2 圆的对称性
课时学习目标 素养目标达成
1.了解圆的轴对称性和中心对称性 几何直观、空间观念
2.探索圆的轴对称性和中心对称性及相关性质 抽象能力、几何直观、推理能力、应用意识
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
1. 圆的 对称性圆是轴对称图形,其对称轴是 任意一条过圆心的直线 . 圆是中心对称图形,对称中心为 圆心 .
1.判断(对的打“√”,错的打“×”) (1)圆的对称轴有无数条,是圆的任意一条直径.(×) (2)圆绕圆心旋转任意角度都能与本身重合.(√)
2. 圆心 角、 弧、 弦之 间的 关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧 相等 、所对的弦 相等 . 推论:在同圆或等圆中,如果 两个圆心角 、 两条弧 、 两条弦 中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别 相等 (简称:知一推二). 常见推理形式,如图: ①∠AOB= ∠COD ②= ③AB=CD
2.(1)如图,AB是☉O的直径,= =,若∠COD=35°,则 ∠AOE的度数是(C) A.35° B.55° C.75° D.95° (2)如图,在☉O中,=, ∠1=45°,则的度数为 45° . (3)若一条弦把圆分成1∶5两部分,则劣弧所对的圆心角为 60° .
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1 圆的对称性(几何直观、空间观念)
【典例1】(教材再开发·P72随堂练习T1拓展)世界上因为有了圆的图案,万物才显得富有生机,如图是来自现实生活中的图形,它们看上去多么美丽和谐,这正是因为它们具有对称性.
(1)请从对称轴的条数方面找出这三幅图形中与其他两幅不同的图形.
(2)请你再画出两个与所给图案不重复的图案,要体现对称和美观.
【自主解答】(1)第一幅图形有无数条对称轴,所以与其他两幅不同.
(2)如图:
(答案不唯一,仅供参考)
【举一反三】
下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(B)
【技法点拨】
圆的对称性
1.圆既是轴对称图形,也是中心对称图形.
2.对称轴是直线而不是线段,不能说每一条直径是它的对称轴.
3.圆的对称轴有无数条.
重点2 圆心角、弧、弦之间的关系(几何直观、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P71例题拓展)如图,在☉O中,AB,CD是直径,CE∥AB且交圆于E,求证:=.
【自主解答】连接OE,
∵CE∥AB,
∴∠DOB=∠C,∠BOE=∠E,
∵OC=OE,
∴∠C=∠E,
∴∠DOB=∠BOE,
∴=.
【举一反三】
1.(2024·广州期末)如图,已知A,B,C,D是圆上的点,=,AC,BD交于点E,则下列结论正确的是(D)
A.AB=AD B.BE=CD
C.BE=AD D.AC=BD
2.(2024·济南期中)如图,AB,CD是☉O的直径,=,若∠AOE=32°,则∠COE的度数是 64° .
3.如图,A,B,C,D是☉O上的四点,AB=DC.求证:AC=BD.
【证明】∵AB=DC,∴=,
∴=,∴AC=BD.
【技法点拨】
“知一推二”的三点注意
(1)当已知两个圆心角相等时,必须限定同圆或等圆.
(2)当两弦相等推导圆心角相等时,必须限定同圆或等圆.
(3)当两弦相等推导弧相等时,除了限定同圆或等圆之外,还要限定两弧是同一类弧(劣弧或优弧).
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·几何直观、运算能力)如图,AB是☉O的直径,=,∠BOC=30°,则∠COD的度数是(D)
A.150° B.140° C.130° D.120°
2.(3分·几何直观、运算能力)如图,在☉O中,==,则∠BOC的度数为(C)
A.100° B.110° C.120° D.150°
3.(3分·运算能力、应用意识)如图,将大小不同的两块量角器的零度线对齐,且小量角器的中心O2恰好在大量角器的圆周上,设图中两圆周的交点为P.且点P在小量角器上对应的刻度为62°,那么点P在大量角器上对应的刻度为(只考虑小于90°的角)(A)
A.56° B.58° C.60° D.62°
4.(3分·几何直观、运算能力)如图,AB是☉O的直径,=,∠COB=40°,则∠A的度数是 55 °.
5.(8分·几何直观、推理能力)如图,以平行四边形ABCD的顶点A为圆心,AB为半径作☉A,交AD,BC于E,F,延长BA交☉A于G,求证:=.
【证明】连接AF,
∵AB=AF,∴∠ABF=∠AFB.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,
∴∠DAF=∠AFB,∠GAE=∠ABF,∴∠GAE=∠EAF.
∴=.2 圆的对称性
课时学习目标 素养目标达成
1.了解圆的轴对称性和中心对称性 几何直观、空间观念
2.探索圆的轴对称性和中心对称性及相关性质 抽象能力、几何直观、推理能力、应用意识
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
1. 圆的 对称性圆是轴对称图形,其对称轴是 . 圆是中心对称图形,对称中心为 .
1.判断(对的打“√”,错的打“×”) (1)圆的对称轴有无数条,是圆的任意一条直径.(×) (2)圆绕圆心旋转任意角度都能与本身重合.(√)
2. 圆心 角、 弧、 弦之 间的 关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧 、所对的弦 . 推论:在同圆或等圆中,如果 、 、 中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别 (简称:知一推二). 常见推理形式,如图: ①∠AOB= ∠COD ②= ③AB=CD
2.(1)如图,AB是☉O的直径,= =,若∠COD=35°,则 ∠AOE的度数是( ) A.35° B.55° C.75° D.95° (2)如图,在☉O中,=, ∠1=45°,则的度数为 . (3)若一条弦把圆分成1∶5两部分,则劣弧所对的圆心角为 .
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1 圆的对称性(几何直观、空间观念)
【典例1】(教材再开发·P72随堂练习T1拓展)世界上因为有了圆的图案,万物才显得富有生机,如图是来自现实生活中的图形,它们看上去多么美丽和谐,这正是因为它们具有对称性.
(1)请从对称轴的条数方面找出这三幅图形中与其他两幅不同的图形.
(2)请你再画出两个与所给图案不重复的图案,要体现对称和美观.
【举一反三】
下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
【技法点拨】
圆的对称性
1.圆既是轴对称图形,也是中心对称图形.
2.对称轴是直线而不是线段,不能说每一条直径是它的对称轴.
3.圆的对称轴有无数条.
重点2 圆心角、弧、弦之间的关系(几何直观、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P71例题拓展)如图,在☉O中,AB,CD是直径,CE∥AB且交圆于E,求证:=.
【举一反三】
1.(2024·广州期末)如图,已知A,B,C,D是圆上的点,=,AC,BD交于点E,则下列结论正确的是( )
A.AB=AD B.BE=CD
C.BE=AD D.AC=BD
2.(2024·济南期中)如图,AB,CD是☉O的直径,=,若∠AOE=32°,则∠COE的度数是 .
3.如图,A,B,C,D是☉O上的四点,AB=DC.求证:AC=BD.
【技法点拨】
“知一推二”的三点注意
(1)当已知两个圆心角相等时,必须限定同圆或等圆.
(2)当两弦相等推导圆心角相等时,必须限定同圆或等圆.
(3)当两弦相等推导弧相等时,除了限定同圆或等圆之外,还要限定两弧是同一类弧(劣弧或优弧).
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·几何直观、运算能力)如图,AB是☉O的直径,=,∠BOC=30°,则∠COD的度数是( )
A.150° B.140° C.130° D.120°
2.(3分·几何直观、运算能力)如图,在☉O中,==,则∠BOC的度数为( )
A.100° B.110° C.120° D.150°
3.(3分·运算能力、应用意识)如图,将大小不同的两块量角器的零度线对齐,且小量角器的中心O2恰好在大量角器的圆周上,设图中两圆周的交点为P.且点P在小量角器上对应的刻度为62°,那么点P在大量角器上对应的刻度为(只考虑小于90°的角)( )
A.56° B.58° C.60° D.62°
4.(3分·几何直观、运算能力)如图,AB是☉O的直径,=,∠COB=40°,则∠A的度数是 °.
5.(8分·几何直观、推理能力)如图,以平行四边形ABCD的顶点A为圆心,AB为半径作☉A,交AD,BC于E,F,延长BA交☉A于G,求证:=.
