第二章 二次函数 单元复习课
体系自我构建 串线连珠 心绘蓝图
目标维度评价 锲而不舍 行而不辍
维度1 基础知识的应用
1.(2024·包头中考)将抛物线y=x2+2x向下平移2个单位后,所得新抛物线的顶点式为( )
A.y=(x+1)2-3 B.y=(x+1)2-2
C.y=(x-1)2-3 D.y=(x-1)2-2
2.(2024·广东中考)若点(0,y1),(1,y2),(2,y3)都在二次函数y=x2的图象上,则( )
A.y3>y2>y1 B.y2>y1>y3
C.y1>y3>y2 D.y3>y1>y2
3.(2024·眉山中考)定义运算:a b=(a+2b)(a-b),例如4 3=(4+2×3)(4-3),则函数y=(x+1) 2的最小值为( )
A.-21 B.-9 C.-7 D.-5
4.(2024·贵州中考)如图,二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是-3,顶点坐标为(-1,4),则下列说法正确的是( )
A.二次函数图象的对称轴是直线x=1
B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C.当x<-1时,y随x的增大而减小
D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
5.(2024·内江中考)已知二次函数y=x2-2x+1的图象向左平移两个单位得到抛物线C,点P(2,y1),Q(3,y2)在抛物线C上,则y1 y2(填“>”或“<”).
6.(2024·牡丹江中考)将抛物线y=ax2+bx+3向下平移5个单位长度后,经过点(-2,4),则6a-3b-7= .
7.(2024·长春中考)若抛物线y=x2-x+c(c是常数)与x轴没有交点,则c的取值范围是 .
维度2 基本技能(方法)、基本思想的应用
8.(2024·达州中考)抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于两点,其中一个交点的横坐标大于1,另一个交点的横坐标小于1,则下列结论正确的是( )
A.b+c>1 B.b=2
C.b2+4c<0 D.c<0
9.(2024·自贡中考)一次函数y=x-2n+4,二次函数y=x2+(n-1)x-3,反比例函数y=在同一直角坐标系中图象如图所示,则n的取值范围是( )
A.n>-1 B.n>2
C.-1
10.(2024·陕西中考)已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表:
x … -4 -2 0 3 5 …
y … -24 -8 0 -3 -15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是( )
A.图象的开口向上
B.当x>0时,y的值随x值的增大而减小
C.图象经过第二、三、四象限
D.图象的对称轴是直线x=1
11.(2024·湖北中考)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的顶点坐标为(-1,-2),与y轴的交点在x轴上方.下列结论正确的是( )
A.a<0 B.c<0
C.a-b+c=-2 D.b2-4ac=0
12.(2024·遂宁中考)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的对称轴为直线x=-1,且该抛物线与x轴交于点A(1,0),与y轴的交点B在(0,-2),(0,-3)之间(不含端点),则下列结论正确的有多少个( )
①abc>0;②9a-3b+c>0;③A.1 B.2 C.3 D.4
13.(2024·德阳中考)如图,抛物线y=ax2+bx+c的顶点A的坐标为(-,n),与x轴的一个交点位于0和1之间,则以下结论:
①abc>0;②5b+2c<0;③若抛物线经过点(-6,y1),(5,y2),则y1>y2;④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=4无实数根,则n<4.其中正确结论是 (请填写序号).
14.(2024·福建中考)如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中A(-2,0),C(0,-2).
(1)求二次函数的表达式;
(2)若P是二次函数图象上的一点,且点P在第二象限,线段PC交x轴于点D,△PDB的面积是△CDB的面积的2倍,求点P的坐标.
15.(2024·安徽中考)已知抛物线y=-x2+bx(b为常数)的顶点横坐标比抛物线y=-x2+2x的顶点横坐标大1.
(1)求b的值.
(2)点A(x1,y1)在抛物线y=-x2+2x上,点B(x1+t,y1+h)在抛物线y=-x2+bx上.
(ⅰ)若h=3t,且x1≥0,t>0,求h的值;
(ⅱ)若x1=t-1,求h的最大值.
维度3 实际生活生产中的运用
16.(2024·甘肃中考)如图1为一汽车停车棚,其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分,如图2是棚顶的竖直高度y(单位:m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=-0.02x2+0.3x+1.6的图象,点B(6,2.68)在图象上.若一辆箱式货车需在停车棚下避雨,货车截面看作长CD=4 m,高DE=1.8 m的矩形,则可判定货车 完全停到车棚内(填“能”或“不能”).
17.(2024·自贡中考)九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地,地上两段围墙AB⊥CD于点O(如图),其中AB上的EO段围墙空缺.同学们测得AE=
6.6 m,OE=1.4 m,OB=6 m,OC=5 m,OD=3 m,班长买来可切断的围栏16 m,准备利用已有围墙,围出一块封闭的矩形菜地,则该菜地最大面积是 m2.
18.(2024·滨州中考)春节期间,全国各影院上映多部影片,某影院每天运营成本为
2 000元,该影院每天售出的电影票数量y(单位:张)与售价x(单位:元/张)之间满足一次函数关系(30≤x≤80,且x是整数),部分数据如下表所示:
电影票售价x(元/张) 40 50
售出电影票数量y(张) 164 124
(1)请求出y与x之间的函数关系式;
(2)设该影院每天的利润(利润=票房收入-运营成本)为w(单位:元),求w与x之间的函数关系式;
(3)该影院将电影票售价x定为多少时,每天获利最大 最大利润是多少
19.(2024·武汉中考)16世纪中叶,我国发明了一种新式火箭“火龙出水”,它是二级火箭的始祖.火箭第一级运行路径形如抛物线,当火箭运行一定水平距离时,自动引发火箭第二级,火箭第二级沿直线运行.
某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程.如图,以发射点为原点,地平线为x轴,垂直于地面的直线为y轴,建立平面直角坐标系,分别得到抛物线y=ax2+x和直线y=-x+b.其中,当火箭运行的水平距离为9 km时,自动引发火箭的第二级.
(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6 km,
①直接写出a,b的值;
②火箭在运行过程中,有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35 km,求这两个位置之间的距离.
(2)直接写出a满足什么条件时,火箭落地点与发射点的水平距离超过15 km.
维度4 跨学科应用
20.【与物理结合】(2024·河南中考)从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h(m)满足关系式h=-5t2+v0t,其中t(s)是物体运动的时间,v0(m/s)是物体被发射时的速度.社团活动时,科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球.
(1)小球被发射后 s时离地面的高度最大(用含v0的式子表示).
(2)若小球离地面的最大高度为20 m,求小球被发射时的速度.
(3)按(2)中的速度发射小球,小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同.小明说:“这两次间隔的时间为3 s.”已知实验楼高15 m,请判断他的说法是否正确,并说明理由.
【感悟思想】体会本章数学思想的“润物无声”
数学思想 应用载体
数形结合思想 利用二次函数图象解一元二次方程或一元二次不等式常用到数形结合思想
分类讨论思想 抛物线和x轴有交点时,要注意b2-4ac>0或b2-4ac=0两种情况
转化思想 把实际问题转化为二次函数求最值的问题
方程思想 利用待定系数法求二次函数表达式,需要解方程或解方程组第二章 二次函数 单元复习课
体系自我构建 串线连珠 心绘蓝图
目标维度评价 锲而不舍 行而不辍
维度1 基础知识的应用
1.(2024·包头中考)将抛物线y=x2+2x向下平移2个单位后,所得新抛物线的顶点式为(A)
A.y=(x+1)2-3 B.y=(x+1)2-2
C.y=(x-1)2-3 D.y=(x-1)2-2
2.(2024·广东中考)若点(0,y1),(1,y2),(2,y3)都在二次函数y=x2的图象上,则(A)
A.y3>y2>y1 B.y2>y1>y3
C.y1>y3>y2 D.y3>y1>y2
3.(2024·眉山中考)定义运算:a b=(a+2b)(a-b),例如4 3=(4+2×3)(4-3),则函数y=(x+1) 2的最小值为(B)
A.-21 B.-9 C.-7 D.-5
4.(2024·贵州中考)如图,二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是-3,顶点坐标为(-1,4),则下列说法正确的是(D)
A.二次函数图象的对称轴是直线x=1
B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C.当x<-1时,y随x的增大而减小
D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
5.(2024·内江中考)已知二次函数y=x2-2x+1的图象向左平移两个单位得到抛物线C,点P(2,y1),Q(3,y2)在抛物线C上,则y1 < y2(填“>”或“<”).
6.(2024·牡丹江中考)将抛物线y=ax2+bx+3向下平移5个单位长度后,经过点(-2,4),则6a-3b-7= 2 .
7.(2024·长春中考)若抛物线y=x2-x+c(c是常数)与x轴没有交点,则c的取值范围是 c> .
维度2 基本技能(方法)、基本思想的应用
8.(2024·达州中考)抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于两点,其中一个交点的横坐标大于1,另一个交点的横坐标小于1,则下列结论正确的是(A)
A.b+c>1 B.b=2
C.b2+4c<0 D.c<0
9.(2024·自贡中考)一次函数y=x-2n+4,二次函数y=x2+(n-1)x-3,反比例函数y=在同一直角坐标系中图象如图所示,则n的取值范围是(C)
A.n>-1 B.n>2
C.-110.(2024·陕西中考)已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表:
x … -4 -2 0 3 5 …
y … -24 -8 0 -3 -15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是(D)
A.图象的开口向上
B.当x>0时,y的值随x值的增大而减小
C.图象经过第二、三、四象限
D.图象的对称轴是直线x=1
11.(2024·湖北中考)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的顶点坐标为(-1,-2),与y轴的交点在x轴上方.下列结论正确的是(C)
A.a<0 B.c<0
C.a-b+c=-2 D.b2-4ac=0
12.(2024·遂宁中考)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的对称轴为直线x=-1,且该抛物线与x轴交于点A(1,0),与y轴的交点B在(0,-2),(0,-3)之间(不含端点),则下列结论正确的有多少个(B)
①abc>0;②9a-3b+c>0;③A.1 B.2 C.3 D.4
13.(2024·德阳中考)如图,抛物线y=ax2+bx+c的顶点A的坐标为(-,n),与x轴的一个交点位于0和1之间,则以下结论:
①abc>0;②5b+2c<0;③若抛物线经过点(-6,y1),(5,y2),则y1>y2;④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=4无实数根,则n<4.其中正确结论是 ①②④ (请填写序号).
14.(2024·福建中考)如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中A(-2,0),C(0,-2).
(1)求二次函数的表达式;
(2)若P是二次函数图象上的一点,且点P在第二象限,线段PC交x轴于点D,△PDB的面积是△CDB的面积的2倍,求点P的坐标.
【解析】(1)由题意,将A(-2,0),C(0,-2)代入y=x2+bx+c得
∴,∴二次函数的表达式为y=x2+x-2.
(2)由题意,设P(m,n)(m<0,n>0),
∵△PDB的面积是△CDB的面积的2倍,
∴=2,=2.∴=2.
又∵CO=2,∴n=2CO=4.
由m2+m-2=4,∴m1=-3,m2=2(舍去).
∴点P的坐标为(-3,4).
15.(2024·安徽中考)已知抛物线y=-x2+bx(b为常数)的顶点横坐标比抛物线y=-x2+2x的顶点横坐标大1.
(1)求b的值.
(2)点A(x1,y1)在抛物线y=-x2+2x上,点B(x1+t,y1+h)在抛物线y=-x2+bx上.
(ⅰ)若h=3t,且x1≥0,t>0,求h的值;
(ⅱ)若x1=t-1,求h的最大值.
【解析】(1)∵抛物线y=-x2+bx的顶点横坐标为,y=-x2+2x的顶点横坐标为1,
∴-1=1,∴b=4.
(2)∵点A(x1,y1)在抛物线y=-x2+2x上,∴y1=-+2x1,
∵B(x1+t,y1+h)在抛物线y=-x2+4x上,∴y1+h=-(x1+t)2+4(x1+t),
-+2x1+h=-(x1+t)2+4(x1+t),
∴h=-t2-2x1t+2x1+4t.
(ⅰ)∵h=3t,∴3t=-t2-2x1t+2x1+4t,
∴t(t+2x1)=t+2x1,
∵x1≥0,t>0,∴t+2x1>0,
∴t=1,∴h=3;
(ⅱ)将x1=t-1代入h=-t2-2x1t+2x1+4t,
∴h=-3t2+8t-2,h=-3(t-)2+,
∵-3<0,∴当t=,即x1=时,h取得最大值,最大值为.
维度3 实际生活生产中的运用
16.(2024·甘肃中考)如图1为一汽车停车棚,其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分,如图2是棚顶的竖直高度y(单位:m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=-0.02x2+0.3x+1.6的图象,点B(6,2.68)在图象上.若一辆箱式货车需在停车棚下避雨,货车截面看作长CD=4 m,高DE=1.8 m的矩形,则可判定货车 能 完全停到车棚内(填“能”或“不能”).
17.(2024·自贡中考)九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地,地上两段围墙AB⊥CD于点O(如图),其中AB上的EO段围墙空缺.同学们测得AE=
6.6 m,OE=1.4 m,OB=6 m,OC=5 m,OD=3 m,班长买来可切断的围栏16 m,准备利用已有围墙,围出一块封闭的矩形菜地,则该菜地最大面积是 46.4 m2.
18.(2024·滨州中考)春节期间,全国各影院上映多部影片,某影院每天运营成本为
2 000元,该影院每天售出的电影票数量y(单位:张)与售价x(单位:元/张)之间满足一次函数关系(30≤x≤80,且x是整数),部分数据如下表所示:
电影票售价x(元/张) 40 50
售出电影票数量y(张) 164 124
(1)请求出y与x之间的函数关系式;
(2)设该影院每天的利润(利润=票房收入-运营成本)为w(单位:元),求w与x之间的函数关系式;
(3)该影院将电影票售价x定为多少时,每天获利最大 最大利润是多少
【解析】(1)设y与x之间的函数关系式是y=kx+b,
由题中表格可得,,
解得,
即y与x之间的函数关系式是y=-4x+324(30≤x≤80,且x是整数);
(2)由题意可得,w=x(-4x+324)-2 000=-4x2+324x-2 000,
即w与x之间的函数关系式是w=-4x2+324x-2 000(30≤x≤80,且x是整数);
(3)由(2)知:w=-4x2+324x-2 000=-4(x-)2+4 561,
∵30≤x≤80,且x是整数,
∴当x=40或41时,w取得最大值,最大值为4 560,
答:该影院将电影票售价x定为40元或41元时,每天获利最大,最大利润是4 560元.
19.(2024·武汉中考)16世纪中叶,我国发明了一种新式火箭“火龙出水”,它是二级火箭的始祖.火箭第一级运行路径形如抛物线,当火箭运行一定水平距离时,自动引发火箭第二级,火箭第二级沿直线运行.
某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程.如图,以发射点为原点,地平线为x轴,垂直于地面的直线为y轴,建立平面直角坐标系,分别得到抛物线y=ax2+x和直线y=-x+b.其中,当火箭运行的水平距离为9 km时,自动引发火箭的第二级.
(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6 km,
①直接写出a,b的值;
②火箭在运行过程中,有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35 km,求这两个位置之间的距离.
(2)直接写出a满足什么条件时,火箭落地点与发射点的水平距离超过15 km.
【解析】(1)①∵y=ax2+x经过点(9,3.6),
∴81a+9=3.6,解得a=-.∵y=-x+b经过点(9,3.6),∴3.6=-×9+b,解得b=8.1;
②由①得:y=-x2+x=-(x2-15x+)+=-(x-)2+(0≤x≤9),
∴火箭运行的最高高度是km,
∴-1.35=2.4(km),∴2.4=-x2+x,
整理得:x2-15x+36=0,
解得x1=12>9(不符合题意,舍去),x2=3.
由①得:y=-x+8.1,∴2.4=-x+8.1,解得x=11.4,∴11.4-3=8.4(km).
答:这两个位置之间的距离为8.4 km.
(2)当x=9时,y=81a+9,
∴火箭第二级的引发点的坐标为(9,81a+9).
设火箭落地点与发射点的水平距离为15 km.
∴y=-x+b经过点(9,81a+9),(15,0),
∴,解得.
∴当-维度4 跨学科应用
20.【与物理结合】(2024·河南中考)从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h(m)满足关系式h=-5t2+v0t,其中t(s)是物体运动的时间,v0(m/s)是物体被发射时的速度.社团活动时,科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球.
(1)小球被发射后 s时离地面的高度最大(用含v0的式子表示).
(2)若小球离地面的最大高度为20 m,求小球被发射时的速度.
(3)按(2)中的速度发射小球,小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同.小明说:“这两次间隔的时间为3 s.”已知实验楼高15 m,请判断他的说法是否正确,并说明理由.
【解析】(1)∵-5<0,∴当t=-=时,离地面的高度最大.
答案:
(2)当t=时,h=20.
-5×()2+v0×=20.
解得v0=20.
答:小球被发射时的速度是20 m/s;
(3)小明的说法不正确.
理由如下:
由(2)得:h=-5t2+20t.
当h=15时,15=-5t2+20t.
解得t1=1,t2=3.
∵3-1=2(s),
∴小明的说法不正确.
【感悟思想】体会本章数学思想的“润物无声”
数学思想 应用载体
数形结合思想 利用二次函数图象解一元二次方程或一元二次不等式常用到数形结合思想
分类讨论思想 抛物线和x轴有交点时,要注意b2-4ac>0或b2-4ac=0两种情况
转化思想 把实际问题转化为二次函数求最值的问题
方程思想 利用待定系数法求二次函数表达式,需要解方程或解方程组