4 二次函数的应用
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.能分析实际问题中变量之间的二次函数关系. 模型观念、运算能力、应用意识
2.能应用二次函数的性质解决图形中的最大面积问题. 模型观念、运算能力、应用意识
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
1.二次函数的最大(小)值 (1)配方法 用配方法将y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式,当自变量x= 时,函数y有最大(小)值为 . (2)公式法 二次函数y=ax2+bx+c,当自变量x= 时,函数y有最大(小)值为 . 1.若二次函数y=-x2+2mx+1取最大值时x=1,则m的值为( ) A.-1 B.1 C.2 D.-2
2.利用二次函数求几何图形的最大面积的基本方法 (1)引入自变量. (2)用含自变量的代数式分别表示与所求几何图形相关的量. (3)根据几何图形的特征,列出其面积的计算公式,并且用 表示这个面积. (4)根据函数表达式,求出最大值及取得最大值时自变量的值. 2.(1)如图,假设篱笆(虚线部分)的长度是8 m,则所围成矩形ABCD的最大面积是 . (2)如图,小明抛投一个沙包,沙包被抛出后距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)近似满足函数表达式h=-(t-6)2+5,则沙包在飞行过程中距离地面的最大高度是 米.
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
重点1图形面积的最值问题(模型观念、运算能力、应用意识)
【典例1】(教材再开发·P46例1拓展)问题情境:
“综合与实践”课上,老师让同学们以“矩形的翻折”为主题开展数学活动.
第1步:有一张矩形纸片ABCD,在AD边上取一点P沿BP翻折,使点A落在矩形内部A'处;
第2步:再次翻折矩形,使PD与PA'所在直线重合,点D落在直线PA'上的点D'处,折痕为PE.
翻折后的纸片如图所示,
(1)∠BPE的度数为 ;
(2)若AD=32 cm,AB=24 cm,求DE的最大值.
【举一反三】
1.(2024·泰安中考)如图,小明的父亲想用长为60米的栅栏,再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园.已知房屋外墙长40米,则可围成的菜园的最大面积是 平方米.
2.如图,利用135°的墙角修建一个花坛ABCD,使得AD∥BC,∠C=90°,如果新建围墙折线B-C-D总长15 m,那么当CD= m时,花坛的面积会达到最大.
【技法点拨】
应用二次函数解决面积最值问题的步骤
1.分析题中的变量与常量、几何图形的基本性质.
2.找出等量关系,建立函数模型.
3.结合函数图象及性质,考虑实际问题中自变量的取值范围,常采用配方法求出,或根据二次函数顶点坐标公式求出面积的最大值或最小值.
重点2抛物线形的运动轨迹问题(模型观念、运算能力、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P59T13变式)如图1是某公园喷水头喷出的水柱.如图2是其示意图,点O处有一个喷水头,距离喷水头8 m的M处有一棵高度是2.3 m的树,距离这棵树10m的N处有一面高2.2 m的围墙(点O,M,N在同一直线上).建立如图2所示的平面直角坐标系.已知浇灌时,喷水头喷出的水柱的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a<0).
某次喷水浇灌时,测得x与y的几组数据如下:
x 0 2 6 10 12 14 16
y 0 0.88 2.16 2.80 2.88 2.80 2.56
(1)根据上述数据,求这些数据满足的函数表达式.
(2)判断喷水头喷出的水柱能否越过这棵树,并请说明理由.
(3)在另一次喷水浇灌时,已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=-0.04x2+bx.假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树,且不会浇到墙外,求出b所满足的表达式.
【举一反三】
(2024·黔东南州期中)一个小球以15 m/s的初速度向上竖直弹出,它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足表达式h=15t-5t2,当小球的高度为10 m时,t为( )
A.1 s B.2 s C.1 s或2 s D.以上都不对
【技法点拨】
建立合适的直角坐标系的两原则
1.原则上一般选择抛物线的对称轴为y轴,顶点为原点建立直角坐标系,方便表示抛物线顶点的坐标和二次函数表达式;
2.原则上建立的直角坐标系能较简单地表示抛物线上点的坐标,通常使x轴,y轴经过抛物线上的点.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·模型观念、应用意识)已知正方形的边长为x cm,则它的面积y(cm2)与边长x(cm)的函数图象为( )
2.(4分·模型观念、运算能力、应用意识)如图,若用长10 m的铁丝借助墙AB围成一个斜边为ED的直角三角形ECD,则所围成的△ECD的最大面积为( )
A.5.5 m2 B.7.5 m2
C.10.5 m2 D.12.5 m2
3.(4分·模型观念、运算能力、应用意识)某市新建一座景观桥.如图,桥的拱肋ACB可视为抛物线的一部分,桥面AB可视为水平线段,桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接,拱肋的跨度AB为80米,桥拱的最大高度CD为16米(不考虑灯杆和拱肋的粗细),则与CD的距离为4米的景观灯杆EF的高度为 米.
4.(8分·模型观念、运算能力、应用意识)如图,在一边长为36 cm的正方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的小正方形,将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计).
(1)要使折成的长方体盒子的底面积为676 cm2,那么剪掉的正方形的边长为多少
(2)折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值 如果有,求出这个最大值和此时剪去的小正方形的边长;如果没有,请说明理由.4 二次函数的应用
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.能分析实际问题中变量之间的二次函数关系. 模型观念、运算能力、应用意识
2.能应用二次函数的性质解决图形中的最大面积问题. 模型观念、运算能力、应用意识
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
1.二次函数的最大(小)值 (1)配方法 用配方法将y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式,当自变量x= h 时,函数y有最大(小)值为 k . (2)公式法 二次函数y=ax2+bx+c,当自变量x= - 时,函数y有最大(小)值为 . 1.若二次函数y=-x2+2mx+1取最大值时x=1,则m的值为(B) A.-1 B.1 C.2 D.-2
2.利用二次函数求几何图形的最大面积的基本方法 (1)引入自变量. (2)用含自变量的代数式分别表示与所求几何图形相关的量. (3)根据几何图形的特征,列出其面积的计算公式,并且用 函数 表示这个面积. (4)根据函数表达式,求出最大值及取得最大值时自变量的值. 2.(1)如图,假设篱笆(虚线部分)的长度是8 m,则所围成矩形ABCD的最大面积是 16 m2 . (2)如图,小明抛投一个沙包,沙包被抛出后距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)近似满足函数表达式h=-(t-6)2+5,则沙包在飞行过程中距离地面的最大高度是 5 米.
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
重点1图形面积的最值问题(模型观念、运算能力、应用意识)
【典例1】(教材再开发·P46例1拓展)问题情境:
“综合与实践”课上,老师让同学们以“矩形的翻折”为主题开展数学活动.
第1步:有一张矩形纸片ABCD,在AD边上取一点P沿BP翻折,使点A落在矩形内部A'处;
第2步:再次翻折矩形,使PD与PA'所在直线重合,点D落在直线PA'上的点D'处,折痕为PE.
翻折后的纸片如图所示,
(1)∠BPE的度数为 ;
(2)若AD=32 cm,AB=24 cm,求DE的最大值.
【解析】(1)如图:
∵点P沿BP翻折,使点A落在矩形内部A'处,PD与PA'所在直线重合,点D落在直线PA'上的点D'处,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°,
∴∠2+∠3=×180°=90°,
即∠BPE的度数为90°;
答案:90°
(2)设AP=x cm,则PD=(32-x)cm,
设D'E=DE=y cm,
∵图形由折叠而成,
∴∠A'=∠A=90°,∠PD'E=∠D=90°,
∵∠BPD'+∠EPD'=∠BPE=90°,
∠PED'+∠EPD'=180°-∠PD'E=90°,
∴∠BPD'=∠PED',
∴△A'BP∽△D'PE,
∴=,
即=,
∴y=x-x2=-x2+x,
∵x=-=-=16,-<0,
∴开口向下,在x=16时,y有最大值,
把x=16代入y=-x2+x,得出y=,
∴DE的最大值为 cm.
【举一反三】
1.(2024·泰安中考)如图,小明的父亲想用长为60米的栅栏,再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园.已知房屋外墙长40米,则可围成的菜园的最大面积是 450 平方米.
2.如图,利用135°的墙角修建一个花坛ABCD,使得AD∥BC,∠C=90°,如果新建围墙折线B-C-D总长15 m,那么当CD= 5 m时,花坛的面积会达到最大.
【技法点拨】
应用二次函数解决面积最值问题的步骤
1.分析题中的变量与常量、几何图形的基本性质.
2.找出等量关系,建立函数模型.
3.结合函数图象及性质,考虑实际问题中自变量的取值范围,常采用配方法求出,或根据二次函数顶点坐标公式求出面积的最大值或最小值.
重点2抛物线形的运动轨迹问题(模型观念、运算能力、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P59T13变式)如图1是某公园喷水头喷出的水柱.如图2是其示意图,点O处有一个喷水头,距离喷水头8 m的M处有一棵高度是2.3 m的树,距离这棵树10m的N处有一面高2.2 m的围墙(点O,M,N在同一直线上).建立如图2所示的平面直角坐标系.已知浇灌时,喷水头喷出的水柱的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a<0).
某次喷水浇灌时,测得x与y的几组数据如下:
x 0 2 6 10 12 14 16
y 0 0.88 2.16 2.80 2.88 2.80 2.56
(1)根据上述数据,求这些数据满足的函数表达式.
(2)判断喷水头喷出的水柱能否越过这棵树,并请说明理由.
(3)在另一次喷水浇灌时,已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=-0.04x2+bx.假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树,且不会浇到墙外,求出b所满足的表达式.
【自主解答】(1)根据抛物线过原点,设抛物线表达式为y=ax2+bx,
把和代入y=ax2+bx得,
,解得,
∴抛物线表达式为y=-0.02x2+0.48x.
(2)∵当x=8时,y=-0.02×82+0.48×8=2.56>2.3,
∴喷水头喷出的水柱能够越过这棵树.
(3)∵y=-0.04x2+bx,
∴当x=8时,y>2.3,
∴-0.04×82+8b>2.3,
解得b>.
∵喷水头喷出的水柱不会浇到墙外,
∴当x=18时,y<2.2,
即-0.04×182+18b<2.2,
解得b<.
∴常数b满足的表达式为【举一反三】
(2024·黔东南州期中)一个小球以15 m/s的初速度向上竖直弹出,它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足表达式h=15t-5t2,当小球的高度为10 m时,t为(C)
A.1 s B.2 s C.1 s或2 s D.以上都不对
【技法点拨】
建立合适的直角坐标系的两原则
1.原则上一般选择抛物线的对称轴为y轴,顶点为原点建立直角坐标系,方便表示抛物线顶点的坐标和二次函数表达式;
2.原则上建立的直角坐标系能较简单地表示抛物线上点的坐标,通常使x轴,y轴经过抛物线上的点.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·模型观念、应用意识)已知正方形的边长为x cm,则它的面积y(cm2)与边长x(cm)的函数图象为(C)
2.(4分·模型观念、运算能力、应用意识)如图,若用长10 m的铁丝借助墙AB围成一个斜边为ED的直角三角形ECD,则所围成的△ECD的最大面积为(D)
A.5.5 m2 B.7.5 m2
C.10.5 m2 D.12.5 m2
3.(4分·模型观念、运算能力、应用意识)某市新建一座景观桥.如图,桥的拱肋ACB可视为抛物线的一部分,桥面AB可视为水平线段,桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接,拱肋的跨度AB为80米,桥拱的最大高度CD为16米(不考虑灯杆和拱肋的粗细),则与CD的距离为4米的景观灯杆EF的高度为 15.84 米.
4.(8分·模型观念、运算能力、应用意识)如图,在一边长为36 cm的正方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的小正方形,将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计).
(1)要使折成的长方体盒子的底面积为676 cm2,那么剪掉的正方形的边长为多少
(2)折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值 如果有,求出这个最大值和此时剪去的小正方形的边长;如果没有,请说明理由.
【解析】(1)设剪掉的正方形边长为x cm,
根据题意,得(36-2x)2=676.
解得x1=5,x2=31(舍).
答:剪掉的正方形边长为5 cm.
(2)有最大值.
设剪掉的正方形边长为a cm,
则长方形盒子的侧面积为S=4a×(36-2a)=-8a2+144a=-8(a2-18a)=-8(a-9)2+648,
∴当a=9时,S有最大值648.
即长方体盒子的侧面积最大值为648 cm2,剪掉的正方形边长为9 cm.
训练升级,请使用 “课时过程性评价 十三”4 二次函数的应用
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围. 模型观念、运算能力、应用意识
2.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题. 模型观念、运算能力、应用意识
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
求解最大利润问题的基本步骤 (1)引入自变量. (2)用含自变量的代数式分别表示销售单价或销售收入及销售量. (3)用含自变量的代数式表示销售的商品的单件盈利. (4)用函数及含自变量的代数式分别表示销售利润,即函数表达式. (5)根据函数表达式求出最大值及取得最大值时的自变量的值. 1.某商场降价销售一批名牌球鞋,已知所获利润y(元)与降价金额x(元)之间满足函数表达式y=-x2+50x+600,若降价10元,则获利( ) A.800元 B.600元 C.1 200元 D.1 000元 2.某商店经销一种健身球,已知这种健身球的成本价为每个20元,市场调查发现,该种健身球每天的销售量y(个)与销售单价x(元)有如下关系:y=-2x+80(20≤x≤40).设这种健身球每天的销售利润为w元,则w与x之间的函数表达式为 .
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点利用二次函数的图象和性质解决利润问题(模型观念、运算能力、应用意识)
【典例】 (教材再开发·P50T2拓展)某厂一种农副产品的年产量不超过100万件,该产品的生产费用y(万元)与年产量x(万件)之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分(如图所示);该产品的总销售额z(万元)=预售总额(万元)+波动总额(万元),预售总额=每件产品的预售额(元)×年销售量x(万件),波动总额与年销售量x的平方成正比,部分数据如表所示.生产出的该产品都能在当年销售完,达到产销平衡,所获年毛利润为w万元(年毛利润=总销售额-生产费用).
年销售量x(万件) … 20 40 …
总销售额z(万元) … 560 1 040 …
(1)求y与x以及z与x之间的函数表达式;
(2)若要使该产品的年毛利润不低于1 000万元,求该产品年销售量的变化范围;
(3)受市场经济的影响,需下调每件产品的预售额(生产费用与波动总额均不变),在此基础上,若要使2025年的最高毛利润为720万元,直接写出每件产品的预售额下调多少元.
【举一反三】
1.(2024·杭州质检)某商店销售一批头盔,售价为每顶80元,每月可售出200顶.在“创建文明城市”期间,计划将头盔降价销售,经调查发现:每降价1元,每月可多售出20顶.已知头盔的进价为每顶50元,则该商店每月获得最大利润时,每顶头盔的售价为 元.( )
A.50 B.90 C.80 D.70
2.(2024·新疆中考)某公司销售一批产品,经市场调研发现,当销售量在0.4吨至3.5吨之间时,销售额y1(万元)与销售量x(吨)的函数表达式为:y1=5x;成本y2(万元)与销售量x(吨)的函数图象是如图所示的抛物线的一部分,其中(,)是其顶点.
(1)求出成本y2关于销售量x的函数表达式;
(2)当成本最低时,销售产品所获利润是多少
(3)当销售量是多少吨时,可获得最大利润 最大利润是多少
(注:利润=销售额-成本)
3.某百货公司计划在春节前夕购进A,B两种服装进行销售.已知购进1件A服装和2件B服装,需800元;购进3件A服装和4件B服装,需1 800元.
(1)A,B两种服装的进货单价分别是多少
(2)设A服装的销售单价为x(元),在销售过程中发现:当230≤x≤350时,A服装的日销售量y(单位:件)与销售单价x之间存在一次函数关系,x,y之间的部分数值对应关系如下表:
销售单价x(元) 230 350
日销售量y(件) 170 50
请写出当230≤x≤350时,y与x之间的函数表达式.
(3)在(2)的条件下,设A服装的日销售利润为w元,当A服装的销售单价x(元)定为多少时,日销售利润最大 最大利润是多少
【技法点拨】
实际问题中确定最值的方法
1.当二次函数的对称轴x=-在自变量的取值范围x1≤x≤x2内时,二次函数的最值就是实际问题中的最值.
2.当二次函数的对称轴x=-不在自变量的取值范围x1≤x≤x2内时,
(1)如果在此范围内,y随x的增大而增大,则当x=x2时,y的最大值为a+bx2+c,当x=x1时,y的最小值为a+bx1+c.
(2)如果在此范围内,y随x的增大而减小,则当x=x1时,y的最大值为a+bx1+c,当x=x2时,y的最小值为a+bx2+c.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·模型观念、运算能力、应用意识)某商店购进一批单价为20元的商品,若以单价30元销售,则每月可售出400件,如果销售单价每提高1元,月销售量相应减少20件,设每件商品单价涨x元,月销售利润为y元,可列函数为y=(30+x-20)(400-20x),对所列函数下列说法错误的是( )
A.(30+x-20)表示涨价后商品的单价
B.20x表示涨价后少售出商品的数量
C.(400-20x)表示涨价后商品的月销售量
D.当x=5时月利润达到最大
2.(3分·模型观念、运算能力、应用意识)某超市销售一种饮料,每瓶进价为4元,经市场调查表明:每瓶售价每增加1元,日均销售量减少80瓶;当售价为每瓶7元时,日均销售量为400瓶.若要日均毛利润最大,每瓶饮料的售价应是( )
A.6元 B.7元 C.8元 D.9元
3.(3分·模型观念、运算能力、应用意识)某商品的销售利润与销售单价存在二次函数关系,且二次项系数a=-1,当商品单价为160元和200元时,能获得同样多的利润,要使商品的销售利润最大,销售单价应定为 元.
4.(3分·模型观念、运算能力、应用意识)某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间每天的定价为180元时,房间会住满;当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲,宾馆需为有游客居住的房间每天支出20元费用,若想要获得最大利润,则房价应定为每个房间每天 元.
5.(8分·模型观念、应用意识、运算能力)某商城销售一新款耳机,每件进价为30元,经过试销发现,该耳机每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足如下关系:y=-x+60.
(1)求该商店销售这款耳机每天获得的利润w(元)与x之间的函数关系式;
(2)销售单价定为多少时,每天能获得最大的利润 每天利润的最大值是多少元 4 二次函数的应用
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围. 模型观念、运算能力、应用意识
2.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题. 模型观念、运算能力、应用意识
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
求解最大利润问题的基本步骤 (1)引入自变量. (2)用含自变量的代数式分别表示销售单价或销售收入及销售量. (3)用含自变量的代数式表示销售的商品的单件盈利. (4)用函数及含自变量的代数式分别表示销售利润,即函数表达式. (5)根据函数表达式求出最大值及取得最大值时的自变量的值. 1.某商场降价销售一批名牌球鞋,已知所获利润y(元)与降价金额x(元)之间满足函数表达式y=-x2+50x+600,若降价10元,则获利(D) A.800元 B.600元 C.1 200元 D.1 000元 2.某商店经销一种健身球,已知这种健身球的成本价为每个20元,市场调查发现,该种健身球每天的销售量y(个)与销售单价x(元)有如下关系:y=-2x+80(20≤x≤40).设这种健身球每天的销售利润为w元,则w与x之间的函数表达式为 w=-2x2+120x-1 600 .
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点利用二次函数的图象和性质解决利润问题(模型观念、运算能力、应用意识)
【典例】 (教材再开发·P50T2拓展)某厂一种农副产品的年产量不超过100万件,该产品的生产费用y(万元)与年产量x(万件)之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分(如图所示);该产品的总销售额z(万元)=预售总额(万元)+波动总额(万元),预售总额=每件产品的预售额(元)×年销售量x(万件),波动总额与年销售量x的平方成正比,部分数据如表所示.生产出的该产品都能在当年销售完,达到产销平衡,所获年毛利润为w万元(年毛利润=总销售额-生产费用).
年销售量x(万件) … 20 40 …
总销售额z(万元) … 560 1 040 …
(1)求y与x以及z与x之间的函数表达式;
(2)若要使该产品的年毛利润不低于1 000万元,求该产品年销售量的变化范围;
(3)受市场经济的影响,需下调每件产品的预售额(生产费用与波动总额均不变),在此基础上,若要使2025年的最高毛利润为720万元,直接写出每件产品的预售额下调多少元.
【解析】(1)设y=ax2,
把(100,1 000)代入,得1002a=1 000,
解得a=,
∴y=x2,
设预售总额为z1(万元),每件产品的预售额为k1(元),则z1=k1x,
设波动总额为z2(万元),
∵波动总额与年销售量x的平方成正比,
∴设z2=k2x2,
∴z=z1+z2=k1x+k2x2,
把x=20,z=560;x=40,z=1 040代入,
得,
解得,
∴z=30x-x2;
(2)毛利润w=z-y=30x-x2-x2=-x2+30x=-(x-75)2+1 125,
令w=1 000,则1 000=-(x-75)2+1 125,
解得x1=50,x2=100,
画出草图如下:
由图知:当50≤x≤100时,w≥1 000,
∴要使该产品的年毛利润不低于1 000万元,该产品年销售量的变化范围是50≤x≤100;
(3)设下调m元,
则z=(30-m)x-x2,
∴w=-x2+(30-m)x,
∵2025年的最高毛利润为720万元,
∴w的最大值为720,
∴=720,
解得m1=54(不符合题意,舍去),m2=6,
故下调了6元.
【举一反三】
1.(2024·杭州质检)某商店销售一批头盔,售价为每顶80元,每月可售出200顶.在“创建文明城市”期间,计划将头盔降价销售,经调查发现:每降价1元,每月可多售出20顶.已知头盔的进价为每顶50元,则该商店每月获得最大利润时,每顶头盔的售价为 元.(D)
A.50 B.90 C.80 D.70
2.(2024·新疆中考)某公司销售一批产品,经市场调研发现,当销售量在0.4吨至3.5吨之间时,销售额y1(万元)与销售量x(吨)的函数表达式为:y1=5x;成本y2(万元)与销售量x(吨)的函数图象是如图所示的抛物线的一部分,其中(,)是其顶点.
(1)求出成本y2关于销售量x的函数表达式;
(2)当成本最低时,销售产品所获利润是多少
(3)当销售量是多少吨时,可获得最大利润 最大利润是多少
(注:利润=销售额-成本)
【解析】(1)∵顶点为(,),
∴可设抛物线为y2=a(x-)2+.
又∵抛物线过(2,4),∴a×+=4.
∴a=1.∴y2=(x-)2+.
(2)由题意,当销售量x=时,成本最低为,
又∵销售量在0.4吨至3.5吨之间时,销售额y1(万元)与销售量x(吨)的函数表达式为:y1=5x,∴当x=时,销售额为y1=5x=5×=2.5.
∴此时利润为2.5-=0.75(万元).
答:当成本最低时,销售产品所获利润是0.75万元.
(3)由题意,利润=y1-y2=5x-[(x-)2+=-x2+6x-2=-(x-3)2+7.
∵-1<0,
∴当x=3时,利润取最大值,最大值为7.
答:当销售量是3吨时,可获得最大利润,最大利润是7万元.
3.某百货公司计划在春节前夕购进A,B两种服装进行销售.已知购进1件A服装和2件B服装,需800元;购进3件A服装和4件B服装,需1 800元.
(1)A,B两种服装的进货单价分别是多少
(2)设A服装的销售单价为x(元),在销售过程中发现:当230≤x≤350时,A服装的日销售量y(单位:件)与销售单价x之间存在一次函数关系,x,y之间的部分数值对应关系如下表:
销售单价x(元) 230 350
日销售量y(件) 170 50
请写出当230≤x≤350时,y与x之间的函数表达式.
(3)在(2)的条件下,设A服装的日销售利润为w元,当A服装的销售单价x(元)定为多少时,日销售利润最大 最大利润是多少
【解析】(1)设A,B两种服装的进货单价分别是a元、b元,
由题意得,,
解得,
∴A,B两种服装的进货单价分别是200元、300元;
(2)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b,将(230,170),(350,50)代入得,
,
解得,
∴y与x之间的函数表达式为y=-x+400(230≤x≤350);
(3)由题意得,w=(-x+400)(x-200)=-x2+600x-80 000=-(x-300)2+10 000(230≤x≤350),
∴当x=300时,w取得最大值10 000,
∴当A服装的销售单价定为300元时,日销售利润最大,最大利润是10 000元.
【技法点拨】
实际问题中确定最值的方法
1.当二次函数的对称轴x=-在自变量的取值范围x1≤x≤x2内时,二次函数的最值就是实际问题中的最值.
2.当二次函数的对称轴x=-不在自变量的取值范围x1≤x≤x2内时,
(1)如果在此范围内,y随x的增大而增大,则当x=x2时,y的最大值为a+bx2+c,当x=x1时,y的最小值为a+bx1+c.
(2)如果在此范围内,y随x的增大而减小,则当x=x1时,y的最大值为a+bx1+c,当x=x2时,y的最小值为a+bx2+c.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·模型观念、运算能力、应用意识)某商店购进一批单价为20元的商品,若以单价30元销售,则每月可售出400件,如果销售单价每提高1元,月销售量相应减少20件,设每件商品单价涨x元,月销售利润为y元,可列函数为y=(30+x-20)(400-20x),对所列函数下列说法错误的是(A)
A.(30+x-20)表示涨价后商品的单价
B.20x表示涨价后少售出商品的数量
C.(400-20x)表示涨价后商品的月销售量
D.当x=5时月利润达到最大
2.(3分·模型观念、运算能力、应用意识)某超市销售一种饮料,每瓶进价为4元,经市场调查表明:每瓶售价每增加1元,日均销售量减少80瓶;当售价为每瓶7元时,日均销售量为400瓶.若要日均毛利润最大,每瓶饮料的售价应是(C)
A.6元 B.7元 C.8元 D.9元
3.(3分·模型观念、运算能力、应用意识)某商品的销售利润与销售单价存在二次函数关系,且二次项系数a=-1,当商品单价为160元和200元时,能获得同样多的利润,要使商品的销售利润最大,销售单价应定为 180 元.
4.(3分·模型观念、运算能力、应用意识)某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间每天的定价为180元时,房间会住满;当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲,宾馆需为有游客居住的房间每天支出20元费用,若想要获得最大利润,则房价应定为每个房间每天 350 元.
5.(8分·模型观念、应用意识、运算能力)某商城销售一新款耳机,每件进价为30元,经过试销发现,该耳机每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足如下关系:y=-x+60.
(1)求该商店销售这款耳机每天获得的利润w(元)与x之间的函数关系式;
(2)销售单价定为多少时,每天能获得最大的利润 每天利润的最大值是多少元
【解析】(1)依题意,w=(x-30)(-x+60)=-x2+90x-1 800,
∴每天获得的利润w(元)与x之间的函数关系式为w=-x2+90x-1 800;
(2)∵w=-x2+90x-1 800=-(x-45)2+225,
∵-1<0,
∴当x=45时,w取得最大值,最大值为225元.
答:销售单价定为45元时,每天能获得最大的利润,每天利润的最大值是225元.
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