2024-2025学年人教版九年级上册数学期末试题重组练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年人教版九年级上册数学期末试题重组练习（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 964.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-01-10 20:04:25 | ||
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文档简介
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2024-2025学年人教版九年级上册数学期末试题重组练习
一．选择题（共10小题）
1．（2023 恩施市校级期末）下列4个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023 连州市期末）如果方程mx2﹣6x+1＝0有实数根，那么m的取值范围是（ ）
A．m＜9且m≠0 B．m≤9且m≠0 C．m＜9 D．m≤9
3．（2023秋 柳北区期末）下列函数属于二次函数的是（ ）
A．y＝2x B．y＝2x2﹣1 C． D．y＝x﹣2+1
4．（2023 东海县模拟）下列语句中不正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径垂直于弦；
③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；
④半圆是弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2023秋 龙口市期末）将二次函数y＝（x+1）2的图象向上平移2个单位，得到的图象对应的函数表达式是（ ）
A．y＝（x+3）2 B．y＝（x﹣1）2
C．y＝（x+1）2﹣2 D．y＝（x+1）2+2
6．（2023秋 麻章区校级期末）下列说法正确的是（ ）
A．“清明时节雨纷纷”是必然事件
B．为了了解某小区居民新冠疫苗注射情况，可以采用全面调查方式进行
C．一组数据2，5，4，5，6，7的众数、中位数和平均数都是4.5
D．甲、乙两组队员身高数据的方差分别为，，那么甲组队员身高比较整齐
7．（2023秋 长子县期末）某大型连锁超市以17元/斤的价格购进草莓1万斤，在运输、储存过程中部分草莓损坏，超市管理员从所有的草莓中随机抽取了若干进行“草莓损坏率”统计，并把获得的数据记录如表：
草莓总质量n/斤 20 50 100 200 500
损坏草莓质量m/斤 3.12 7.7 15.2 29.8 75
草莓损坏的频率 0.156 0.154 0.152 0.149 0.150
超市管理员希望卖出草莓（损坏的草莓不能出售）可以获得利润42500元，那么就需要利用草莓损坏的概率（精确到0.01）估算草莓的售价．根据表中数据可以估计，草莓每斤的售价应该定为（ ）
A．25元 B．22元 C．21.25元 D．21.5元
8．（2023秋 广饶县期末）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝15°，则∠BAD的度数为（ ）
A．75° B．65° C．60° D．85°
9．（2023秋 鼓楼区校级期末）近年来，我国数字技术不断革新，影响着全民阅读形态．为预计某市2023年数字阅读市场规模，经查询得数据：该市2021年数字阅读市场规模为432万元，2023年数字阅读市场规模为507万元．设该市年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．432（1+2x）＝507
B．432（1+2x）2＝507
C．432（1+x）2＝507
D．432+432（1+x）+432（1+x）2＝507
10．（2023秋 陇西县期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，当y＜0时自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣3 B．x＞1 C．x＜﹣3或x＞1 D．﹣3＜x＜1
二．填空题（共8小题）
11．（2023秋 琼中县期末）一元二次方程x2﹣2x+8＝0的常数项是 ．
12．（2023秋 连州市期末）如图是两个各自分割均匀的转盘，同时转动两个转盘，转盘停止时（若指针恰好停在分割线上，则重转一次，直到指针指向某一个区域为止），两个指针所指区域的数字之和为奇数的概率是 ．
13．（2023秋 平邑县期末）在平面直角坐标系中，点A（5，m+1）与点B（﹣5，﹣3）关于原点对称，则m的值为 ．
14．（2023秋 平邑县期末）抛物线y＝﹣0.5x2+bx+3的部分图象如图所示，则一元二次方程﹣0.5x2+bx+3＝0的根为 ．
15．（2023秋 准格尔旗期末）如图，点M是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点（不包括边界），且AM⊥BM，P是FC上的一点，N是AF的中点，则PN+PM的最小值为 ．
16．（2023秋 龙口市期末）二次函数的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在函数图象上，四边形OBAC为菱形，且∠BOC＝60°，则菱形OBAC的面积为 ．
17．（2023秋 湖北期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为8米，⊙O的半径长为5米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是 米．
18．（2023秋 柳北区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CD的延长线上．若∠ADE＝70°，则∠AOC＝ 度．
三．解答题（共8小题）
19．（2023秋 息县校级期末）解方程：
（1）x2﹣2x﹣8＝0；
（2）（x+4）2＝5（x+4）．
20．（2023秋 乳山市期末）某种品牌的护眼罩分为三种型号，分别用A，B，C表示，假设它们被购买者选中的可能性均相同．小明和小强分别购买了一种型号的护眼罩，用列表法或画树状图法，求出小明和小强选择同一种型号护眼罩的概率．
21．（2023秋 亳州期末）某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么一个月内可以售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．售价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？
22．（2023秋 高青县期末）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．
（1）作点A关于点O的对称点A1；
（2）连接A1B，将线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得到线段A1B1，点B的对应点为B1，画出旋转后的线段A1B1；
（3）连接AB1，BB1，求出△ABB1的面积（直接写出结果即可）．
23．（2023秋 城中区校级月考）如图，抛物线y＝x2﹣9与x轴交于A、B两点，
（1）求A、B两点的坐标；
（2）点P为抛物线上一点，且S△PAB＝6，求P点的坐标．
24．（2023秋 城中区校级月考）阅读材料回答问题：
为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程可化为y2﹣5y+4＝0①．
解得y1＝1，y2＝4，当y＝1时，x2﹣1＝1，所以x2＝2，x＝±；
当y＝4时，x2﹣1＝4，所以x2＝5，x＝±；
所以原方程的解为，x2＝﹣，x1＝，x2＝﹣y．
解方程：（x2+1）2+4（x2+1）﹣12＝0．
25．（2023秋 天津月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点（不与点C重合），直线CP交对称轴于点AN，连接AN，当∠ANC＝45°时，求直线PC的解析式．
26．（2023秋 鼓楼区校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，点O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠C＝45°，求图中阴影部分的面积．
2024-2025学年人教版九年级上册数学期末试题重组练习
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B C D B A A C D
一．选择题（共10小题）
1．（2023 恩施市校级期末）下列4个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：选项A、C、D的图形都不能找到一个点，使这些图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B的图形能找到一个点，使这个图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：B．
2．（2023 连州市期末）如果方程mx2﹣6x+1＝0有实数根，那么m的取值范围是（ ）
A．m＜9且m≠0 B．m≤9且m≠0 C．m＜9 D．m≤9
【解答】解：∵关于x的方程mx2﹣6x+1＝0有实数根，
∴当方程是一元二次方程时，Δ＝（﹣6）2﹣4m≥0，
解得：m≤9，且m≠0；
当方程是一元一次方程时，则m＝0，
故选：D．
3．（2023秋 柳北区期末）下列函数属于二次函数的是（ ）
A．y＝2x B．y＝2x2﹣1 C． D．y＝x﹣2+1
【解答】解：A、y＝2x是一次函数，不是二次函数；
B、y＝2x2﹣1是二次函数；
C、不是二次函数；
D、y＝x﹣2+1不是二次函数；
故选：B．
4．（2023 东海县模拟）下列语句中不正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径垂直于弦；
③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；
④半圆是弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①、要强调在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等；故错误．
②、平分弦的直径垂直于弦，其中被平分的弦不能是直径，若是直径则错误．
③、对称轴是直线，而直径是线段，故错误．
④、正确．
故选：C．
5．（2023秋 龙口市期末）将二次函数y＝（x+1）2的图象向上平移2个单位，得到的图象对应的函数表达式是（ ）
A．y＝（x+3）2 B．y＝（x﹣1）2
C．y＝（x+1）2﹣2 D．y＝（x+1）2+2
【解答】解：由题可知，二次函数y＝（x+1）2的图象向上平移了2个单位，根据规律可得出平移后的函数表达式为y＝（x+1）2+2．
故选：D．
6．（2023秋 麻章区校级期末）下列说法正确的是（ ）
A．“清明时节雨纷纷”是必然事件
B．为了了解某小区居民新冠疫苗注射情况，可以采用全面调查方式进行
C．一组数据2，5，4，5，6，7的众数、中位数和平均数都是4.5
D．甲、乙两组队员身高数据的方差分别为，，那么甲组队员身高比较整齐
【解答】解：A．“清明时节雨纷纷”是随机事件，原说法错误，不符合题意；
B．为了了解某小区居民新冠疫苗注射情况，可以采用全面调查方式进行，正确，符合题意
C．一组数据2，5，4，5，6，7的众数是5，中位数是5，平均数是，原说法错误，不符合题意；
D．甲、乙两组队员身高数据的方差分别为，，那么乙队员身高比较整齐，原说法错误，不符合题意，
故选：B．
7．（2023秋 长子县期末）某大型连锁超市以17元/斤的价格购进草莓1万斤，在运输、储存过程中部分草莓损坏，超市管理员从所有的草莓中随机抽取了若干进行“草莓损坏率”统计，并把获得的数据记录如表：
草莓总质量n/斤 20 50 100 200 500
损坏草莓质量m/斤 3.12 7.7 15.2 29.8 75
草莓损坏的频率 0.156 0.154 0.152 0.149 0.150
超市管理员希望卖出草莓（损坏的草莓不能出售）可以获得利润42500元，那么就需要利用草莓损坏的概率（精确到0.01）估算草莓的售价．根据表中数据可以估计，草莓每斤的售价应该定为（ ）
A．25元 B．22元 C．21.25元 D．21.5元
【解答】解：由表格中的数据可得草莓的损坏率大约为15%，
则完好率为：1﹣15%＝85%，
设每斤草莓的售价为x元，根据题意得，
10000×x×85%﹣10000×17＝42500，
解得，x＝25，
即每斤草莓的售价为25元，
故选：A．
8．（2023秋 广饶县期末）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝15°，则∠BAD的度数为（ ）
A．75° B．65° C．60° D．85°
【解答】解：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵∠C＝∠B＝15°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣15°＝75°，
故选：A．
9．（2023秋 鼓楼区校级期末）近年来，我国数字技术不断革新，影响着全民阅读形态．为预计某市2023年数字阅读市场规模，经查询得数据：该市2021年数字阅读市场规模为432万元，2023年数字阅读市场规模为507万元．设该市年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．432（1+2x）＝507
B．432（1+2x）2＝507
C．432（1+x）2＝507
D．432+432（1+x）+432（1+x）2＝507
【解答】解：根据题意得：432（1+x）2＝507．
故选：C．
10．（2023秋 陇西县期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，当y＜0时自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣3 B．x＞1 C．x＜﹣3或x＞1 D．﹣3＜x＜1
【解答】解：由图可知，﹣3＜x＜1时，y＜0．
故选：D．
二．填空题（共8小题）
11．（2023秋 琼中县期末）一元二次方程x2﹣2x+8＝0的常数项是 8 ．
【解答】解：一元二次方程x2﹣2x+8＝0的常数项是8．
故答案为：8．
12．（2023秋 连州市期末）如图是两个各自分割均匀的转盘，同时转动两个转盘，转盘停止时（若指针恰好停在分割线上，则重转一次，直到指针指向某一个区域为止），两个指针所指区域的数字之和为奇数的概率是 ．
【解答】解：列表如下：
1 2 3 4
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4）
共有12种等可能的结果，其中两个指针所指区域的数字之和为奇数的结果有：（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，1），（4，3），共6种，
∴两个指针所指区域的数字之和为奇数的概率为．
故答案为：．
13．（2023秋 平邑县期末）在平面直角坐标系中，点A（5，m+1）与点B（﹣5，﹣3）关于原点对称，则m的值为 2 ．
【解答】解：∵点A（5，m+1）与点B（﹣5，﹣3）关于原点对称，
∴m+1＝3，
解得：m＝2．
故答案为：2．
14．（2023秋 平邑县期末）抛物线y＝﹣0.5x2+bx+3的部分图象如图所示，则一元二次方程﹣0.5x2+bx+3＝0的根为 x1＝1，x2＝﹣3 ．
【解答】解：由图象得：抛物线y＝﹣0.5x2+bx+3与x轴的一个交点为（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线y＝﹣0.5x2+bx+3与x轴的另一个交点为（﹣3，0），
故一元二次方程﹣0.5x2+bx+3＝0的根为：x1＝1，x2＝﹣3，
故答案为：x1＝1，x2＝﹣3．
15．（2023秋 准格尔旗期末）如图，点M是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点（不包括边界），且AM⊥BM，P是FC上的一点，N是AF的中点，则PN+PM的最小值为 2 ．
【解答】解：取AB中点O，EF中点Q，连接PQ，MO，延长EF、BA相交于点T，
，
∵正六边形ABCDEF关于直线CF对称，
∴N，Q也关于直线CF对称，
∴PQ＝PN，
∵AM⊥BM，O为AB中点，
∴，
∴PN+PM+MO＝PQ+PM+MO≥QO，
当Q，P，M，O共线时，PN+PM+MO＝PQ+PM+MO＝QO，
∴PN+PM的最小值为QO﹣MO＝QM，
∵正六边形ABCDEF的边长为2，
∴，AF＝EF＝AB＝2，
∴△TAF是等边三角形，
∴FT＝AT，∠T＝60°，
∵EF＝AB＝2，O为AB中点，Q为EF中点，
∴，，
∴TQ＝3＝TO，
∴△TQO是等边三角形，
∴QO＝3，
∴QM＝2，
∴PN+PM的最小值为2．
故答案为：2．
16．（2023秋 龙口市期末）二次函数的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在函数图象上，四边形OBAC为菱形，且∠BOC＝60°，则菱形OBAC的面积为 ．
【解答】解：连接BC交OA于D，如图，
∵四边形OBAC为菱形，
∴BC⊥OA，
∵∠BOC＝60°，
∴∠BOD＝30°，
∴，
设BD＝t，则，
∴，
把代入，
得，
解得t1＝0（舍去），t2＝1，
∴BD＝1，，
∴BC＝2，，
∴菱形OBAC的面积为：，
故答案为：．
17．（2023秋 湖北期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为8米，⊙O的半径长为5米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是 2 米．
【解答】解：如下图所示，连接OA、OC，
∵OC交AB于点E，则有OE⊥AB，
∴（米），
又∵OA＝OC＝5米，
在Rt△AOE中，（米），
∴CE＝CO﹣OE＝5﹣3＝2（米），
答：若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是2米．
故答案为：2．
18．（2023秋 柳北区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CD的延长线上．若∠ADE＝70°，则∠AOC＝ 140 度．
【解答】解：∵∠ADE＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADE＝180°﹣70°＝110°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣110°＝70°，
由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC＝140°，
故答案为：140．
三．解答题（共8小题）
19．（2023秋 息县校级期末）解方程：
（1）x2﹣2x﹣8＝0；
（2）（x+4）2＝5（x+4）．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣8＝0．
（x﹣4）（x+2）＝0，
（x﹣4）＝0，（x+2）＝0，
∴x1＝4，x2＝﹣2；
（2）（x+4）2﹣5（x+4）＝0，
（x+4）（x+4﹣5）＝0，
∴x+4＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣4，x2＝1．
20．（2023秋 乳山市期末）某种品牌的护眼罩分为三种型号，分别用A，B，C表示，假设它们被购买者选中的可能性均相同．小明和小强分别购买了一种型号的护眼罩，用列表法或画树状图法，求出小明和小强选择同一种型号护眼罩的概率．
【解答】解：树状图如下所示，
由上可得，共有9种等可能结果，小明和小强选择同一种型号护眼罩有3种结果．
∴P（同一种型号）＝，
即小明和小强选择同一种型号护眼罩的概率是．
21．（2023秋 亳州期末）某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么一个月内可以售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．售价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？
【解答】解：设销售单价为x元，销售利润为y元．
根据题意，得：
y＝（x﹣20）[400﹣20（x﹣30）]
＝（x﹣20）（1000﹣20x）
＝﹣20x2+1400x﹣20000
＝﹣20（x﹣35）2+4500，
∵﹣20＜0，
∴x＝35时，y有最大值．
所以，销售单价为35元，才能在一个月内获得最大利润．
22．（2023秋 高青县期末）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．
（1）作点A关于点O的对称点A1；
（2）连接A1B，将线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得到线段A1B1，点B的对应点为B1，画出旋转后的线段A1B1；
（3）连接AB1，BB1，求出△ABB1的面积（直接写出结果即可）．
【解答】解：（1）如图所示，点A1即为所求；
（2）如图所示，线段A1B1即为所求；
（3）如图，连接AB1，BB1，
则＝×8×2＝8．
23．（2023秋 城中区校级月考）如图，抛物线y＝x2﹣9与x轴交于A、B两点，
（1）求A、B两点的坐标；
（2）点P为抛物线上一点，且S△PAB＝6，求P点的坐标．
【解答】解：（1）抛物线y＝x2﹣9，令y＝0，得到x＝3或﹣3，即A（﹣3，0），B（3，0）；
（2）由点A、B的坐标可知：AB＝6，
∵S△PAB＝6，设P纵坐标为b，
∴×6|b|＝6，即|b|＝2，
∴b＝2或﹣2，
当b＝2时，x2﹣9＝2，解得：x＝±，此时P坐标为（，2），（﹣，2）；
当b＝﹣2时，x2﹣9＝﹣2，解得：x＝±，此时P坐标为（，﹣2），（﹣，﹣2），
综上，P的坐标为（，2）或（﹣，2）或（，﹣2）或（﹣，﹣2）．
24．（2023秋 城中区校级月考）阅读材料回答问题：
为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程可化为y2﹣5y+4＝0①．
解得y1＝1，y2＝4，当y＝1时，x2﹣1＝1，所以x2＝2，x＝±；
当y＝4时，x2﹣1＝4，所以x2＝5，x＝±；
所以原方程的解为，x2＝﹣，x1＝，x2＝﹣y．
解方程：（x2+1）2+4（x2+1）﹣12＝0．
【解答】解：（x2+1）2+4（x2+1）﹣12＝0，
设y＝x2+1，
则原方程化为y2+4y﹣12＝0，
（y+6）（y﹣2）＝0，
∴y1＝﹣6，y2＝2，
∵y＝x2+1＞1，
∴y1＝﹣6（舍去），
∴x2+1＝2，
x2＝1，
x1＝1，x2＝﹣1．
25．（2023秋 天津月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点（不与点C重合），直线CP交对称轴于点AN，连接AN，当∠ANC＝45°时，求直线PC的解析式．
【解答】解：（1）根据题意得，即b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+3，
∵A（﹣1，0），
∴a+2a+3＝0，
解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图所示，过点A作AM⊥AN交直线CP于M，过点M作MQ⊥x轴于Q，
设抛物线对称轴与x轴交点为D，
∴∠AQM＝∠MAN＝∠NDA＝90°，D（1，0），
∴∠AMQ+∠MAQ＝90°，
又∵∠MAQ+∠NAD＝90°，
∴∠AMQ＝∠NAD，
∴∠AMN＝∠ANM＝45°，
∴AM＝NA，
∴△AMQ≌△NAD（AAS），
∴MQ＝AD，AQ＝ND，
设直线CP的解析式为y＝kx+3，点N的坐标为（1，k+3），
∵当k+3＞0时，A（﹣1，0），D（1，0），
∴MQ＝AD＝2，AQ＝ND＝k+3，
∴OQ＝k+4，
∴点M的坐标为（﹣k﹣4，2），
∴k（﹣k﹣4）+3＝2，即k2+4k﹣1＝0，
解得或（舍去），
∴直线PC的解析式为，
同理可得当k+3≤0时，
解得y＝﹣x+3．
综上所述，或y＝﹣x+3．
26．（2023秋 鼓楼区校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，点O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠C＝45°，求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：过点O作OG⊥AC于点G，连接AO，OD，
∵AB是⊙O的切线，
∴OD⊥AB，
∵点O是底边BC的中点，
∴OB＝OC，
∵AB＝AC，
∴AO平分∠BAC，AO⊥BC，
∴OD＝OG，
∵OG是圆的半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝AC，∠C＝45°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠BAC＝90°，即△BAC为等腰直角三角形，
∵∠ADO＝∠AGO＝90°，
∴四边形ADOG是矩形，
∵OD＝OG，
∴四边形ADOG是正方形，
∴AD＝OD＝OG＝AG＝2，∠DOG＝90°，
∴阴影部分的面积为．
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2024-2025学年人教版九年级上册数学期末试题重组练习
一．选择题（共10小题）
1．（2023 恩施市校级期末）下列4个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023 连州市期末）如果方程mx2﹣6x+1＝0有实数根，那么m的取值范围是（ ）
A．m＜9且m≠0 B．m≤9且m≠0 C．m＜9 D．m≤9
3．（2023秋 柳北区期末）下列函数属于二次函数的是（ ）
A．y＝2x B．y＝2x2﹣1 C． D．y＝x﹣2+1
4．（2023 东海县模拟）下列语句中不正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径垂直于弦；
③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；
④半圆是弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2023秋 龙口市期末）将二次函数y＝（x+1）2的图象向上平移2个单位，得到的图象对应的函数表达式是（ ）
A．y＝（x+3）2 B．y＝（x﹣1）2
C．y＝（x+1）2﹣2 D．y＝（x+1）2+2
6．（2023秋 麻章区校级期末）下列说法正确的是（ ）
A．“清明时节雨纷纷”是必然事件
B．为了了解某小区居民新冠疫苗注射情况，可以采用全面调查方式进行
C．一组数据2，5，4，5，6，7的众数、中位数和平均数都是4.5
D．甲、乙两组队员身高数据的方差分别为，，那么甲组队员身高比较整齐
7．（2023秋 长子县期末）某大型连锁超市以17元/斤的价格购进草莓1万斤，在运输、储存过程中部分草莓损坏，超市管理员从所有的草莓中随机抽取了若干进行“草莓损坏率”统计，并把获得的数据记录如表：
草莓总质量n/斤 20 50 100 200 500
损坏草莓质量m/斤 3.12 7.7 15.2 29.8 75
草莓损坏的频率 0.156 0.154 0.152 0.149 0.150
超市管理员希望卖出草莓（损坏的草莓不能出售）可以获得利润42500元，那么就需要利用草莓损坏的概率（精确到0.01）估算草莓的售价．根据表中数据可以估计，草莓每斤的售价应该定为（ ）
A．25元 B．22元 C．21.25元 D．21.5元
8．（2023秋 广饶县期末）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝15°，则∠BAD的度数为（ ）
A．75° B．65° C．60° D．85°
9．（2023秋 鼓楼区校级期末）近年来，我国数字技术不断革新，影响着全民阅读形态．为预计某市2023年数字阅读市场规模，经查询得数据：该市2021年数字阅读市场规模为432万元，2023年数字阅读市场规模为507万元．设该市年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．432（1+2x）＝507
B．432（1+2x）2＝507
C．432（1+x）2＝507
D．432+432（1+x）+432（1+x）2＝507
10．（2023秋 陇西县期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，当y＜0时自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣3 B．x＞1 C．x＜﹣3或x＞1 D．﹣3＜x＜1
二．填空题（共8小题）
11．（2023秋 琼中县期末）一元二次方程x2﹣2x+8＝0的常数项是 ．
12．（2023秋 连州市期末）如图是两个各自分割均匀的转盘，同时转动两个转盘，转盘停止时（若指针恰好停在分割线上，则重转一次，直到指针指向某一个区域为止），两个指针所指区域的数字之和为奇数的概率是 ．
13．（2023秋 平邑县期末）在平面直角坐标系中，点A（5，m+1）与点B（﹣5，﹣3）关于原点对称，则m的值为 ．
14．（2023秋 平邑县期末）抛物线y＝﹣0.5x2+bx+3的部分图象如图所示，则一元二次方程﹣0.5x2+bx+3＝0的根为 ．
15．（2023秋 准格尔旗期末）如图，点M是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点（不包括边界），且AM⊥BM，P是FC上的一点，N是AF的中点，则PN+PM的最小值为 ．
16．（2023秋 龙口市期末）二次函数的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在函数图象上，四边形OBAC为菱形，且∠BOC＝60°，则菱形OBAC的面积为 ．
17．（2023秋 湖北期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为8米，⊙O的半径长为5米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是 米．
18．（2023秋 柳北区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CD的延长线上．若∠ADE＝70°，则∠AOC＝ 度．
三．解答题（共8小题）
19．（2023秋 息县校级期末）解方程：
（1）x2﹣2x﹣8＝0；
（2）（x+4）2＝5（x+4）．
20．（2023秋 乳山市期末）某种品牌的护眼罩分为三种型号，分别用A，B，C表示，假设它们被购买者选中的可能性均相同．小明和小强分别购买了一种型号的护眼罩，用列表法或画树状图法，求出小明和小强选择同一种型号护眼罩的概率．
21．（2023秋 亳州期末）某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么一个月内可以售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．售价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？
22．（2023秋 高青县期末）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．
（1）作点A关于点O的对称点A1；
（2）连接A1B，将线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得到线段A1B1，点B的对应点为B1，画出旋转后的线段A1B1；
（3）连接AB1，BB1，求出△ABB1的面积（直接写出结果即可）．
23．（2023秋 城中区校级月考）如图，抛物线y＝x2﹣9与x轴交于A、B两点，
（1）求A、B两点的坐标；
（2）点P为抛物线上一点，且S△PAB＝6，求P点的坐标．
24．（2023秋 城中区校级月考）阅读材料回答问题：
为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程可化为y2﹣5y+4＝0①．
解得y1＝1，y2＝4，当y＝1时，x2﹣1＝1，所以x2＝2，x＝±；
当y＝4时，x2﹣1＝4，所以x2＝5，x＝±；
所以原方程的解为，x2＝﹣，x1＝，x2＝﹣y．
解方程：（x2+1）2+4（x2+1）﹣12＝0．
25．（2023秋 天津月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点（不与点C重合），直线CP交对称轴于点AN，连接AN，当∠ANC＝45°时，求直线PC的解析式．
26．（2023秋 鼓楼区校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，点O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠C＝45°，求图中阴影部分的面积．
2024-2025学年人教版九年级上册数学期末试题重组练习
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B C D B A A C D
一．选择题（共10小题）
1．（2023 恩施市校级期末）下列4个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：选项A、C、D的图形都不能找到一个点，使这些图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B的图形能找到一个点，使这个图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：B．
2．（2023 连州市期末）如果方程mx2﹣6x+1＝0有实数根，那么m的取值范围是（ ）
A．m＜9且m≠0 B．m≤9且m≠0 C．m＜9 D．m≤9
【解答】解：∵关于x的方程mx2﹣6x+1＝0有实数根，
∴当方程是一元二次方程时，Δ＝（﹣6）2﹣4m≥0，
解得：m≤9，且m≠0；
当方程是一元一次方程时，则m＝0，
故选：D．
3．（2023秋 柳北区期末）下列函数属于二次函数的是（ ）
A．y＝2x B．y＝2x2﹣1 C． D．y＝x﹣2+1
【解答】解：A、y＝2x是一次函数，不是二次函数；
B、y＝2x2﹣1是二次函数；
C、不是二次函数；
D、y＝x﹣2+1不是二次函数；
故选：B．
4．（2023 东海县模拟）下列语句中不正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径垂直于弦；
③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；
④半圆是弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①、要强调在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等；故错误．
②、平分弦的直径垂直于弦，其中被平分的弦不能是直径，若是直径则错误．
③、对称轴是直线，而直径是线段，故错误．
④、正确．
故选：C．
5．（2023秋 龙口市期末）将二次函数y＝（x+1）2的图象向上平移2个单位，得到的图象对应的函数表达式是（ ）
A．y＝（x+3）2 B．y＝（x﹣1）2
C．y＝（x+1）2﹣2 D．y＝（x+1）2+2
【解答】解：由题可知，二次函数y＝（x+1）2的图象向上平移了2个单位，根据规律可得出平移后的函数表达式为y＝（x+1）2+2．
故选：D．
6．（2023秋 麻章区校级期末）下列说法正确的是（ ）
A．“清明时节雨纷纷”是必然事件
B．为了了解某小区居民新冠疫苗注射情况，可以采用全面调查方式进行
C．一组数据2，5，4，5，6，7的众数、中位数和平均数都是4.5
D．甲、乙两组队员身高数据的方差分别为，，那么甲组队员身高比较整齐
【解答】解：A．“清明时节雨纷纷”是随机事件，原说法错误，不符合题意；
B．为了了解某小区居民新冠疫苗注射情况，可以采用全面调查方式进行，正确，符合题意
C．一组数据2，5，4，5，6，7的众数是5，中位数是5，平均数是，原说法错误，不符合题意；
D．甲、乙两组队员身高数据的方差分别为，，那么乙队员身高比较整齐，原说法错误，不符合题意，
故选：B．
7．（2023秋 长子县期末）某大型连锁超市以17元/斤的价格购进草莓1万斤，在运输、储存过程中部分草莓损坏，超市管理员从所有的草莓中随机抽取了若干进行“草莓损坏率”统计，并把获得的数据记录如表：
草莓总质量n/斤 20 50 100 200 500
损坏草莓质量m/斤 3.12 7.7 15.2 29.8 75
草莓损坏的频率 0.156 0.154 0.152 0.149 0.150
超市管理员希望卖出草莓（损坏的草莓不能出售）可以获得利润42500元，那么就需要利用草莓损坏的概率（精确到0.01）估算草莓的售价．根据表中数据可以估计，草莓每斤的售价应该定为（ ）
A．25元 B．22元 C．21.25元 D．21.5元
【解答】解：由表格中的数据可得草莓的损坏率大约为15%，
则完好率为：1﹣15%＝85%，
设每斤草莓的售价为x元，根据题意得，
10000×x×85%﹣10000×17＝42500，
解得，x＝25，
即每斤草莓的售价为25元，
故选：A．
8．（2023秋 广饶县期末）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝15°，则∠BAD的度数为（ ）
A．75° B．65° C．60° D．85°
【解答】解：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵∠C＝∠B＝15°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣15°＝75°，
故选：A．
9．（2023秋 鼓楼区校级期末）近年来，我国数字技术不断革新，影响着全民阅读形态．为预计某市2023年数字阅读市场规模，经查询得数据：该市2021年数字阅读市场规模为432万元，2023年数字阅读市场规模为507万元．设该市年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．432（1+2x）＝507
B．432（1+2x）2＝507
C．432（1+x）2＝507
D．432+432（1+x）+432（1+x）2＝507
【解答】解：根据题意得：432（1+x）2＝507．
故选：C．
10．（2023秋 陇西县期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，当y＜0时自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣3 B．x＞1 C．x＜﹣3或x＞1 D．﹣3＜x＜1
【解答】解：由图可知，﹣3＜x＜1时，y＜0．
故选：D．
二．填空题（共8小题）
11．（2023秋 琼中县期末）一元二次方程x2﹣2x+8＝0的常数项是 8 ．
【解答】解：一元二次方程x2﹣2x+8＝0的常数项是8．
故答案为：8．
12．（2023秋 连州市期末）如图是两个各自分割均匀的转盘，同时转动两个转盘，转盘停止时（若指针恰好停在分割线上，则重转一次，直到指针指向某一个区域为止），两个指针所指区域的数字之和为奇数的概率是 ．
【解答】解：列表如下：
1 2 3 4
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4）
共有12种等可能的结果，其中两个指针所指区域的数字之和为奇数的结果有：（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，1），（4，3），共6种，
∴两个指针所指区域的数字之和为奇数的概率为．
故答案为：．
13．（2023秋 平邑县期末）在平面直角坐标系中，点A（5，m+1）与点B（﹣5，﹣3）关于原点对称，则m的值为 2 ．
【解答】解：∵点A（5，m+1）与点B（﹣5，﹣3）关于原点对称，
∴m+1＝3，
解得：m＝2．
故答案为：2．
14．（2023秋 平邑县期末）抛物线y＝﹣0.5x2+bx+3的部分图象如图所示，则一元二次方程﹣0.5x2+bx+3＝0的根为 x1＝1，x2＝﹣3 ．
【解答】解：由图象得：抛物线y＝﹣0.5x2+bx+3与x轴的一个交点为（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线y＝﹣0.5x2+bx+3与x轴的另一个交点为（﹣3，0），
故一元二次方程﹣0.5x2+bx+3＝0的根为：x1＝1，x2＝﹣3，
故答案为：x1＝1，x2＝﹣3．
15．（2023秋 准格尔旗期末）如图，点M是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点（不包括边界），且AM⊥BM，P是FC上的一点，N是AF的中点，则PN+PM的最小值为 2 ．
【解答】解：取AB中点O，EF中点Q，连接PQ，MO，延长EF、BA相交于点T，
，
∵正六边形ABCDEF关于直线CF对称，
∴N，Q也关于直线CF对称，
∴PQ＝PN，
∵AM⊥BM，O为AB中点，
∴，
∴PN+PM+MO＝PQ+PM+MO≥QO，
当Q，P，M，O共线时，PN+PM+MO＝PQ+PM+MO＝QO，
∴PN+PM的最小值为QO﹣MO＝QM，
∵正六边形ABCDEF的边长为2，
∴，AF＝EF＝AB＝2，
∴△TAF是等边三角形，
∴FT＝AT，∠T＝60°，
∵EF＝AB＝2，O为AB中点，Q为EF中点，
∴，，
∴TQ＝3＝TO，
∴△TQO是等边三角形，
∴QO＝3，
∴QM＝2，
∴PN+PM的最小值为2．
故答案为：2．
16．（2023秋 龙口市期末）二次函数的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在函数图象上，四边形OBAC为菱形，且∠BOC＝60°，则菱形OBAC的面积为 ．
【解答】解：连接BC交OA于D，如图，
∵四边形OBAC为菱形，
∴BC⊥OA，
∵∠BOC＝60°，
∴∠BOD＝30°，
∴，
设BD＝t，则，
∴，
把代入，
得，
解得t1＝0（舍去），t2＝1，
∴BD＝1，，
∴BC＝2，，
∴菱形OBAC的面积为：，
故答案为：．
17．（2023秋 湖北期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为8米，⊙O的半径长为5米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是 2 米．
【解答】解：如下图所示，连接OA、OC，
∵OC交AB于点E，则有OE⊥AB，
∴（米），
又∵OA＝OC＝5米，
在Rt△AOE中，（米），
∴CE＝CO﹣OE＝5﹣3＝2（米），
答：若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是2米．
故答案为：2．
18．（2023秋 柳北区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CD的延长线上．若∠ADE＝70°，则∠AOC＝ 140 度．
【解答】解：∵∠ADE＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADE＝180°﹣70°＝110°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣110°＝70°，
由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC＝140°，
故答案为：140．
三．解答题（共8小题）
19．（2023秋 息县校级期末）解方程：
（1）x2﹣2x﹣8＝0；
（2）（x+4）2＝5（x+4）．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣8＝0．
（x﹣4）（x+2）＝0，
（x﹣4）＝0，（x+2）＝0，
∴x1＝4，x2＝﹣2；
（2）（x+4）2﹣5（x+4）＝0，
（x+4）（x+4﹣5）＝0，
∴x+4＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣4，x2＝1．
20．（2023秋 乳山市期末）某种品牌的护眼罩分为三种型号，分别用A，B，C表示，假设它们被购买者选中的可能性均相同．小明和小强分别购买了一种型号的护眼罩，用列表法或画树状图法，求出小明和小强选择同一种型号护眼罩的概率．
【解答】解：树状图如下所示，
由上可得，共有9种等可能结果，小明和小强选择同一种型号护眼罩有3种结果．
∴P（同一种型号）＝，
即小明和小强选择同一种型号护眼罩的概率是．
21．（2023秋 亳州期末）某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么一个月内可以售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．售价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？
【解答】解：设销售单价为x元，销售利润为y元．
根据题意，得：
y＝（x﹣20）[400﹣20（x﹣30）]
＝（x﹣20）（1000﹣20x）
＝﹣20x2+1400x﹣20000
＝﹣20（x﹣35）2+4500，
∵﹣20＜0，
∴x＝35时，y有最大值．
所以，销售单价为35元，才能在一个月内获得最大利润．
22．（2023秋 高青县期末）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．
（1）作点A关于点O的对称点A1；
（2）连接A1B，将线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得到线段A1B1，点B的对应点为B1，画出旋转后的线段A1B1；
（3）连接AB1，BB1，求出△ABB1的面积（直接写出结果即可）．
【解答】解：（1）如图所示，点A1即为所求；
（2）如图所示，线段A1B1即为所求；
（3）如图，连接AB1，BB1，
则＝×8×2＝8．
23．（2023秋 城中区校级月考）如图，抛物线y＝x2﹣9与x轴交于A、B两点，
（1）求A、B两点的坐标；
（2）点P为抛物线上一点，且S△PAB＝6，求P点的坐标．
【解答】解：（1）抛物线y＝x2﹣9，令y＝0，得到x＝3或﹣3，即A（﹣3，0），B（3，0）；
（2）由点A、B的坐标可知：AB＝6，
∵S△PAB＝6，设P纵坐标为b，
∴×6|b|＝6，即|b|＝2，
∴b＝2或﹣2，
当b＝2时，x2﹣9＝2，解得：x＝±，此时P坐标为（，2），（﹣，2）；
当b＝﹣2时，x2﹣9＝﹣2，解得：x＝±，此时P坐标为（，﹣2），（﹣，﹣2），
综上，P的坐标为（，2）或（﹣，2）或（，﹣2）或（﹣，﹣2）．
24．（2023秋 城中区校级月考）阅读材料回答问题：
为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程可化为y2﹣5y+4＝0①．
解得y1＝1，y2＝4，当y＝1时，x2﹣1＝1，所以x2＝2，x＝±；
当y＝4时，x2﹣1＝4，所以x2＝5，x＝±；
所以原方程的解为，x2＝﹣，x1＝，x2＝﹣y．
解方程：（x2+1）2+4（x2+1）﹣12＝0．
【解答】解：（x2+1）2+4（x2+1）﹣12＝0，
设y＝x2+1，
则原方程化为y2+4y﹣12＝0，
（y+6）（y﹣2）＝0，
∴y1＝﹣6，y2＝2，
∵y＝x2+1＞1，
∴y1＝﹣6（舍去），
∴x2+1＝2，
x2＝1，
x1＝1，x2＝﹣1．
25．（2023秋 天津月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点（不与点C重合），直线CP交对称轴于点AN，连接AN，当∠ANC＝45°时，求直线PC的解析式．
【解答】解：（1）根据题意得，即b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+3，
∵A（﹣1，0），
∴a+2a+3＝0，
解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图所示，过点A作AM⊥AN交直线CP于M，过点M作MQ⊥x轴于Q，
设抛物线对称轴与x轴交点为D，
∴∠AQM＝∠MAN＝∠NDA＝90°，D（1，0），
∴∠AMQ+∠MAQ＝90°，
又∵∠MAQ+∠NAD＝90°，
∴∠AMQ＝∠NAD，
∴∠AMN＝∠ANM＝45°，
∴AM＝NA，
∴△AMQ≌△NAD（AAS），
∴MQ＝AD，AQ＝ND，
设直线CP的解析式为y＝kx+3，点N的坐标为（1，k+3），
∵当k+3＞0时，A（﹣1，0），D（1，0），
∴MQ＝AD＝2，AQ＝ND＝k+3，
∴OQ＝k+4，
∴点M的坐标为（﹣k﹣4，2），
∴k（﹣k﹣4）+3＝2，即k2+4k﹣1＝0，
解得或（舍去），
∴直线PC的解析式为，
同理可得当k+3≤0时，
解得y＝﹣x+3．
综上所述，或y＝﹣x+3．
26．（2023秋 鼓楼区校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，点O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠C＝45°，求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：过点O作OG⊥AC于点G，连接AO，OD，
∵AB是⊙O的切线，
∴OD⊥AB，
∵点O是底边BC的中点，
∴OB＝OC，
∵AB＝AC，
∴AO平分∠BAC，AO⊥BC，
∴OD＝OG，
∵OG是圆的半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝AC，∠C＝45°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠BAC＝90°，即△BAC为等腰直角三角形，
∵∠ADO＝∠AGO＝90°，
∴四边形ADOG是矩形，
∵OD＝OG，
∴四边形ADOG是正方形，
∴AD＝OD＝OG＝AG＝2，∠DOG＝90°，
∴阴影部分的面积为．
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