2 二次函数的图象与性质
第3课时
课时学习目标 素养目标达成
1.会画y=a(x-h)2与y=a(x-h)2+k的图象,并理解它们与y=ax2的图象的关系,理解a,h和k对二次函数图象的影响 模型观念、运算能力
2.能够正确地说出y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标 模型观念、运算能力
3.会用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题 模型观念、运算能力、应用意识
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
1.y=a(x-h)2与y=a(x-h)2+k的性质 抛物线y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k顶点 坐标(h,0)(h,k)对称轴 位置由h和k的符号确定开口 方向a>0时,开口 a<0时,开口 增减 性a>0,当x> 时,y随x的增大而 ; 当x< 时,y随x的增大而 a<0,当x> 时,y随x的增大而 ; 当x0,当 时,最小值为 ; a<0,当 时,最大值为 a>0,当 时,最小值为 ;a<0,当 时,最大值为
1.(1)二次函数y=-3(x+2)2-5的图象的顶点坐标是( ) A.(2,5) B.(2,-5) C.(-2,5) D.(-2,-5) (2)抛物线y=(x-1)2+5的对称轴为 . (3)已知函数y=2(x+1)2+1,当x 时,y随x的增大而减小. (4)二次函数y=4(x-2)2-5的最小值是 .
2.抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)可以看作是由抛物线y=ax2(a≠0)平移得到的. 若h>0,则向 平移,若h<0,则向 平移; 若k>0,则向 平移,若k<0,则向 平移. 2.抛物线y=-2(x+5)2-1先向左平移5个单位长度,再向下平移1个单位长度可得新抛物线的表达式为 .
重点典例研析 启思凝智 教学相长
重点1二次函数y=a(x-h)2的图象与性质(模型观念、运算能力、应用意识)
【典例1】(教材再开发·P38随堂练习拓展)已知二次函数y=-(x-2)2,不画图象,回答下列问题.
(1)确定抛物线y=-(x-2)2的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(2)当x取何值时,y有最大(小)值 最大(小)值是多少
(3)当x取何值时,y随x的增大而增大
(4)抛物线y=-(x-2)2是由抛物线y=-x2经过怎样的平移得到的
【举一反三】
1.(2024·南通质检)已知二次函数y=-(x+h)2,当x<-1时,y随着x的增大而增大,当x>-1时,y随x的增大而减小,当x=3时,y的值为( )
A.-16 B.-1
C.-9 D.0
2.(2024·徐州期中)已知二次函数y=a(x+1)2的图象经过点(-2,-1).当x<-1时,y随x的增大而 .(填“增大”或“减小”)
【技法点拨】
y=ax2的图象左右平移规律的四字诀
左加:y=ax2向左平移h(h>0)个单位长度 y=a(x+h)2.
右减:y=ax2向右平移h(h>0)个单位长度 y=a(x-h)2.
重点2二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质(模型观念、运算能力、应用意识)
【典例2】如图,抛物线y=(x-4)2-1与直线y=x交于A,B两点(点A在点B的左侧).
(1)求A,B两点的坐标;
(2)设抛物线的顶点为C,连接AC,BC,试求△ABC的面积.
【举一反三】
1.(2024·常德一模)二次函数y=a(x-m)2-k的图象如图所示,下列四个选项中,正确的是( )
A.m<0,k<0 B.m>0,k>0
C.m>0,k<0 D.m<0,k>0
2.如图,将抛物线y=2(x+1)2+1绕原点O顺时针旋转45°得到新曲线,新曲线与直线y=x交于点M,则点M的坐标为 .
【技法点拨】
二次函数y=a(x-h)2+k中a,h,k的两个作用
1.确定图象的特征.根据a,h,k的符号可以确定图象的开口方向、顶点的位置、对称轴;
2.推出图象有关的结论.根据a,h,k的值比较大小、计算点的坐标、求三角形的面积.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·模型观念)函数y=3(x-2)2+4的图象的最小值是( )
A.2 B.3 C.4 D.-2
2.(3分·模型观念)抛物线y=-2(x-1)2的图象一定经过的点是( )
A.(0,2) B.(2,-2) C.(1,-2) D.(-1,4)
3.(3分·模型观念、运算能力)抛物线y=3(x-1)2+8的顶点横坐标为 .
4.(3分·运算能力、应用意识)已知函数y=-(x-1)2图象上两点A(2,y1),B(a,y2),其中a>2,则y1 y2.
5.(8分·应用意识、运算能力)已知抛物线y=(x-2)2经过点A(-2,b).
(1)求b的值;
(2)判断点B(10,8)是否在此抛物线上.2 二次函数的图象与性质
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.会画二次函数y=x2与y=-x2的图象 模型观念
2.会根据图象理解二次函数y=x2与y=-x2的性质 模型观念、运算能力
3.知道y=x2与y=-x2的图象的异同,并能解决简单的问题 模型观念、运算能力、应用意识
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
二次函数y=x2与y=-x2的图象与性质 函数y=x2y=-x2图象开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0,0) (0,0) 对称轴y轴y轴函数变化当x>0时,y随x的增大而 增大 ; 当x<0时,y随x的增大而 减小 当x>0时,y随x的增大而 减小 ; 当x<0时,y随x的增大而 增大 最大(小)值当x=0时,y最小值=0当x=0时,y最大值=0
1.二次函数y=x2的图象是(C) A.线段 B.直线 C.抛物线 D.双曲线 2.二次函数y=-x2的图象经过的象限是(D) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 3.下列四个函数中,y的值随着x值的增大而减小的是(D) A.y=2x B.y=- C.y=x+1 D.y=x2(x<0) 4.二次函数的关系式为y=mxm+1,则它的图象是 抛物线 ,开口向 上 .
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
重点1二次函数y=x2与y=-x2的图象(模型观念、运算能力、应用意识)
【典例1】 (教材再开发·P33“做一做”拓展)如图,已知抛物线y=-x2上有A,B两点,其横坐标分别为-1,-2;在y轴上有一动点C,则AC+BC的最小值为(B)
A.2 B.3 C. D.5
【举一反三】
如图,直线l过点P(0,5),与抛物线y=x2交于A,B两点,P在A的左侧,且S△AOP∶S△BOP=5∶4,求直线l的表达式.
【解析】∵直线l过点P(0,5),∴设直线l的表达式为y=kx+5,联立,
消掉y得x2-kx-5=0,解得x=.
∵S△AOP∶S△BOP=5∶4,
∴∶=5∶4,
整理,得=9k,两边平方并化简,
得k2=,解得k=或k=-(舍去).
∴直线l的表达式为y=x+5.
重点2二次函数y=x2与y=-x2的性质(模型观念、运算能力、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P33“做一做”补充)
已知点(-2,y1),(-2.5,y2),(-1,y3)都在函数y=-x2的图象上,试比较y1,y2,y3的大小.
【自主解答】∵-2.5<-2<-1<0,
∴这三个点都在抛物线对称轴的左侧.
∵在函数y=-x2图象的左侧,y随x的增大而增大,
∴y3>y1>y2.
【举一反三】
1.已知二次函数y=x2的图象经过A(-1,y1),B(2,y2)两点,则下列关系式正确的是(C)
A.y1<0C.02.已知(x1,4),(x2,6),(x3,8)是抛物线y=x2上的三点,位于y轴的右侧.试比较x1,x2,x3的大小.
【解析】∵三点是抛物线y=x2上的三点,位于y轴的右侧,
又∵4<6<8,
∴x1【技法点拨】
比较y=x2与y=-x2的图象上若干个点的纵坐标大小的三个步骤
(1)比大小:比较各点横坐标与0之间的大小关系.
(2)定位置:确定这些点是在对称轴的左边还是右边.
(3)下结论:根据y=x2 或y=-x2的增减性确定各点纵坐标的大小.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·模型观念)下列各点,不在二次函数y=x2的图象上的是(A)
A.(1,-1) B.(1,1) C.(-2,4) D.(3,9)
2.(3分·模型观念)下列函数中,当x<0时,函数值y随x的增大而增大的有(C)
①y=3x ②y=-2x+1 ③y=- ④y=-x2
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.(3分·模型观念、运算能力)点A(2,m)在二次函数y=-x2的图象上,则m= -4 .
4.(3分·模型观念、运算能力)直线y=x+a与抛物线y=x2的一个交点坐标为(-1,b),则另一个交点的坐标是 (2,4) .
5.(8分·模型观念、运算能力)已知函数y=x2与y=2x+3的交点为A,B(A在B的右边).
(1)求点A、点B的坐标.
(2)求△AOB的面积.
【解析】(1)由题意得:,
解得:或,
即交点A,B的坐标分别为(3,9),(-1,1);
(2)连接OA,OB,直线y=2x+3与y轴交于点C(0,3),即OC=3,
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×3×3+×3×1=6.
训练升级,请使用 “课时过程性评价 八”2 二次函数的图象与性质
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.会画二次函数y=x2与y=-x2的图象 模型观念
2.会根据图象理解二次函数y=x2与y=-x2的性质 模型观念、运算能力
3.知道y=x2与y=-x2的图象的异同,并能解决简单的问题 模型观念、运算能力、应用意识
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
二次函数y=x2与y=-x2的图象与性质 函数y=x2y=-x2图象开口方向 顶点坐标 对称轴y轴y轴函数变化当x>0时,y随x的增大而 ; 当x<0时,y随x的增大而 当x>0时,y随x的增大而 ; 当x<0时,y随x的增大而 最大(小)值当x=0时,y最小值=0当x=0时,y最大值=0
1.二次函数y=x2的图象是( ) A.线段 B.直线 C.抛物线 D.双曲线 2.二次函数y=-x2的图象经过的象限是( ) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 3.下列四个函数中,y的值随着x值的增大而减小的是( ) A.y=2x B.y=- C.y=x+1 D.y=x2(x<0) 4.二次函数的关系式为y=mxm+1,则它的图象是 ,开口向 .
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
重点1二次函数y=x2与y=-x2的图象(模型观念、运算能力、应用意识)
【典例1】 (教材再开发·P33“做一做”拓展)如图,已知抛物线y=-x2上有A,B两点,其横坐标分别为-1,-2;在y轴上有一动点C,则AC+BC的最小值为( )
A.2 B.3 C. D.5
【举一反三】
如图,直线l过点P(0,5),与抛物线y=x2交于A,B两点,P在A的左侧,且S△AOP∶S△BOP=5∶4,求直线l的表达式.
重点2二次函数y=x2与y=-x2的性质(模型观念、运算能力、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P33“做一做”补充)
已知点(-2,y1),(-2.5,y2),(-1,y3)都在函数y=-x2的图象上,试比较y1,y2,y3的大小.
【举一反三】
1.已知二次函数y=x2的图象经过A(-1,y1),B(2,y2)两点,则下列关系式正确的是( )
A.y1<0C.02.已知(x1,4),(x2,6),(x3,8)是抛物线y=x2上的三点,位于y轴的右侧.试比较x1,x2,x3的大小.
【技法点拨】
比较y=x2与y=-x2的图象上若干个点的纵坐标大小的三个步骤
(1)比大小:比较各点横坐标与0之间的大小关系.
(2)定位置:确定这些点是在对称轴的左边还是右边.
(3)下结论:根据y=x2 或y=-x2的增减性确定各点纵坐标的大小.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·模型观念)下列各点,不在二次函数y=x2的图象上的是( )
A.(1,-1) B.(1,1) C.(-2,4) D.(3,9)
2.(3分·模型观念)下列函数中,当x<0时,函数值y随x的增大而增大的有( )
①y=3x ②y=-2x+1 ③y=- ④y=-x2
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.(3分·模型观念、运算能力)点A(2,m)在二次函数y=-x2的图象上,则m= .
4.(3分·模型观念、运算能力)直线y=x+a与抛物线y=x2的一个交点坐标为(-1,b),则另一个交点的坐标是 .
5.(8分·模型观念、运算能力)已知函数y=x2与y=2x+3的交点为A,B(A在B的右边).
(1)求点A、点B的坐标.
(2)求△AOB的面积.2 二次函数的图象与性质
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.能画出二次函数y=ax2和y=ax2+c(a≠0)的图象 模型观念
2.掌握二次函数y=ax2与y=ax2+c(a≠0)图象之间的联系 模型观念、运算能力
3.能灵活运用二次函数y=ax2和y=ax2+c(a≠0)的知识解决简单的问题 模型观念、运算能力、应用意识
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
二次函数y=ax2和y=ax2+c的性质 函数y=ax2y=ax2+c开口方向a>0时,开口 向上 ; a<0时,开口向下a>0时,开口向上;a<0时,开口 向下 对称轴y轴 y轴 顶点坐标 (0,0) (0,c)增减性(1)a>0:x>0时,y随x的增大而 增大 ; x<0时,y随x的增大而 减小 ; (2)a<0:x>0时,y随x的增大而 减小 ; x<0时,y随x的增大而 增大 最值a>0,y最小值= 0 ; a<0,y最大值=0a>0,y最小值= c ; a<0,y最大值= c y=ax2+c与y=ax2的图象的关系y=ax2+c的图象可以看成是由y=ax2的图象整体上下移动得到的,当c>0时,向 上 移动|c|个单位长度,当c<0时,向 下 移动|c|个单位长度,简记为:“上加下减”
1.抛物线y=3x2的对称轴是(C) A.直线x=3 B.直线x=-3 C.直线x=0 D.直线y=0 2.函数y=-x2+3与y=-x2-2的图象的不同之处是(A) A.顶点 B.对称轴 C.开口方向 D.形状 3.已知二次函数y=2x2+1,当x<0时,y随x的增大而 减小 (填“增大”或“减小”). 4.二次函数y=-5x2的顶点坐标为 (0,0) . 5.已知函数y=(m+3)x2+1是二次函数,则m的取值范围为 m≠-3 .
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1二次函数y=ax2的图象与性质(模型观念、运算能力、应用意识)
【典例1】(教材再开发·P35补充例题)已知二次函数y=x2,解答下列问题:
(1)根据已知的图象部分画出这个函数图象的另一部分(直接在网格中作图即可).
(2)判断点(-2,-4)是否在这个函数图象上,说明理由.
(3)求当y=4时对应的函数图象在第一象限的点的坐标.
【解析】(1)根据该二次函数的图象关于y轴对称,当x=±2时,y=2,当x=±4时,y=8,故这个函数图象的另一部分如图所示:
(2)当x=-2时,y=×(-2)2=2≠-4,
∴点(-2,-4)不在这个函数图象上;
(3)当y=4时,由4=x2得x=±2,
∴y=4时,函数图象上在第一象限的点的坐标为(2,4).
【举一反三】
1.关于抛物线y=x2,y=2x2,y=-2x2,给出下列结论:
①都是开口向上;②都以点(0,0)为顶点;③都以y轴为对称轴;④都关于x轴对称.
其中正确的个数是(B)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.函数y=ax2(a≠0)与直线y=x-2交于点(1,b).
(1)求a,b的值.
(2)x取何值时,y随x的增大而增大
【解析】(1)把(1,b)代入y=x-2可得:b=1-2=-1,
∴交点的坐标为(1,-1),
把(1,-1)代入y=ax2可得-1=a,即a=-1,
则y=-x2,
∴a=-1,b=-1;
(2)由(1)可得y=-x2,
∴a=-1<0,
∴抛物线开口向下,且对称轴为y轴,
∴当x<0时,y随x的增大而增大.
重点2二次函数y=ax2+c的图象与性质(模型观念、运算能力、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P36随堂练习T1延伸)已知抛物线y=-x2+c经过点(-2,a)和点(2,b).
(1)写出该抛物线的对称轴,并直接写出a,b的大小关系;
(2)若该抛物线经过点A(3,-5).
①求c的值;
②当-1③若抛物线先向下平移4个单位长度,再向右平移m(m>0)个单位长度后再次经过点A,求m的值.
【解析】(1)∵y=-x2+c,
∴该抛物线的对称轴为y轴,
由对称性知点(-2,a)和点(2,b)关于y轴对称,
∴a=b.
(2)①将点A(3,-5)代入y=-x2+c可得:-5=-9+c,解得:c=4.
②∵y=-x2+4,
∴该函数在-1当x=-1时,y=-(-1)2+4=3;当x=2时,y=-22+4=0;
∴当-1③设平移后的表达式为:y=-(x-m)2+4-4,将A(3,-5)代入可得:-5=-(3-m)2+4-4,解得:m=3+或m=3-.
【举一反三】
1.抛物线y=x2-2的顶点坐标是(D)
A.(-2,0) B.(2,0) C.(0,2) D.(0,-2)
2.已知二次函数y=-x2+5.
(1)写出它的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值;
(2)若点(x1,y1),(x2,y2)在该二次函数的图象上,且x1>x2>0,试比较y1与y2的大小;
(3)抛物线y=-x2-1可以由抛物线y=-x2+5平移得到吗 如果可以,写出平移的方法;如果不可以,请说明理由.
【解析】(1)∵a=-<0,∴它的图象的开口向下,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,5),
当x=0时,y最大值=5,没有最小值.
(2)∵抛物线的开口向下,对称轴为y轴,
∴当x>0时,y随x的增大而减小,
故当x1>x2>0时,y1(3)抛物线y=-x2-1可以由抛物线y=-x2+5平移得到,其平移方法是将抛物线y=-x2+5向下平移6个单位长度.
【技法点拨】
应用二次函数y=ax2+c性质的三个步骤
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·模型观念)抛物线y=ax2的开口向上,则a的取值范围是(A)
A.a>0 B.a≥0 C.a<0 D.a≤0
2.(3分·模型观念、运算能力)抛物线y=-2x2-1的顶点坐标是(A)
A.(0,-1) B.(-1,0) C.(2,-1) D.(-1,-2)
3.(3分·模型观念)对于抛物线y=3x2+1,当x>0时,y随x的增大而 增大 .(填“增大”或“减小”)
4.(3分·模型观念、运算能力)将y=-2x2的图象向上平移3个单位得到一个新的二次函数图象,则新的二次函数图象的顶点的坐标为 (0,3) .
5.(8分·模型观念、运算能力)已知函数y=(m+2)是关于x的二次函数.
(1)求满足条件的m的值;
(2)m为何值时,抛物线有最高点 求出这个最高点的坐标,这时,抛物线的增减性如何
【解析】(1)根据题意得,m2+m-4=2且m+2≠0,
解得m=2或m=-3;
(2)当m=2时,m+2=4>0,抛物线开口向上,该抛物线有最低点;
当m=-3时,m+2=-1<0抛物线开口向下,该抛物线有最高点.
此时抛物线表达式为y=-x2,则最高点坐标为(0,0),
当x>0时,y随x的增大而减小;当x<0时,随x的增大而增大.
训练升级,请使用 “课时过程性评价 九”2 二次函数的图象与性质
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.能画出二次函数y=ax2和y=ax2+c(a≠0)的图象 模型观念
2.掌握二次函数y=ax2与y=ax2+c(a≠0)图象之间的联系 模型观念、运算能力
3.能灵活运用二次函数y=ax2和y=ax2+c(a≠0)的知识解决简单的问题 模型观念、运算能力、应用意识
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
二次函数y=ax2和y=ax2+c的性质 函数y=ax2y=ax2+c开口方向a>0时,开口 ; a<0时,开口向下a>0时,开口向上;a<0时,开口 对称轴y轴 顶点坐标 (0,c)增减性(1)a>0:x>0时,y随x的增大而 ; x<0时,y随x的增大而 ; (2)a<0:x>0时,y随x的增大而 ; x<0时,y随x的增大而 最值a>0,y最小值= ; a<0,y最大值=0a>0,y最小值= ; a<0,y最大值= y=ax2+c与y=ax2的图象的关系y=ax2+c的图象可以看成是由y=ax2的图象整体上下移动得到的,当c>0时,向 移动|c|个单位长度,当c<0时,向 移动|c|个单位长度,简记为:“上加下减”
1.抛物线y=3x2的对称轴是( ) A.直线x=3 B.直线x=-3 C.直线x=0 D.直线y=0 2.函数y=-x2+3与y=-x2-2的图象的不同之处是( ) A.顶点 B.对称轴 C.开口方向 D.形状 3.已知二次函数y=2x2+1,当x<0时,y随x的增大而 (填“增大”或“减小”). 4.二次函数y=-5x2的顶点坐标为 . 5.已知函数y=(m+3)x2+1是二次函数,则m的取值范围为 .
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1二次函数y=ax2的图象与性质(模型观念、运算能力、应用意识)
【典例1】(教材再开发·P35补充例题)已知二次函数y=x2,解答下列问题:
(1)根据已知的图象部分画出这个函数图象的另一部分(直接在网格中作图即可).
(2)判断点(-2,-4)是否在这个函数图象上,说明理由.
(3)求当y=4时对应的函数图象在第一象限的点的坐标.
【举一反三】
1.关于抛物线y=x2,y=2x2,y=-2x2,给出下列结论:
①都是开口向上;②都以点(0,0)为顶点;③都以y轴为对称轴;④都关于x轴对称.
其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.函数y=ax2(a≠0)与直线y=x-2交于点(1,b).
(1)求a,b的值.
(2)x取何值时,y随x的增大而增大
重点2二次函数y=ax2+c的图象与性质(模型观念、运算能力、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P36随堂练习T1延伸)已知抛物线y=-x2+c经过点(-2,a)和点(2,b).
(1)写出该抛物线的对称轴,并直接写出a,b的大小关系;
(2)若该抛物线经过点A(3,-5).
①求c的值;
②当-1③若抛物线先向下平移4个单位长度,再向右平移m(m>0)个单位长度后再次经过点A,求m的值.
【举一反三】
1.抛物线y=x2-2的顶点坐标是( )
A.(-2,0) B.(2,0) C.(0,2) D.(0,-2)
2.已知二次函数y=-x2+5.
(1)写出它的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值;
(2)若点(x1,y1),(x2,y2)在该二次函数的图象上,且x1>x2>0,试比较y1与y2的大小;
(3)抛物线y=-x2-1可以由抛物线y=-x2+5平移得到吗 如果可以,写出平移的方法;如果不可以,请说明理由.
【技法点拨】
应用二次函数y=ax2+c性质的三个步骤
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·模型观念)抛物线y=ax2的开口向上,则a的取值范围是( )
A.a>0 B.a≥0 C.a<0 D.a≤0
2.(3分·模型观念、运算能力)抛物线y=-2x2-1的顶点坐标是( )
A.(0,-1) B.(-1,0) C.(2,-1) D.(-1,-2)
3.(3分·模型观念)对于抛物线y=3x2+1,当x>0时,y随x的增大而 .(填“增大”或“减小”)
4.(3分·模型观念、运算能力)将y=-2x2的图象向上平移3个单位得到一个新的二次函数图象,则新的二次函数图象的顶点的坐标为 .
5.(8分·模型观念、运算能力)已知函数y=(m+2)是关于x的二次函数.
(1)求满足条件的m的值;
(2)m为何值时,抛物线有最高点 求出这个最高点的坐标,这时,抛物线的增减性如何 2 二次函数的图象与性质
第4课时
课时学习目标 素养目标达成
1.会用配方法或公式法将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k 模型观念、运算能力
2.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式,解决实际问题 模型观念、运算能力、应用意识
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 1.(1)二次函数y=x2-2x+1的对称轴为(D) A.直线x=4 B.直线x=2 C.直线x=-2 D.直线x=1 (2)将抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)向左平移2个单位长度,以下不改变的是(A) A.开口方向 B.对称轴 C.y随x的变化情况 D.与y轴的交点 (3)已知抛物线y=x2-2x+c经过点A(-1,y1)和B(2,y2),则y1 > y2(选择“>”“<”或“=”填入空格). (4)二次函数y=-3x2-2的最大值为 -2 .
2.配方法:y=ax2+bx+c=a(x2+ )+c =a+c =a(x+ )2+. 2.将二次函数y=x2-6x+2化成y=a(x-h)2+k的形式为(B) A.y=(x-3)2+2 B.y=(x-3)2-7 C.y=(x+3)2-7 D.y=(x-6)2+2
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
重点1二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质(模型观念、运算能力、应用意识)
【典例1】(教材再开发·P39例1拓展)已知二次函数y=-x2+6x-5.
(1)求此二次函数图象的顶点坐标;
(2)当函数值y≤0时,求自变量x的取值范围.
【自主解答】(1)由题意可得,y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4,
∴抛物线的顶点坐标为(3,4);
(2)当y=0时,-(x-3)2+4=0,
解得x1=5,x2=1,∵a=-1<0,
∴抛物线开口向下,
∴当函数值y≤0时,x≤1或x≥5.
【举一反三】
在平面直角坐标系中,二次函数y=x2-2x的图象可能是(A)
重点2二次函数y=ax2+bx+c的图象与a,b,c的关系(模型观念、运算能力、应用意识)
【典例2】如图是二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图象的一部分,与x轴的交点在点(2,0)和(3,0)之间,对称轴是x=1.对于下列说法:①ab<0;②2a-b=0;
③当-10;④8a+c<0.其中正确的个数是(B)
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三】
1.(2024·周口三模)直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bx+b在同一坐标系里的大致图象正确的是(D)
2.抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)的部分图象如图所示,设m=a-b+c,则m的取值范围是 -4素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·模型观念)关于抛物线y=x2-4x+4,下列说法正确的是(B)
A.顶点坐标是(-2,0)
B.对称轴是直线x=2
C.抛物线有最高点
D.抛物线与x轴有两个交点
2.(4分·模型观念、运算能力)将二次函数y=x2-8x+6化为y=(x-h)2+k的形式,结果为(D)
A.y=(x+4)2-10 B.y=(x-3)2-1
C.y=(x-4)2+6 D.y=(x-4)2-10
3.(4分·模型观念、运算能力)抛物线y=-2x2+6x+8的顶点坐标为 (,) .
4. (4分·运算能力、应用意识)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则点P(ab,c)在第 二 象限.
训练升级,请使用 “课时过程性评价 十一”2 二次函数的图象与性质
第4课时
课时学习目标 素养目标达成
1.会用配方法或公式法将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k 模型观念、运算能力
2.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式,解决实际问题 模型观念、运算能力、应用意识
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 1.(1)二次函数y=x2-2x+1的对称轴为( ) A.直线x=4 B.直线x=2 C.直线x=-2 D.直线x=1 (2)将抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)向左平移2个单位长度,以下不改变的是( ) A.开口方向 B.对称轴 C.y随x的变化情况 D.与y轴的交点 (3)已知抛物线y=x2-2x+c经过点A(-1,y1)和B(2,y2),则y1 y2(选择“>”“<”或“=”填入空格). (4)二次函数y=-3x2-2的最大值为 .
2.配方法:y=ax2+bx+c=a(x2+ )+c =a+c =a(x+ )2+. 2.将二次函数y=x2-6x+2化成y=a(x-h)2+k的形式为( ) A.y=(x-3)2+2 B.y=(x-3)2-7 C.y=(x+3)2-7 D.y=(x-6)2+2
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
重点1二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质(模型观念、运算能力、应用意识)
【典例1】(教材再开发·P39例1拓展)已知二次函数y=-x2+6x-5.
(1)求此二次函数图象的顶点坐标;
(2)当函数值y≤0时,求自变量x的取值范围.
【举一反三】
在平面直角坐标系中,二次函数y=x2-2x的图象可能是( )
重点2二次函数y=ax2+bx+c的图象与a,b,c的关系(模型观念、运算能力、应用意识)
【典例2】如图是二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图象的一部分,与x轴的交点在点(2,0)和(3,0)之间,对称轴是x=1.对于下列说法:①ab<0;②2a-b=0;
③当-10;④8a+c<0.其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三】
1.(2024·周口三模)直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bx+b在同一坐标系里的大致图象正确的是( )
2.抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)的部分图象如图所示,设m=a-b+c,则m的取值范围是 .
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·模型观念)关于抛物线y=x2-4x+4,下列说法正确的是( )
A.顶点坐标是(-2,0)
B.对称轴是直线x=2
C.抛物线有最高点
D.抛物线与x轴有两个交点
2.(4分·模型观念、运算能力)将二次函数y=x2-8x+6化为y=(x-h)2+k的形式,结果为( )
A.y=(x+4)2-10 B.y=(x-3)2-1
C.y=(x-4)2+6 D.y=(x-4)2-10
3.(4分·模型观念、运算能力)抛物线y=-2x2+6x+8的顶点坐标为 .
4. (4分·运算能力、应用意识)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则点P(ab,c)在第 象限. 2 二次函数的图象与性质
第3课时
课时学习目标 素养目标达成
1.会画y=a(x-h)2与y=a(x-h)2+k的图象,并理解它们与y=ax2的图象的关系,理解a,h和k对二次函数图象的影响 模型观念、运算能力
2.能够正确地说出y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标 模型观念、运算能力
3.会用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题 模型观念、运算能力、应用意识
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
1.y=a(x-h)2与y=a(x-h)2+k的性质 抛物线y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k顶点 坐标(h,0)(h,k)对称轴 直线x=h 位置由h和k的符号确定开口 方向a>0时,开口 向上 a<0时,开口 向下 增减 性a>0,当x> h 时,y随x的增大而 增大 ; 当x< h 时,y随x的增大而 减小 a<0,当x> h 时,y随x的增大而 减小 ; 当x0,当 x=h 时,最小值为 0 ; a<0,当 x=h 时,最大值为 0 a>0,当 x=h 时,最小值为 k ;a<0,当 x=h 时,最大值为 k
1.(1)二次函数y=-3(x+2)2-5的图象的顶点坐标是(D) A.(2,5) B.(2,-5) C.(-2,5) D.(-2,-5) (2)抛物线y=(x-1)2+5的对称轴为 直线x=1 . (3)已知函数y=2(x+1)2+1,当x <-1 时,y随x的增大而减小. (4)二次函数y=4(x-2)2-5的最小值是 -5 .
2.抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)可以看作是由抛物线y=ax2(a≠0)平移得到的. 若h>0,则向 右 平移,若h<0,则向 左 平移; 若k>0,则向 上 平移,若k<0,则向 下 平移. 2.抛物线y=-2(x+5)2-1先向左平移5个单位长度,再向下平移1个单位长度可得新抛物线的表达式为 y=-2(x+10)2-2 .
重点典例研析 启思凝智 教学相长
重点1二次函数y=a(x-h)2的图象与性质(模型观念、运算能力、应用意识)
【典例1】(教材再开发·P38随堂练习拓展)已知二次函数y=-(x-2)2,不画图象,回答下列问题.
(1)确定抛物线y=-(x-2)2的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(2)当x取何值时,y有最大(小)值 最大(小)值是多少
(3)当x取何值时,y随x的增大而增大
(4)抛物线y=-(x-2)2是由抛物线y=-x2经过怎样的平移得到的
【自主解答】(1)∵抛物线表达式为y=-(x-2)2,且-<0,
∴抛物线y=-(x-2)2开口向下,对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2,0);
(2)∵抛物线y=-(x-2)2开口向下,
∴二次函数有最大值,且当x=2时,y的最大值是0.
(3)∵抛物线y=-(x-2)2开口向下,对称轴是直线x=2,
∴当x<2时,y随x的增大而增大;
(4)抛物线y=-(x-2)2是由抛物线y=-x2向右平移2个单位长度得到的.
【举一反三】
1.(2024·南通质检)已知二次函数y=-(x+h)2,当x<-1时,y随着x的增大而增大,当x>-1时,y随x的增大而减小,当x=3时,y的值为(A)
A.-16 B.-1
C.-9 D.0
2.(2024·徐州期中)已知二次函数y=a(x+1)2的图象经过点(-2,-1).当x<-1时,y随x的增大而 增大 .(填“增大”或“减小”)
【技法点拨】
y=ax2的图象左右平移规律的四字诀
左加:y=ax2向左平移h(h>0)个单位长度 y=a(x+h)2.
右减:y=ax2向右平移h(h>0)个单位长度 y=a(x-h)2.
重点2二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质(模型观念、运算能力、应用意识)
【典例2】如图,抛物线y=(x-4)2-1与直线y=x交于A,B两点(点A在点B的左侧).
(1)求A,B两点的坐标;
(2)设抛物线的顶点为C,连接AC,BC,试求△ABC的面积.
【自主解答】(1),解得或,
∴A(2,1),B(7,);
(2)过点C作CD∥y轴交直线y=x于点D,
∵y=(x-4)2-1,
∴顶点C(4,-1),
当x=4时,y=x=2,
∴D(4,2),
∴CD=3,
∴S△ABC=S△ACD+S△B CD=×(4-2)×3+×(7-4)×3=.
【举一反三】
1.(2024·常德一模)二次函数y=a(x-m)2-k的图象如图所示,下列四个选项中,正确的是(A)
A.m<0,k<0 B.m>0,k>0
C.m>0,k<0 D.m<0,k>0
2.如图,将抛物线y=2(x+1)2+1绕原点O顺时针旋转45°得到新曲线,新曲线与直线y=x交于点M,则点M的坐标为 (,) .
【技法点拨】
二次函数y=a(x-h)2+k中a,h,k的两个作用
1.确定图象的特征.根据a,h,k的符号可以确定图象的开口方向、顶点的位置、对称轴;
2.推出图象有关的结论.根据a,h,k的值比较大小、计算点的坐标、求三角形的面积.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·模型观念)函数y=3(x-2)2+4的图象的最小值是(C)
A.2 B.3 C.4 D.-2
2.(3分·模型观念)抛物线y=-2(x-1)2的图象一定经过的点是(B)
A.(0,2) B.(2,-2) C.(1,-2) D.(-1,4)
3.(3分·模型观念、运算能力)抛物线y=3(x-1)2+8的顶点横坐标为 1 .
4.(3分·运算能力、应用意识)已知函数y=-(x-1)2图象上两点A(2,y1),B(a,y2),其中a>2,则y1 > y2.
5.(8分·应用意识、运算能力)已知抛物线y=(x-2)2经过点A(-2,b).
(1)求b的值;
(2)判断点B(10,8)是否在此抛物线上.
【解析】(1)抛物线y=(x-2)2经过点A(-2,b),
∴b=(-2-2)2=16;
(2)∵当x=10时,y=(10-2)2=64≠8,
∴B(10,8)不在此抛物线上.
训练升级,请使用 “课时过程性评价 十”
