3 确定二次函数的表达式
课时学习目标 素养目标达成
1.会用待定系数法求二次函数的表达式 模型观念、运算能力
2.能够根据不同的已知条件选用不同的方法,求二次函数的表达式 模型观念、运算能力
3.能运用二次函数解决有关的实际问题 模型观念、运算能力、应用意识
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
二次函数表达式的选择 已知条件选用 表达式设函数形式顶点和一个点坐标顶点式y=a(x-h)2+k两个未知字母系数 和两个点坐标一般式y=ax2+bx+c与x轴两个交点坐标交点式y=a(x-x1)(x-x2)
1.已知抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A(0,3),与x轴交于点B(1,0),则此抛物线的表达式为(D) A.y=x2+x+3 B.y=x2+x-3 C.y=x2-x-3 D.y=x2-x+3 2.对称轴是直线x=3的抛物线的表达式是(C) A.y=-x2+3 B.y=x2+3 C.y=-(x-3)2 D.y=(x+3)2 3.抛物线的顶点在坐标原点,且经过点(2,8),则该抛物线的表达式为 y=2x2 .
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1设二次函数顶点式求表达式(模型观念,运算能力)
【典例1】(教材再开发·P43随堂练习T1拓展)已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(-1,2),且图象过点(1,-3).
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)写出它的开口方向、对称轴.
【解析】(1)∵二次函数的图象的顶点坐标为(-1,2),
∴设函数表达式为y=a(x+1)2+2,
∵函数图象过点(1,-3),
∴a(1+1)2+2=-3,解得a=-,
∴抛物线的表达式为:y=-(x+1)2+2;
(2)由(1)的函数表达式可得:抛物线的开口向下,对称轴为x=-1.
【举一反三】
1.(2024·昆明质检)若抛物线的顶点坐标是(-2,1)且经过点(1,-8),则该抛物线的表达式是(C)
A.y=-9(x+2)2+1
B.y=-7(x-2)2-1
C.y=-(x+2)2+1
D.y=-(x+2)2-1
2.与抛物线y=3x2形状相同,开口向上,顶点为(3,-2)的抛物线的表达式为 y=3(x-3)2-2 .
【技法点拨】
已知顶点和另一点坐标求二次函数表达式的注意事项
1.设表达式时,不要漏掉“a”.
2.设表达式时,顶点坐标书写时,横坐标放在括号中,且是减.
3.将另一点坐标代入求a时,要注意“对号入座”.
重点2设二次函数一般式、交点式求表达式(模型观念,运算能力)
【典例2】(教材再开发·P42“做一做”强化)设二次函数y1=ax2-4x+c(a,c是常数)的图象与x轴有交点.
(1)若图象与x轴交于A,B两点的坐标分别为(1,0),(3,0),求函数y1的表达式,并写出函数图象的顶点坐标.
(2)若图象与x轴只有一个交点,且过(a,c),求此时a,c的值.
(3)已知a=1,若函数y1的表达式还可以写成y1=(x-m)(x-n)(m,n为常数,m≠n且mn=2),设二次函数y2=-(x-m)(x-n),求y1-y2的最小值.
【解析】(1)将(1,0),(3,0)代入y1=ax2-4x+c得,,
解得,
∴y1=x2-4x+3,
∵y1=x2-4x+3=(x-2)2-1,
∴顶点坐标为(2,-1);
(2)令ax2-4x+c=0,
∵图象与x轴只有一个交点,
∴Δ=(-4)2-4ac=0,即ac=4,
将(a,c)代入y1=ax2-4x+c得,c=a3-4a+c,
解得,a=2或a=-2或a=0(舍去),
∴当a=2时,c=2;当a=-2时,c=-2;
(3)当a=1时,y1=x2-4x+c,
∵y1=(x-m)(x-n)=x2-(m+n)x+mn,mn=2,
∴m+n=4,c=2,
∴y1=x2-4x+2,
∴y1-y2=2y1=2(x2-4x+2)=2[(x-2)2-2],
∵a=2>0,
∴当x=2时,y1-y2的值最小,为-4.
【举一反三】
抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,0),(1,2),(3,0),则当x=5时,y的值为(D)
A.6 B.1 C.-1 D.-6
【技法点拨】
求二次函数表达式的步骤
待定系数法→代入→组成方程组→解方程组→求出待定系数→确定二次函数表达式.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·模型观念、运算能力)一个二次函数的图象的顶点坐标是(2,4),且过另一点(0,-4),则这个二次函数的表达式为(B)
A.y=-2(x+2)2-4 B.y=-2(x-2)2+4
C.y=2(x+2)2-4 D.y=2(x-2)2+4
2.(3分·模型观念、运算能力)如图的抛物线的表达式为(C)
A.y=x2-1
B.y=x2+1
C.y=(x-1)2
D.y=(x+1)2
3.(3分·模型观念、运算能力)点(-1,0)在一个二次项系数为1的二次函数的图象上,试写出一个符合题意的二次函数的表达式: y=x2+3x+2(答案不唯一) .
4.(3分·模型观念、运算能力)抛物线和y=-3x2形状相同,开口方向相反,且顶点坐标为(-1,3),则它的表达式为 y=3(x+1)2+3 .
5.(8分·模型观念、运算能力、应用意识)如图,已知拋物线交x轴于A(-1,0),B(3,0)两点,交y轴于点C,OC=2,求抛物线的表达式和BC的长.
【解析】拋物线交x轴于A(-1,0),B(3,0)两点,故设抛物线表达式为y=a(x+1)(x-3),
∵OC=2,
∴C(0,2),
把点C坐标代入y=a(x+1)(x-3)中,得-3a=2,
∴a=-,
∴y=-(x+1)(x-3),
化为一般式为:y=-x2+x+2;
∵C(0,2),B(3,0),
∴OC=2,OB=3,
由勾股定理得:BC==.
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课时学习目标 素养目标达成
1.会用待定系数法求二次函数的表达式 模型观念、运算能力
2.能够根据不同的已知条件选用不同的方法,求二次函数的表达式 模型观念、运算能力
3.能运用二次函数解决有关的实际问题 模型观念、运算能力、应用意识
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
二次函数表达式的选择 已知条件选用 表达式设函数形式顶点和一个点坐标顶点式y= 两个未知字母系数 和两个点坐标一般式y=ax2+bx+c与x轴两个交点坐标交点式y=
1.已知抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A(0,3),与x轴交于点B(1,0),则此抛物线的表达式为( ) A.y=x2+x+3 B.y=x2+x-3 C.y=x2-x-3 D.y=x2-x+3 2.对称轴是直线x=3的抛物线的表达式是( ) A.y=-x2+3 B.y=x2+3 C.y=-(x-3)2 D.y=(x+3)2 3.抛物线的顶点在坐标原点,且经过点(2,8),则该抛物线的表达式为 .
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1设二次函数顶点式求表达式(模型观念,运算能力)
【典例1】(教材再开发·P43随堂练习T1拓展)已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(-1,2),且图象过点(1,-3).
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)写出它的开口方向、对称轴.
【举一反三】
1.(2024·昆明质检)若抛物线的顶点坐标是(-2,1)且经过点(1,-8),则该抛物线的表达式是( )
A.y=-9(x+2)2+1
B.y=-7(x-2)2-1
C.y=-(x+2)2+1
D.y=-(x+2)2-1
2.与抛物线y=3x2形状相同,开口向上,顶点为(3,-2)的抛物线的表达式为 .
【技法点拨】
已知顶点和另一点坐标求二次函数表达式的注意事项
1.设表达式时,不要漏掉“a”.
2.设表达式时,顶点坐标书写时,横坐标放在括号中,且是减.
3.将另一点坐标代入求a时,要注意“对号入座”.
重点2设二次函数一般式、交点式求表达式(模型观念,运算能力)
【典例2】(教材再开发·P42“做一做”强化)设二次函数y1=ax2-4x+c(a,c是常数)的图象与x轴有交点.
(1)若图象与x轴交于A,B两点的坐标分别为(1,0),(3,0),求函数y1的表达式,并写出函数图象的顶点坐标.
(2)若图象与x轴只有一个交点,且过(a,c),求此时a,c的值.
(3)已知a=1,若函数y1的表达式还可以写成y1=(x-m)(x-n)(m,n为常数,m≠n且mn=2),设二次函数y2=-(x-m)(x-n),求y1-y2的最小值.
【举一反三】
抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,0),(1,2),(3,0),则当x=5时,y的值为( )
A.6 B.1 C.-1 D.-6
【技法点拨】
求二次函数表达式的步骤
待定系数法→代入→组成方程组→解方程组→求出待定系数→确定二次函数表达式.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·模型观念、运算能力)一个二次函数的图象的顶点坐标是(2,4),且过另一点(0,-4),则这个二次函数的表达式为( )
A.y=-2(x+2)2-4 B.y=-2(x-2)2+4
C.y=2(x+2)2-4 D.y=2(x-2)2+4
2.(3分·模型观念、运算能力)如图的抛物线的表达式为( )
A.y=x2-1
B.y=x2+1
C.y=(x-1)2
D.y=(x+1)2
3.(3分·模型观念、运算能力)点(-1,0)在一个二次项系数为1的二次函数的图象上,试写出一个符合题意的二次函数的表达式: .
4.(3分·模型观念、运算能力)抛物线和y=-3x2形状相同,开口方向相反,且顶点坐标为(-1,3),则它的表达式为 .
5.(8分·模型观念、运算能力、应用意识)如图,已知拋物线交x轴于A(-1,0),B(3,0)两点,交y轴于点C,OC=2,求抛物线的表达式和BC的长.
