*3 垂径定理
课时学习目标 素养目标达成
1.探索并证明垂径定理 推理能力、模型观念
2.应用垂径定理解决生活中的实际问题 抽象能力、运算能力、模型观念、应用意识
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
1.如图,CD是☉O的直径,AB是弦且不是直径,CD⊥AB,则下列结论不一定正确的是(B) A.AE=BE B.OE=DE C.AO=CO D.= 2.如图,在☉O中,弦AB⊥OC,垂足为点C,连接OA,若AB=8,OC=3,则cos A的值为 .
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
重点1 垂径定理(模型意识、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P76习题T2拓展)如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,若EB=9,AE=1,求弦CD的长.
【自主解答】连接OC,如图,
∵CD⊥AB,
∴CE=DE,∵EB=9,AE=1,∴AB=10,OC=OA=5,∴OE=4,
在Rt△OCE中,CE==3,∴CD=2CE=6.
【举一反三】
1.(2024·新疆中考)如图,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为E.若CD=8,OD=5,则BE的长为(B)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(2024·成都期末)如图,已知☉O的两弦AB,CD相交于E,且点A为的中点,若∠OBA=32°,则∠CEA的度数为 58° .
重点2 垂径定理在实际生活中的应用(模型观念、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P75例拓展)如图是某学校人行过道中的一个以O为圆心的圆形拱门,路面AB的宽为2 m,高CD为5 m,求圆形拱门所在圆的半径.
【解析】如图,连接OA,
由垂径定理得,AD=AB=1 m,
设OC=OA=R m,则OD=(5-R)m.
在Rt△AOD中,由勾股定理得,OA2-OD2=AD2,
即R2-(5-R)2=12,解得R=.
即圆形拱门所在圆的半径为 m.
【举一反三】
1.图①是一个球形烧瓶,图②是从正面看这个球形烧瓶下半部分的示意图,已知
☉O的半径OA=5 cm,液体的最大深度CD=2 cm,则☉O的弦AB的长为(C)
A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.8.4 cm
2.一座拱桥的轮廓是一段半径为250 m的圆弧(如图所示),桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连,其正下方的路面AB长度为300 m,那么这些钢索中最长的一根为 50 m.
【技法点拨】
垂径定理的基本模型
四变量 弦长a,圆心到弦的距离d,半径r,弧的中点到弦的距离h.
两关系 四变量中若知其中两个,可求其他两个. (1)()2+d2=r2; (2)h+d=r.
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·几何直观、运算能力)如图,AB为☉O的直径,CD垂直平分OA,垂足为E.若AB=8,则CD的长为(C)
A.2 B.4 C.4 D.6
2.(4分·模型观念、应用意识)如图,一个隧道的横截面是以O为圆心的圆的一部分,点D是☉O中弦AB的中点,CD经过圆心O交☉O于点C,若路面AB=6 m,此圆的半径OA的长为5 m,则CD的长为(D)
A.5 m B.6 m C. m D.9 m
3.(4分·模型观念、运算能力)如图,在☉O中,弦AB=8,圆心O到AB的距离OC=3,则☉O的半径长为 5 .
4.(4分·模型观念、应用意识)“青山绿水,畅享生活”,人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具,如图为竹筒水容器的截面.已知截面的半径为10 cm,开口AB宽为12 cm,这个水容器所能装水的最大深度是 18 cm. *3 垂径定理
课时学习目标 素养目标达成
1.探索并证明垂径定理 推理能力、模型观念
2.应用垂径定理解决生活中的实际问题 抽象能力、运算能力、模型观念、应用意识
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
1.如图,CD是☉O的直径,AB是弦且不是直径,CD⊥AB,则下列结论不一定正确的是( ) A.AE=BE B.OE=DE C.AO=CO D.= 2.如图,在☉O中,弦AB⊥OC,垂足为点C,连接OA,若AB=8,OC=3,则cos A的值为 .
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
重点1 垂径定理(模型意识、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P76习题T2拓展)如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,若EB=9,AE=1,求弦CD的长.
【举一反三】
1.(2024·新疆中考)如图,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为E.若CD=8,OD=5,则BE的长为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(2024·成都期末)如图,已知☉O的两弦AB,CD相交于E,且点A为的中点,若∠OBA=32°,则∠CEA的度数为 .
重点2 垂径定理在实际生活中的应用(模型观念、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P75例拓展)如图是某学校人行过道中的一个以O为圆心的圆形拱门,路面AB的宽为2 m,高CD为5 m,求圆形拱门所在圆的半径.
【举一反三】
1.图①是一个球形烧瓶,图②是从正面看这个球形烧瓶下半部分的示意图,已知
☉O的半径OA=5 cm,液体的最大深度CD=2 cm,则☉O的弦AB的长为( )
A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.8.4 cm
2.一座拱桥的轮廓是一段半径为250 m的圆弧(如图所示),桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连,其正下方的路面AB长度为300 m,那么这些钢索中最长的一根为 m.
【技法点拨】
垂径定理的基本模型
四变量 弦长a,圆心到弦的距离d,半径r,弧的中点到弦的距离h.
两关系 四变量中若知其中两个,可求其他两个. (1)()2+d2=r2; (2)h+d=r.
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·几何直观、运算能力)如图,AB为☉O的直径,CD垂直平分OA,垂足为E.若AB=8,则CD的长为( )
A.2 B.4 C.4 D.6
2.(4分·模型观念、应用意识)如图,一个隧道的横截面是以O为圆心的圆的一部分,点D是☉O中弦AB的中点,CD经过圆心O交☉O于点C,若路面AB=6 m,此圆的半径OA的长为5 m,则CD的长为( )
A.5 m B.6 m C. m D.9 m
3.(4分·模型观念、运算能力)如图,在☉O中,弦AB=8,圆心O到AB的距离OC=3,则☉O的半径长为 .
4.(4分·模型观念、应用意识)“青山绿水,畅享生活”,人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具,如图为竹筒水容器的截面.已知截面的半径为10 cm,开口AB宽为12 cm,这个水容器所能装水的最大深度是 cm.
