*7 切线长定理
课时学习目标 素养目标达成
1.了解切线长的概念 抽象能力、几何直观
2.探索切线长定理 推理能力、运算能力、模型观念、几何直观
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
1.切线长定义 过圆外一点画圆的切线,这点和切点之间的 . 1.判断(对的打“√”,错的打“×”) (1)切线长是切线的长度.(×) (2)切线长是圆外一点与切点之间线段的长度.(√)
2.切线长定理 文字 叙述过圆外一点画圆的两条切线,它们的切线长 符号 语言 ∵AB,AC都是☉O的切线,切点分别是点B,点C. ∴AB= .
2.如图,P为☉O外一点,PA,PB分别切☉O于A,B两点,若PA=5,则PB=( ) A.2 B.3 C.4 D.5
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1 切线长定理(模型观念、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P94“议一议”)(2022·恩施州中考)如图,P为☉O外一点,PA,PB为☉O的切线,切点分别为A,B,直线PO交☉O于点D,E,交AB于点C.
(1)求证:∠ADE=∠PAE;
(2)若∠ADE=30°,求证:AE=PE;
(3)若PE=4,CD=6,求CE的长.
【举一反三】
1.(2024·德州质检)如图,P为☉O外一点,PA,PB分别切☉O于点A,点B,CD切☉O于点E,分别交PA,PB于点C,D,若PA=5,则△PCD的周长为( )
A.5 B.7 C.8 D.10
2.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,以BC为直径在矩形内作半圆,自点A作半圆的切线AE,则sin∠CBE=( )
A. B. C. D.
重点2 切线长定理的应用(应用意识、模型观念)
【典例2】(教材再开发·P95“想一想”拓展)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,☉O为梯形的内切圆,E,F为切点.
(1)求证:AO2=AE·AD;
(2)若AO=2 cm,DF=1 cm,求☉O的面积.
【举一反三】
1.(2024·北京质检)如图,四边形ABCD是☉O的外切四边形,若BC∶AB∶AD=3∶4∶6,且四边形ABCD的周长为72,则CD长为 .
2.(2024·武汉期末)四边形ABCD是☉O的外切四边形,若∠AOB=78°,则∠COD的度数是 .
【技法点拨】
切线长定理五类应用
1.求角度.
2.求线段的长度.
3.证线段相等.
4.证线段对应成比例.
5.证线段平行.
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·几何直观、运算能力)如图,AB,AC,BD是☉O的切线,切点分别为P,C,D,若AB=5,AC=3,则BD的长是( )
A.1.5 B.2 C.2.5 D.3
2.(4分·几何直观、运算能力)如图PA,PB,CD分别切☉O于A,B,E,∠APB=54°,则∠COD=( )
A.36° B.63° C.126° D.46°
3.(4分·模型观念、运算能力)如图,四边形ABCD是☉O的外切四边形,且AB=10,CD=12,则四边形ABCD的周长为( )
A.44 B.42 C.46 D.47
4.(4分·模型观念、运算能力)如图,AB为☉O的直径,点C在AB的延长线上,CD,CE分别与☉O相切于点D,E,若AD=2,∠DAC=∠DCA,则CE= . *7 切线长定理
课时学习目标 素养目标达成
1.了解切线长的概念 抽象能力、几何直观
2.探索切线长定理 推理能力、运算能力、模型观念、几何直观
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
1.切线长定义 过圆外一点画圆的切线,这点和切点之间的 线段长 . 1.判断(对的打“√”,错的打“×”) (1)切线长是切线的长度.(×) (2)切线长是圆外一点与切点之间线段的长度.(√)
2.切线长定理 文字 叙述过圆外一点画圆的两条切线,它们的切线长 相等 符号 语言 ∵AB,AC都是☉O的切线,切点分别是点B,点C. ∴AB= AC .
2.如图,P为☉O外一点,PA,PB分别切☉O于A,B两点,若PA=5,则PB=(D) A.2 B.3 C.4 D.5
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1 切线长定理(模型观念、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P94“议一议”)(2022·恩施州中考)如图,P为☉O外一点,PA,PB为☉O的切线,切点分别为A,B,直线PO交☉O于点D,E,交AB于点C.
(1)求证:∠ADE=∠PAE;
(2)若∠ADE=30°,求证:AE=PE;
(3)若PE=4,CD=6,求CE的长.
【解析】(1)连接OA,如图,
∵PA为☉O的切线,∴AO⊥PA,∴∠OAE+∠PAE=90°.
∵DE是☉O的直径,∴∠DAE=90°,∴∠ADE+∠AED=90°.
∵OA=OE,∴∠OAE=∠AED,∴∠ADE=∠PAE;
(2)由(1)知:∠ADE=∠PAE=30°,
∵∠DAE=90°,∴∠AED=90°-∠ADE=60°.
∵∠AED=∠PAE+∠APE,∴∠APE=∠PAE=30°,∴AE=PE;
(3)设CE=x,则DE=CD+CE=6+x,
∴OA=OE=,∴OC=OE-CE=,
OP=OE+PE=.
∵PA,PB为☉O的切线,
∴PA=PB,PO平分∠APB,∴PO⊥AB.
∵PA为☉O的切线,
∴AO⊥PA,∴△OAC∽△OPA,
∴=,∴=,
即x2+10x-24=0.
解得x=2或-12(不符合题意,舍去),∴CE=2.
【举一反三】
1.(2024·德州质检)如图,P为☉O外一点,PA,PB分别切☉O于点A,点B,CD切☉O于点E,分别交PA,PB于点C,D,若PA=5,则△PCD的周长为(D)
A.5 B.7 C.8 D.10
2.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,以BC为直径在矩形内作半圆,自点A作半圆的切线AE,则sin∠CBE=(D)
A. B. C. D.
重点2 切线长定理的应用(应用意识、模型观念)
【典例2】(教材再开发·P95“想一想”拓展)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,☉O为梯形的内切圆,E,F为切点.
(1)求证:AO2=AE·AD;
(2)若AO=2 cm,DF=1 cm,求☉O的面积.
【解析】(1)∵☉O为梯形ABCD的内切圆,
∴∠OAD=∠OAB=∠BAD,∠ODA=∠ODC=∠ADC,
∵AB∥CD,∴∠BAD+∠ADC=180°,
∴∠OAD+∠ODA=(∠BAD+∠ADC)=×180°=90°,∴∠AOD=90°,
∵AD⊥OE,∴∠AEO=∠AOD=90°,
∵∠EAO=∠OAD,∴△EAO∽△OAD,
∴=,∴AO2=AE·AD.
(2)∵AO2=AE·AD,AO=2 cm,DE=DF=1 cm,
∴(2)2=(AD-1)AD,
解得AD=4或AD=-3(不符合题意,舍去),
∴DO===2(cm),
∵AD·EO=AO·DO=S△AOD,
∴×4EO=×2×2,
解得EO=,
∴=π×()2=3π(cm2),
∴☉O的面积为3π cm2.
【举一反三】
1.(2024·北京质检)如图,四边形ABCD是☉O的外切四边形,若BC∶AB∶AD=3∶4∶6,且四边形ABCD的周长为72,则CD长为 20 .
2.(2024·武汉期末)四边形ABCD是☉O的外切四边形,若∠AOB=78°,则∠COD的度数是 102° .
【技法点拨】
切线长定理五类应用
1.求角度.
2.求线段的长度.
3.证线段相等.
4.证线段对应成比例.
5.证线段平行.
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·几何直观、运算能力)如图,AB,AC,BD是☉O的切线,切点分别为P,C,D,若AB=5,AC=3,则BD的长是(B)
A.1.5 B.2 C.2.5 D.3
2.(4分·几何直观、运算能力)如图PA,PB,CD分别切☉O于A,B,E,∠APB=54°,则∠COD=(B)
A.36° B.63° C.126° D.46°
3.(4分·模型观念、运算能力)如图,四边形ABCD是☉O的外切四边形,且AB=10,CD=12,则四边形ABCD的周长为(A)
A.44 B.42 C.46 D.47
4.(4分·模型观念、运算能力)如图,AB为☉O的直径,点C在AB的延长线上,CD,CE分别与☉O相切于点D,E,若AD=2,∠DAC=∠DCA,则CE= 2 .
