采用药薰法进行灭蚊．根据药品使用说明，药物燃烧时，室内每立方米空气中含药量y（mg/m3）与药物点燃后的时间x（min）成正比例，药物燃尽后，y与x成反比例．已知药物点燃后8min燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为6mg．根据灭蚊药品使用说明，当每立方米空气中含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能有效杀灭室内的蚊虫，那么此次灭蚊的有效时间为 　12　分钟．
【解答】解：设药物燃烧时y与x的关系式为y＝kx，
将（8，6）代入y＝kx，得8k＝6，解得，
∴药物燃烧时y与x的关系式为，
令，得x＝4，
即4分钟后每立方米空气中含药量达到3mg；
设药物燃尽后y与x的关系式为y＝，
将（8，6）代入y＝，得n＝6×8＝48，解得，
令，得x＝16，
即16分钟后每立方米空气中含药量降到3mg；
∵16﹣4＝12＞10，
∴此次灭蚊的有效时间为12min，
故答案为：12．
15．（2023秋 岚山区期末）如图，边长为4的正方形ABCD的顶点A，B在y轴上，反比例函数的图象经过点C和AD的中点M，则k的值是 　16　．
【解答】解：∵正方形ABCD边长为4，
∴，则，，
∵点M是AD的中点，
∴，
∵M在反比例函数的图象上，
∴，解得：k＝16，
故答案为：16．
16．（2023秋 广水市期末）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在线段BC，CD上，且CF＝4，CE＝2，若点M，N分别在线段AB，AD上运动，P为线段MF上的点，在运动过程中，始终保持∠PEB＝∠PFC，则线段PN的最小值为 　　．
【解答】解：如图，连接EF，
∵∠PEB＝∠PFC，∠PEC+∠PEB＝180°，
∴∠PEC+∠PFC＝180°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD＝90°，∠EPF＝360°﹣180°﹣90°＝90°，
∵△EFC和△EPF为直角三角形，
取EF的中点为O，
∴OP＝OE＝OF＝OC，
∴C、E、P、F四点共圆，
∵PN≥ON﹣OP，
∵OP为定值，
∴当ON最小，且O、P、N三点共线时，PN最小，
过O作OH⊥BC于H，延长HO交⊙O于P’，交AD于N'，而CE＝2，
∴，
∵∠ECF＝90°，CF＝4，
∴，
∴，
∵∠OHE＝90°，
∴，
∴ON'＝HN'﹣OH＝CD﹣OH＝6﹣2＝4，
∴．
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
17．（2023秋 兖州区期末）解方程：
（1）5x（x+1）＝2（x+1）；
（2）x2﹣2x﹣1＝0．
【解答】解：（1）5x（x+1）＝2（x+1），
5x（x+1）﹣2（x+1）＝0，
（x+1）（5x﹣2）＝0，
则x+1＝0或5x﹣2＝0，
解得x＝﹣1或x＝0.4．
（2）a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1，
Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4×1×（﹣1）＝8，
，
．
18．（2023秋 淄博期末）在一个不透明布袋中装着除颜色外其他都相同的红球3个和蓝球1个，它们已经在布袋中被搅匀了．
（1）从布袋中一次取出2个球，全是蓝球是 　不可能　事件．（填“必然”、“随机”或“不可能”）
（2）若随机取出一个球，求取出的球的颜色是蓝球的概率．
（3）若随机取出2个球，第一次取出一个球记下颜色后放回搅匀，第二次再取出一个球，求两次取出的球的颜色相同的概率．
【解答】解：（1）从布袋中一次取出2个球，全是蓝球是不可能事件；
（2）随机取出一个球，则取出的球的颜色是蓝球的概率是；
（3）画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中取出的两球颜色相同的结果有10种，
∴两次取出的球的颜色相同的概率为．
19．（2023秋 武功县期末）如图，强强同学为了测量学校一座高楼OE的高度，在操场上点A处放一面平面镜，从点A处后退1m到达点B处，恰好在平面镜中看到高楼的顶部点E的像．强强在C处测得∠OCE＝45°，AC＝4m，强强同学的眼睛距地面的高度FB为1.5m．已知点O，A，B，C在同一水平线上，且FB，EO均与OC垂直．求高楼OE的高度．（平面镜的大小忽略不计）
【解答】解：由已知得，∠AOE＝∠ABF＝90°，∠BAF＝∠OAE，
∴△BAF∽△OAE，
∴，即，
∴OE＝1.5OA，
∵∠OCE＝45°，OE⊥OC，
∴OE＝OC，
∴1.5OA＝OA+4，
解得OA＝8，
∴OE＝1.5OA＝12（m），
答：高楼OE的高度为12m．
20．（2023秋 文昌校级期末）阅读材料：
如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根，那么有x1+x2＝﹣，x1x2＝．
这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题：
设x1，x2是方程x2+6x﹣3＝0的两根，求x+x的值．
解法可以这样：∵x1+x2＝﹣6，x1x2＝﹣3，则x+x＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（﹣6）2﹣2×（﹣3）＝42．
请你根据以上解法解答下题：
已知x1，x2是方程x2﹣4x+2＝0的两根，求：
（1）+的值；
（2）（x1﹣x2）2的值．
【解答】解：（1）∵x1，x2是方程x2﹣4x+2＝0的两根，
∴x1+x2＝4，x1x2＝2，
∴+＝＝＝2；
（2））∵x1，x2是方程x2﹣4x+2＝0的两根，
∴x1+x2＝4，x1x2＝2，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝42﹣4×2＝16﹣8＝8．
21．（2023秋 东昌府区校级期末）实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）成正比例；1.5小时后（包括1.5小时）y与x成反比例．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）写出一般成人喝半斤低度白酒后，y与x之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；
（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上8：00能否驾车去上班？请说明理由．
【解答】解：（1）由题意可得：当0≤x≤1.5时，设函数关系式为：y＝kx，
则150＝1.5k，
解得：k＝100，
故y＝100x，
当1.5≤x时，设函数关系式为：y＝，
则a＝150×1.5＝225，
解得：a＝225，
故y＝（x≥1.5），
综上所述：y与x之间的两个函数关系式为：y＝；
（2）第二天早上8：00能驾车去上班．
理由：∵晚上20：00到第二天早上8：00，有12小时，
∴x＝12时，y＝＝18.75＜20，
∴第二天早上8：00能驾车去上班．
22．（2023秋 城关区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，点F在AD上，且AF＝AB，连接BF交AE于点G，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若BF＝10，AB＝10，求菱形ABEF的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB，
∵AF＝AB，
∴BE＝AF，
又∵BE∥AF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AF＝AB，
∴平行四边形ABEF是菱形；
（2）解：∵四边形ABEF为菱形，
∴AF＝AB＝10，AG⊥BF，
又∵BF＝10，
∴BG＝FG＝5，
∴＝，
∴，
∴菱形ABEF的面积．
23．（2023秋 牡丹区期末）如图， ABCD的顶点B在反比例函数的图象上，AD∥x轴．BC＝7，点O为AC的中点，已知点C（3，﹣3）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求证：点D在反比例函数的图象上；
（3）点P、Q分别在反比例函数图象的两支上，当四边形AQCP是菱形时，请求出点P的坐标．
【解答】（1）解：∵在 ABCD中，AD∥x轴，BC＝7，点C（3，﹣3），
∴点B（﹣4，﹣3）．
∵点B在反比例函数的图象上，
∴k＝（﹣4）×（﹣3）＝12，
∴反比例函数的解析式为；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，且O是AC的中点，
∴点B与点D关于原点对称，
由（1）得B（﹣4，﹣3），
∴D（4，3）
∵当x＝4时，，
∴点D在反比例函数的图象上；
（3）解：∵四边形AQCP是菱形，
∴AC⊥PQ，AC与PQ互相平分．
∵点C（3，﹣3），且O是AC的中点，
∴直线AC为第二、四象限的角平分线，
∴直线PQ为第一、三象限的角平分线，
∴直线PQ的解析式为y＝x．
联立
解得或
∴点P的坐标为或．
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