4 圆周角和圆心角的关系
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解圆周角的概念 抽象能力、几何直观
2.探索并证明圆周角定理及推论 几何直观、空间观念、模型观念、推理能力
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
1.圆周角的定义 顶点在 圆上 ,两边分别与圆还有 另一个交点 的角. 1.如图,∠APB是圆周角的是(D)
2.圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的 圆心角 度数的 一半 . 2.如图,点A,B,C在☉O上,若∠C=55°,则∠AOB的度数为 110 °.
3.推论 同弧 或 等弧 所对的圆周角相等. 3.如图,在☉O中,弦AC,BD相交于点P,连接BC,AD.若∠C=30°,则∠ADP的大小为(A) A.30° B.43° C.53° D.77°
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1 圆周角及圆周角定理(几何直观、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P79“圆周角定理”拓展)如图,AB是☉O的直径,弦CD与AB相交于点P,∠AOD=70°,∠APD=60°.求∠BDC的度数.
【解析】∵∠AOD,∠B所对的弧都是,
∴∠B=∠AOD=35°,
∵∠APD是△PDB的外角,
∴∠APD=∠B+∠PDB,
∴∠BDC=∠APD-∠B=60°-35°=25°.
【举一反三】
1.(2024·西安一模)如图,在☉O中,点C在上.若∠AOB=120°,∠ABC=22°,则
∠BAC的度数为(C)
A.36° B.37° C.38° D.39°
2.(2024·甘肃中考)如图,点A,B,C在☉O上,AC⊥OB,垂足为D,若∠A=35°,则∠C的度数是(A)
A.20° B.25° C.30° D.35°
重点2 圆周角定理的推论(几何直观、推理能力)
【典例2】(教材溯源·P80随堂练习T2)(2022·无锡中考)如图,边长为6的等边三角形ABC内接于☉O,点D为AC上的动点(点A,C除外),BD的延长线交☉O于点E,连接CE.
(1)求证:△CED∽△BAD;
(2)当DC=2AD时,求CE的长.
【自主解答】(1)∵∠CDE=∠BDA,∠E=∠A,
∴△CED∽△BAD;
(2)如图,过点D作DF⊥EC于点F,
∵△ABC是边长为6的等边三角形,
∴∠A=60°,AC=AB=6,
∵DC=2AD,∴AD=2,DC=4,
∵△CED∽△BAD,
∴===3,∴EC=3DE,
∵∠E=∠A=60°,DF⊥EC,∴∠EDF=90°-60°=30°,∴DE=2EF,
设EF=x,则DE=2x,DF=x,EC=6x,∴FC=5x,
在Rt△DFC中,DF2+FC2=DC2,∴(x)2+(5x)2=42,
解得x=或-(不符合题意,舍去),
∴CE=6x=.
【举一反三】
1.(2024·渭南模拟)如图,点A,B,C,D在☉O上,连接AB,DB,CB,CD,AB⊥BC,BC=8,∠BDC=30°,则AB的长为(A)
A.8 B.8 C.8 D.4
2.(2024·成都模拟)如图,已知☉O的两条弦AC,BD相交于点E,∠BAC=70°,
∠ACD=50°,连接OE,若E为AC的中点,则∠OEB的度数是 30° .
【技法点拨】
圆周角定理的推论的应用
1.常作的辅助线是构造同弧所对的圆周角.
2.圆周角定理的推论是证明弧相等、角相等常用的方法.
素养当堂测评 (10分钟·15分)
1.(3分·模型观念、运算能力)将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上,使点C在半圆上.点A,B的读数分别为88°,30°,则∠ACB的大小为(C)
A.15° B.28° C.29° D.34°
2.(3分·几何直观、运算能力)(2024·云南中考)如图,CD是☉O的直径,点A,B在
☉O上.若=,∠AOC=36°,则∠D=(B)
A.9° B.18° C.36° D.45°
3.(3分·几何直观、运算能力)如图,∠A是☉O的圆周角,∠OBC=55°,则∠A=(A)
A.35° B.45° C.55° D.70°
4.(6分·几何直观、推理能力)如图,图中两条弦AB,CD相交于点E,且AE=DE,求证:AB=CD.
【证明】由圆周角定理得,∠C=∠B,
在△AEC和△DEB中,,
∴△AEC≌△DEB(AAS),
∴EC=EB,
∴AE+BE=DE+EC,即AB=CD.4 圆周角和圆心角的关系
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解圆周角的概念 抽象能力、几何直观
2.探索并证明圆周角定理及推论 几何直观、空间观念、模型观念、推理能力
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
1.圆周角的定义 顶点在 ,两边分别与圆还有 的角. 1.如图,∠APB是圆周角的是( )
2.圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的 度数的 . 2.如图,点A,B,C在☉O上,若∠C=55°,则∠AOB的度数为 °.
3.推论 或 所对的圆周角相等. 3.如图,在☉O中,弦AC,BD相交于点P,连接BC,AD.若∠C=30°,则∠ADP的大小为( ) A.30° B.43° C.53° D.77°
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1 圆周角及圆周角定理(几何直观、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P79“圆周角定理”拓展)如图,AB是☉O的直径,弦CD与AB相交于点P,∠AOD=70°,∠APD=60°.求∠BDC的度数.
【举一反三】
1.(2024·西安一模)如图,在☉O中,点C在上.若∠AOB=120°,∠ABC=22°,则
∠BAC的度数为( )
A.36° B.37° C.38° D.39°
2.(2024·甘肃中考)如图,点A,B,C在☉O上,AC⊥OB,垂足为D,若∠A=35°,则∠C的度数是( )
A.20° B.25° C.30° D.35°
重点2 圆周角定理的推论(几何直观、推理能力)
【典例2】(教材溯源·P80随堂练习T2)(2022·无锡中考)如图,边长为6的等边三角形ABC内接于☉O,点D为AC上的动点(点A,C除外),BD的延长线交☉O于点E,连接CE.
(1)求证:△CED∽△BAD;
(2)当DC=2AD时,求CE的长.
【举一反三】
1.(2024·渭南模拟)如图,点A,B,C,D在☉O上,连接AB,DB,CB,CD,AB⊥BC,BC=8,∠BDC=30°,则AB的长为( )
A.8 B.8 C.8 D.4
2.(2024·成都模拟)如图,已知☉O的两条弦AC,BD相交于点E,∠BAC=70°,
∠ACD=50°,连接OE,若E为AC的中点,则∠OEB的度数是 .
【技法点拨】
圆周角定理的推论的应用
1.常作的辅助线是构造同弧所对的圆周角.
2.圆周角定理的推论是证明弧相等、角相等常用的方法.
素养当堂测评 (10分钟·15分)
1.(3分·模型观念、运算能力)将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上,使点C在半圆上.点A,B的读数分别为88°,30°,则∠ACB的大小为( )
A.15° B.28° C.29° D.34°
2.(3分·几何直观、运算能力)(2024·云南中考)如图,CD是☉O的直径,点A,B在
☉O上.若=,∠AOC=36°,则∠D=( )
A.9° B.18° C.36° D.45°
3.(3分·几何直观、运算能力)如图,∠A是☉O的圆周角,∠OBC=55°,则∠A=( )
A.35° B.45° C.55° D.70°
4.(6分·几何直观、推理能力)如图,图中两条弦AB,CD相交于点E,且AE=DE,求证:AB=CD.4 圆周角和圆心角的关系
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.了解圆内接四边形的概念 抽象能力、空间观念
2.探索圆周角定理的推论及圆内接四边形的性质 模型观念、几何直观、运算能力、推理能力
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
1. 直径与90°的圆周角的关系(1)直径所对的圆周角是 直角 (2)90°的圆周角所对的弦是 直径
1.如图,BC是☉O的直径,点A是☉O上异于B,C的一点,则∠A的度数为(D) A.60° B.70° C.80° D.90°
2. 圆内 接四 边形定 义如果一个四边形的 所有顶点 都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的 外接圆 性 质圆内接四边形对角 互补 ,并且它的任意一个外角都等于 它的内对角
2.如图,四边形ABCD内接于☉O,若∠A=70°,则∠C的度数是(C) A.70° B.90° C.110° D.140°
重点典例研析 启思凝智 教学相长
重点1 圆周角定理推论2(几何直观、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P83随堂练习T1拓展)如图,C为☉O上的一点,直径AB=26,∠ACB的平分线交☉O于点D,交AB于点E.求BD的长.
【解析】如图,连接OD,
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,
∵CD是∠ACB的平分线,
∴∠ACD=∠BCD=45°,
∴∠BOD=2∠BCD=90°,
在Rt△BOD中,OB=OD=AB=13,
∴BD=OB=13.
【举一反三】
1.(2024·宜宾中考)如图,AB是☉O的直径,若∠CDB=60°,则∠ABC的度数等于(A)
A.30° B.45° C.60° D.90°
2.AB为半圆O的直径,点C为半圆上一点,且∠CAB=50°.①以点B为圆心,适当长为半径作弧,交AB,BC于D,E;②分别以D,E为圆心,大于DE长为半径作弧,两弧交于点P;③作射线BP.则∠ABP=(C)
A.40° B.25° C.20° D.15°
重点2 圆内接四边形(推理能力、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P82“想一想”补充)如图,四边形ABCD内接于☉O,AE⊥CB的延长线于点E,连接AC,BD,BA平分∠EBD.
(1)求证:AC=AD.
(2)当B为的中点,BC=3BE,AD=6时,求CD的长.
【解析】(1)∵四边形ABCD内接于☉O,
∴∠ADC+∠ABC=180°,
又∵∠ABE+∠ABC=180°,
∴∠ABE=∠ADC,
∵BA平分∠DBE,
∴∠ABE=∠DBA,
∴∠ADC=∠DBA,
∵∠ACD=∠DBA,
∴∠ADC=∠ACD,∴AC=AD.
(2)过点A作AF⊥CD于点F,
∵B为的中点,∴AB=BC,
∵BC=3BE,∴AB=3BE,
∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,
∴∠ADF=∠ABE,
∵∠AFD=∠AEB=90°,∴△ABE∽△ADF,
∴==,
∵AD=6,∴DF=2,
∵AC=AD,∴CD=2DF=4.
【举一反三】
1.(2024·昭通一模)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,若∠ABC=114°,则
∠AOC的度数为(B)
A.134° B.132° C.76° D.66°
2.(2024·吉林中考)如图,四边形ABCD内接于☉O,过点B作BE∥AD,交CD于点E.若∠BEC=50°,则∠ABC的度数是(C)
A.50° B.100° C.130° D.150°
【技法点拨】
圆内接四边形的角的两种关系
1.对角互补,若四边形ABCD为☉O的内接四边形,则∠A+∠C=180°,∠B+
∠D=180°.
2.四个角的和是360°,若四边形ABCD为☉O的内接四边形,则∠A+∠B+∠C+
∠D=360°.
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·几何直观、模型观念)如图,BC为直径,∠ABC=35°,则∠D的度数为(C)
A.35° B.45° C.55° D.65°
2.(4分·几何直观、运算能力)如图,在☉O中,AB是☉O的直径,∠DAC=20°,弦CD =CB,则∠ADC=(B)
A.100° B.110° C.120° D.150°
3.(8分·几何直观、推理能力)如图,四边形ABCD内接于☉O,对角线AC,BD交于点E,AC为☉O的直径,∠BCA=2∠ACD.
(1)求证:BC=CE;
(2)若☉O的半径为,BC=4,求线段DC的长.
【解析】(1)设∠ACD=α,
则∠BCA=2∠ACD=2α,
∵∠ABD与∠ACD所对弧都为,
∴∠ABD=∠ACD=α,
∵AC为☉O的直径,
∴∠ABC=90°,
∴∠CBE=∠ABC-∠ABD=90°-α,
∴∠CEB=180°-(∠CBE+∠BCA)=180°-(90°-α+2α)=90°-α,
∴∠CBE=∠CEB,∴BC=CE.
(2)过点C作CT⊥BE于T,如图所示:
∵☉O的半径为,BC=4,
∴AC=5,
设AD=x,
由(1)可知,BC=CE=4,
∴ET=BE,∠ECT=∠BCA,AE=AC-CE=5-4=1,
∵∠BCE=∠ADE,∠BEC=∠AED,
∴△BCE∽△ADE,
∴AD∶BC=AE∶BE,
即x∶4=1∶BE,
∴BE=,
∴ET=BE=,
∵AC为☉O的直径,CT⊥BE,
∴∠ADC=∠ETC=90°,
∴∠ECT=∠BCA,∠BCA=2∠ACD,
∴∠ECT=∠ACD,
∴△ECT∽△ACD,
∴AD∶ET=AC∶CE,
即x∶=5∶4,
∴x=,
∴AD=,
在Rt△ACD中,AD=,AC=5,
由勾股定理得CD==.4 圆周角和圆心角的关系
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.了解圆内接四边形的概念 抽象能力、空间观念
2.探索圆周角定理的推论及圆内接四边形的性质 模型观念、几何直观、运算能力、推理能力
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
1. 直径与90°的圆周角的关系(1)直径所对的圆周角是 (2)90°的圆周角所对的弦是
1.如图,BC是☉O的直径,点A是☉O上异于B,C的一点,则∠A的度数为( ) A.60° B.70° C.80° D.90°
2. 圆内 接四 边形定 义如果一个四边形的 都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的 性 质圆内接四边形对角 ,并且它的任意一个外角都等于
2.如图,四边形ABCD内接于☉O,若∠A=70°,则∠C的度数是( ) A.70° B.90° C.110° D.140°
重点典例研析 启思凝智 教学相长
重点1 圆周角定理推论2(几何直观、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P83随堂练习T1拓展)如图,C为☉O上的一点,直径AB=26,∠ACB的平分线交☉O于点D,交AB于点E.求BD的长.
【举一反三】
1.(2024·宜宾中考)如图,AB是☉O的直径,若∠CDB=60°,则∠ABC的度数等于( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
2.AB为半圆O的直径,点C为半圆上一点,且∠CAB=50°.①以点B为圆心,适当长为半径作弧,交AB,BC于D,E;②分别以D,E为圆心,大于DE长为半径作弧,两弧交于点P;③作射线BP.则∠ABP=( )
A.40° B.25° C.20° D.15°
重点2 圆内接四边形(推理能力、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P82“想一想”补充)如图,四边形ABCD内接于☉O,AE⊥CB的延长线于点E,连接AC,BD,BA平分∠EBD.
(1)求证:AC=AD.
(2)当B为的中点,BC=3BE,AD=6时,求CD的长.
【举一反三】
1.(2024·昭通一模)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,若∠ABC=114°,则
∠AOC的度数为( )
A.134° B.132° C.76° D.66°
2.(2024·吉林中考)如图,四边形ABCD内接于☉O,过点B作BE∥AD,交CD于点E.若∠BEC=50°,则∠ABC的度数是( )
A.50° B.100° C.130° D.150°
【技法点拨】
圆内接四边形的角的两种关系
1.对角互补,若四边形ABCD为☉O的内接四边形,则∠A+∠C=180°,∠B+
∠D=180°.
2.四个角的和是360°,若四边形ABCD为☉O的内接四边形,则∠A+∠B+∠C+
∠D=360°.
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·几何直观、模型观念)如图,BC为直径,∠ABC=35°,则∠D的度数为( )
A.35° B.45° C.55° D.65°
2.(4分·几何直观、运算能力)如图,在☉O中,AB是☉O的直径,∠DAC=20°,弦CD =CB,则∠ADC=( )
A.100° B.110° C.120° D.150°
3.(8分·几何直观、推理能力)如图,四边形ABCD内接于☉O,对角线AC,BD交于点E,AC为☉O的直径,∠BCA=2∠ACD.
(1)求证:BC=CE;
(2)若☉O的半径为,BC=4,求线段DC的长.
