5 二次函数与一元二次方程
课时学习目标 素养目标达成
1.理解二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数之间的对应关系 模型观念、运算能力
2.会利用二次函数的图象与x轴交点的横坐标解相应的一元二次方程 几何直观、运算能力、推理能力
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的关系 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的个数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况2 1 0
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个公共点.这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是( ) A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定
2.一元二次方程的图象解法 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时,交点的 就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的 . 2.下列表格是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中x,y的部分对应值,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个近似根是 .(精确到0.1) x6.16.26.36.4y=ax2+bx+c-0.3-0.10.20.4
重点典例研析 启思凝智 教学相长
重点1 二次函数与一元二次方程的关系(模型观念、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P53T2拓展)已知二次函数y=ax2+bx+2(a<0).
(1)求证:该函数的图象与x轴总有两个公共点;
(2)若该函数图象与x轴的两个交点坐标分别为(x1,0),(x2,0),且x1=-2x2,求证:
a+b2=0;
(3)若A(k,y1),B(6,y2),C(k+4,y1)都在该二次函数的图象上,且2【举一反三】
1.抛物线y=(k-1)x2-x+1与x轴有交点,则k的取值范围是( )
A.k≠1 B.k≤
C.k<且k≠1 D.k≤且k≠1
2.函数y=2x2-4x+c与x轴的一个交点坐标为(5,0),则另一个交点坐标为( )
A.(2,0) B.(-1,0)
C.(-5,0) D.(-3,0)
重点2 利用二次函数图象解一元二次方程(模型观念、运算能力)
【典例2】已知二次函数y=x2-2x-3,
(1)请你把已知的二次函数化成y=(x-h)2+k的形式,并在平面直角坐标系中画出它的图象.
(2)如果A(x1,y1),B(x2,y2)是(1)中图象上的两点,且x1(3)利用(1)中的图象表示出方程x2-2x-1=0的根,画在(1)的图象上即可,要求保留画图痕迹.
【举一反三】
一元二次方程x2+bx+c=3的两个根分别为-2和4,若二次函数y=x2+bx+c与x轴的交点横坐标分别为x1,x2(x1A.-2C.-2素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·模型观念、运算能力)根据表格中的对应值判断关于x的方程ax2+bx+c=0的一个解的范围是( )
x 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c 0.02 -0.01 -0.03
A.x<3.24 B.3.24C.3.253.26
2.(3分·模型观念、运算能力)抛物线y=x2-3x+4与x轴的交点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.(3分·模型观念、运算能力)抛物线y=x2-6x+c与x轴只有一个交点,则c= .
4.(3分·模型观念、运算能力)根据表格,请你写出方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的一个近似解: .(精确到0.1)
x 2 2.5 2.6 2.65 2.7 3
ax2+bx+c -1 -0.25 -0.04 0.072 5 0.19 1
5.(8分·模型观念、运算能力)已知k是常数,抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,并且与x轴有两个交点.
(1)求k的值;
(2)当-3≤x≤0时,函数的最大值与最小值分别为多少 5 二次函数与一元二次方程
课时学习目标 素养目标达成
1.理解二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数之间的对应关系 模型观念、运算能力
2.会利用二次函数的图象与x轴交点的横坐标解相应的一元二次方程 几何直观、运算能力、推理能力
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的关系 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的个数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况2 两个不等实数根 1 两个相等实数根 0 无实数根
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个公共点.这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是(B) A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定
2.一元二次方程的图象解法 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时,交点的 横坐标 就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的 根 . 2.下列表格是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中x,y的部分对应值,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个近似根是 6.2 .(精确到0.1) x6.16.26.36.4y=ax2+bx+c-0.3-0.10.20.4
重点典例研析 启思凝智 教学相长
重点1 二次函数与一元二次方程的关系(模型观念、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P53T2拓展)已知二次函数y=ax2+bx+2(a<0).
(1)求证:该函数的图象与x轴总有两个公共点;
(2)若该函数图象与x轴的两个交点坐标分别为(x1,0),(x2,0),且x1=-2x2,求证:
a+b2=0;
(3)若A(k,y1),B(6,y2),C(k+4,y1)都在该二次函数的图象上,且2【自主解答】(1)Δ=b2-4×2a=b2-8a,
∵a<0,∴-8a>0,又b2≥0,∴b2-8a>0,即Δ>0,
∴该函数的图象与x轴总有两个公共点;
(2)∵该函数图象与x轴的两个交点坐标分别为(x1,0),(x2,0),
∴x1,x2是ax2+bx+2=0(a<0)的两个根,∴x1+x2=-,x1·x2=,
联立方程组,解得,
把代入x1·x2=,得-·=,整理得a+b2=0;
(3)∵A(k,y1),C(k+4,y1)都在该二次函数的图象上,
∴抛物线的对称轴为x==k+2,
当k+2<0,即k<-2时,∵2∴画出草图,如图:
或
此时B的横坐标小于0,不符合题意,舍去;
当k+2>0,即k>-2时,∵2∴画出草图,如图:
∴,解得k>6;
或∴,解得1综上,16.
【举一反三】
1.抛物线y=(k-1)x2-x+1与x轴有交点,则k的取值范围是(D)
A.k≠1 B.k≤
C.k<且k≠1 D.k≤且k≠1
2.函数y=2x2-4x+c与x轴的一个交点坐标为(5,0),则另一个交点坐标为(D)
A.(2,0) B.(-1,0)
C.(-5,0) D.(-3,0)
重点2 利用二次函数图象解一元二次方程(模型观念、运算能力)
【典例2】已知二次函数y=x2-2x-3,
(1)请你把已知的二次函数化成y=(x-h)2+k的形式,并在平面直角坐标系中画出它的图象.
(2)如果A(x1,y1),B(x2,y2)是(1)中图象上的两点,且x1(3)利用(1)中的图象表示出方程x2-2x-1=0的根,画在(1)的图象上即可,要求保留画图痕迹.
【解析】(1)y=x2-2x-3=(x-1)2-4,抛物线的顶点坐标为(1,-4),
当x=0时,y=x2-2x-3=-3,则抛物线与y轴的交点坐标为(0,-3),
当y=0时,x2-2x-3=0,解得x=-1或3,所以抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0),如图,
(2)抛物线的对称轴为直线x=1,且函数在对称轴左侧单调递减,
∵x1y2.
答案:y1>y2
(3)如图,a,b为方程x2-2x-1=0的两根.
【举一反三】
一元二次方程x2+bx+c=3的两个根分别为-2和4,若二次函数y=x2+bx+c与x轴的交点横坐标分别为x1,x2(x1A.-2C.-2素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·模型观念、运算能力)根据表格中的对应值判断关于x的方程ax2+bx+c=0的一个解的范围是(B)
x 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c 0.02 -0.01 -0.03
A.x<3.24 B.3.24C.3.253.26
2.(3分·模型观念、运算能力)抛物线y=x2-3x+4与x轴的交点个数为(A)
A.0 B.1 C.2 D.3
3.(3分·模型观念、运算能力)抛物线y=x2-6x+c与x轴只有一个交点,则c= 9 .
4.(3分·模型观念、运算能力)根据表格,请你写出方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的一个近似解: 2.6 .(精确到0.1)
x 2 2.5 2.6 2.65 2.7 3
ax2+bx+c -1 -0.25 -0.04 0.072 5 0.19 1
5.(8分·模型观念、运算能力)已知k是常数,抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,并且与x轴有两个交点.
(1)求k的值;
(2)当-3≤x≤0时,函数的最大值与最小值分别为多少
【解析】(1)∵抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,
∴k2+k-6=0,解得k1=-3,k2=2,
又∵抛物线与x轴有两个交点,
∴Δ=0-4×3k>0,k<0,∴k=-3.
(2)由(1)可知,抛物线的表达式为y=x2-9,
∴抛物线的开口向上,
与x轴交于(-3,0),(3,0),
当-3≤x≤0时,y随x的增大而减小,
∴当x=-3时,取得函数的最大值,为0,
当x=0时,取得函数的最小值,为-9.
