期末达标测试卷（含解析）-2024-2025学年数学九年级上册苏科版
文档属性
| 名称 | 期末达标测试卷（含解析）-2024-2025学年数学九年级上册苏科版 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 659.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-01-10 20:20:24 | ||
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文档简介
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期末达标测试卷-2024-2025学年数学九年级上册苏科版
一．选择题（共9小题）
1．（2023秋 晋中期末）某校成立了甲，乙，丙，丁四支升国旗护旗队，各队队员身高的平均数（cm）与方差（s2）如下表所示，则四支护旗队中身高最整齐的是（ ）
甲 乙 丙 丁
164.8 164.6 165.2 164.9
s2 7.5 12.75 8.8 10.45
A．甲队 B．乙队 C．丙队 D．丁队
2．（2023秋 平城区期末）如图，△ABC的面积为10cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP，垂足为P，连接CP，若三角形内有一点M，则点M落在△BPC内（包括边界）的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋 兴文县期末）下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．x﹣1＝0 B．ax2＝1 C． D．x（x﹣2）＝1
4．（2023秋 田家庵区校级期末）已知x＝﹣1是一元二次方程x2+mx+5＝0的一个解，则m的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣6 D．6
5．（2023秋 叙州区期末）据统计，某市国庆期间前三天外来游客按相同的增长率增长，第一天外来游客约3万人，三天后累计达到10万人．若增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．3（1+x）＝10
B．3（1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10
D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
6．（2023秋 平定县期末）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E，连接DE．若⊙O与BC相切于点D，∠ADE＝55°，则∠C的度数为（ ）
A．55° B．50° C．45° D．40°
7．（2023秋 城厢区期末）如图，PA，PB切⊙O于点A，B，直线FG切⊙O于点E，交PA于点F，交PB于点G，若△PFG的周长是15cm，则PA的长为（ ）
A．6.5cm B．7cm C．7.5cm D．8cm
8．（2023秋 曹县期末）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，点E在直径CD的延长线上，AE切⊙O于点A，AE＝6，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023秋 文昌校级期末）三国时期的数学家赵爽，在其所著的《勾股圆方图注》中记载用图形的方法来解一元二次方程，四个相等的矩形（每一个矩形的面积都是35）拼成如图所示的一个大正方形，利用所给的数据，能得到的方程是（ ）
A．x（x+2）＝35 B．x（x+2）＝35+4
C．x（x+2）＝4×35 D．x（x+2）＝4×35+4
二．填空题（共9小题）
10．（2023秋 白碱滩区期末）在英语单词polynomial（多项式）中任意选出一个字母，选出的字母为“n”的概率是 ．
11．（2023秋 富锦市校级期末）一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．则布袋里红球有 个．
12．（2023秋 单县期末）在方差计算公式，若m，n分别表示这组数据的个数和平均数，则的值为 ．
13．（2023秋 柳河县期末）关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣9，x2＝11（a，m，b均为常数，a≠0），则关于x的方程a（x+m+3）2+b＝0的解是 ．
14．（2023秋 平定县期末）一份摄影作品[七寸照片（长7英寸，宽5英寸）]，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露出衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的2倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），则可列方程为 ．
15．（2023秋 曾都区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD∥AB，若∠ACD＝25°，则∠ABC＝ °．
16．（2023秋 荣成市期末）如图，Rt△ABC的内切圆分别与三边相切于点D，点E和点F，若AD＝4，BD＝5，则△ABC的面积为 ．
17．（2023秋 定陶区期末）如图，矩形ABCD中，，BC＝2，以A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，则图中阴影部分的面积为 ．
18．（2023秋 兖州区期末）制作弯管时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．图中弯管（不计厚度）有一段圆弧（）点O是这段圆弧所在圆的圆心，半径OA＝80cm，圆心角∠AOB＝100°，则这段弯管中的长为 cm（结果保留π）．
三．解答题（共8小题）
19．（2023秋 朝天区期末）按要求解下列方程：
（1）x2+2x﹣1＝0（配方法）；
（2）2x2﹣5x+1＝0（公式法）．
20．（2024春 阳山县期末）一个不透明的袋中装有18个白球和若干个红球，它们除颜色外其他均相同．已知将袋中球摇匀后，从中任意摸出一个球是白球的概率是．
（1）求袋中总共有多少个球？
（2）从袋中取走10个球（其中没有红球）并将袋中球摇匀后，求从剩余的球中任意摸出一个球是红球的概率．
21．（2023秋 城厢区期末）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2（a﹣1）x+a﹣1＝0有两个实数根．
（1）求a的取值范围．
（2）若该方程的两个实数根为x1，x2，且，求a的值．
22．（2023秋 金平县期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O半径为4．
（1）求点O到AB的距离；
（2）求正六边形ABCDEF的面积．
23．（2023秋 隆昌市校级期末）在“金山情一日游”的研学活动中，小明发现某农场有一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙长为22米，养鸡场的面积是160平方米．
（1）据农场管理人员介绍，养鸡场今年养鸡320只，计划明后两年增长率相同，预估后年养鸡500只，请求出这个增长率；
（2）为了改善养鸡场环境，今年对养鸡场进行重建，重建后的养鸡场如图所示，围成养鸡场的板材共用去40米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，养鸡场的面积不变，求重建后的养鸡场的宽AB为多少米？
24．（2023秋 北京期末）已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC＝2∠ACD．
（1）求证：直线AC是圆O的切线；
（2）若OD⊥OC，∠ACB＝75°，圆O的半径为4，求BC的长．
25．（2023秋 莘县期末）某校开展了“远离新冠 珍爱生命”的安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组，A.80＜x≤85；B.85＜x≤90，C.90＜x≤95，D.95＜x≤100），下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：81，86，99，95，90，99，100，82，89，99．
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，94，90．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 92 92
中位数 92.5 b
众数 c 100
方差 49 50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）a＝ ；b＝ ；c＝ ．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握安全知识更好？请说明理由（一条即可）；
（3）该中学七、八年级共2160人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动获得成绩优秀（x＞95）的学生人数是多少？
26．（2023秋 广水市期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理：如图1，其原理是利用流动的河水，推动水车转动，水斗舀满河水，将水提升，等水斗转至顶空后再倾入接水槽，水流源源不断，流入田地，以利灌溉．如图2，筒车⊙O与水面分别交于点A，B，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒．接水槽MN所在的直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M，当点P恰好在NM所在的直线上时．解决下面的问题：
（1）求证：∠BAP＝∠MPB；
（2）若AB＝AP，MB＝8，MP＝12，求BP的长．
期末达标测试卷-2024-2025学年数学九年级上册苏科版
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 A A D D D A C A A
一．选择题（共9小题）
1．（2023秋 晋中期末）某校成立了甲，乙，丙，丁四支升国旗护旗队，各队队员身高的平均数（cm）与方差（s2）如下表所示，则四支护旗队中身高最整齐的是（ ）
甲 乙 丙 丁
164.8 164.6 165.2 164.9
s2 7.5 12.75 8.8 10.45
A．甲队 B．乙队 C．丙队 D．丁队
【解答】解：∵7.5＜8.8＜10.45＜12.75，
∴四支护旗队中身高最整齐的是甲队，
故选：A．
2．（2023秋 平城区期末）如图，△ABC的面积为10cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP，垂足为P，连接CP，若三角形内有一点M，则点M落在△BPC内（包括边界）的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠EPB＝90°，
在△ABP和△EBP中，
，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝PE，
∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，
∴，
∴点M落在△BPC内（包括边界）的概率为：．
故选：A．
3．（2023秋 兴文县期末）下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．x﹣1＝0 B．ax2＝1 C． D．x（x﹣2）＝1
【解答】解：A．x﹣1＝0，是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；
B．ax2＝1，当a≠0时，是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
C． ，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意；
D．x（x﹣2）＝1，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
4．（2023秋 田家庵区校级期末）已知x＝﹣1是一元二次方程x2+mx+5＝0的一个解，则m的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣6 D．6
【解答】解：根据题意，将x＝﹣1代入x2+mx+5＝0，
得（﹣1）2﹣m+5＝0，解得m＝6，
故选：D．
5．（2023秋 叙州区期末）据统计，某市国庆期间前三天外来游客按相同的增长率增长，第一天外来游客约3万人，三天后累计达到10万人．若增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．3（1+x）＝10
B．3（1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10
D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
【解答】解：∵该市国庆期间前三天外来游客按相同的增长率增长，增长率为x，且第一天外来游客约3万人，
∴第二天外来游客约3（1+x）万人，第三天外来游客约3（1+x）2万人．
根据题意，得
3+3（1+x）+3（1+x）2＝10．
故选：D．
6．（2023秋 平定县期末）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E，连接DE．若⊙O与BC相切于点D，∠ADE＝55°，则∠C的度数为（ ）
A．55° B．50° C．45° D．40°
【解答】解：∵AD为⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
∵⊙O与BC相切于点D，
∴BC⊥AD，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C+∠CDE＝∠AED＝90°，∠ADE+∠CDE＝∠ADC＝90°，且∠ADE＝55°，
∴∠C＝∠ADE＝55°，
故选：A．
7．（2023秋 城厢区期末）如图，PA，PB切⊙O于点A，B，直线FG切⊙O于点E，交PA于点F，交PB于点G，若△PFG的周长是15cm，则PA的长为（ ）
A．6.5cm B．7cm C．7.5cm D．8cm
【解答】解：∵直线FG切⊙O于点E，交PA于点F，交PB于点G，
∴AF＝EF，BG＝EG，
∵△PFG的周长是15cm，
∴PA+PB＝PF+AF+BG+PG＝PF+EF+EG+PG＝PF+FG+PG＝15cm，
∵PA，PB切⊙O于点A，B，
∴PA＝PB，
∴PA+PB＝2PA＝15cm，
∴PA15＝7.5（cm），
∴PA的长是7.5cm，
故选：C．
8．（2023秋 曹县期末）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，点E在直径CD的延长线上，AE切⊙O于点A，AE＝6，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：连接OA，如图，
由圆周角定理得∠AOC＝2∠ABC＝120°，
∴∠AOE＝180°﹣∠AOC＝60°；
∵AE与⊙O相切，
∴∠OAE＝90°，
∴，
∴阴影部分面积＝S△AOE﹣S扇形OAD
．
故选：A．
9．（2023秋 文昌校级期末）三国时期的数学家赵爽，在其所著的《勾股圆方图注》中记载用图形的方法来解一元二次方程，四个相等的矩形（每一个矩形的面积都是35）拼成如图所示的一个大正方形，利用所给的数据，能得到的方程是（ ）
A．x（x+2）＝35 B．x（x+2）＝35+4
C．x（x+2）＝4×35 D．x（x+2）＝4×35+4
【解答】解：由图中可以看出小矩形的长为x+2，宽为x，
∵小矩形的面积为35，
∴可列方程为x（x+2）＝35，
故选：A．
二．填空题（共9小题）
10．（2023秋 白碱滩区期末）在英语单词polynomial（多项式）中任意选出一个字母，选出的字母为“n”的概率是 ．
【解答】解：单词polynomial中共有10个字母，
其中n出现了1次，
故任意选择一个字母恰好是字母“n”的概率为：．
故答案为：．
11．（2023秋 富锦市校级期末）一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．则布袋里红球有 1 个．
【解答】解：设布袋里红球有x个，
由题意得：，
解得：x＝1，
经检验x＝1是原方程的解．
∴布袋里红球有1个，
故答案为：1．
12．（2023秋 单县期末）在方差计算公式，若m，n分别表示这组数据的个数和平均数，则的值为 ．
【解答】解：∵方差计算公式，m，n分别表示这组数据的个数和平均数，
∴m＝20，n＝15，
∴．
故答案为：．
13．（2023秋 柳河县期末）关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣9，x2＝11（a，m，b均为常数，a≠0），则关于x的方程a（x+m+3）2+b＝0的解是 x3＝﹣12，x4＝8 ．
【解答】解：方程a（x+m+3）2+b＝0变形为方程a[（x+3）+m]2+b＝0，
∵方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣9，x2＝11，
∴关于x的方程a（x+m+3）2+b＝0的解为x3+3＝﹣9，x4+3＝11，
∴x3＝﹣12，x4＝8，
故答案为：x3＝﹣12，x4＝8．
14．（2023秋 平定县期末）一份摄影作品[七寸照片（长7英寸，宽5英寸）]，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露出衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的2倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），则可列方程为 7+2x）（5+2x）＝2×7×5 ．
【解答】解：根据题意得：（7+2x）（5+2x）＝2×7×5，
故答案为：（7+2x）（5+2x）＝2×7×5．
15．（2023秋 曾都区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD∥AB，若∠ACD＝25°，则∠ABC＝ 65 °．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD∥AB，∠ACD＝25°，
∴∠CAB＝∠ACD＝25°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝65°，
故答案为：65．
16．（2023秋 荣成市期末）如图，Rt△ABC的内切圆分别与三边相切于点D，点E和点F，若AD＝4，BD＝5，则△ABC的面积为 20 ．
【解答】解：∵Rt△ABC的内切圆分别与斜边AB、直角边CA、BC切于点D、E、F，AD＝4，BD＝5，
∴AF＝AD＝4，BF＝BD＝5，FC＝EC，
设FC＝EC＝x，
则（4+x）2+（5+x）2＝（4+5）2，
整理得，x2+9x﹣20＝0，
解得：，（不合题意舍去），
则，，
∴，
故Rt△ABC的面积为20，
故答案为：20．
17．（2023秋 定陶区期末）如图，矩形ABCD中，，BC＝2，以A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，则图中阴影部分的面积为 π ．
【解答】解：∵AD＝BC＝AE＝2，AB，
∴cos∠BAE，
∴∠BAE＝30°，
∴∠DAE＝60°，BEAE＝1，
∴阴影部分面积＝矩形ABCD面积﹣△ABE的面积﹣扇形ADE的面积
＝21
π．
故答案为：．
18．（2023秋 兖州区期末）制作弯管时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．图中弯管（不计厚度）有一段圆弧（）点O是这段圆弧所在圆的圆心，半径OA＝80cm，圆心角∠AOB＝100°，则这段弯管中的长为 cm（结果保留π）．
【解答】解：的长为：（cm），
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
19．（2023秋 朝天区期末）按要求解下列方程：
（1）x2+2x﹣1＝0（配方法）；
（2）2x2﹣5x+1＝0（公式法）．
【解答】解：（1）x2+2x＝1，
x2+2x+1＝1+1，
（x+1）2＝2，
，
或，
x1＝﹣1，x2＝﹣1；
（2）∵a＝2，b＝﹣5，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝17，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴．
20．（2024春 阳山县期末）一个不透明的袋中装有18个白球和若干个红球，它们除颜色外其他均相同．已知将袋中球摇匀后，从中任意摸出一个球是白球的概率是．
（1）求袋中总共有多少个球？
（2）从袋中取走10个球（其中没有红球）并将袋中球摇匀后，求从剩余的球中任意摸出一个球是红球的概率．
【解答】解：（1）设袋中总共有x个球，
∵袋中装有18个白球，从中任意摸出一个球是白球的概率是，
∴，
解得x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，
即袋中总共有30个球；
（2）袋子中红球的个数为：30﹣18＝12（个），
取走10个球，则袋子中球的总个数为30﹣10＝20（个），
∴剩余的球中任意摸出一个球是红球的概率为．
21．（2023秋 城厢区期末）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2（a﹣1）x+a﹣1＝0有两个实数根．
（1）求a的取值范围．
（2）若该方程的两个实数根为x1，x2，且，求a的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程ax2﹣2（a﹣1）x+a﹣1＝0有两个实数根，
∴Δ＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4a（a﹣1）≥0且a≠0，
解得a≤1且a≠0，
（2）由题意可知，
x1+x2，
x1x2，
由，
可得：x1x2（x1+x2）＝2，
∴2，
解得：a，
经检验a是方程的解．
∵a的取值范围是解得a≤1且a≠0，
∴a．
22．（2023秋 金平县期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O半径为4．
（1）求点O到AB的距离；
（2）求正六边形ABCDEF的面积．
【解答】解：（1）连接OA、OB，作OH⊥AB于H，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝360°÷6＝60°，
∵OA＝OB＝4，
∴∠AOH＝30°，
∴，
∴点O到AB的距离为；
（2）在Rt△AOH中，AH＝OA sin∠AOH＝2，
∴AB＝2AH＝4，
∴正六边形ABCDEF的面积．
23．（2023秋 隆昌市校级期末）在“金山情一日游”的研学活动中，小明发现某农场有一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙长为22米，养鸡场的面积是160平方米．
（1）据农场管理人员介绍，养鸡场今年养鸡320只，计划明后两年增长率相同，预估后年养鸡500只，请求出这个增长率；
（2）为了改善养鸡场环境，今年对养鸡场进行重建，重建后的养鸡场如图所示，围成养鸡场的板材共用去40米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，养鸡场的面积不变，求重建后的养鸡场的宽AB为多少米？
【解答】解：（1）设这个增长率为x，
由题意得：320（1+x）2＝500，
解得：x1＝﹣2.25（不合题意舍去），x2＝0.25＝25%，
答：这个增长率为25%；
（2）设重建后的养鸡场的宽AB为y米，则BC的长为（40+2×2﹣3y）米，
由题意得：y（40+2×2﹣3y）＝160，
整理得：3y2﹣44y+160＝0，
解得：y1，y2＝8，
当y时，BC的长为：40+2×2﹣3y＝40+2×2﹣324（米）＞22米，不合题意，舍去；
当y＝8时，BC的长为：40+2×2﹣3y＝40+2×2﹣3×8＝20（米）＜22米，符合题意；
∴AB＝8米，
答：重建后的养鸡场的宽AB为8米．
24．（2023秋 北京期末）已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC＝2∠ACD．
（1）求证：直线AC是圆O的切线；
（2）若OD⊥OC，∠ACB＝75°，圆O的半径为4，求BC的长．
【解答】（1）证明：∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD．
∵，
∴∠DOC＝2∠DBC，
∵∠DOC＝2∠ACD，
∴∠DBC＝∠ACD，
∵∠DOC+∠ODC+∠OCD＝180°，
∴2∠DBC+2∠OCD＝180°，
∴∠DBC+∠OCD＝90°，
∴∠ACD+∠OCD＝∠ACO＝90°，
∴直线AC是圆O的切线．
（2）解：∵OD＝OC＝4，∠DOC＝90°，
∴∠OCD＝∠ODC＝∠ACD＝45°，
∴．
∵∠ACB＝75°，
∴∠BCD＝30°，
作DE⊥BC于点E，则∠DEC＝∠DEB＝90°，
∴．
∵∠B＝∠ACD＝45°，
∴，
∴．
25．（2023秋 莘县期末）某校开展了“远离新冠 珍爱生命”的安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组，A.80＜x≤85；B.85＜x≤90，C.90＜x≤95，D.95＜x≤100），下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：81，86，99，95，90，99，100，82，89，99．
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，94，90．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 92 92
中位数 92.5 b
众数 c 100
方差 49 50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）a＝ 40 ；b＝ 94 ；c＝ 99 ．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握安全知识更好？请说明理由（一条即可）；
（3）该中学七、八年级共2160人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动获得成绩优秀（x＞95）的学生人数是多少？
【解答】解：（1）八年级10名学生的竞赛成绩没有低于80分的，且在C组中的数据是：94，94，90，
∴C组所占的百分比为3÷10×100%＝30%，
∵1﹣10%﹣20%﹣30%＝40%，
即a＝40，
八年级A组的有2人，B组的有1人，C组有3人，D组的有4人，将这10人的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都是94，因此中位数是94，即b＝94，
七年级10名学生成绩出现次数最多的是99，因此众数是99，即c＝99，
故答案为：40；94；99；
（2）七年级学生掌握安全知识更好，理由：
∵七年级的方差为49，八年级的方差是50.4，而49＜50.4，
∴七年级学生掌握安全知识更好；
（3）2160×40%＝864（人），
答：参加此次竞赛活动获得成绩优秀（x＞95）的学生人数是864人．
26．（2023秋 广水市期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理：如图1，其原理是利用流动的河水，推动水车转动，水斗舀满河水，将水提升，等水斗转至顶空后再倾入接水槽，水流源源不断，流入田地，以利灌溉．如图2，筒车⊙O与水面分别交于点A，B，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒．接水槽MN所在的直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M，当点P恰好在NM所在的直线上时．解决下面的问题：
（1）求证：∠BAP＝∠MPB；
（2）若AB＝AP，MB＝8，MP＝12，求BP的长．
【解答】（1）证明：∵PC是⊙O的直径，
∴∠PBC＝90°，
∴∠BPC+∠BCP＝90°，
∵MN所在的直线是⊙O的切线，点P恰好在NM所在的直线上，
∴MP⊥PC，
∴∠MPC＝90°，
∴∠MPB+∠BPC＝90°，
∴∠MPB＝∠BCP，
∵∠BCP＝∠BAP，
∴∠BAP＝∠MPB；
（2）解：∵∠MAP＝∠MPB，∠M＝∠M，
∴△MPA∽△MBP，
∴，
∵AB＝AP，MB＝8，MP＝12，
∴，
∴AP＝AB＝MA﹣MB＝18﹣8＝10，
∴．
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期末达标测试卷-2024-2025学年数学九年级上册苏科版
一．选择题（共9小题）
1．（2023秋 晋中期末）某校成立了甲，乙，丙，丁四支升国旗护旗队，各队队员身高的平均数（cm）与方差（s2）如下表所示，则四支护旗队中身高最整齐的是（ ）
甲 乙 丙 丁
164.8 164.6 165.2 164.9
s2 7.5 12.75 8.8 10.45
A．甲队 B．乙队 C．丙队 D．丁队
2．（2023秋 平城区期末）如图，△ABC的面积为10cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP，垂足为P，连接CP，若三角形内有一点M，则点M落在△BPC内（包括边界）的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋 兴文县期末）下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．x﹣1＝0 B．ax2＝1 C． D．x（x﹣2）＝1
4．（2023秋 田家庵区校级期末）已知x＝﹣1是一元二次方程x2+mx+5＝0的一个解，则m的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣6 D．6
5．（2023秋 叙州区期末）据统计，某市国庆期间前三天外来游客按相同的增长率增长，第一天外来游客约3万人，三天后累计达到10万人．若增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．3（1+x）＝10
B．3（1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10
D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
6．（2023秋 平定县期末）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E，连接DE．若⊙O与BC相切于点D，∠ADE＝55°，则∠C的度数为（ ）
A．55° B．50° C．45° D．40°
7．（2023秋 城厢区期末）如图，PA，PB切⊙O于点A，B，直线FG切⊙O于点E，交PA于点F，交PB于点G，若△PFG的周长是15cm，则PA的长为（ ）
A．6.5cm B．7cm C．7.5cm D．8cm
8．（2023秋 曹县期末）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，点E在直径CD的延长线上，AE切⊙O于点A，AE＝6，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023秋 文昌校级期末）三国时期的数学家赵爽，在其所著的《勾股圆方图注》中记载用图形的方法来解一元二次方程，四个相等的矩形（每一个矩形的面积都是35）拼成如图所示的一个大正方形，利用所给的数据，能得到的方程是（ ）
A．x（x+2）＝35 B．x（x+2）＝35+4
C．x（x+2）＝4×35 D．x（x+2）＝4×35+4
二．填空题（共9小题）
10．（2023秋 白碱滩区期末）在英语单词polynomial（多项式）中任意选出一个字母，选出的字母为“n”的概率是 ．
11．（2023秋 富锦市校级期末）一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．则布袋里红球有 个．
12．（2023秋 单县期末）在方差计算公式，若m，n分别表示这组数据的个数和平均数，则的值为 ．
13．（2023秋 柳河县期末）关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣9，x2＝11（a，m，b均为常数，a≠0），则关于x的方程a（x+m+3）2+b＝0的解是 ．
14．（2023秋 平定县期末）一份摄影作品[七寸照片（长7英寸，宽5英寸）]，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露出衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的2倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），则可列方程为 ．
15．（2023秋 曾都区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD∥AB，若∠ACD＝25°，则∠ABC＝ °．
16．（2023秋 荣成市期末）如图，Rt△ABC的内切圆分别与三边相切于点D，点E和点F，若AD＝4，BD＝5，则△ABC的面积为 ．
17．（2023秋 定陶区期末）如图，矩形ABCD中，，BC＝2，以A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，则图中阴影部分的面积为 ．
18．（2023秋 兖州区期末）制作弯管时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．图中弯管（不计厚度）有一段圆弧（）点O是这段圆弧所在圆的圆心，半径OA＝80cm，圆心角∠AOB＝100°，则这段弯管中的长为 cm（结果保留π）．
三．解答题（共8小题）
19．（2023秋 朝天区期末）按要求解下列方程：
（1）x2+2x﹣1＝0（配方法）；
（2）2x2﹣5x+1＝0（公式法）．
20．（2024春 阳山县期末）一个不透明的袋中装有18个白球和若干个红球，它们除颜色外其他均相同．已知将袋中球摇匀后，从中任意摸出一个球是白球的概率是．
（1）求袋中总共有多少个球？
（2）从袋中取走10个球（其中没有红球）并将袋中球摇匀后，求从剩余的球中任意摸出一个球是红球的概率．
21．（2023秋 城厢区期末）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2（a﹣1）x+a﹣1＝0有两个实数根．
（1）求a的取值范围．
（2）若该方程的两个实数根为x1，x2，且，求a的值．
22．（2023秋 金平县期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O半径为4．
（1）求点O到AB的距离；
（2）求正六边形ABCDEF的面积．
23．（2023秋 隆昌市校级期末）在“金山情一日游”的研学活动中，小明发现某农场有一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙长为22米，养鸡场的面积是160平方米．
（1）据农场管理人员介绍，养鸡场今年养鸡320只，计划明后两年增长率相同，预估后年养鸡500只，请求出这个增长率；
（2）为了改善养鸡场环境，今年对养鸡场进行重建，重建后的养鸡场如图所示，围成养鸡场的板材共用去40米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，养鸡场的面积不变，求重建后的养鸡场的宽AB为多少米？
24．（2023秋 北京期末）已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC＝2∠ACD．
（1）求证：直线AC是圆O的切线；
（2）若OD⊥OC，∠ACB＝75°，圆O的半径为4，求BC的长．
25．（2023秋 莘县期末）某校开展了“远离新冠 珍爱生命”的安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组，A.80＜x≤85；B.85＜x≤90，C.90＜x≤95，D.95＜x≤100），下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：81，86，99，95，90，99，100，82，89，99．
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，94，90．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 92 92
中位数 92.5 b
众数 c 100
方差 49 50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）a＝ ；b＝ ；c＝ ．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握安全知识更好？请说明理由（一条即可）；
（3）该中学七、八年级共2160人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动获得成绩优秀（x＞95）的学生人数是多少？
26．（2023秋 广水市期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理：如图1，其原理是利用流动的河水，推动水车转动，水斗舀满河水，将水提升，等水斗转至顶空后再倾入接水槽，水流源源不断，流入田地，以利灌溉．如图2，筒车⊙O与水面分别交于点A，B，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒．接水槽MN所在的直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M，当点P恰好在NM所在的直线上时．解决下面的问题：
（1）求证：∠BAP＝∠MPB；
（2）若AB＝AP，MB＝8，MP＝12，求BP的长．
期末达标测试卷-2024-2025学年数学九年级上册苏科版
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 A A D D D A C A A
一．选择题（共9小题）
1．（2023秋 晋中期末）某校成立了甲，乙，丙，丁四支升国旗护旗队，各队队员身高的平均数（cm）与方差（s2）如下表所示，则四支护旗队中身高最整齐的是（ ）
甲 乙 丙 丁
164.8 164.6 165.2 164.9
s2 7.5 12.75 8.8 10.45
A．甲队 B．乙队 C．丙队 D．丁队
【解答】解：∵7.5＜8.8＜10.45＜12.75，
∴四支护旗队中身高最整齐的是甲队，
故选：A．
2．（2023秋 平城区期末）如图，△ABC的面积为10cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP，垂足为P，连接CP，若三角形内有一点M，则点M落在△BPC内（包括边界）的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠EPB＝90°，
在△ABP和△EBP中，
，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝PE，
∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，
∴，
∴点M落在△BPC内（包括边界）的概率为：．
故选：A．
3．（2023秋 兴文县期末）下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．x﹣1＝0 B．ax2＝1 C． D．x（x﹣2）＝1
【解答】解：A．x﹣1＝0，是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；
B．ax2＝1，当a≠0时，是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
C． ，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意；
D．x（x﹣2）＝1，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
4．（2023秋 田家庵区校级期末）已知x＝﹣1是一元二次方程x2+mx+5＝0的一个解，则m的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣6 D．6
【解答】解：根据题意，将x＝﹣1代入x2+mx+5＝0，
得（﹣1）2﹣m+5＝0，解得m＝6，
故选：D．
5．（2023秋 叙州区期末）据统计，某市国庆期间前三天外来游客按相同的增长率增长，第一天外来游客约3万人，三天后累计达到10万人．若增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．3（1+x）＝10
B．3（1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10
D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
【解答】解：∵该市国庆期间前三天外来游客按相同的增长率增长，增长率为x，且第一天外来游客约3万人，
∴第二天外来游客约3（1+x）万人，第三天外来游客约3（1+x）2万人．
根据题意，得
3+3（1+x）+3（1+x）2＝10．
故选：D．
6．（2023秋 平定县期末）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E，连接DE．若⊙O与BC相切于点D，∠ADE＝55°，则∠C的度数为（ ）
A．55° B．50° C．45° D．40°
【解答】解：∵AD为⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
∵⊙O与BC相切于点D，
∴BC⊥AD，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C+∠CDE＝∠AED＝90°，∠ADE+∠CDE＝∠ADC＝90°，且∠ADE＝55°，
∴∠C＝∠ADE＝55°，
故选：A．
7．（2023秋 城厢区期末）如图，PA，PB切⊙O于点A，B，直线FG切⊙O于点E，交PA于点F，交PB于点G，若△PFG的周长是15cm，则PA的长为（ ）
A．6.5cm B．7cm C．7.5cm D．8cm
【解答】解：∵直线FG切⊙O于点E，交PA于点F，交PB于点G，
∴AF＝EF，BG＝EG，
∵△PFG的周长是15cm，
∴PA+PB＝PF+AF+BG+PG＝PF+EF+EG+PG＝PF+FG+PG＝15cm，
∵PA，PB切⊙O于点A，B，
∴PA＝PB，
∴PA+PB＝2PA＝15cm，
∴PA15＝7.5（cm），
∴PA的长是7.5cm，
故选：C．
8．（2023秋 曹县期末）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，点E在直径CD的延长线上，AE切⊙O于点A，AE＝6，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：连接OA，如图，
由圆周角定理得∠AOC＝2∠ABC＝120°，
∴∠AOE＝180°﹣∠AOC＝60°；
∵AE与⊙O相切，
∴∠OAE＝90°，
∴，
∴阴影部分面积＝S△AOE﹣S扇形OAD
．
故选：A．
9．（2023秋 文昌校级期末）三国时期的数学家赵爽，在其所著的《勾股圆方图注》中记载用图形的方法来解一元二次方程，四个相等的矩形（每一个矩形的面积都是35）拼成如图所示的一个大正方形，利用所给的数据，能得到的方程是（ ）
A．x（x+2）＝35 B．x（x+2）＝35+4
C．x（x+2）＝4×35 D．x（x+2）＝4×35+4
【解答】解：由图中可以看出小矩形的长为x+2，宽为x，
∵小矩形的面积为35，
∴可列方程为x（x+2）＝35，
故选：A．
二．填空题（共9小题）
10．（2023秋 白碱滩区期末）在英语单词polynomial（多项式）中任意选出一个字母，选出的字母为“n”的概率是 ．
【解答】解：单词polynomial中共有10个字母，
其中n出现了1次，
故任意选择一个字母恰好是字母“n”的概率为：．
故答案为：．
11．（2023秋 富锦市校级期末）一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．则布袋里红球有 1 个．
【解答】解：设布袋里红球有x个，
由题意得：，
解得：x＝1，
经检验x＝1是原方程的解．
∴布袋里红球有1个，
故答案为：1．
12．（2023秋 单县期末）在方差计算公式，若m，n分别表示这组数据的个数和平均数，则的值为 ．
【解答】解：∵方差计算公式，m，n分别表示这组数据的个数和平均数，
∴m＝20，n＝15，
∴．
故答案为：．
13．（2023秋 柳河县期末）关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣9，x2＝11（a，m，b均为常数，a≠0），则关于x的方程a（x+m+3）2+b＝0的解是 x3＝﹣12，x4＝8 ．
【解答】解：方程a（x+m+3）2+b＝0变形为方程a[（x+3）+m]2+b＝0，
∵方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣9，x2＝11，
∴关于x的方程a（x+m+3）2+b＝0的解为x3+3＝﹣9，x4+3＝11，
∴x3＝﹣12，x4＝8，
故答案为：x3＝﹣12，x4＝8．
14．（2023秋 平定县期末）一份摄影作品[七寸照片（长7英寸，宽5英寸）]，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露出衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的2倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），则可列方程为 7+2x）（5+2x）＝2×7×5 ．
【解答】解：根据题意得：（7+2x）（5+2x）＝2×7×5，
故答案为：（7+2x）（5+2x）＝2×7×5．
15．（2023秋 曾都区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD∥AB，若∠ACD＝25°，则∠ABC＝ 65 °．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD∥AB，∠ACD＝25°，
∴∠CAB＝∠ACD＝25°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝65°，
故答案为：65．
16．（2023秋 荣成市期末）如图，Rt△ABC的内切圆分别与三边相切于点D，点E和点F，若AD＝4，BD＝5，则△ABC的面积为 20 ．
【解答】解：∵Rt△ABC的内切圆分别与斜边AB、直角边CA、BC切于点D、E、F，AD＝4，BD＝5，
∴AF＝AD＝4，BF＝BD＝5，FC＝EC，
设FC＝EC＝x，
则（4+x）2+（5+x）2＝（4+5）2，
整理得，x2+9x﹣20＝0，
解得：，（不合题意舍去），
则，，
∴，
故Rt△ABC的面积为20，
故答案为：20．
17．（2023秋 定陶区期末）如图，矩形ABCD中，，BC＝2，以A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，则图中阴影部分的面积为 π ．
【解答】解：∵AD＝BC＝AE＝2，AB，
∴cos∠BAE，
∴∠BAE＝30°，
∴∠DAE＝60°，BEAE＝1，
∴阴影部分面积＝矩形ABCD面积﹣△ABE的面积﹣扇形ADE的面积
＝21
π．
故答案为：．
18．（2023秋 兖州区期末）制作弯管时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．图中弯管（不计厚度）有一段圆弧（）点O是这段圆弧所在圆的圆心，半径OA＝80cm，圆心角∠AOB＝100°，则这段弯管中的长为 cm（结果保留π）．
【解答】解：的长为：（cm），
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
19．（2023秋 朝天区期末）按要求解下列方程：
（1）x2+2x﹣1＝0（配方法）；
（2）2x2﹣5x+1＝0（公式法）．
【解答】解：（1）x2+2x＝1，
x2+2x+1＝1+1，
（x+1）2＝2，
，
或，
x1＝﹣1，x2＝﹣1；
（2）∵a＝2，b＝﹣5，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝17，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴．
20．（2024春 阳山县期末）一个不透明的袋中装有18个白球和若干个红球，它们除颜色外其他均相同．已知将袋中球摇匀后，从中任意摸出一个球是白球的概率是．
（1）求袋中总共有多少个球？
（2）从袋中取走10个球（其中没有红球）并将袋中球摇匀后，求从剩余的球中任意摸出一个球是红球的概率．
【解答】解：（1）设袋中总共有x个球，
∵袋中装有18个白球，从中任意摸出一个球是白球的概率是，
∴，
解得x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，
即袋中总共有30个球；
（2）袋子中红球的个数为：30﹣18＝12（个），
取走10个球，则袋子中球的总个数为30﹣10＝20（个），
∴剩余的球中任意摸出一个球是红球的概率为．
21．（2023秋 城厢区期末）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2（a﹣1）x+a﹣1＝0有两个实数根．
（1）求a的取值范围．
（2）若该方程的两个实数根为x1，x2，且，求a的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程ax2﹣2（a﹣1）x+a﹣1＝0有两个实数根，
∴Δ＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4a（a﹣1）≥0且a≠0，
解得a≤1且a≠0，
（2）由题意可知，
x1+x2，
x1x2，
由，
可得：x1x2（x1+x2）＝2，
∴2，
解得：a，
经检验a是方程的解．
∵a的取值范围是解得a≤1且a≠0，
∴a．
22．（2023秋 金平县期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O半径为4．
（1）求点O到AB的距离；
（2）求正六边形ABCDEF的面积．
【解答】解：（1）连接OA、OB，作OH⊥AB于H，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝360°÷6＝60°，
∵OA＝OB＝4，
∴∠AOH＝30°，
∴，
∴点O到AB的距离为；
（2）在Rt△AOH中，AH＝OA sin∠AOH＝2，
∴AB＝2AH＝4，
∴正六边形ABCDEF的面积．
23．（2023秋 隆昌市校级期末）在“金山情一日游”的研学活动中，小明发现某农场有一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙长为22米，养鸡场的面积是160平方米．
（1）据农场管理人员介绍，养鸡场今年养鸡320只，计划明后两年增长率相同，预估后年养鸡500只，请求出这个增长率；
（2）为了改善养鸡场环境，今年对养鸡场进行重建，重建后的养鸡场如图所示，围成养鸡场的板材共用去40米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，养鸡场的面积不变，求重建后的养鸡场的宽AB为多少米？
【解答】解：（1）设这个增长率为x，
由题意得：320（1+x）2＝500，
解得：x1＝﹣2.25（不合题意舍去），x2＝0.25＝25%，
答：这个增长率为25%；
（2）设重建后的养鸡场的宽AB为y米，则BC的长为（40+2×2﹣3y）米，
由题意得：y（40+2×2﹣3y）＝160，
整理得：3y2﹣44y+160＝0，
解得：y1，y2＝8，
当y时，BC的长为：40+2×2﹣3y＝40+2×2﹣324（米）＞22米，不合题意，舍去；
当y＝8时，BC的长为：40+2×2﹣3y＝40+2×2﹣3×8＝20（米）＜22米，符合题意；
∴AB＝8米，
答：重建后的养鸡场的宽AB为8米．
24．（2023秋 北京期末）已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC＝2∠ACD．
（1）求证：直线AC是圆O的切线；
（2）若OD⊥OC，∠ACB＝75°，圆O的半径为4，求BC的长．
【解答】（1）证明：∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD．
∵，
∴∠DOC＝2∠DBC，
∵∠DOC＝2∠ACD，
∴∠DBC＝∠ACD，
∵∠DOC+∠ODC+∠OCD＝180°，
∴2∠DBC+2∠OCD＝180°，
∴∠DBC+∠OCD＝90°，
∴∠ACD+∠OCD＝∠ACO＝90°，
∴直线AC是圆O的切线．
（2）解：∵OD＝OC＝4，∠DOC＝90°，
∴∠OCD＝∠ODC＝∠ACD＝45°，
∴．
∵∠ACB＝75°，
∴∠BCD＝30°，
作DE⊥BC于点E，则∠DEC＝∠DEB＝90°，
∴．
∵∠B＝∠ACD＝45°，
∴，
∴．
25．（2023秋 莘县期末）某校开展了“远离新冠 珍爱生命”的安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组，A.80＜x≤85；B.85＜x≤90，C.90＜x≤95，D.95＜x≤100），下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：81，86，99，95，90，99，100，82，89，99．
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，94，90．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 92 92
中位数 92.5 b
众数 c 100
方差 49 50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）a＝ 40 ；b＝ 94 ；c＝ 99 ．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握安全知识更好？请说明理由（一条即可）；
（3）该中学七、八年级共2160人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动获得成绩优秀（x＞95）的学生人数是多少？
【解答】解：（1）八年级10名学生的竞赛成绩没有低于80分的，且在C组中的数据是：94，94，90，
∴C组所占的百分比为3÷10×100%＝30%，
∵1﹣10%﹣20%﹣30%＝40%，
即a＝40，
八年级A组的有2人，B组的有1人，C组有3人，D组的有4人，将这10人的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都是94，因此中位数是94，即b＝94，
七年级10名学生成绩出现次数最多的是99，因此众数是99，即c＝99，
故答案为：40；94；99；
（2）七年级学生掌握安全知识更好，理由：
∵七年级的方差为49，八年级的方差是50.4，而49＜50.4，
∴七年级学生掌握安全知识更好；
（3）2160×40%＝864（人），
答：参加此次竞赛活动获得成绩优秀（x＞95）的学生人数是864人．
26．（2023秋 广水市期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理：如图1，其原理是利用流动的河水，推动水车转动，水斗舀满河水，将水提升，等水斗转至顶空后再倾入接水槽，水流源源不断，流入田地，以利灌溉．如图2，筒车⊙O与水面分别交于点A，B，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒．接水槽MN所在的直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M，当点P恰好在NM所在的直线上时．解决下面的问题：
（1）求证：∠BAP＝∠MPB；
（2）若AB＝AP，MB＝8，MP＝12，求BP的长．
【解答】（1）证明：∵PC是⊙O的直径，
∴∠PBC＝90°，
∴∠BPC+∠BCP＝90°，
∵MN所在的直线是⊙O的切线，点P恰好在NM所在的直线上，
∴MP⊥PC，
∴∠MPC＝90°，
∴∠MPB+∠BPC＝90°，
∴∠MPB＝∠BCP，
∵∠BCP＝∠BAP，
∴∠BAP＝∠MPB；
（2）解：∵∠MAP＝∠MPB，∠M＝∠M，
∴△MPA∽△MBP，
∴，
∵AB＝AP，MB＝8，MP＝12，
∴，
∴AP＝AB＝MA﹣MB＝18﹣8＝10，
∴．
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